Mede e regresso Nelle precedet lezo ho cercato d descrvere per grad lee le caratterstche pù portat del sstea deografco europeo. Per traccare cotor d questo portate oggetto storco ho pù volte fatto rcorso, odo surrettzo, al cocetto d eda; ho, ad esepo, fatto rfereto a cocett coe quello d età eda al pro atroo, uero edo d fgl avut da ua doa, età eda al parto, età eda alla orte (o speraza d vta), popolazoe eda, ecc. Queste sure su cu s è costruta l'aals deografca tradzoale, e altre acora che cotrereo elle prosse lezo, soo tutte «terpretazo» partcolar del cocetto astratto e geerale d «eda». Copredere la logca e fodaet teorc che soo alla base d questo tpo d sura rsulta duque u passaggo obblgato per etrare el odo delle aals storco-socal (e, se s vuole, per zare ua crtca). Questa lezoe sarà allora dedcata a copredere l'see d procedure che hao portato alla forazoe d u cocetto d'uso così frequete. Cò che c teresserà, cotraraete alla prass abtuale, sarà o tato la procedura d calcolo che c perette d passare da u see d osservazo quattatve alla costruzoe d ua eda (questo geere d operazoe è olto seplce e o erta che gl vega dedcato lo spazo d ua lezoe), quato puttosto la teora ateatca che sta detro al cocetto d eda. Cooscere da dove vegoo le ede, capre la logca e la flosofa, cosetrà, fatt, d acqusre dstacco e cosapevolezza, rspetto ad u cocetto toro al quale storcaete soo veute costruedos olte dscple che studao l'uoo e l suo vvere socetà. Questa presa d dstaza, questo rpesaeto crtco d uo de cocett trsec all'aals socale o credo sao ogg fodaetal per ch vogla tetare ua soluzoe alla crs epsteologca che sepre pù va dffodedos elle sceze uae. Mede seplc e ede poderate Per trodurre fora geerale l cocetto d eda è suffcete avere ua struetazoe ateatca ltata. Per descrvere copletaete questo cocetto soo fatt suffcet quattro sol sbol ateatc: ) Il sbolo che dca la relazoe d apparteeza ad u see (o O dca che l «eleeto» o appartee all «see» O) ) Il sbolo «O {o, o,, o}» che dca che gl eleet da o a o soo «tutt e sol» gl eleet dell'see O.
3) La otazoe «#O» che dca la «cardaltà» dell see O, ovvero che l uero d eleet che lo copogoo è uguale a. o 4) Ife la otazoe dca la soatora d tutt valor dell see O, ovvero: o o + o +,..., + o Ua volta che s sa possesso della otazoe appea descrtta s può defre l cocetto d eda coe segue: ) Sa dato u see O d osservazo (surazo) per u dato carattere reale (ad esepo la statura) ) Sa la cardaltà d O (coè l uero coplessvo d osservazo-surazo copute su ua data popolazoe): #O 3) Sa o ua sgola osservazoe O: o O S defsce allora «eda» l valore: ) o o co I {,,} Se la popolazoe che stao studado è coposta da tre sol dvdu (duque P {a, b, c} dove a,b,c soo tre dvdu che forao la popolazoe P), e l carattere che stao surado è la statura, potrà accadere che l'see S d tutte le sure copute sulla popolazoe P abba la stessa cardaltà d P, duque: #S #P 3 Assuao ora che tre dvdu d P sao alt 60, 70, 80 c, potreo duque scrvere: S {60, 70, 80} Allo stesso odo avreo potuto scrvere:
S {70, 60, 80} o ache: S {80, 70, 60} Seza per questo cabare l coteuto delle ostre coosceze sull'see S. L'orde co cu vegoo dcharat fora «estesva» (coè specfcadol uo per uo) gl eleet d u see o è rlevate per la sua defzoe. Cooscao duque la coposzoe dell'see S, e cooscao la cardaltà, possao duque calcolare la eda: Il che sgfca seplceete: che c porta fe al rsultato: s (co s S) 3 3 s s ( s + s + s 3 ) (co s, s, s 3 S) 3 s ( 60 + 70 + 80) 70 3 Duque la statura eda degl dvdu della popolazoe P è 70 c. S è questo odo calcolata ua eda seplce. La "seplctà" d questo tpo d calcolo derva dal fatto che l'see S d tutte e sole le sure della statura rlevate sulla popolazoe P ha esattaete la stessa cardaltà d quest'ulto see. I calcol dvetao appea u po' pù coplcat el oeto cu s lasc cadere quest'ulta codzoe. Per rappresetare ache questo secodo caso possao pesare d avere ua popolazoe coposta da quattro dvdu - P {a, b, c, d} - per cu s sappa che gl eleet (dvdu) a e b abbao statura d 60 c, c d 70 e d d 80. Cò che accadrà tale stuazoe sarà che la cardaltà dell'see S delle osservazo relatve alla statura, e l'see P coposto dagl dvdu della ostra popolazoe, o avrao stessa cardaltà, fatt: S {60, 70, 80} #S 3 duque: P {a, b, c, d} #P 4 #S #P (s legge: la cardaltà d S è dversa da quella d P) 3
Per gugere, questo secodo caso alla deterazoe della statura eda degl eleet d P occorre serre el ostro ragoaeto u uovo sbolo ateatco corrspodete ad u uovo cocetto sestco. Selezoao duque all'tero d P tutt quegl eleet che abbao statura 60 c; quest eleet forerao u uovo see che chaereo P {a,b}. L'see P, gode d u'portate propretà che lo lega dssolublete all'see P; rsulta fatt sepre verfcata l'afferazoe secodo cu «se u dato eleeto appartee a P allora tale eleeto appartee ache a P», l che può essere altret espresso attraverso l'afferazoe «per u eleeto l'essere cluso P è codzoe suffcete per essere cluso ache P», o acora «P è u sottosee d P». Per esprere l rapporto d clusoe d u dato see P u altro see P s userà l sbolo : P P (P è u sottosee d P) Possao ora otare coe l'operazoe d sura della statura coputa sugl dvdu della popolazoe P detfca tre sottose dstt (due sottose s dcoo dstt quado essuo degl eleet del pro appartee al secodo e vceversa). Possao allora chaare co P l'see degl eleet d P che hao statura 60, co P l'see d coloro che hao statura 70, co P 3 coloro che hao statura 80: P {a,b} #P P {c} #P P 3 {d} #P 3 Nel calcolare la statura eda de ostr quattro dvdu dobbao teere coto del fatto che sottose d P e P 3 - assocat rspettvaete alle stature 70 e 80 - hao "peso" (cardaltà) etre l sottosee P -assocato alla statura 60 - ha "peso" (cardaltà). Per gugere al calcolo della eda questa uova codzoe s procede "pesado" og sgola deterazoe del carattere S co l peso del sottosee d P assocato a tale deterazoe: ) s s # P # P Nel caso specfco della ostra popolazoe coposta da quattro dvdu l calcolo della eda dveta allora: s s # P # P 4 [( 60 ) + ( 70 ) + ( 80 ) ] 67, 5 4
Le forula ) co cu s è presetato l odo d calcolo d ua eda seplce, dvee duque u caso partcolare d cò che abbao chaato «eda poderata»; la eda seplce è ua eda poderata cu tutt pes sao post ugual a. Altret detto la eda seplce è quel caso partcolare d eda poderata cu sottose d P assocat alle dverse deterazo del carattere S sao copost da sgol eleet d P. C trovao ora ell'barazzate stuazoe d sapere procedere al calcolo d ua eda attraverso la forula ), a d o sapere acora esattaete cosa rappreset l cocetto d eda. Perché, duque, le ede vegoo calcolate attraverso la forula ), e coe s è arrvat ad utlzzare tale forula e o u'altra per l calcolo delle ede? perché le ede hao u ruolo così portate ell'aals delle popolazo? Per rspodere a tal doade cercherò, elle prosse page, d forre u'terpretazoe "geoetrca" del cocetto d eda. L'terpretazoe geoetrca del cocetto d eda Le ede ostrao ua prossa paretela co l cocetto d «dstaza eucldea» fra due put, per tale ragoe zerò defedo tale cocetto, e po passerò a ostrare la relazoe che esste fra l cocetto d dstaza e quello d eda. Graf. Dstaze Eucldee asse delle 4,5 4 3,5 3,5,5 0,5 0 p (4,4) d(p,p ) p (3,3) 0 3 4 5 asse delle Il grafco rappreseta su u pao cartesao put: p d coordate (3, 3) e p d coordate (4, 4). Per calcolare la dstaza che separa quest due put - d(p, p ) - s utlzza ua forula che rcoduce tale problea al celebre teorea d Ptagora: 3) d ( p, p ) ( ) + ( ) ( 3 4) + ( 3 4) ( ) + ( ), 44 5
Dopo questa fodaetale scoperta torao a cosderare l problea del calcolo della statura eda d ua popolazoe. Torao, per coodtà, al caso seplfcato d ua popolazoe P coposta da tre sol dvdu e classfcata secodo tre dfferet deterazo del carattere (see) S. Suppoao duque d avere tre dvdu assocat alle stature 60, 70 e 80 c. Tal tre put possoo essere rappresetat attraverso u pao cartesao, ello stesso odo appea vsto per put p e p del grafco. Cosa accade, duque, quado rportao le ostre tre altezze u pao cartesao? Graf. Rappresetazoe delle stature d tre dvdu sull'asse de uer real 0,8 asse delle 0,6 0,4 0, a b c 0 55 60 65 70 75 80 85 asse delle Accade, coe ostrato fgura, che tal put vadao a collocars luogh dfferet dell'asse delle. Cò accade, effett, poché gl dvdu della ostra popolazoe soo dvdu "oodesoal", dvdu, coè, che soo stat descrtt attraverso u solo tpo d sura, la statura apputo. Ess soo assocat ad u valore delle, a o soo assocat ad alcu valore delle. S può allora cosderare l valore delle sepre uguale a zero, e cò costrge ostr tre dvdu a spostars "avat e detro" sul solo asse delle fo a che ess o s fero corrspodeza del valore che rappreseta la loro statura. Poché sao possesso del cocetto d dstaza eucldea fra due put possao allora calcolare la dstaza che separa l'dvduo a dall'dvduo b. Utlzzao la forula pegata per calcolare la dstaza fra p e p, otteedo quato segue: d ( a, b) ( ) + ( ) ( 60 70) + ( 0 0) ( 0) + ( 0) 00 0 Qualcuo potrà aver otato che per trovare la dstaza fra a e b sarebbe stato pù facle copere seplceete la dffereza fra le stature d a e d b: 70-600 6
Il problea è che, sebbee l uero così otteuto sebr uguale a quello precedeteete otteuto ( effett lo è, rasscuro lettor), esso tuttava o è ua dstaza. Per defzoe la dstaza fra u puto a e u puto b è uguale alla dstaza fra b e a (s dce che le dstaze, tutte, ache quelle o eucldee, godoo della propretà d setra d(a, b) d(b, a)). E' suffcete duque vertre ter della dffereza 70-600 e copere l'operazoe 60-70 -0 per vedere che la dstaza eucldea o può essere defta, eeo el caso d osservazo oodesoal, coe la dffereza fra due valor della. Ache el caso d osservazo oodesoal coverrà duque utlzzare la forula 3) per gugere al calcolo delle dstaze fra ostr put. Che c'etra tutto cò co le ede? La paretela fra l cocetto d dstaza eucldea e quello d eda e data, ell'terpretazoe geoetrca che stao seguedo, dal fatto che ua eda altro o è che quel puto che rsulta "globalete" essere "pù vco" a valor delle ostre osservazo. La eda µ è duque quel puto dell'asse che «zza» la soa delle dstaze da tre put a, b e c. Pù aaltcaete: 4) µ : ( µ s ) E' evdete che tale quattà è a quado la quattà (µ - s ) è a, duque, per seplfcare calcol posso rscrvere la 4) coe segue: 5) µ : ( µ La defzoe data dalla proposzoe 5) (µ è tale che la soa delle dstaze al quadrato calcolate fra µ e le dverse osservazo rsult a) è effett la defzoe geerale d eda. s ) Vedao ora coe dalla defzoe geerale d eda data dalla proposzoe 5) s possa gugere alla forula pegata el pro paragrafo d questa dspesa. Il vero problea della defzoe data attraverso la proposzoe 5) è legato al fatto che o possedao (acora) degl struet che c perettao d trovare l valore o per la fuzoe (µ - s ). Tetereo allora d gugere al valore o d tale fuzo per tetatv (o per approssazoe, coe dcoo ateatc); sceglereo qud a caso de valor, l serreo ella forula (µ - s ) e verfchereo passo dopo passo quale sa l valore che zz tale fuzoe. Cocao allora assuedo che la eda per le tre osservazo 60, 70, 80 sa µ 30 (gà sappao che tale valore o è la eda, a fareo fta, per l oeto, d o saperlo). Itroducao tale valore ella ostra forula otteedo quato segue: 7
3 ( 30 ) s ) ( 30 60) + ( 30 70) + ( 30 80 5.000 Itroducedo l valore 30 ella forula abbao duque otteuto l rsultato 5.000; rpetao ora tale tpo d procedura per valor 40, 50,..., 0 fo ad otteere la tabella seguete: µ (µ - s ) 30 5.000 40.900 50.400 60 500 70 00 80 500 90.400 00.900 0 5.000 Provao ora a rappresetare su u pao cartesao l'see d coppe d valor così otteut: 6000 5000 Σ(µ - s) 4000 3000 000 000 0 0 50 00 50 00 50 statura (S) Dalla forula (µ - s ) è uscta fuor, coe dal cldro agco, ua parabola, e effett è facle verfcare coe questa forula sa et'altro che u odo abtuale d presetare u'equazoe d secodo grado. Per dostrarlo è suffcete effettuare poch seplc calcol: 8
6) ( µ s ) ( µ µs + s ) µ µ s + s s osserv ora coe la quattà µ s sa ua costate (el caso del ostro problea tale quattà è uguale a 3(60+70+80) 3.060) Posso duque sostture tutt quest coplcat sbol co l sbolo «b», che per o sarà qu uguale al valore 3.060. Allo stesso odo ache l sbolo s che rappreseta l terzo tere della ostra forula è ua costate: tale valore è uguale a 60 +70 +80 86.900. Ache questo secodo caso possao sostture al sbolo pù coplesso l pù seplce «c». Ife ache l sbolo della forula è ua costate che espre la cardaltà dell'see S, rappresetaolo, ossequo alla tradzoe, ache se o ce e sarebbe bsogo, co l sbolo «a». Effettuao queste sosttuzo ella forula 6) otteedo: 7) aµ -bµ +c cu sarà facle dstguere u'equazoe d secodo grado (ua parabola) co varable µ. Torao ora al ostro problea prcpale. Poché sappao che per defzoe ua eda è quel valore che zza la fuzoe (µ - s ), poché oltre sappao che tale fuzoe rappreseta ua parabola covessa, allora potreo afferare che l puto d o d tale fuzoe cocde co l vertce della parabola. Poché l'ascssa del vertce per ua geerca parabola è data dalla forula: b 8) µ a seredo paraetr dell'equazoe 7) (- b e a) ella 8) ottego 9) µ Rcordado po che sbol a e b dell'equazoe 7) stao rspettvaete per e µ s s ottee: b a s 0) µ s otteao duque la defzoe d eda dalla quale eravao partt co la forula. Abbao duque dostrato che la forula co cu abbao calcolato le ede del paragrafo precedete 9
espre quel valore che zza la forula 5). Ua eda è quel puto che zza la dstaza globale dalle dverse osservazo copute su ua popolazoe. Nell'terpretazoe geoetrca che stao seguedo ua eda è ache chaata barcetro Ua geeralzzazoe del cocetto d eda: le regresso lear Fora abbao codotto sulla popolazoe P u tpo d osservazoe olto seplce; per og suo dvduo c sao ltat a osservare la statura. No esste tuttava alcu lte al uero d osservazo che s possoo copere su ua data popolazoe. Og dvduo d questa popolazoe, altr ter, potrebbe essere descrtto attraverso ua sere vrtualete lltata d uer cascuo de qual rappreset ua sgola sura per u dato carattere reale. Oltre alla statura, potreo, uo slaco postvstco, surare l peso, la crcofereza toracca, l volue craco, la pressoe saguga, l'età ecc. Naturalete per cascuo d tal valor sgolarete preso possao calcolare ua eda seguedo la procedura che s è defta el precedete paragrafo. Tuttava, qualche odo, è possble ache procedere al calcolo d partcolar tp d ede che s applcho alle sure prese a due alla volta, a tre alla volta ecc. Ivece d agare l'essteza d due caratter separat d cu l'uo abba oe «statura» e l'altro «peso», possao agare d "fodere" see tal due caratter e d otteere l carattere "cobato" statura-peso, oppure quello peso-statura (che soo due dfferet caratter cobat). I queste dspese c ltereo a cosderare l caso acora relatvaete seplce dell'osservazoe d due caratter su ua popolazoe. Suppoao duque d avere ua popolazoe d tre sol dvdu - P {a, b, c} - a cu sao stat surat la statura, otteedo rspettvaete valor d 60, 70 e 80 c, e l peso, otteedo coe rsultato 50, 60 e 80 kg. Possao ora rappresetare tal rsultat attraverso ua sere d «coppe ordate» del tpo: (60,50), (70, 60), (80, 80). Co la pra d tal coppe ordate - (60, 50) - s rappreseta l fatto eleetare che l'dvduo a della popolazoe P sa alto 60 c e abba peso d 50 kg. Cò che accade al ostro see O d tutte e sole le osservazo otteute attraverso la surazoe degl dvdu d P è che esso o è pù forato da sgol valor, besì da coppe ordate del tpo d quelle appea vste, rsulterà duque: O {(60, 50), (70, 60), (80, 80)} U see che sa coposto da coppe ordate e o da sgol eleet ella terologa sestca vee detto «relazoe». Ua relazoe, seso geerale e astratto, è duque u see d coppe ordate. La relazoe specfcata dall'see O è la relazoe che sussste fra la statura e l peso degl dvdu della popolazoe P. E effett, cò che cerchereo d quatfcare elle prosse page è la forza d questa relazoe; quale sura, coè, a partre dalla coosceza della statura d u 0
dvduo, sareo grado d "prevedere" l peso. La logca che segureo questo tetatvo, coe s vedrà, è tutto sle a quella che abbao seguto el caso del calcolo delle ede. Izao rappresetado, coe a sua volta faceo per valor dell'see S, valor dell'see O sul pao cartesao: Graf. 4 Relazoe fra statura e peso peso 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0 55 60 65 70 75 80 85 statura Nel caso d osservazo oodesoal coe quelle legate alla surazoe della sola statura l problea era costtuto da trovare quel puto che zzasse globalete la dstaza co le dverse osservazo. Ora che sao d frote ad u caso bdesoale (og dvduo è assocato alla surazoe d due dfferet caratter) l problea che c porreo sarà quello d trovare la retta che peretta d redere o lo scarto co le osservazo doppe copute ella ostra popolazoe. Graf. 5 Scart fra la retta d regressoe e le osservazo copute ella popolazoe peso 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0 55 60 65 70 75 80 85 statura
Per trovare lo scarto fra uo de put del pao cartesao e la retta d regressoe c avvarreo acora ua volta del cocetto eucldeo d dstaza fra due put. Se duque la retta che cerchao d far passare l pù vco possble alle osservazo ha equazoe geerca: r + q dove dca l «coeffcete agolare» della retta (la sua clazoe) e q l suo «tere oto», l puto coè cu la retta terseca l'asse delle, allora la dstaza del ostro pro puto (60, 50) dalla retta sarà : ) d ( p, r ) [ 50 ( 60 + q)] La retta r che zzerà la soa d tutte le dstaze che è possble calcolare fra questa retta e dvers put che rappresetao sul pao cartesao le ostre osservazo doppe sarà allora: ) r: d( p, r ) [ ( + q)] Coe el caso delle ede s coprede edataete coe la quattà [ ( q)] + sarà a quado lo sarà [ + ( q)]. Possao duque seplfcare la ) scrvedo: 3) r: d( p, r ) [ ( + q)] che è effett la defzoe geerale d retta d regressoe. Trovare l valore che zz l'equazoe descrtta ella 3) o è altrettato agevole del caso cotrato per le ede. Allora fuo facltat dalla possbltà d rcooscere ella fuzoe da zzare ua parabola covessa per cu sapevao che l puto d o adava a collocars el vertce della parabola. I questo caso l problea è pù coplcato, perché sebbee l'equazoe [ -( + q)] sa effett acora l'equazoe d ua A rgor d tere o è esatto afferare che la dstaza d(p, r), così coe essa vee calcolata dal equazoe, sa la dstaza fra l puto p e la retta r. La dstaza fra u puto e ua retta è, fatt, data dal pù breve tragtto che separa l puto dalla retta, e che el caso d ua geoetra eucldea è quello che s trova sulla retta orale (perpedcolare) a r passate per p. Nel caso descrtto dalla stao vece calcolado la dstaza fra l puto p e quel puto della retta r che ha stessa ascssa d p. Tale dstaza o ecessaraete cocde co l cocetto d dstaza d u puto da ua retta. Noostate questa precsoe, el seguto d questo testo cotuerò a utlzzare seso propro l'espressoe «dstaza del puto p dalla retta r» per dcare la dstaza fra questo puto e quello co edesa ascssa gacete sulla retta r, perché cò seplfca l lguaggo rededolo pù pao.
parabola, essa è però ua parabola uo spazo a tre deso. Questa equazoe ha, effett, due varabl ( e q) cascua delle qual può varare dpedeteete dall'altra. Se teao fera, ad esepo, la varable e faccao varare l paraetro q questo durrà ella retta d regressoe ua traslazoe "alto" o "basso", coe ostrato el grafco 6: Graf. 6 varazo d q teuto fero peso 90 80 70 +q q + ε 60 50 40 30 q - ε 0 0 0 55 60 65 70 75 80 85 statura Se al cotraro faccao varare la varable tedo fera la varable q, otteao ua rotazoe della retta r: Graf. 7 varazo d teuto fero q peso 90 80 + ε 70 60 50 40 30 0 - ε 0 0 55 60 65 70 75 80 85 statura 3
Cò vuol dre che per zzare la fuzoe 3) dobbao agre sultaeaete sa sul paraetro sa su q. Per gugere a questo rsultato s pegao d ora seplc etod dell'aals dfferezale (s rsolve l sstea delle dervate parzal dell'equazoe 3) poste ugual a zero). Evtereo tuttava questo etodo. Per aggrare l'ostacolo e etterc couque grado d rsolvere l ostro problea d trovare quella retta che pass l pù vco possble all'see d put che rappresetao le ostre osservazo, c servreo d u pccolo trucco. Tale pccolo trucco s rsolve, pro luogo, el trovare l barcetro per ostr tre put. Rcordo che tre dvdu della popolazoe P che stao aalzzado hao altezza 60, 70, 80 e altezza eda 70, etre ess hao peso rspettvaete d 50, 60 e 80 kg l che c porta ad u peso edo d 63,33 kg. Duque l'dvduo edo co cu possao rappresetare la ostra popolazoe ha statura 70 c e peso 63,33 kg. Rappresetao ora tale dvduo fttzo sul ostro grafco: Graf. 8 Relazoe fra statura e peso peso 90 80 70 60 50 40 c 30 0 0 0 55 60 65 70 75 80 85 statura Il quadrato rosso del grafco 8 rappreseta l ostro dvduo edo (coe s vede l'dvduo reale b ha caratterstche olto prosse a quelle dell'dvduo edo della popolazoe). Coe s vede l'dvduo edo o è altro che quel puto del pao che rporta ascssa l valore della statura eda, e ordata l valore del peso edo. Tale puto, che vee detto barcetro o cetrode delle ostre osservazo, gode d u'portate caratterstca. La retta d regressoe passa ecessaraete per tale puto. Questo c perette d scartare dal uero d tutte le rette che attraversao l ostro pao, tutte quelle che o hao la caratterstca d passare per l cetrode delle ostre osservazo. La ostra retta perde uo de suo grad d lbertà; essa potrà cotuare a ruotare toro al cetrode, a o potrà pù essere traslata verso l'alto o verso l basso. Se ora chaao co l sbolo la statura eda de ostr dvdu, e co l loro peso edo, potreo afferare che se la retta d regressoe passa per l cetrode, allora varrà la seguete equazoe: + q 4
Da cu odo olto seplce stablao che: 4) q Sao duque rusct a deterare l tere oto della retta d regressoe a patto d ruscre a deterare l coeffcete agolare. Possao duque ora sostture l valore d q appea otteuto ell'equazoe 3) otteedo: 5) + )] ( [ : r Sao così rusct ad elare dall'equazoe 3) la varable q coscché ua coplcata parabola tre deso s è trasforata d'cato ua te parabola covessa a due deso per cu trovare l puto d o sgfca seplceete essere grado d deterare l vertce. Procedo a dostrare le due afferazo appea fatte: + + + ) ( ) )( ( ) ( )] ( ) [( )] [ )] ( [ 6) + ) ( ) )( ( ) ( Coe el caso precedeteete vsto per le ede otteao u'equazoe d secodo grado co varable, coe s verfca faclete poedo l tere ) ( a, l tere ) )( ( b, e poedo fe l tere ) ( c. Iseredo ell'equazoe 5) le sosttuzo appea descrtte otteao, fe 7) a + b + c 5
coè l'equazoe d ua parabola. Poché sappao che l puto d o d tale fuzoe s trova el vertce della parabola, e poché sappao che l'ascssa d tale puto è dato dalla forula -b/a, rcordado che el caso presete a ( ) e b ( )( ), otteao: ( ( )( ) ) Da cu seplfcado al ueratore e al deoatore s ottee: 8) ( ( )( ) ) Sappao duque ora dalla 8) quale debba essere l coeffcete agolare della retta d regressoe e dalla 4) quale sa l suo tere oto. Dspoao duque d tutte le forazo ecessare e suffcet per gugere ad dvduare la retta d regressoe per le ostre osservazo. Sappao duque che per la ostra popolazoe la statura è data da 60, 70, 3 80 e che la statura eda è 70. Allo stesso odo sappao che l peso è dato da 50, 60, 3 80 e che l peso edo è 63, 33. Iseredo tal valor ell'equazoe 8) otteao allora: ( 50 60 70 63, 33) + ( 70 60 70 63, 33) + ( 80 80 70 63, 33), 5 ( 60 70) + ( 70 70) + ( 80 70) Duque la ostra retta d regressoe avrà coeffcete agolare par a,5; rsulterà duque,5+q. Per deterare l valore del paraetro q c servao ora dell'equazoe 4), otteedo: q63,33-,5(70) 9,67 Duque la ostra retta d regressoe avrà equazoe,5+9,7. Rappresetado tale retta attraverso u pao cartesao s ottee: 6
Graf. 9 Relazoe fra statura e peso peso 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0 c 55 60 65 70 75 80 85 statura,5 + 9,7 La retta d regressoe è d potete auslo ella rcerca socale poché, qualche odo, perette d copere delle prevso sulle deterazo assute da u dato carattere (ad esepo l peso) ua popolazoe a partre dalle coosceze che s hao su u altro carattere. Per esepo dvee possble prevedere quato peserà u dvduo alto 67 c. Sarà suffcete serre tale valore ell'equazoe che rappreseta la retta d regressoe (,5+9,7) e osservare che rsultato vee fuor:,5(67)+9,7 58,83 Duque u dvduo alto 67 c pesa all'crca 59 kg. Tale tpo d prevsoe è reso possble dal fatto che, effett, due caratter che stao esaado soo fra loro legat da ua stretta relazoe che vuole, geerale, che u dvduo alto pes d pù d uo basso. No sepre tuttava accade che la coosceza d u certo carattere peretta d prevedere l'adaeto d u secodo carattere. Se tale fora d "prevsoe" rsulta possble allora s dce che due caratter soo fra loro «dpedet» (è questo uo de cocett pù portat del calcolo delle probabltà e della statstca ateatca), coe potrebbe accadere se sceglesso coe varabl, che so, la statura e l colore degl occh. Per surare l'effceza dell'operazoe d prevsoe della deterazoe d u dato carattere a partre dalla coosceza del valore assuto da u altro carattere s utlzza ua sura che s chaa «correlazoe» che c perette d surare quata della "varabltà" d u dato carattere è stata "catturata" dall'operazoe d regressoe. Nel caso appea cosderato tale valore guge fo al lvello del 98 per ceto, l che c perette d afferare che l 98 per ceto della varabltà osservata el peso degl dvdu della ostra popolazoe agara può essere spegata a partre dalla varabltà della statura de ostr dvdu. 7
E' portate sottoleare, per cocludere questa sezoe legata alla defzoe geerale de cocett d eda e d regressoe leare, che lo stesso tpo d ragoaeto che s è seguto sa el calcolo della eda, sa quello della retta d regressoe, può essere esteso al caso d u uero vrtualete lltato d varabl. Nel caso d tre varabl s parlerà, ad esepo d u pao d regressoe rspetto al quale zzare la dstaza d put dspost uo spazo a tre deso. Isoa, ache se l uero d varabl cresce e passao progressvaete da uo spazo oodesoale, coe per la eda, ad uo spazo a due deso, coe el caso della retta d regressoe, o a uo spazo a tre deso qualora s cosdero tre carratter dfferet d ua popolazoe, l tpo d ragoaeto che s segue è sepre lo stesso, quello coè d zzare le dstaze eucldee rspetto d volta volta al puto, alla retta o al pao che s sta cosderado.questo fa d questa parte della statstca, fodo, u approcco u po' ootoo. Il problea delle ede Le ede soo sett ubqu el odo delle dscple storche e socal; soo blatte co cu covvao quotdaaete, e alle qual abbao fto per abtuarc. Ora le ede soo d uso talete frequete che l loro utlzzo è, per così dre, dveuto eccaco, u rflesso codzoato. S ottegoo de dat su ua certa popolazoe, ed ecco che l pro copto che c s propoe è quello d surare la eda d questo e d quel carattere, d regredre questa varable rspetto a quell'altra varable, e così va. Davvero l lavoro d rcerca el capo delle dscple storco-socal sebra ora cocdere co quello del calcolo d ede pù o eo coplcate, stuazo pù o eo trcate, al fe d rassuere, stetzzare, dervare caratter d ua data popolazoe. Nel fare questo, s è cercato d ostrarlo e precedet paragraf, è all'opera, cotuaete e ootoaete, sepre lo stesso tpo d procedura cocettuale. Questa procedura è ua procedura d zzazoe che c cosete d collocare a secoda de cas, u puto, ua retta, u pao l pù vco possble all'see delle ostre osservazo, ella covzoe che così facedo sa possble stetzzare poch valor (la eda apputo, o paraetr d regressoe) u see eterogeeo d dat copedo l'errore pù pccolo possble. Error, couque, se e coetterao sepre: solo cas degeer ua eda o ua retta d regressoe adrao a cocdere esattaete co l'see delle osservazo. Ed ecco, gradualete, eergere la flosofa, la struttura paradgatca, che s ascode detro tal cocett; l'dea d fodo è allora che l'errore appartega alle cose uae, che essua copresoe è perfetta, che ecessaraete la realtà debba essere approssata, avvcata, a che essa, fodo, alla fe, resca sepre a sfuggre alla ostra aals. L'uca cosa che s possa fare è ltare, per quato possble, l'ettà dell'errore, zzadolo attraverso etod che s soo vst. S fsce duque per separare due dverse fore d coportaeto: la eda, la ora, da ua parte, coportaet devat, dall'altra. La eda è cò che c perette d coglere cò che avvee «per lo pù» - coe scrve Arstotele 8
el De Partbus - elle popolazo. E' cò che c cosete d separare cò che è orale da cò che o lo è rducedo al o cost d ua tale separazoe. E' duque legtto cheders se all'tero delle popolazo, per così dre re, esstao effettvaete delle ede, de coportaet oral e de coportaet devat. Se sa lecto, coè appattre u certo aggregato deografco, ua certa socetà, su poch valor caratterstc, oppure se tale operazoe o fsca per ascodere la parte pù ta e pù reale d ua popolazoe, ovvero la propra dversfcazoe tera. Dare ua rsposta seplce a tal questo o è, per e, cosa seplce. Rtego però che chuque decda d dedcars a degl stud storc-socal debba pors questa questoe e tetare d dare ua soluzoe. Ogg, s può dre, esstoo due dfferet fore d rsposta a questo tpo d doada. La pra rsposta, per seplfcare, è d tpo "postvtco" e rtee che o s può porre orde all'tero della atassa trcata d ua popolazoe seza estrarre degl dc, coe le ede apputo, che perettao d codesare l'eore volue d forazoe alcue sue caratterstche essezal. La secoda rsposta è d tpo vece "post-odersta" o "post-strutturalsta" e affera, odo vertà sottle, che tutte le volte che poao, attraverso ede e cose del geere, ua dstzoe fra coportaet "oral" e "devat" stao realtà tetado d creare dvdu "oral" e dvdu "devat"; coè stao tetado d eserctare u cotrollo sulla popolazoe, stao tetado d darle ua fora, e tal seso eserctao u potere gudat da ua faltà poltca. Etrab queste rsposte appaoo soddsfacet, coplete, fodo, troppo eleetar. Io teterò qu d dare ua a persoale (e salooca) rsposta a questo questo, rcordado tuttava che s tratta d ua a terpretazoe e che cascuo deve setrs lbero d dare la sua persoale rsposta al problea delle ede. Soo esstt coportaet oral e devat elle popolazo del passato, quelle stesse popolazo delle qual abbao tetato d deleare la stora elle passate lezo? beh... qualche odo sebra d sì. Quado abbao aalzzato l crocoso parrocchale abbao vsto coe effett l parroco fosse grado d cotrollare l coportaeto atroale de propr parroccha odo tale da far rspettare le dsposzo trdete che stablvao che l atroo dovesse avvere fra dvdu che s trovassero ad ua dstaza d aleo 4 grad caoc d paretela. Il coportaeto orale, tale stuazoe, è dato dallo sposars co dvdu che sao paretate oltre l quarto grado, l coportaeto devate è vece quello che porta l atroo all'tero della sfera del quarto grado caoco. Cò cu s deve tuttava fare attezoe è l fatto che la possbltà d dstguere atro oral e devat, o è u fatto assoluto. La ora è stablta da ua struttura socale che ha stablto delle regole e ha po costruto ua sere d struet d cotrollo che perettoo d verfcare che le regole o vegao troppo spesso frate. Nella secoda dspesa d questo corso abbao parato a chaare tale tpo sste d cotrollo co l oe d «sste 9
oeostatc», cò d cu c accorgao ora è che la possbltà d calcolare ua eda sebra essere legata alla possbltà d rcooscere tale tpo d sstea ua popolazoe. Sebra duque avere u seso parlare d ede quado s vogla cooscere quale sa l puto toro al quale l sstea osclla, e quale la sua capactà d ateere le oscllazo subte vce al puto edo. Sebra, altr ter, avere seso calcolare l grado edo d paretela degl dvdu che s sposao ua data coutà, perché tale valore descrve l'ettà del cotrollo eserctato dal parroco sulla sua popolazoe. Sebra allo stesso odo avere seso cofrotare l'età eda al pro atroo per u'ettà deografca coe l sstea deografco europeo e per l sstea deografco dao, perché lo scarto fra tal sure c cosete d dvduare l'azoe opposta d due dvers sste d cotrollo d cu l pro tede a rtardare l atroo, etre l secodo tede ad atcparlo. Vedete, abbao cabato prospettva; le ede o servoo pù per descrvere stes coportaet degl dvdu, quato puttosto per surare l grado d cotrollo eserctato sul coportaeto d quegl stess dvdu da qualche sttuzoe socale. Le prospettve postvsta e post-strutturalsta s soo fuse. Cosa accade tuttava se l carattere, o caratter socal che stao studado o soo sottopost ad alcu cotrollo ua data popolazoe. Sappao, che date tal codzo, l sstea cocerà ad evolvere e a dversfcars rspetto alla sua codzoe zale. I tale stuazoe, cò che appare rlevate per l processo, o è pù la sura del cotrollo eserctato sulla popolazoe, quato puttosto le sgole varazo che l sstea coca a evdezare rspetto alla sua codzoe zale. Cò che dvee teressate, altr ter, è propro l'apparzoe d que coportaet devat che l'uso delle ede e delle regressoe tede a voler rdurre, ascodere, zzare. I tale codzoe, ella codzoe coè cu s sta studado u feoeo evolutvo, sebra llecto calcolare de valor ed per caratter che s stao cosderado. No appare tuttava llecto calcolare delle ede sul dsorde progressvo che s dffode ella popolazoe. L'etropa, così coe essa è stata defta dalla terodaca o dalla teora dell'forazoe, e che abbao detto essere lo strueto co cu s sura la veloctà evolutva d ua popolazoe, altro o è che ua straa fora d eda; è ua sura attraverso cu s calcola l valore edo d dsorde ua popolazoe, la eda de coportaet devat. Per fare u esepo torao al problea de atro. S è detto che l cotrollo eserctato dal parroco, per olt secol è ruscto a ateere l atroo fra due dvdu oltre la sogla del quarto grado d paretela. Ad u dato puto della stora europea - collocable approssatvaete fra età Setteceto e l'zo dell'ottoceto - tale cotrollo sebra perdere progressvaete d forza. Il uero de "processett atroal" tale epoca coca a crescere rapdaete ostrado coe quote sepre crescet d popolazoe (couque sepre basse valor assolut) s oreto verso atro edogac. E' questo uo degl dz pù portat che c perettoo d detfcare la rottura dell'atco sstea deografco europeo. I tale codzoe sareo teressat o tato a cooscere quale sa l coportaeto orale de ostr dvdu (perché tale espressoe perde 0
progressvaete d sgfcato ua stuazoe seza cotroll ester), quato la rapdtà co cu coportaet devat predoo pede progressvaete ella popolazoe; sareo teressat a cooscere co quale rapdtà l dsorde s dffode ella popolazoe. Ecco allora che ella a terpretazoe del problea delle ede, la soluzoe vee data dal torare a due cocett d oeostas e d evoluzoe: a partre da quest due cocett, che soo cocett dell'aals socale, s può far dscedere la prass del lavoro d rcerca stabledo d volta volta se sa opportuo utlzzare le ede oppure o.