G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi. EQUAZIONI ALGEBRICHE. Prinipi di equivlenz Si die identità un'uguglinz tr due espressioni ontenenti un o più vriili he è ver per tutti i vlori he si possono ttriuire lle vriili, purhé le espressioni ino signifito. Esempio: ( ) + + + ; quest uguglinz è ver per qulsisi vlore delle vriili e. Si die equzione un uguglinz tr due espressioni lgerihe ontenenti un o più vriili, dette inognite, verifit solo per determinti vlori delle inognite. Esempio: + è verifit per, inftti +, m non è verifit per ltri vlori di, per esempio per risult + flso. Si himno soluzioni di un equzione i vlori he sostituiti lle inognite rendono ver l'equzione. Risolvere un'equzione signifi trovre l'insieme di tutte le soluzioni dell'equzione. Due equzioni si diono equivlenti se hnno lo stesso insieme di soluzioni. Primo prinipio di equivlenz: dt un'equzione, ggiungendo entrmi i memri uno stesso numero od un stess espressione ontenente l'inognit si ottiene un'equzione equivlente. Se si ggiunge un'espressione he dipende d un'inognit non si devono modifire le ondizioni di esistenz dell equzione stess. Esempio: dt l equzione si può ggiungere entrmi i memri +, si ottiene l equzione equivlente + +. Conseguenze dirette del primo prinipio di equivlenz sono l regol del trsporto e l regol di nellzione. Regol del trsporto: dt un'equzione, trsportndo un termine d un memro ll'ltro e mindolo di segno si ottiene un'equzione equivlente. Esempio: dt l equzione + 5 possimo portre + dopo l ugule e prim dell ugule, ottenimo l equzione equivlente 5. Regol di nellzione: dt un'equzione, termini uguli presenti in entrmi i memri possono essere nellti, ottenendo un'equzione equivlente. Esempio: dt l equzione + + 5 possimo nellre prim dell ugule e lo stesso dopo l ugule, ottenendo l equzione equivlente + 5. Seondo prinipio di equivlenz: dt un'equzione, moltiplindo mo i memri per un numero diverso d zero si ottiene un'equzione equivlente. Si può nhe moltiplire per un'espressione ontenente l'inognit purhé l espressione non si nnulli qulunque si il vlore dell'inognit stess, e he non restring le ondizioni di esistenz. Esempio: dt l equzione possimo dividere primo e seondo memro per ottenendo l equzione equivlente, semplifindo. Conseguenze dirette del seondo prinipio di equivlenz sono: Regol dell divisione per un fttore omune diverso d zero: dt un'equzione in ui tutti i termini hnno un fttore omune diverso d zero, dividendo per tle numero si ottiene un'equzione equivlente. Esempio: nell equzione 6 9+ 8 si possono semplifire tutti i termini per, si ottiene l equzione equivlente + 6. Regol del mimento di segno: dt un'equzione, mindo segno tutti i termini di www.mtemtimente.it
G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi entrmi i memri si ottiene un'equzione equivlente. Esempio: nell equzione si possono mire di segno tutti i termini ottenendo l equzione equivlente. Un equzione si die equzione lgeri o polinomile se è rionduiile, medinte i prinipi di equivlenz, un polinomio uguglito zero. Il grdo del polinomio è detto grdo dell equzione. Teorem fondmentle dell lger: ogni equzione lgeri di grdo n mmette esttmente n soluzioni nell insieme dei numeri omplessi (lune delle soluzioni possono oinidere).. Equzioni di primo grdo Un'equzione di primo grdo si può sempre riondorre lll form normle + 0 L soluzione dipende di vlori delle ostnti e : se 0 e 0 l'equzione non h soluzione e si die impossiile se 0 l'equzione è soddisftt per qulsisi vlore dell vriile e si die indetermint se 0 l'equzione si die determint ed h un e un sol soluzione. Equzioni frtte o frzionrie: sono le equzioni in ui l inognit ompre l denomintore. Le equzioni frzionrie si risolvono seguendo i pssi: o stilire l insieme di definizione, ossi esludere i vlori dell inognit he nnullno i denomintori. o lolre il denomintore omune e ridurre tutte le frzioni llo stesso denomintore omune o eliminre i denomintori omuni o risolvere l equzione inter ottenut o verifire se le soluzioni trovte pprtengono ll insieme di definizione. Esempio: + 9 + Somporre in fttori i denomintori + ( )( + ) + Rier delle ondizioni di esistenz o insieme di definizione: porre i denomintori diversi d 0: + 0 e 0, ioè + Ridurre tutte le frzioni llo stesso denomintore ( + ) ( ) + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) Elimre i denomintori omuni e risolvere l equzione + + ( ) ( ) + + 6 9 9 6 6 6 l soluzione è ettile in qunto è divers d + e d -. www.mtemtimente.it
G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi. Equzioni di seondo grdo Un'equzione di seondo grdo o qudrti, in un sol vriile oeffiienti reli, è rionduiile ll form normle + + 0 on 0 Equzione inomplet pur: un'equzione di seondo grdo inomplet pur è dell form + 0. Si risolve nel seguente modo: + 0, ± Se > 0 l equzione mmette due soluzioni reli opposte. Se < 0 l equzione non mmette soluzioni reli, mmette due soluzioni immginrie. Se 0 l equzione si present nell form 0 ed h ome uni soluzione (doppi) 0 9 Esempio: 9 0, ± Equzione inomplet spuri: un'equzione spuri di seondo grdo è dell form + 0. Si risolve nel seguente modo: Rogliendo fttore omune l'equzione si srive ome ( + ) 0 Per l legge di nnullmento del prodotto le due soluzioni (reli) sono 0 e. 5 Esempio: 5 0 ( 5) 0 0, Equzione omplet: un'equzione omplet di seondo grdo si present nell form + + 0. ± Si risolve per mezzo dell formul risolutiv, ± Se il oeffiiente è pri si può utilizzre nhe l formul ridott:, Se e è pri si può utilizzre l formul dett ridottissim, ± L quntità Δ si him disriminnte, seond del segno he ssume si h:. Δ > 0 due soluzioni reli distinte: Δ e + Δ. Δ 0 due soluzioni reli oinidenti:. Δ < 0 nessun soluzione rele, due soluzioni omplesse oniugte: i Δ e + i Δ www.mtemtimente.it
G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi Esempi: + 5+ 0 5± 5 5± 56 5± pplindo l formul risolutiv, le soluzioni sono 5 8 5+ 6+ 5 0 Si può pplire l formul ridottissim, ± 9 5 ± ±, le soluzioni sono + 5. Relzioni fr i oeffiienti e le rdii di un equzione di grdo Dt un'equzione di seondo grdo + + 0, he h ome soluzioni e, fr le rdii e i oeffiienti,, sussistono le seguenti relzioni: Somm delle rdii: + Prodotto delle rdii: Pertnto un equzione di seondo grdo si può sempre srivere nell form S+ P 0, dove S è l somm delle soluzioni, P è il prodotto delle soluzioni: S +, P Altre relzioni Differenz delle rdii: Somm dei reiproi delle rdii: + Somm dei qudti delle rdii: + Somm dei reiproi dei qudrti delle rdii: + Somm dei ui delle rdii: + Somm dei reiproi dei ui delle rdii: + D queste relzioni disendono le seguenti proprietà: - Le rdii sono opposte se e solo se 0 - Le rdii sono reiprohe se e solo se - Le rdii sono ntireiprohe se e solo se - Un rdie è zero se e solo se 0 - Se Δ > 0, llor le rdii sono onordi se e solo se > 0, e sono disordi se e solo se < 0 www.mtemtimente.it
G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi 5. Regol dei segni o regol di Crtesio (equzioni di grdo) Dt l equzione + + 0 on Δ 0 ogni permnenz nei segni dei oeffiienti orrisponde un soluzione negtiv, ogni vrizione dei segni nei oeffiienti orrisponde un soluzione positiv. Più preismente: + + + due permnenze, quindi due soluzioni negtive + + - un permnenz e un vrizione: un soluzione negtiv, un positiv + - - un vrizione e un permnenz: un soluzione positiv e un negtiv - + - due vrizioni: due soluzioni positive 6. Somposizione di un trinomio di seondo grdo Dto un trinomio + +, e dette, le soluzioni dell'equzione + + 0, risult + + ( )( ) Esempio: Dto il trinomio + 5 + Le soluzioni di + 5+ 0 sono 5 ± 5 6 5 ±, ; Il trinomio si sompone ( + ) +. 7. Equzioni prmetrihe (di grdo) Si diono equzioni prmetrihe le equzioni he ontengono, oltre ll inognit solitmente indit on l letter, nhe un o più lettere dette prmetri. Le soluzioni vrino seond dei vlori dei prmetri. Determinre le soluzioni qundo è ssegnto il vlore del prmetro. Esempio: k + ( k ) + k + 0, determinre le soluzioni per k- Svolgimento. Sostituire k il vlore ssegnto e risolvere l equzione ( ) + ( ) + 0 divent 0, le soluzioni sono ( + ) 0 0; Determinre il vlore del prmetro qundo è ssegnt un soluzione dell equzione. Esempio: k + ( k ) + k + 0, determinre k in modo he l equzione i soluzione 9. Svolgimento. Sostituire il vlore dell soluzione ll e risolvere l equzione nell inognit k 7 k9 + ( k ) 9 + k+ 0 8k+ 9k 8 + k+ 0 9k 7 k 9 Determinre il vlore del prmetro in modo he le soluzioni sino opposte Esempio: k + ( k ) + k + 0, determinre k in modo he Svolgimento. Imporre S0, l somm delle soluzioni null: k S 0 0 0 k 0 k k Determinre il vlore del prmetri in modo he le soluzioni sino uguli Esempio: k + ( k ) + k + 0, determinre k in modo he Svolgimento. Imporre Δ 0 B AC 0 ( k) k ( k+ ) 0 ( ) k k k 6k 0 0k k 6 0 + + dividendo per - 5k + 8k 0 k, ± 6+ 0 ± 6 k 0; k + Determinre il vlore del prmetro in modo he l somm delle soluzioni si un vlore www.mtemtimente.it 5
G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi numerio ssegnto. Esempio: k + ( k ) + k + 0, determinre k in modo he + k Svolgimento. Imporre S k k k k Determinre il vlore del prmetro in modo he il prodotto delle soluzioni si un vlore numerio ssegnto Esempio: k + ( k ) + k + 0, determinre k in modo he k+ Svolgimento. Imporre P k+ k k k Determinre il vlore del prmetro in modo he l equzione i rdii reli e distinte Esempio: ( k ) + k+ k+ 0, determinre k in modo he l equzione i due rdii reli e distinte. Svolgimento. Δ> 0 > 0 ( )( ) ( ) k k k+ > 0 k k k > 0 k k + k+ 8> 0 k+ 8> 0 k > Determinre il vlore del prmetro in modo he l somm dei reiproi delle soluzioni si un vlore numerio ssegnto. Esempio: ( k+ ) + k 0, determinre k in modo he + + S Svolgimento. + ; S k+ ; P k ; sostituendo si h: P k + k + k k k k Determinre il vlore del prmetro in modo he l somm dei qudrti delle rdii si un vlore numerio ssegnto. k+ + k 0, determinre k in modo he + Esempio: ( ) Svolgimento. ( ) + + S P ; riprendendo i vlori di S e di P k+ k k + k+ k k 0 k 0. ottenuti l punto preedente imo ( ) Anlisi dell esistenz in R e del segno delle rdii l vrire di un prmetro k+ k+ k 0 Esempio: ( ) ( )( ) Δ 0 k k+ k 0 k 0 0 0 k+ 0 k 0 0 k 0 k 0 Δ 0 0 k 0 k - 0 so k<-/; Δ< 0 nessun rdie rele. so k-/; Δ 0 due rdii reli e oinidenti; vrizioni rdii positive. so -/<k<-; Δ> 0 rdii; vrizioni rdii positive. so k-; si nnull il oeffiiente di equzione di grdo rdie; positiv. 5 so -<k<0; Δ> 0 rdii; permnenz e vrizione rdie positiv e negtiv. 6 so k0; si nnull il oeffiiente di equzione inomplet pur rdii opposte. 7 so 0<k<; Δ> 0 rdii; vrizione e permnenz rdie positiv e negtiv. 8 so k; si nnull il termine noto equzione spuri rdie 0, rdie positiv. www.mtemtimente.it 6
G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi 9 so k>; Δ> 0 rdii; vrizioni rdii positive. 8. Equzioni rionduiili equzioni di seondo grdo Equzioni reiprohe, sono quelle in ui i oeffiienti dei termini equidistnti dgli estremi sono uguli due due oppure opposti due due. Esempi + 0, si nnull per -, on l regol di Ruffini si ss di grdo 5 + 5 0, si nnull si per, si per -, si può pplire due volte l regol di Ruffini. n Equzioni inomie, sono quelle he si possono srivere nell form + 0, on n intero positivo; le soluzioni sono ± n se n è pri n se n è dispri Purhé queste rdii esistno. Esempi 9 0 ± 8 8 0 ( 9)( + 9) 0 + 9 0 non h soluzioni reli 7 + 0. 7 7 n n n Equzioni trinomie, si presentno nell form + + 0, si risolvono sostituendo t, dll sostituzione si ottiene un equzione di grdo. Esempio: 6 + 8 0, questo tipo di equzione è nhe dett iqudrti, sostituendo t 6± 6 si h t 6t+ 8 0, he h per soluzioni t,, tenendo onto dell sostituzione ± si h ± Altre equzioni possono essere riondotte uno dei si preedenti on opportune sostituzioni. Esempio ( ) 8 0 si risolve sostituendo t, si ottiene t 8 0 t 8 t riordndo l sostituzione preedente si h. 9. Equzioni di terzo grdo Un'equzione di terzo grdo in form normle si present ome + + + 0. Affinhé l'equzione si effettivmente di terzo grdo deve risultre 0, dividendo quindi per l equzione si può srivere nell form + + + 0 so: se 0, mettendo in evidenz l'equzione divent ( + + ) 0. Pertnto un soluzione è 0, le ltre si trovno risolvendo l'equzione di seondo grdo + + 0. so: se 0 (in tl so 0 non è soluzione), operndo il mimento di vriile www.mtemtimente.it 7
G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi y +, d ui y, l'equzione divent y y + y + y + y + y + 0 7 7 Eseguendo le somme si rriv y + y( ) + + 0 7 Posto p e q +, l'equzione divent 7 y + py + q 0 () Nel seguito vedremo un metodo per risolvere l equzione (). p Operndo il mimento di vriile y z, l'equzione si risrive ome z p p p z pz + + pz + q 0 z 7z z Eseguendo le somme e moltiplindo mo i memri per 6 p z si rriv 0 p Ponendo t z, si trov un'equzione di seondo grdo t + qt 0 7 q q p le ui soluzioni sono t ± + 7 e riordndo l sostituzione t z z + qz 7 q q p z ± + 7 Riordndo le ltre sostituzioni effettute si rriv ll seguente formul risolutiv dell () not ome formul di Crdno q q p q q p y + + + + 7 7 Per ottenere il vlore di st riordre he y q q p q q p Ponendo u + + e 7 7 srivere ome y u+ v u+ v uv y + i u+ v uv y i q p Il disriminnte dell equzione di grdo è Δ + 7 Se Δ> 0 l equzione h rdie rele e omplesse oniugte Se Δ 0 l equzione h rdii reli di ui oinidenti v +, le tre soluzioni dell equzione si possono www.mtemtimente.it 8
G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi Se Δ< 0 l equzione h rdii reli. 0. Equzioni di qurto grdo Un'equzione di qurto grdo in form normle si srive ome + + + d + e 0, ltrimenti il grdo dell'equzione sree inferiore. on 0 so: se e 0 si può rogliere fttor omune, ottenendo ( + + + d) 0, pertnto un soluzione è 0, le ltre tre si trovno risolvendo l'equzione di terzo grdo + + + d 0. so: se e 0 llor 0 non è soluzione dell'equzione. Operndo il mio di vriile y l'equzione divent y + y + y + d y + e 0 Svolgendo i loli si riondue l'equzione quest form d d y + y y + 6 8 56 6 Ponendo A 6, d d B, C +, l'equzione si risrive 8 56 6 nell form y + Ay By + C Aggiungendo A d mo i memri si ottiene, ll sinistr dell'ugule, un qudrto perfetto ( y + A) By + C + A Aggiungendo or w + Aw + wy (on w per il momento nor d determinre) si ottiene ( y + A + w) wy + By + w + Aw + A + C Seglimo w in modo he il memro di destr si un qudrto perfetto, per fr questo st lolrne il disriminnte rispetto y e porlo ugule zero B 8w( w + Aw + A + C) 0 Quest è un'equzione di terzo grdo oeffiienti reli, pertnto mmette (lmeno) un soluzione rele. Si D tle soluzione (rele), llor l'equzione di qurto grdo divent B ( y + A + D) D( y + ) D Estrendo l rdie qudrt si trovno due equzioni seondo grdo y B + A + D Dy + D D y A D B + + Dy D D Risolvendo tli equzioni si trovno quttro vlori di y, e riordndo he y si determinno le quttro soluzioni dell'equzione di prtenz. www.mtemtimente.it 9