Calcolo iffeenziale:applicazioni. Geoetiche Date ue posizioni P e P nel manifol esistono infiniti pecosi che collegano i ue punti. Al vaiae elle popieta geometiche el manifol, e possibile ientificae i tutti questi pecosi un pecoso minimo ossia il pecoso estemale. Ciascun pecoso e caatteizzato a un insieme i posizioni, e a un insieme i vettoi tangenti in ciascun punto appatenente a esso; ate ue posizioni su i esso, i ue vettoi tangenti non saanno in geneale uguali ta loo; essi infatti possono uotae. Esiste anche una cuva che pemette i taspotae in moo invaiante il vettoe tangente: la etta (al momento che in essa la eivata iezionale e nulla). Si vuole che si mantenga l'invaianza ell'angolo ispetto alle linee cooinate. In un manifol piatto, la etta e la cuva che pemette i collegae meiante il pecoso minimo ue posizioni; cio che si potebbe unque fae e estenee questo concetto, chieeno che in geneale la eivata iezionale el vettoe tangente sul manifol sia 0, al fine i ottenee il pecoso minimo. Si vuole ichieee che Du 0 Du Du cioe u u; 0 Infatti la pima pate ell espessione e un elemento el vettoe tangente mente la secona pate e la eivata covaiante el vettoe u. Sul piano il isultato e una etta mente in un geneico manifol si ha a che fae con una cuva lungo la quale il vettoe tangente si taspota paallelamente a se stesso. Cuve i questo tipo sono ette geoetiche. ( u u Γ ) 0 u u u; u, ove u, e x u u e u u, x x ( Γ ) 0 E finalmente x Γ 0
Tale fomula acchiue N equazioni elative a una cuva; queste equazioni vanno messe a sistema ta loo al vaiae ei vai elementi i connessione consieati. x In cooinate catesiane la connessione Γ 0 pouce 0 Tale soluzione non ha cuvatua peche la eivata secona e nulla unque non puo essee che una etta. Le geoetiche sono una popieta el manifol non elle cooinate scelte pe appesentalo; consieano un sistema i cooinate polai il isultato ovebbe coinciee con quello ottenuto. Pe imostalo: ato un piano la matice che appesenta il tensoe metico su i esso e : s ( ) ( ) ( ) si ha g 0 0 s g ν ν x x con x e x θ cos x Dove y sin x y e tan y x Γ γ g ε g ε γ g γε g γ ε Dal tensoe metico si possono calcolae i Γ ( non chiao.. ipoto i isultati) Gli unici temini non nulli sono quelli con Γ Γ Γ
si ottiene: 0 0 ) ( posto log ) log( log si isolve in e la si sostituisce nella secona eq. e si isolve. In cooinate geogafiche 0sin 0 g Gli unici temini non nulli sono quelli con ϕϕ cos sin Γ ϕ ϕ ϕ ϕ sin cos Γ Γ si ottiene: 0 sin cos 0 cos sin ϕ ϕ ϕ Le geoetiche possono essee icavate pe ivesi valoi i o ϕ. Pe esempio se si consiea 0 ϕ, la soluzione e t k cos che e un cechio meiiano sulla sfea Se si consiea π la soluzione e il cechio equatoiale
. Tensoe i Riemann La cuvatua e una popieta ei manifol e e necessaio un oggetto invaiante in gao i quantificala cioe un tensoe. E necessaio utilizzae elle vaiabili intinseche al manifol pe spiegae la cuvatua (un cilino estenamente e cuvo ma intenamente e piano) Si consiei una posizione A sul manifol, e un vettoe v su i esso. Si ecia unque i muovesi lungo il manifol, anano alla posizione A alla posizione B, quini alla posizione B alla posizione C. Poi, si consiei il pecoso in senso opposto: a C si passi a B, e a B si toni a A. Il pimo passo e spostasi a A a B; questo spostamento, fatto lungo la cooinata piccolo x, pota a B. Poi, a B ci si vuole spostae veso C, con uno spostamento abitaiamente x, unque lungo l'alta cooinata. Con ogni spostamento, cio che si fa e taspotae con se il vettoe. Una volta fatto il gio, si cechea i fae lo stesso, passano pima alla cooinata cooinata x, poi alla x, faceno unque il pecoso con le linee cooinate pese "nell'alto veso". I vettoi v, taspotati nei ue casi, coinciono? Sono ossia paalleli, nelle ue situazioni? La isposta a questa omana coincie con la isposta alla omana: il manifol, e piatto o cuvo? Se infatti il manifol fosse piatto, pe quanto la cosa sia mascheata bene come in un cilino, i vettoi nel punto A pima e opo il pecoso coincieebbeo. Se il manifol avesse una cuvatua, al contaio, i ue non coincieebbeo. Il taspoto si fa in moo "paallelo": si mantiene l'angolo. Si consiei unque a questo punto il poceimento.. Il pimo passaggio e la valutazione el cambiamento el vettoe v a A a B, usano come pima cooinata covaiante: x, e poi Dx x ; al fine i effettuae questa quantificazione, unque, si valuta il iffeenziale A B ( v, v Γ ) x. Il secono passaggio e la valutazione el cambiamento el vettoe v a B a C, usano come vettoe a taspotae non quello i patenza ma quello in B gia vaiato a A. Quini v ( B ) v ( A) Dx e il iffeenziale saa Dv ( ) ( A) ( Dx ) x B B C D v a cui γ γ ( v ( )) Dv, ( v, vγγ v Γγ, x D A ) ε γ ε DDx Γε ( v, v Γγ ) x x Si ottiene: Dv B B C v v γ v γ ε v v ) (, Γ Γ, ) Γ (, Γγ γ γ ε γ ε ( ) [ ] x x 4
. A questo punto saebbe necessaio patie a C e tonae in A, faceno lo stesso pecoso i pima, nel senso opposto. Questo significa anae pima lungo, poi lungo, ossia pima consieae un iffeenziale ispetto a x, e poi ispetto a x, come fatto finoa. In questo moo, e come pecoee lo stesso pecoso, lungo le ue cooinate x, e poi x. Se unque il vettoe e iveso nelle ue situazioni, saa pesente una cuvatua. Cio che si ovebbe unque fae a questo punto e iscivee la stessa espessione pima con un incemento lungo x poi lungo questo punto ottenute ue ivese espessioni, quantificanti la vaiazione el vettoe v. x. Sono state unque a Faceno la iffeenza elle ue, il isultato e nullo nel caso la cuvatua sia nulla, e non nullo nel caso vi sia una cuvatua nel manifol. Faceno le vaie iffeenze: Dv A C, Dv A C, R v ε ε x x Dv e un tensoe e ipene al pootto ei iffeenziali quini all aea contonata al pecoso che e la base ei tensoi covaianti; ipene anche a ε v che sono componenti i un tensoe unque anche R ε e un tensoe. Si efinisce tensoe i Riemann l oggetto ato alla combinazione i oggetti che non sono tensoi tuttavia esso e un tensoe infatti eiva alla iffeenza i ue tensoi i ango ossia alla iffeenza ei iffeenziali covaianti che appesentano la vaiazione el vettoe v causata al taspoto R ε Γε, Γε, Γ γ Γ ε Γ ν Γ ε Voleno fae la pova faceno il cambio i cooinate l oggetto eve imanee invaiante e le vaie eivate si elimineebbeo ta loo. Ciascuno ei quatto pezzi che combinati geneano il tensoe sono tensoi. Ci siamo peo basati su lunghezze in ealta ciascuno i questi temini ha un significato opeatoiale in quanto sono tensoi!! Se si fa un salto i pima un salto i x e poi i commutano e faceno le iffeenze si ottiene x e poi i x e iveso ispetto a cio che si otteebbe faceno x cioe si ha una non-commutazione peche gli opeatoi non S, x x x x 5
Ricoano che il pootto tensoiale ta ue vettoi e : u v u ˆe v ˆe u v u v u v i i j j u v ˆe ˆe u v i j u v i j u v u v u v u v u v Questo e un oggetto antisimmetico: questo oggetto anebbe scitto in questo moo, usano una base antisimmetica. Questa e un aea oientata, appesentata meiante un tensoe. La base ei tensoi antisimmetici e quella piu appopiata, al momento che, come si puo veee alla sua efinizione, il tensoe i Riemann e antisimmetico: scambiano e, infatti, il tensoe cambia i segno; pe questo motivo, conviene usae una base antisimmetica. Bisogna unque specificae che x x e un pootto antisimmetico, in cui l'oine non e iniffeente; se i iffeenziali fosseo oinai, non cambieebbe nulla, al momento che il isultato aebbe 0; contaeno ue oggetti antisimmetici, invece, il isultato non a 0, come e giusto che sia. Il tensoe i Riemann e anche etto tensoe i cuvatua, al momento che e l'oggetto geometico che fonisce le infomazioni sulla cuvatua el manifol. Esseno un oggetto tensoiale, ovviamente si ha invaianza: se esso vale 0, vale 0 a pescinee alle cooinate. Il tensoe i Riemann applicato al piano in cooinate catesiane, o polai, vale sempe 0. Allo stesso moo, in una sfea, non vea mai uguale a 0. E possibile a questo punto stuiae alcune popieta el tensoe i Riemann: le sue componenti, infatti, pesentano simmetie, i conseguenza le componenti ealmente inipenenti ta loo sono molte meno i N 4, ove N e il numeo i imensioni ello spazio consieato e 4 e il ango el tensoe. Il tensoe i Riemann R ε e antisimmetico negli ultimi ue inici, e, ma e anche antisimmetico nei pimi. Inolte, e simmetico ispetto al cambio elle ue coppie. Scivenone la vesione completamente covaiante, si ha unque:: R R R R γδ γδ δγ γδ La pesenza i queste simmetie quini pemette i valutae il numeo i coefficienti ealmente inipenenti. Supponeno i essee in uno spazio a imensioni, se gli ultimi inici sono antisimmetici, esseno libei gli alti, vi sono solo elementi libei: l'antisimmetia implica iagonale nulla, e l'antisimmetia implica che ei 9 coefficienti meno i ella iagonale ve ne sono 6, a a uguali e opposti pe l'antisimmetia. Alta simmetia pesente e la cosietta ientita i Bianchi: R γδ Rδγ Rγδ 0 6
ossia, fissano e faceno la pemutazione cicolae egli alti inici, si ha questa ientita. Questa iuce ulteiomente il numeo i elementi inipenenti ta loo.. Tensoe i Ricci Il tensoe i Riemann contiene tutte le infomazioni sulla cuvatua; tuttavia, e possibile che solo alcune i queste infomazioni siano effettivamente inteessanti; i conseguenza, e possibile ottenee tensoi i ango infeioe, unque piu semplici a calcolae, ma con meno infomazioni i esso. L'iea e contae il tensoe i Riemann su se stesso (icoano che la contazione e un'opeazione invaiante), in questo moo: R R R γδ δ δ Il tensoe Rδ e etto tensoe i Ricci. Questo stesso tensoe e icavabile lavoano sugli inici e δ ; non e possibile invece falo lavoano su e o γ eδ peche gli inici sono antisimmetici e la contazione aebbe luogo al tensoe nullo. Voleno avee un'infomazione ancoa piuì sintetica, e possibile scivee (meiante applicazione ella metica) il tensoe i Ricci in foma mista, fane unque la contazione, e ottenee alla sua taccia uno scalae: la cuvatua: R R La cuvatua scalae unque contiene pate ell'infomazione el tensoe i Riemann, ma non tutta: se la cuvatua scalae e ivesa a zeo in un punto, infatti, si ha la cetezza che in quel punto la cuvatua e nulla; se la cuvatua scalae e uguale a zeo in un punto, non si ha alcuna cetezza, solo a essa, iguao alla cuvatua el manifol: bisogna isalie al tensoe i Ricci, o aiittua a quello i Riemann: se Ricci e nulla e necessaio anae su Riemann. Se Ricci non e nulla alloa la cuvatua e nulla Questo, al momento che R, la cuvatua gaussiana, e il pootto egli invesi ei aggi i cuvatua pincipali: si puo avee un ellissoie o ipeboloie osculatoi; puo essee che solo uno ei ue siano nulli, e il pootto saebbe comunque nullo. Tutti questi iscosi sono locali: il tensoe i Riemann a infomazioni locali, pe ogni punto, cosi come la cuvatua e il tensoe i Ricci. I tensoi come gia etto sono oggetti invaianti a tasfomazioni geneiche i cooinate; ato unque un tensoe con un ceto ango, e possibile associagli elle infomazioni, gazie a questa invaianza. Un 7
esempio i invaiante visto, pe tensoi i ango, e la noma: v v v Esistono invaianti γ γ v gγv v associabili anche a tensoi i ango ; un esempio e la taccia: ato un tensoe in foma mista, la sua contazione e la taccia; essa e un'opeazione che iuce i il ango i un tensoe: T γ T T tutti γ questi sono invaianti i oine e tuttavia possibile intoue anche invaianti i oine piu elevato, come pe esempio il pootto scalae i un tensoe con se stesso; ato T, T la contazione opea su inici aiacenti. ( T T ) e un po' come il pootto i ue tensoi: cioe coinvolge il pootto a a elle componenti, otteneno unque un invaiante i oine ; questo significa sostanzialmente fae la matice al quaato. Questo oggetto non e il quaato ella taccia i T: e qualcosa i iveso, ma e sempe un invaiante. Allo stesso moo, e possibile efinie egli invaianti i oine anche supeioe a : potebbe essee possibile fae il cubo ell'opeatoe, e satuano tutti gli inici ai piu inteni ai piu esteni, si ottiene una sota i taccia, ma i oine supeioe..4 Deivata i Lie I vettoi, come gia accennato, hanno anche un'intepetazione opeatoiale: essi infatti eano stati efiniti come opeatoi iffeenziali. La pate che contiene eivate, infatti, ha la stuttua i una eivata paziale, che e in geneale un opeatoe. Abbiamo finoa consieato il pootto scalae (ato a coniugazione e contazione), in moo a elazionae ue vettoi a un numeo. Il pootto tensoiale, 'alta pate, a vettoi genea un tensoe i ango, meiante combinazioni i eivate paziali. A questo punto, si vuole intoue un opeatoe che associ a vettoi un alto vettoe (come il pootto esteno, che vea intootto in seguito). Si consieino unque ue vettoi u e v, e si applichi il pimo al secono: u e u v v e vogliamo ottenee: uv Al fine i facilitae l'intepetazione, si consiei una funzione scalae f; applicae il vettoe u alla funzione f significa: u f u f x f 8
questa non e alti che la eivata iezionale ella funzione scalae f. Una volta pesa unque confienza con questa iea ell' applicazione, si puo applicae u a v, a sua volta applicato alla funzione scalae f: uv f u v f u v u v f x x x x x, Questo e l'effetto ell'applicazione i uv a f: una eivata secona. Putoppo, non si e ottenuto l'opeatoe che si speava: non si ha un vettoe! Pe ottenee il isultato speato, e necessaio antisimmetizzae l'opeatoe, otteneno: uv - vu u v, u v v u, u v ma, siccome le eivate secone miste commutano, e esseno i temini a essa moltiplicati ei numei, e possibile ie che questo vale: uv - vu ( u v, v u ), Questo invece e un vettoe: ha le componenti (nella paentesi), e la base, fuoi; inolte, esso e antisimmetico ispetto agli inici e. Questa opeazione e etta eivazione i Lie..5 Teoia elasticita Si immagini i ispoe i un manifol continuo, mateiale; pe ipotesi e semplicita, si supponga che sia piatto, in moo a avee un tensoe i Riemann nullo: Si consieino ivese posizioni: una posizione i patenza P, unque ei punti P e P ientificati meiante vettoi che patono alla posizione P. Questi vettoi, in questo caso, sono paticolamente semplici a inicae, al momento che giacciono su ette; tutto cio e accettabile al momento che si e patiti a una metica eucliea, ove unque le geoetiche sono elle ette, e quini ove i vettoi giacciono su i esse. Piu in geneale, quano le geoetiche non sono elle ette, non si pota efinie il vettoe semplicemente come segmento etto che unisce ue posizioni. Quella appena intootta e una situazione i patenza; si supponga oa, che pe qualche azione estena, il manifol isulti essee efomato ispetto a questo stato, spostano il punto P in una posizione P, e il punto P in una 9
posizione P. Il manifol, i conseguenza, non saa piu piatto, unque in ealta non saebbe piu oppotuno utilizzae fecce al fine i appesentae i nuovi punti. Cio che si puo fae, tuttavia, e escivee utilizzano come ifeimento la situazione impetubata: utilizzano sempe le vaiabili el manifol nello stato i patenza, si puo comunque avee una escizione elle vaie posizioni. Consieano un punto pima e opo la efomazione, esso pima ea appesentato meiante un vettoe, il secono meiante un vettoe, ottenuto a patie a meiante un'opeazione che convete un vettoe in un alto vettoe; questa, come si puo immaginae alla teoia peceentemente analizzata, saa appesentabile meiante un tensoe i ango : ' T In geneale, tuttavia, potebbe iffeie a solo i un ceto vettoe, consieano i essee in geometia eucliea: ' ove appesenta la taslazione intootta a patie a in seguito alla efomazione. Lo spostamento in ealta non contiene esclusivamente una taslazione: pe ogni posizione e possibile scegliee una base otonomale. Una volta che c'e stata la efomazione, si sposta un punto, ma in geneale anche la base subisce effetti: se si immagina pe esempio i avee a che fae con un volumetto, ciascun punto al suo inteno subia sia una taslazione, ma anche una otazione ispetto alla sua oigine locale (ove pe esempio l'oigine locale el volumetto puo essee elativa al cento el volumetto). Voleno unque iniviuae un punto nel volumetto meiante una ceta i si ava, opo la efomazione, una Dunque, si puo quantificae, sciveno che: ' i i ' a R ove a e un temine i sola taslazione, mente R e una otazione. a e un temine i taslazione comune a tutti i punti el volumetto; i conseguenza, esso appesenta semplicemente un offset, e non e inteessante ai fini ello stuio ella efomazione el manifol. Quini, ha senso solo veee cosa capita ispetto a, ossia cosa accae puntualmente su ciascun punto; si puo unque ie che: ' R 0
ove R in ealta e un opeatoe che puo anche essee piu complicato i una semplice taslazione: esso puo anche avee istosioni vaie. Al fine i quantificae la efomazione, e possibile scivee: ' T ove T saa l' ientita, piu il temine elativo a R o all'opeatoe. Si puo imostae che T e sempe ecomponibile come una otazione R piu un paticolae temine simmetico, S: T SR RS.6 Tensoe i efomazione Pima efinizione Una volta icavato il teoema i ecomposizione polae, ha senso applicalo; esclueno la pesenza i otazioni nel tensoe (R I), si ha che: ' ( S I) unque, ata l'ipotesi i assenza i otazioni, la efomazione a luogo a una matice simmetica, alla quale si sottae la matice ientita ; questo e il tensoe i efomazione, spesso scitto come ε (si noti che, nonostante le lettee coinciano, questo non e il tensoe i Levi-Civita). Consieano poi il si efinisce il tensoe i stain; i tensoi oa intootti, sono simmetici. Essi sono gli ingeienti fonamentali pe escivee le efomazioni i un manifol mateiale continuo. Secona efinizione Si vuole a questo punto aivae a un'espessione analoga a quella peceente, utilizzano un agionamento iveso. Si consiei a questo punto il manifol nelle ue situazioni, caatteizzanole meiante le istanze ei punti pima e opo la efomazione. Cio che si puo ie e che, pima ella efomazione, si ha: γ ( l ) E x 0 γ x ove E e il tensoe metico euclieo (al momento che, come si ea visto, si pate a un piano). Una volta che e stata effettuata la efomazione, si ha una moifica ella istanza, otteneno la nuova istanza scitta come segue:
γ ( l ) g x γ x utilizzano unque lo stesso set i cooinate, l'unica iffeenza sta nella metica; quini, voleno calcolae la iffeenza ta le ue istanze, al fine i quantificae la vaiazione i istanza, si ha: γ ( l) [ g E ] x γ γ x La iffeenza ta i ue tensoi metici e un tensoe i ango, simmetico; esso e ancoa una volta il tensoe i stain. Teza efinizione Si puo intoue un alto agionamento pe icavae i tensoi i inteesse. Le cooinate i un punto el manifol sono x ; una volta intootto uno spostamento, caatteizzato meiante elle componenti u, si ottiene: x u x ' Se u e lo stesso pe ogni punto consieato, la efomazione coincie con uno spostamento igio. Al fine tuttavia i avee infomazioni locali, e necessaio icavae le vaiazioni infinitesime i ' x x u x ' se i u sono ivesi a secona el punto consieato, la efomazione non e una semplice taslazione igia. Si puo a questo punto sviluppae l'espessione, otteneno: x ' x u γ x γ γ A questo punto, si ecupei nuovamente la istanza ta i ue punti, ( l ) g x ( ) ' ' γ l g γ x x γ x, che si puo scivee come: Il isultato finale e : u u γ x γ γ γ ( l) g x x g x Il pimo pezzo appesenta la istanza pima ella efomazione, mente il secono la istanza opo la efomazione; quini, nel pimo temine il tensoe metico e ancoa una volta quello euclieo, esattamente come pima, mente nel secono temine si ha il temine ipenente al tensoe i stain. Si puo unque capie che:
γ ( E ) x g γ γ ε γ x ove il fattoe eiva al fatto i ave sommato ue volte in e Il tensoe ε sostanzialmente appesenta una coezione ispetto al tensoe i patenza (quello euclieo) pe icavae la metica finale. Il tensoe i stani eiva a una combinazione elle eivate egli spostamenti: se le eivate egli spostamenti sono non nulle, si ha stain, altimenti no. Fisica nella efomazione Fino a questo momento sono state escitte ue situazioni, ue stati, ossia la escizione ello stato el manifol pima ella efomazione e opo i essa. La efomazione eve essee causata a una foza estena che agisce sul manifol, i conseguenza e necessaio efinie quest'ultima. Al fine i collegae queste ue situazioni e necessaio intoue elle cause pe questa efomazione. Esseno il sistema in consieazione un sistema esteso, e necessaio associae al manifol l'enegia libea (anche etta enegia i Helmholtz): F U - TS ove F e l'enegia libea, U e l'enegia intena al sistema, e il tezo temine e il pootto ta tempeatua e entopia. In questo moo, si sta utilizzano un appoccio temoinamico. Questa enegia viene consieata pe unita i volume. Essa saa uno scalae f, unque un invaiante ispetto al sistema i cooinate scelto; esso ipenea alla tempeatua, e ovviamente alla efomazione intootta (la quale ipene a un lavoo, poiche il sistema tene a esistee alla foza). Quini, f f ( ε ) ove ε e un tensoe: il tensoe i stain. Al fine i scivee l'enegia libea el sistema, tuttavia, e necessaio espimee tutte le vaie funzioni ello stain meiante egli scalai. Gli scalai che possono essee utilizzati, evono essee icavati al tensoe i stain; uno, e la taccia (al momento che il tensoe i stain e simmetico); alto scalae e quello i secono oine peceentemente intootto: ε ε ε Quello che si puo unque fae e uno "sviluppo ella efomazione", in seie i potenze. Se non c'e alcuna efomazione, si eve avee stain nullo; la funzione i enegia libea, quano si ha stain nullo, non eve essee zeo, bensi puo essee uguale a una ceta costante, esseno l'enegia libea un potenziale temoinamico. Cio che stiamo faceno inolte e stuiae una situazione i equilibio temoinamico, in pesenza i stain. Cio che ci si aspetta saa una funzione i ε tale pe cui esista un minimo; i conseguenza, se si ha a che fae con una funzione che ha un minimo, essa non puo avee ipenenza a ε infeioe a oine : una paabola ha un minimo, ma una etta no, i conseguenza si ova avee quantomeno una ipenenza i oine. Lo sviluppo in seie i potenze, unque, non pota essee lineae. Dunque, il temine successivo al f 0 saa un temine quaatico ma, come si e etto, i temini funzione i ε i oine ve ne sono ue: la taccia, e l'alto. Dunque, si ava qualcosa el tipo:
f f 0 ε ε ε e sono i coefficienti i caatteizzazione el mateiale noti in letteatua come coefficienti i Lame..7 Tensoe egli sfozi Le istosioni sono causate a foze estene, ossia a soggetti esteni al manifol; il sistema-manifol, quini, eagisce a esse secono i coefficienti e, che eteminano pe l'appunto il compotamento el sistema. Si puo pensae al manifol come composto i molti volumetti; su uno i essi, pe esempio, si ha una ceta foza, che tene a efomalo; il fatto che esso e tuttavia ancoato a un alto, pota a avee una eazione alla foza: il secono volumetto infatti cechea i tenee "fisso" il pimo, i non falo efomae. In ogni punto el mateiale, vi sono egli sfozi, ossia elle foze, appotate alle supefici su cui esse agiscono. Le foze si popagano nel manifol, veso l'inteno i esso, e la eazione el mezzo (tezo pincipio ella inamica) tene a schemala. Nel caso ε 0, si ava una efomazione tale pe cui, appena la causa viene imossa, si ha una imozione ella conseguenza (questo non e esattamente veo, come spesso capita in Fisica: in ealta la efomazione e plastica!). E unque necessaio palae i sfozi, intoucenone una espessione compatta. Si consiei la funzione ell'enegia libea f ( ε ) funzione egli scalai ei tensoi i efomazione; al fine i quantificae gli sfozi, ci si chiee quanto sia sensibile f alla vaiazione i una elle componenti el manifol; in alte paole, questa sensibilita σ si puo scivee come eivata ella funzione, ispetto a una elle componenti el tensoe i efomazione: σ ν f ε ( ε ) ν Il isultato, ovviamente, ipene a quale elemento si sta consieano: si ha ipenenza agli inici. Inveteno unque la peceente espessione, si puo ottenee: f σ ν νε Questo oggetto appesenta il iffeenziale totale ell'enegia libea; l'enegia libea e un invaiante el sistema, come anche il tensoe i stain, che e impaentato con le foze. σ ν unque saa senza ubbio un oggetto i natua tensoiale. In secono luogo, stuiamo imensionalmente f: essa e un'enegia, pe unita i volume; i conseguenza, si ava : spazio l vt v at l at a l t foza m acceleazione ml t 4
foza spostamento ml m enegia f volume t l t l infatti, un'enegia e una foza pe uno spostamento; la foza e una massa, pe un'acceleazione; l'acceleazione, a sua volta, e una lunghezza, sul quaato i un tempo; tutto cio, appotato a un volume, unque al cubo i una lunghezza. Quini: F m acceleazione ml t f l ν Quini, σ sono foze pe unita i supeficie ( f σ νε ): σ e la foza che ha componente lungo x e agisce pepenicolamente al piano yz. Questo coincie con la efinizione i sfozo. A questo punto ci si chiee: quale elazione c'e ta σ e ε? Uno e una causa, l'alto e l'effetto; e unque necessaio tovae una elazione ta le ue quantita. Dato la funzione 'enegia libea f ( ε ), nota come sviluppo al secono oine, la si iffeenzi ispetto a una geneica f ν ( ε ) f ε ε ν ε 0 Si ottiene la legge i Hooke, scitta in cooinate geneiche. ε ; si icoa che: σ C ν ν ε Questo oggetto in una imensione appesenta il tensoe el moulo elastico: e un oggetto in gao i escivee la plasticita. Al vaiae ei e ν consieati, si possono quini consieae sia sfozi i volume, ossia quelli pe cui ν, sia sfozi i taglio (efomazione, cambio anisotopo ella foma el manifol), ossia quelli pe cui ν E stato possibile legae cause e effetti, ossia elle efomazioni, espesse meiante il tensoe i stain, a elle foze, espesse in temini i tensoe egli sfozi. Consieano un oggetto finito, tuttavia, cio che i fatto capita e ( ε ) che, pateno al σ ν f applicato sulla fontiea ell'oggetto, si ha un sistema i foze che a ento lo ν ε contobilancia (lo stato i stain implica una azione a pate egli sfozi e una eazione a pate el manifol). Tuttavia, l'ipotesi fatta all'inizio consieava una conizione i equilibio; quano e veificata? Si consiei il manifol suiviso in un ceto insieme i cubetti infinitesimi; si ha equilibio elle foze quano la isultante elle foze sulle sei facce el cubetto e zeo. Dal momento che il cubetto e infinitesimo, si puo scivee, meiante l'espessione egli incementi finiti, che: σ ' σ σ x x Ossia, ata un'eccitazione (sotto foma i sfozo) sulla faccia sinista,, si ha sulla faccia questa espessione i stain. Questo, pe ogni faccia el cubo. Faceno unque le vaie somme, il σ i una faccia e uguale (e opposto) a quello ell'alta faccia el cubetto: all'azione coispone una eazione eguale e opposta! Dunque, cio che esta, faceno la somma i sfozi uguali e opposti, sono solo le eivate. Finoa si e etto che si eve fae il 5
bilanciamento elle foze, ma si sta agionano solo sugli sfozi, ossia su foze su elemento i supeficie. Si consiei, sempe pe la faccia, la foza coisponente allo sfozo σ ' : F' Cioe F ν σ ' σ σ zy σ zy ν ν V xyz σ Pe avee equilibio la isultante elle foze eve essee nulla cioe ν 0 ν supeficie el copo pe ogni punto cioe σ 0 e questo eve essee valio sulla.8 Tensoe ei fluii Al fine i caatteizzae completamente la fluioinamica in temini tensoiali, saebbe necessaio scivee le equazioni i Navie-Stokes in foma tensoiale. Cio che si faa in questa sezione tuttavia saa molto meno: semplicemente, si sciveanno alcune equazioni i consevazione, in temini tensoiali, che manipolate assieme possono potae alle equazioni i moto ei fluii: infatti, un fluio, mantiene costanti le popie popieta : velocita i flusso, ensita, pessione, quantita i moto, enegia cinetica, e alto. Dato un flusso incompimibile, in un punto fissato queste popieta sono costanti. Al fine i agionae, si utilizza un sistema i ifeimento locale: un sistema in co-movimento ispetto a ciascuna paticella i fluio. La fomulazione tensoiale elle leggi i fomulazione pemette i pescinee alle cooinate: cambiano posizione, se si ha un piccolo volumetto e un piccolo spostamento, si puo avee una piccola vaiazione elle popieta, ma questo peche esse sono cambiate. Si consieano a questo punto le ivese leggi i consevazione. Consevazione ella massa: m ρv ove ρ e la ensita i massa. V e un elemento i volume: se lo si consiea invaiante, la vaiazione i massa totale passano a un punto a un alto puo essee unicamente ovuto a una vaiazione i ensita. Si consiei unque solo una possibile vaiazione i ensita ;pe quantificae la vaiazione i massa, unque, calcolo la eivata ispetto alle componenti el geneico sistema i cooinate: ρ x ν ν V Questo, eve essee zeo: in questo moo, si impone la consevazione ella massa. Questa e l'espessione i un gaiente: ρ infatti e una funzione scalae. 6
Consevazione quantita i moto: Alta ganezza che si conseva, manteneno sempe fisso il volume, e la quantita i moto p: ato u vettoe contovaiante, unque con significato analogo a quello i vettoe tangente, impaentato alla velocita, si puo scivee la quantita i moto in foma tensoiale come: p ρu Se questa eve essee consevata, si calcola la eivata: p ρ x ρu ; x Si ha a che fae con la eivata covaiante; infatti, si stanno consieano cooinate intinseche, collegate alla paticella i fluio, e pe questo si usa questa espessione. Quini, si ichiee che: ρ ρu ; 0 Consevazione ell'enegia cinetica: E k ρu u ρ E k x ρu ; u x ρu u ; x ma al momento che applicae la eivata covaiante sopa e sotto e la stessa cosa, si ha: ρ E k x ρu ; u x _ Consevazione el momento angolae: al fine i palae i momento angolae, saebbe necessaio intoue i pootti esteni, cosi come gli integali. Si ovebbe consieae un tensoe ato a ρ pe il pootto tensoiale i u pe se stesso; questo e come ie i consieae la componente ella quantita i moto, e muovesi nella iezione otogonale. 7