Esercizi svoli di eoria dei segnali Alessia De Rosa Mauro Barni Novembre
Indice Inroduzione ii Caraerisiche dei segnali deerminai Sviluppo in Serie di Fourier di segnali periodici Trasformaa di Fourier 4 Sisemi Lineari Tempo Invariani 44 5 Campionameno 56 6 Processi socasici 69 i
Inroduzione Obieivo di quese dispense è quello di aiuare lo sudene che affrona l esame di Teoria dei Segnali ad applicare i concei eorici (che si suppone abbia sudiao!) alla soluzione di esercizi. L imporanza di ale passaggio risiede nel fao che solo avendo capio a fondo i concei eorici è possibile uilizzarli per risolvere gli esercizi: in alre parole la risoluzione degli esercizi è una misura di quano lo sudene abbia davvero compreso la maeria. Le dispense sono organizzae nel seguene modo: un capiolo per ciascuno degli argomeni raai durane il corso (Processi Socasici esclusi); indicazione degli argomeni raai all inizio di ogni capiolo; differeni ipologie di esercizi: esercizi svoli in modo deagliao; esercizi svoli più rapidamene; esercizi proposi da svolgere. Per chiarezza in Tabella sono sai riporai i principali simboli che verranno uilizzai nel corso degli esercizi, e la loro spiegazione. Se da una pare si è cercao di rifarsi alla simbologia soliamene usaa durane il corso di Teoria dei Segnali, dall alra pare si presuppone che il leore vada al sodo senza lasciarsi sviare da una differene simbologia! Si riporano di seguio alcune imporani formule di rigonomeria, che possono risulare uili: cos( ± ) = cos cos sin sin sin( ± ) = sin cos ± sin cos cos cos = [cos( ) + cos( + )] sin sin = [cos( ) cos( + )] sin cos = [sin( ) + sin( + )] Inolre, viene fao un breve richiamo sulla rappresenazione di un numero complesso. Un generico numero complesso c può essere espresso mediane la sua pare reale e la sua ii
INTRODUZIONE iii N insieme dei numeri naurali Z insieme dei numeri ineri relaivi R{ } pare reale di un numero/segnale complesso I{ } pare immaginaria di un numero/segnale complesso ampiezza di un numero/segnale complesso fase di un numero/segnale complesso valore assoluo di un numero/segnale reale F{ } Trasformaa di Fourier relazione ra un segnale e la relaiva Trasformaa di Fourier E[ ] operaore valore aeso H{ } Trasformaa di Hilber Tabella : Tabella con i simboli più usai e la loro spiegazione pare immaginaria oppure mediane la sua ampiezza e fase: R{c} + ji{c} c = c e j\c Quesa seconda rappresenazione (dea forma esponenziale) risula paricolarmene uile per eseguire calcoli sui numeri complessi. Si ricorda che un generico esponenziale complesso può essere scrio come: e ±jφ = cos(φ) ± j sin(φ) da cui si ricavano facilmene le formule di Eulero: cos(φ) = e+jφ + e jφ sin(φ) = e+jφ e jφ j Poso ρ = c e φ = c, il numero complesso c si può quindi scrivere come: c = ρe jφ = ρ[cos(φ) + j sin(φ)] Inolre si ricavano facilmene le segueni relazioni: c c = ρ e jφ ρ e jφ = (ρ ρ )e j(φ +φ ) ( ) ( ) c /c = ρ e jφ / ρ e jφ = (ρ /ρ ) e j(φ φ ) cioè nel caso di un prodoo (o rapporo) ra due numeri complessi, l ampiezza del prodoo (o rapporo) è daa dal prodoo (o rapporo) delle ampiezze, menre la fase è daa dalla somma (o differenza) delle fasi.
INTRODUZIONE iv Infine si riporano di seguio la definizione e l andameno grafico (Figura, Figura e Figura ) di alcuni segnali imporani: x < / rec(x) / x = / alrimeni sinc(x) sin(πx) πx x x r(x) alrimeni x < sgn(x) x > x = x < u(x) x > / x =.5.5 rec(x).5 sinc(x).5.5.5.5.5.5 x.5 4 4 x Figura : rec(x) e sinc(x)
INTRODUZIONE v.5.5.5 r(x).5 sgn(x).5.5.5.5.5.5 x.5 4 4 x Figura : r(x) e sgn(x).5 u(x).5.5 4 4 x Figura : u(x) Concludendo, inviiamo gli sudeni che uilizzeranno quese dispense a segnalare agli auori evenuali errori preseni in esse. Nonosane l aenzione con cui si può curare la sesura di un eso, infai, non è mai da escludersi la possibilià che in esso siano preseni degli errori!
Capiolo Caraerisiche dei segnali deerminai Problemi affronai nel presene capiolo: rappresenare graficamene un segnale; deerminare se un segnale è a energia o poenza finia; calcolare l energia e/o la poenza di un segnale; scrivere l espressione analiica e rappresenare graficamene un segnale, e la forma riardaa, inveria, ec. del segnale sesso; analizzare le proprieà di simmeria di un segnale. Esercizio Si consideri il segnale: e si risponda alle segueni domande: a) rappresenare graficamene il segnale; ( ) s() = rec e 4 b) calcolare l energia e la poenza media del segnale e discuere se s() è un segnale a energia finia o a poenza media finia (NOTA: da ora in avani per poenza si inenderà sempre la poenza media e non la poenza isananea); c) scrivere l espressione analiica e rappresenare graficamene i segnali: z() = s( ) v() = s( + 4)
CAPITOLO. CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI Soluzione a) Nelle figure. e sono riporai rispeivamene il segnale s () = rec(), cenrao nell origine, con duraa e ampiezza e il segnale s () = rec(( )/4) pari a s () raslao in +, con duraa 4 e ampiezza. Nella figura. è riporao il segnale s () = e, esponenziale decrescene che si esende ra e + ; ed infine nella figura. è riporao il segnale s(), ovvero l esponenziale decrescene e roncao ra [, 4]..5.5 s ().5 s ().5.5.5 4 5 4 5 Figura.: s () = rec(); s () = rec ( 4 ).5.5 s ().5 s().5.5.5 4 5 4 5 Figura.: s () = e ; s() = rec ( ) 4 e
CAPITOLO. CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI b) Per il calcolo dell energia e della poenza si applicano le definizioni: + + E s = s() d = s() d P s = lim T + T +T/ T/ s() d = lim T + T +T/ T/ s() d dove viene sosiuio a nel caso di segnali reali. Si verifica facilmene che il segnale s() è un segnale a energia finia, cioè E s, E s, e di conseguenza a poenza nulla. Infai: + E s = s() d = P s = essendo E s finia. lim T + T +T/ T/ 4 = lim T + T E s = e 4 d = e 4 4 s() d = 4 = e 6 4 4 lim e 4 d = T + T 4 Noa: considerando il segnale s() = e, queso risula essere né un segnale a energia finia, né a poenza finia, infai: + + E s = e d = e 4 d = P s = = e 4 4 lim T + + T e T e T = lim T + 4 +T/ T/ e T e T = lim T + 4T e 4 d = = +, lim T + = + e 4 4T +T/ T/ dao che per T + e T ende a, e e T ende a + molo più rapidamene di 4T. c) Le espressioni analiiche dei segnali z() e v() si oengono come: [ ( ) ] ( ( ) z() = s( ) = rec e ( ) = rec 4 4 ( ) ( ( + 4) + v() =s( + 4) = rec e (+4) = rec 4 4 = ) e ) e (+4)
CAPITOLO. CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI 4 Per disegnare z() e v() si possono considerare le espressioni analiiche rovae, oppure noare che il segnale z() non è alro che la riflessione rispeo all origine e l inversione del segnale s(), menre il segnale v() è il segnale s() anicipao di 4. In figura. sono riporai i due segnali..5.5.5.5 z() v().5.5.5.5 5 4 5 4 Figura.: z() = s( ); v() = s( + 4) Esercizio Si consideri il segnale: e si risponda alle segueni domande: a) rappresenare graficamene il segnale; ( ( )) π s() = sgn a cos T b) calcolare l energia e la poenza del segnale e discuere se è un segnale a energia finia o a poenza finia. Soluzione a) Il segnale a cos((π/t )) è un segnale periodico di periodo T e ampiezza a. Ponendo ad esempio T = 4 e a =. l andameno del cos è riporao in figura.4 (linea raeggiaa). La funzione sgn vale + quando l argomeno è > e - quando è <. Il segnale s() risula quindi quello riporao in figura.4 (linea coninua). b) I segnali periodici sono segnali a energia infinia; indicando con T il periodo del
CAPITOLO. CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI 5.5.5 s().5.5 6 4 4 6 Figura.4: (linea raeggiaa) a cos((π/t )) con T = 4 e a =.; (linea coninua) s() segnale, dalla definizione si oiene: E s = + = lim s() d = +nt / n + nt / lim +T/ T + T/ s() d = s() d = lim n n + +T / T / s() d = avendo supposo +T / T / s() d. Il valore della poenza invece può essere calcolao su un periodo; parendo sempre dalla definizione si ha infai: P s = lim T + T +T/ T/ = lim n n + nt s() d = +T / T / lim n + nt s() d = T +nt / nt / +T / T / s() d = s() d Nel caso paricolare dell esercizio proposo la poenza allora risula: P s = T +T / T / s() d = T e quindi il segnale in esame risula a poenza finia. +T / T / d = Esercizio Si consideri il segnale: e si risponda alle segueni domande: s() = r ( ) 4
CAPITOLO. CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI 6 a) rappresenare graficamene il segnale; b) calcolare l energia e la poenza del segnale e discuere se è un segnale a energia finia o a poenza finia; c) scrivere l espressione analiica e rappresenare graficamene il segnale: v() = s() Soluzione a) In figura.5 è riporao il grafico del segnale s(), ovvero un riangolo cenrao nell origine, di duraa 8, [ 4, 4], e ampiezza..5.5 s().5.5 4 4 Figura.5: s() b) Il segnale risula essere a energia finia, infai: 4 E s = e quindi a poenza nulla P s =. c) Il segnale v() risula: ( ) ( ) 4 + d = + 4 = v() = r ( ) e il suo andameno grafico è riporao in figura.6. Si noi come il segnale v() non sia alro che una compressione del segnale s(): infai, una moliplicazione dell argomeno per un faore di scala > implica una compressione della scala dei empi del segnale, menre se il faore di scala è < allora si ha una dilaazione.
CAPITOLO. CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI 7.5.5 v().5.5 4 4 Figura.6: (linea coninua) v() = s(); (linea raeggiaa) s() Esercizio 4 Sudiare le proprieà di simmeria del segnale s() e scomporlo nella sua pare pari e pare dispari: s() = u() Soluzione 4 Un segnale reale è definio pari o dispari se soddisfa le segueni relazioni: s() pari s() = s( ) s() = s( ), s() dispari s() = = Nel caso del segnale u(), s( ) vale: s( ) = u( ) e quindi non soddisfa nessuna delle precedeni relazioni dao che u( ) u(). Il segnale perciò non presena proprieà di simmeria. modo: Per scomporre un segnale nella sua pare pari e pari dispari si procede nel seguene s() + s( ) s p () = s() s( ) s d () = e si verifica facilmene che il segnale s() si rioiene come somma dei segnali s p () e s d ().
CAPITOLO. CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI 8 Nel caso dell esercizio proposo risula quindi: u() u( ) s p () = = [u() u( )] = u() + u( ) s d () = = [u() + u( )] = Nelle figure.7 e.8 sono riporai s p () e s d () rispeivamene, menre in figura.9 è riporao il segnale s() oenuo come somma di s p () e s d () (figura.9). s p () 4 4 4 4 Figura.7: risulane (linea coninua) e [u() u( )] (linea raeggiaa) e segnale s p() = s d () 4 4 4 4 Figura.8: (linea raeggiaa) e [u() + u( )] (linea coninua) e segnale s d() = risulane
CAPITOLO. CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI 9 4 4 s d () s p () s() 4 4 4 4 4 4 Figura.9: s p () (linea raeggiaa) e s d () (linea coninua) e segnale s() = u() Esercizio 5 Disegnare il grafico del seguene segnale: Soluzione 5 s() = n= ( ) n r( n) Il segnale r() è un riangolo di duraa [-,] e ampiezza (figura.). La sommaoria n r( n) è la ripeizione del riangolo con passo (figura.). Il ermine ( ) n va a modificare il segno dei riangoli ripeui per n dispari (figura.). Infine il grafico del segnale si oiene sommando puno a puno le due forme d onda in figura., oenendo così l andameno riporao in figura.. r() r( n) 4 4 4 4 Figura.: r() e n r( n)
CAPITOLO. CARATTERISTICHE DEI SEGNALI DETERMINATI ( ) n r( n) s() 4 4 4 4 Figura.: n r( n) per n pari (linea coninua) e n r( n) per n dispari (linea raeggiaa) e grafico finale del segnale s() = n= ( )n r( n) Alri esercizi. Disegnare il grafico dei segueni segnali: a) rec() rec( ) b) r() rec() c) n= ( )n rec ( 4 n) d) + sgn( ) e) sinc() sgn() f) n= rec ( ) n n. Calcolare energia e poenza dei segueni segnali: a) A cos(πf + φ ) + B cos(πf + φ ) b) e cos()u() c) e cos() d) e rec ( ) e rec ( ). Sudiare la simmeria dei segueni segnali e scomporli in pare pari e pare dispari: a) e u() e u( ) b) e, c) =. d) sen() + cos()
Capiolo Sviluppo in Serie di Fourier di segnali periodici Problemi affronai nel presene capiolo: calcolare i coefficieni dello sviluppo in serie di Fourier; scrivere l espressione analiica dello spero di ampiezza e di fase; rappresenare graficamene lo spero di ampiezza e di fase; applicazione del eorema di Parseval per la serie di Fourier. Esercizio Si consideri il segnale dene di sega rappresenao in figura. e si risponda alle segueni domande: a) calcolare i coefficieni della serie di Fourier; b) scrivere l espressione analiica dello spero di ampiezza e di fase; c) rappresenare graficamene lo spero di ampiezza e di fase. Soluzione In generale un segnale periodico può essere viso come la ripeizione, con passo T, del corrispondene segnale roncao nel periodo [ T/, T/]. Nel caso specifico del segnale dene di sega, il segnale roncao risula essere: s T () = A < T/ T/ riporao anche in figura., dove si è poso T = 6 e A =.
CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI A s() T 5 9 6 6 9 5 Figura.: Segnale s() dene di sega con periodo T = 6 e ampiezza A = a) Per calcolare lo sviluppo in serie di Fourier si considera la forma esponenziale della serie e cioè: s() = n= c ne jπn T c n = T/ T T/ s()e jπn T d Si calcolano quindi i coefficieni c n, per n : c n = T = A T = A T = A T = A T T/ T/ s T ()e jπn T d = A T T/ e jπn T T/ segnale periodico con periodo T coefficieni della serie di Fourier T/ T/ e jπn T d = T/ e jπn T jπn T jπn d T/ T = T/ T e jπ n T T + e jπ n T T jπ n + e jπ n T T/ T jπ n T jπ n = T T/ { } T jπ n cos(nπ) + e jπ n T T e jπ n T T T (π n = T ) { T } j sin(nπ) cos(nπ) + jπn (π n = j A T ) nπ cos(nπ) Il coefficiene c rappresena il valor medio del segnale s T (), che in queso caso, raandosi di un segnale dispari, risula nullo, infai: c = T T/ T/ s T ()d = A T T/ T/ d = (l inegrale di un segnale dispari su un periodo produce un risulao pari a ). I
CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI coefficieni c n possono essere quindi espressi come: n = c n = j A ( ) n π n n essendo cos(nπ) = ( ) n. b) In generale i coefficieni c n della serie di Fourier sono complessi. Un generico numero complesso c può essere espresso mediane la sua pare reale e pare immaginaria oppure mediane la sua ampiezza e fase: R{c} + ji{c} c = c e j\c Soliamene per rappresenare graficamene la serie di Fourier, si considera la rappresenazione in ampiezza e fase, oenendo così lo spero di ampiezza e lo spero di fase del segnale periodico s(). Nel caso specifico dell esercizio si ha: c n = j A ( ) n = A { } ( ) n π n π n sign j n e ricordando che ±j = e ±j π = cos π ± j sin π, si arriva a: c n = A π n { } ( ) n π c n = sign n c) Infine, per disegnare gli speri di ampiezza e di fase basa riporare i valori assuni rispeivamene da c n e c n al variare di n, come mosrao in figura.. Gli.6.5.5 Ampiezza.4.. Fase.5.5..5. 5 5 5 5 n 5 5 5 5 n Figura.: Spero di ampiezza e spero di fase del segnale s() dene di sega (T = 6, A = ) in funzione del campione n
CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 4.6.5.5 Ampiezza.4.. Fase.5.5..5. f f Figura.: Spero di ampiezza e spero di fase del segnale s() dene di sega (T = 6, A = ) in funzione della frequenza f sessi grafici possono essere riporai anche in funzione della frequenza, ricordando che le righe sperali sono pose nei mulipli ineri della frequenza fondamenale: nf = n/t (figura.)). Noa: il segnale considerao s() è un segnale reale e dispari. I coefficieni della serie di Fourier oenui sono una sequenza di campioni immaginari puri. Si può ricavare facilmene che la serie di Fourier corrispondene al segnale s() può essere espressa come serie di soli seni: s() = = n,n= n,n= = A π j A ( ) n π n ejπ n T = j A ( ) n [cos(π n π n T ) + j sin(π n ] T ) = ( ) n sin(π n n T ) n= Inolre gli speri di ampiezza e di fase hanno andameno rispeivamene pari e dispari: i campioni della serie di Fourier godono quindi della simmeria Hermeiana. Infine i campioni c n vanno a come /n, e queso è in accordo col fao che il segnale s() presena delle disconinuià.
CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 5 Esercizio Si consideri il segnale s() onda riangolare rappresenao in figura.4 e si risponda alle segueni domande: a) calcolare i coefficieni della serie di Fourier; b) scrivere l espressione analiica e rappresenare graficamene gli speri di ampiezza e di fase; c) calcolare i coefficieni della serie di Fourier del segnale s () = s() A/; d) calcolare i coefficieni della serie di Fourier del segnale s () = s( τ/). A A T s() τ τ / τ / T Figura.4: Segnale s() onda riangolare con periodo T, duraa τ, e ampiezza A Soluzione Il segnale periodico s() è la ripeizione, con passo T, del riangolo di duraa τ e ampiezza A: A [ τ s T () = ] < τ alrimeni.
CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 6 a) Calcoliamo i coefficieni c n della serie di Fourier, per n : c n = T T/ s T ()e jπ n T d = A T τ/ [ τ ] e jπ n T d = T/ τ/ τ/ τ e jπ n T d τ/ τ e jπ n T d = = A e jπ n T d + T τ/ τ/ = A e jπ n T τ/ T jπ n + A e jπ n T T T τ jπ n e jπ n T τ/ T ( jπ n τ/ T ) τ/ A e jπ n T τ/ T τ jπ n e jπ n T τ/ T ( jπ n = T ) [ ] [ ] [ ] = A e jπ n τ T e jπ n τ T T jπ n + A τ e jπ n τ T T T τ jπ n A e jπ n τ T T T τ ( jπ n T [ ] [ ] ) A τ e jπ n τ T T τ jπ n + A e jπ n τ T T T τ ( jπ n = T ) [ = A ( ) ] cos π n τ T T τ ( jπ n = A [ 4 sin ( π n )] [ τ T T ) T τ ( jπ n = A ( ) τ sin π n τ T T ) T Ricordando che il segnale sinc(x) è definio come sinc(x) = sin(πx) πx i coefficieni c n si possono anche riscrivere come: c n = A τ ( n τ ) T sinc T Il coefficiene c in queso caso assume un valore diverso da essendo il segnale s T () a valor medio non nullo; in paricolare si può facilmene ricavare: c = A T sia calcolando il valor medio del segnale s T (), (cioè l area del riangolo Aτ/ diviso il periodo T ), sia considerando che sinc()=. In figura.5 sono riporai gli andameni delle funzioni sinc(x) e sinc (x) rispeivamene. b) Gli andameni degli speri di ampiezza e di fase del segnale s() con T = 6, τ = 4 e A =, sono riporai in figura.6; i coefficieni c n in queso caso sono una sequenza di campioni reali e posiivi, per cui si ha: c n = c n = A T c n = τ τ ( n τ ) sinc T π n T τ ]
CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 7.5.5 sinc(x).5 sinc (x).5.5 4 4 x.5 4 4 x Figura.5: sinc(x) e sinc (x) cioè lo spero di fase assume valore cosane pari a, menre lo spero di ampiezza segue l andameno del sinc ( )..6.5.5 Ampiezza.4.. Fase.5.5..5. f f Figura.6: Spero di ampiezza e spero di fase del segnale s() onda riangolare, con T = 6, τ = 4 e A =, in funzione della frequenza f Noa(): per le proprieà del segnale sinc (o equivalenemene del segnale sinc ) vale che: sinc(x) = sin(πx) πx = x = = x inero, x alrimeni In paricolare, quindi, i coefficieni c n assumono valore nullo quando l argomeno del sinc è un inero diverso da : n τ = k, k Z, k T e quindi per n inero: n = k T τ, k Z, k
CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 8.6.5 s() Ampiezza.4... 5 5 5 5. f Figura.7: Segnale s() onda riangolare con periodo T = (τ = 4, A = ) e relaivo spero di ampiezza in funzione della frequenza f Si noi che porebbero anche non esisere coefficieni a valore nullo nel caso in cui la precedene relazione non produca mai un numero inero, e cioè se: k T τ / Z, k. Noa(): se si considera un periodo T = anziché T = 6, si oengono gli andameni per s() e c n riporai in figura.7. Laddove si è avuo un aumeno del periodo T che ha provocao un disanziameno maggiore ra le ripeizioni del riangolo, si è avuo un infiimeno delle righe sperali. In alre parole, menre l inviluppo del sinc è rimaso invariao, la densià delle righe sperali preseni è aumenaa. Ovviamene vale anche il viceversa: se si considera un periodo T < T (riangoli più ravvicinai), si avranno delle righe sperali più disanziae ra di loro. Noa(): il segnale considerao s() è un segnale reale e pari; i coefficieni c n risulani sono quindi una sequenza di campioni reali e pari. Si può ricavare facilmene che in queso caso la serie di Fourier può essere espressa come serie di soli coseni: c n = c + A τ ( n τ ) T sinc cos (π n ) T T Noa(4): i campioni c n vanno a come /n, e queso è in accordo col fao che il segnale è coninuo, ma con derivaa prima disconinua. c) Si consideri ora il segnale raslao s () = s() A/, rappresenao in figura.8 :
CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI 9 si calcolano i coefficieni c n della Serie di Fourier: c n = T T/ s ()e jπ n T d = T T/ [ s() A ] e jπ n T d = T T/ T/ T/ =c n A s()e jπ n T d A T T e jπ n T jπ n T T/ T/ T/ T/ T/ e jπ n T d = = c n A sinc(n) Dalle proprieà del segnale sinc si ricava facilmene che: c n = c n, n c = c A = A T τ A cioè la raslazione del segnale produce solo una variazione del valor medio, menre i coefficieni della serie di Fourier rimangono inalerai. s () s () 6 6 6 6 Figura.8: Segnale s() raslao: s () = s() A/ con T = 6, τ = 4, e A = e nel caso paricolare τ = T = 6 Nel caso paricolare in cui τ = T, s () presena una paricolare simmeria s ( + T/) = s () (figura.8 ): un ale segnale si dice alernaivo. In queso caso i coefficieni c n assumono valore nullo per n pari, infai: c n = c n = A ( n ) sinc c n = n pari, n c = n = n
CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI d) Si consideri infine il segnale riardao s () = s( A/), rappresenao in figura.9: si calcolano i coefficieni c n della Serie di Fourier: c n = T T/ s ()e jπ n T d = T T/ ( s A ) e jπ n T d = T/ facendo un cambio di variabile A/ = u = T T/ A/ T/ A/ =e jπ n T A T T/ s(u)e jπ n T u e jπ n T T/ T/ A du = s(u)e jπ n T u du = e jπ n T A cn Si conclude quindi che i coefficieni della serie di Fourier di un segnale s () oenuo dal segnale s() riardao emporalmene di una quanià, sono i coefficieni c n del segnale di parenza s() moliplicai per esponenziali complessi e jπ n T. s () 6 6 Figura.9: Segnale s() riardao: s () = s( A/) con T = 6, τ = 4, e A = Esercizio Deerminare la poenza media del segnale s(): s() = cos(πf ) sia applicando la definizione di poenza media, sia applicando il Teorema di Parseval per la serie di Fourier.
CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI Soluzione Si ricordi che la poenza media di un segnale periodico può essere definia come: P s = T +T / s() d T / e che il Teorema di Parseval afferma che: P s = T +T / T / s() d = Nel caso del cos(πf ) risula dalla definizione: P s = T = T = T +T / T / +T / T / +T / T / ( ) π cos d = T n= [ + ( )] π cos T / d = d + T +T / T / cos c n ( ) π T / d = essendo nullo l inegrale del coseno di periodo T / inegrao sul periodo T. Applicando il Teorema di Parseval si oiene molo più rapidamene: ( ) ( ) P s = c n = + = Alri esercizi n= Calcolare la Serie di Fourier dei segueni segnali: a) s() =, figura. ; b) s() = n= ( )n rec ( n), figura. ; c) s() = n= s T ( n), s T () =, figura.; alrimeni d) s() = < π n= s T ( πn), s T () = π = π, figura.; alrimeni
CAPITOLO. SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI SEGNALI PERIODICI e) s() = n= s T ( 4n), s T () = < < < <, figura.; =,, s() s() Figura.: Esercizio a) ; Esercizio b) 5 4 s() s() 8 6 4 4 6 8 Figura.: Esercizio c); Esercizio d) s() 4 5 Figura.: Esercizio e)
Capiolo Trasformaa di Fourier Problemi affronai nel presene capiolo: Calcolo di rasformae di Fourier: dalla definizione usando le proprieà rappresenazione degli speri di fase e di ampiezza Prodoo di convoluzione: esempi di calcolo relazione con la rasformaa di Fourier Uso del eorema di Parseval e Parseval generalizzao per: calcolo dell energia di un segnale calcolo di un inegrale Calcolo di rasformae di Fourier per segnali periodici: eorema di Poisson calcolo dei coefficieni della serie e calcolo della rasformaa Esercizio Si consideri il segnale s(): s() = e α u() con α > e si risponda alle segueni domande: a) calcolare la rasformaa di Fourier S(f);
CAPITOLO. TRASFORMATA DI FOURIER 4 b) calcolare la rasformaa di Fourier del segnale s () = e u( ); c) calcolare la rasformaa di Fourier del segnale s () = e +4 u( ); d) calcolare la rasformaa di Fourier del segnale s () = e / cos(π)u(); Soluzione a) Il segnale s() è riporao in figura.. Si calcola la rasformaa di Fourier parendo dalla definizione: S(f) = = s()e jπf d = e α u()e jπf d = (α + jπf) = e (α+jπf) = α + jπf e α e jπf d.5 s().5.5 Figura.: Segnale s() con α = b) Per calcolare le rasformae dei segnali s (), s () e s () si può riapplicare la definizione oppure sfruare le proprieà fondamenali della rasformaa di Fourier; per il primo segnale risula: s () = e u( ) = s( ) α= cioè s () è la riflessione del segnale s() con α =. La sua rasformaa risula: viso che: S (f) = S( f) α= = s( ) S( f) jπf
CAPITOLO. TRASFORMATA DI FOURIER 5 c) Per il secondo segnale risula: s () = e +4 u( ) = e ( ) u( ) = s( ) α= cioè s () è il segnale s() riardao di con α =. La sua rasformaa risula: S (f) = S(f)e jπf = + jπf e jπf dao che un riardo nel empo corrisponde ad una moliplicazione per un esponenziale complesso in frequenza: d) Infine per il erzo segnale risula: s( ) S(f)e jπ f s () = e / cos(π5)u() = s() α=/ e jπ5 + e jπ5 La sua rasformaa risula: S (f) = [S(f 5) + S(f 5)] = [ ] / + jπ(f 5) + / + jπ(f + 5) poiché una moliplicazione per un esponenziale complesso nel empo corrisponde ad un riardo in frequenza: s()e ±jπf S(f f ) Esercizio Calcolare la rasformaa di Fourier del segnale s() = r(6 + 4)cos(π) Soluzione Il segnale s () = r(6 + 4) è un riangolo di duraa /, ampiezza e anicipao di 4, menre il segnale s () = cos(π) è un coseno di periodo /: ( ) + 4 s() = r(6 + 4)cos(π) = r cos (π ) /6 Per calcolare la rasformaa di Fourier si deermina prima la rasformaa del segnale s () che risula: S (f) = F { r ( )} + 4 = 6 ( ) 6 /6 sinc f e jπ4f
CAPITOLO. TRASFORMATA DI FOURIER 6 Poi, ricordando dall esercizio precedene che la moliplicazione per un coseno corrisponde alla moliplicazione per due esponenziali complessi, e quindi ad un riardo in frequenza, si ha: Esercizio S(f) = S (f /) + S (f + /) = = [ ( ) ( ) ] f / f + / sinc e j8π(f /) + sinc e j8π(f+/) 6 6 Calcolare e rappresenare graficamene gli speri di ampiezza e fase dei segueni segnali: a) s() = rec() b) s () = rec ( ) Soluzione a) La rasformaa di Fourier del segnale rec è il segnale sinc: ( ) Arec Aτsinc(τf) τ e quindi risula: S(f) = ( ) f sinc = ( ) f sinc sgn = { sinc ( )} f La funzione segno assume valori ± in base all andameno del sinc. Poendo scrivere + = e jkπ e = e j(k+)π e decidendo di rappresenare la spero di fase nell inervallo { [ π, ( )} π] (dao che la fase è periodica { ( )} di π), la fase assume valori quando sgn sinc f = e π quando sgn sinc f =. Gli speri di ampiezza e fase sono riporai in figura.. Si noi come si sia scelo di rappresenare lo spero di fase con +π per frequenze posiive e π per frequenze negaive: queso è moivao dal fao che nel caso di segnali reali lo spero deve soddisfare le condizioni di simmeria hermeiana, cioè lo spero di ampiezza deve risulare pari e quello di fase dispari. b) Il segnale s () = rec ( ) ( ( = rec 6)) non è alro che il segnale s() riardao di /6. Perano la rasformaa di Fourier risula: S (f) = S(f)e jπ 6 f = sinc ( f ) e jπ 6 f
CAPITOLO. TRASFORMATA DI FOURIER 7 4 Ampiezza Fase 9 6 6 9 f 4 9 6 6 9 f Figura.: Spero di ampiezza e spero di fase del segnale s() = rec() e quindi: S (f) = S(f) S (f) = S(f) π 6 f Per disegnare lo spero di fase si somma π 6f (figura. raeggiao) a S(f) e poi si ripora uo nell inervallo [ π, π] (figura.). 5 5 5 5 Fase Fase 5 5 5 9 6 6 9 f 5 9 6 6 9 f Figura.: Spero di fase del segnale s () = rec( /) e riporao nell inervallo [ π, π]
CAPITOLO. TRASFORMATA DI FOURIER 8 Esercizio 4 Calcolare il prodoo di convoluzione z() = x() y() ra i segueni segnali: Soluzione 4 x() = e ( ) ( ) 4 y() = rec rec 4 x() y() 4 5 6 4 5 6 Figura.4: Segnale x() = e e segnale y() = rec ( 4 ) ( rec ) Nelle figure.4 e sono riporai i due segnali x() e y() rispeivamene. Si ricorda la definizione di prodoo di convoluzione: z() = x() y() = x(α)y( α)dα = y(α)x( α)dα In praica, il calcolo del prodoo di convoluzione, per ogni isane di empo, consise nel calcolare il valore dell inegrale del prodoo ra i segnali x e y, di cui un segnale è manenuo fisso (ad esempio x(α)), menre l alro segnale viene riflesso (ad esempio y( α)) e raslao del empo (ad esempio y( α+)). Di seguio è riporao il calcolo del prodoo di convoluzione secondo le due modalià possibili. Nel primo caso si faccia riferimeno ai segnali riporai in figura.5. Il segnale z() si
CAPITOLO. TRASFORMATA DI FOURIER 9 oiene come: z() = = = 5 x(α)y( α)dα = ( ( α) 4 e [ α rec e α dα ) rec ( ( α) e α dα = e α 5 eα = )] dα =e e 5 e + e = e [e e 5 + e ].5.5 x(α); y( α).5.5.5 x(α); y( α+).5.5.5 5.5.5 8 7 6 5 4 α 8 7 6 5 4 α Figura.5: Segnali x(α) (linea raeggiaa) e y( α) (linea coninua) e segnali x(α) (linea raeggiaa) e y( α + ) con < (linea coninua) x( α); y(α).5.5.5.5.5 4 5 6 α x( α+); y(α).5.5.5.5.5 4 5 6 α Figura.6: Segnali x( α) (linea raeggiaa) e y(α) (linea coninua) e segnali x( α + ) con < (linea raeggiaa) e y(α) (linea coninua) Nel secondo caso invece si hanno i segnali riporai in figura.6 e il segnale z() risula
CAPITOLO. TRASFORMATA DI FOURIER da: z() = = 5 = y(α)x( α)dα = ( α 4 e [ α rec e α dα ) rec ( α )] dα e α dα = e α 5 + e α = = e 5 + e + e e = e [e e 5 + e ] Il segnale z() risulao del prodoo di convoluzione è un segnale che ha duraa da a : queso si poeva sapere fin dall inizio, ricordando che in generale vale la proprieà: x() [, ] e y() [, 4 ] = z() [ +, + 4 ] Esercizio 5 Dao il segnale x() riporao in figura.7, calcolare: A x() A T/ T Figura.7: Segnale x() caraerizzao da ampiezza ±A e duraa T il prodoo di convoluzione z() = x() x(); l auocorrelazione r() = x() x ( ); l auoconvoluzione e l auocorrelazione dei segnali x( ) e x( ), cioè: z () = x( ) x( ) z () = x( ) x( ) r () = x( ) x () r () = x( ) x ( )
CAPITOLO. TRASFORMATA DI FOURIER Soluzione 5 Si può noare subio che il prodoo di convoluzione z() assumerà valori diversi da zero solo nell inervallo [, T ]. Si consideri il segnale dao, x(α), e il segnale riflesso e raslao di, x( α + ). Al variare di si individuano quaro possibili siuazioni in base alla sovrapposizione dei due segnali x(α) e x( α + ): le quaro siuazioni sono rappresenae nelle figure.8 e.9, dove si è poso A = e T = 4. Si procede quindi al calcolo del prodoo di convoluzione: x(α); x( α+) x(α); x( α+) 4 4 6 8 α 4 4 6 8 α Figura.8: Segnali x(α) e x( α + ) per diversi valori di x(α); x( α+) x(α); x( α+) 4 4 6 8 α 4 4 6 8 α Figura.9: Segnali x(α) e x( α + ) per diversi valori di