1 Potenziale elettostatico e seconda equazione di Maxwell pe E Consideiamo il campo elettico oiginato da una caica puntifome q che ipotizziamo fissa nell oigine degli assi: E( ) = q ˆ 2 = q 3 (1) Pe definizione, la foza che isentià una caica di pova Q posta in saà la foza di Coulomb F = qq 3 = Q E Ci chiediamo se questa foza è consevativa, calcolando il lavoo compiuto sulla caica Q lungo un pecoso chiuso qualunque (sempe nell ipotesi che la caica q sia fissa e immobile, ossia che il campo elettico sia statico). Come già ossevato nel caso della foza gavitazionale (vedi lezione su lavoo e enegia), la foma centale della foza elettostatica 1 gaantisce la consevatività. Infatti il lavoo compiuto pe uno spostamento di Q lungo il tatto infinitesimo d vale dw = F d = qq 3 d Ricodando 1 che d = 1 2 d( ) = 1 2 d(2 ) = d otteniamo, analogamente al caso gavitazionale, dw = qq d 2 Dunque il lavoo compiuto dal campo elettico quando la caica Q si sposta da un punto A a un punto B lungo un qualunque cammino vale W A B = B A qq d 2 = qq ( 1 1 ) A B Il lavoo non dipende dal cammino seguito ma solo dai valoi della coodinata della caica Q nel punto iniziale e nel punto finale. La foza è dunque consevativa, e può essee scitta come (l opposto del) gadiente di un enegia potenziale U( ) = qq + U 0 QV ( ) dove U 0 è una costante abitaia di solito posta uguale a zeo in modo da fissae U = 0 a distanze infinite, e dove abbiamo intodotto la funzione scalae V ( ) U( )/Q detta potenziale elettico associato al campo E: V ( ) = q + V 0 Natualmente, da F = U discende immediatamente che 1 Pe i diffeenziali vale la egola della deivazione di un podotto: d(ab) = A db + B da 1
E = V (2) Il concetto si estende facilmente a un campo elettostatico qualunque, che pe il pincipio di sovapposizione saà la somma dei campi geneati da caiche puntifomi (statiche) q i. Se il campo geneato da ciascuna di esse è consevativo (nel senso che la foza esecitata su una caica di pova Q è una foza consevativa) alloa lo saà anche il campo totale, dato che il lavoo di una somma di foze è la somma dei lavoi. Il lavoo compiuto dalla foza elettostatica sulla caica di pova Q lungo un qualunque cammino chiuso saà dunque sempe nullo: Q E d l = 0 da cui, dividendo pe Q otteniamo la seconda equazione di Maxwell pe il campo elettico: la cicuitazione del campo elettostatico lungo un qualunque cammino chiuso è nulla E d l = 0 (3) Si può dimostae che da questa equazione, unita al teoema di Gauss (pima equazione di Maxwell) E ˆn da = Q int ɛ 0 (4) si può dedue la foma della legge di Coulomb pe il campo elettico, anziché seguie il pecoso inveso come abbiamo fatto qui. N.B. Sebbene le equazioni 3 e 4 usino una notazione simile, è fondamentale icodae che si feiscono ispettivamente a un integale di linea eseguito lungo una linea chiusa (cicuitazione), e a un integale di supeficie eseguito su una supeficie chiusa (flusso uscente). In pefetta analogia al caso delle foze consevative in meccanica, equazione 3 gaantisce anche pe un campo elettostatico qualunque (che del esto è una foza consevativa, se moltiplicato pe una caica di pova) l esistenza di una funzione scalae V ( ) tale che E = V (5) dv = E d (6) V A V B = B A E d (7) Il pincipio di sovapposizione ci pemette anche di scivee diettamente la foma del potenziale associato al campo elettico di una distibuzione di N caiche puntifomi, come somma dei potenziali associati a ciascun campo elettico: 2
V = 1 ( q1 + q 2 + + q ) N + V 0 1 2 N dove 1, 2,..., n sono le distanze delle singole caiche puntifomi dal punto in cui si misua il potenziale. Più fomalmente V ( ) = 1 N i=1 q i i (+V 0 ) (8) dove i appesenta la posizione della caica q i e, al solito, V 0 è una costante additiva abitaia, convenzionalmente pesa nulla in modo da fa sì che lim V ( ) = 0. È impotante ossevae che questa fomula è valida pe distibuzioni date da un numeo finito di caiche puntifomi, e può essee estesa a casi di distibuzioni continue solo nel caso in cui la somma (o integale) non divega (cosa che avviene tipicamente in distibuzioni di caica che si estendono fino all infinito, come il filo ettilineo indefinito o il piano caico). Nei casi in cui questo accade, è comunque sempe possibile definie e/o calcolae la diffeenza di potenziale ta due punti secondo l eq. 7. L unità di misua del potenziale elettostatico è il volt: 1V = 1J/1C Supefici equipotenziali Come nel caso della funzione scalae enegia potenziale, data la funzione V ( ) i luoghi di punti in cui la funzione assume lo stesso valoe si chiamano supefici equipotenziali. Anche in questo caso, pendendo uno spostamento infinitesimo d su una supeficie equipotenziale si ha pe definizione dv = 0 e quindi, dalla 6, E d = 0 Il campo elettico E in un dato punto è dunque dietto pependicolamente alla supeficie equipotenziale che passa pe quel punto. 1.1 **Appofondimento: Popietà della funzione potenziale Accenniamo qui senza dimostazioni ad alcune popietà impotanti della funzione scalae V ( ): 1. Combinando l equazione 5 con la vesione infinitesima del teoema di Gauss 4 si deduce che la funzione V ( ) soddisfa una equazione diffeenziale del second odine alle deivate paziali detta equazione di Poisson : 2 V ( 2 V x 2 + 2 V y 2 3 ) + 2 V z 2 = ρ (9) ɛ 0
dove ρ( ) è la densità di caica che descive la distibuzione di caiche elettiche nello spazio. Nelle egioni in cui non ci sono caiche ρ = 0 e l equazione di Poisson pende il nome di equazione di Laplace: 2 V = 0 (10) 2. Si può dimostae che pe una funzione che soddisfa l equazione 10 (dunque anche pe il potenziale nel vuoto, cioè in assenza di caiche elettiche) vale il teoema della media: Il valo medio di V su una qualunque supeficie sfeica di aggio è uguale al valoe di V nel punto al cento della sfea Questo ha come conseguenza impotante che in una egione piva di caiche la funzione V ( ) non può avee né massimi né minimi elativi (infatti, se pe assudo esistesse un punto di minimo, pe definizione esisteebbe un intono del punto in cui il potenziale assume un valoe maggioe, dunque sui punti di una supeficie sfeica contenuta nell intono il potenziale assumeebbe un valoe maggioe del minimo, ma questo saebbe in contaddizione con il teoema della media: se su tutti i punti della sfea il potenziale è maggioe che nel cento, anche il valo medio saà maggioe). Dunque non è possibile, usando solo caiche statiche, ceae un punto di equilibio stabile (nel vuoto) pe una caica di pova. 3. Vale il teoema di unicità : in una delle sue vesioni più semplici, questo affema che data una ceta distibuzione di caica contenuta in un ceto volume di spazio, e fissate le cosiddette condizioni al bodo, ossia fissato il valoe di V ( ) in tutti i punti della supeficie di bodo del volume (che può anche essee all infinito), esiste un unica funzione V ( ) che soddisfa l equazione 9 in tutti i punti inteni al volume dato. Questo teoema, appaentemente astuso/inutile è in ealtà potentissimo pe la isoluzione di poblemi in elettostatica, peché assicua che basta tovae una soluzione V ( ) che soddisfa la 9 e le condizioni al bodo, pe essee sicui che quella è la soluzione cecata. 1.2 Esempi di calcolo del potenziale Se il poblema che abbiamo di fonte è quello di calcolae il campo elettico data la configuazione di caica, spesso anziché calcolae diettamente il campo elettico conviene deteminae pima il potenziale, e poi il campo elettico calcolandone il gadiente. In questo modo si evita il poblema di calcolae tutte e te le componenti del campo elettico, peché si deve deteminae una funzione scalae anziché vettoiale. 1.2.1 Campo dell anello caico sull asse Consideiamo un anello di aggio a e densità di caica unifome λ = Q/2πa, e calcoliamo il potenziale in un punto dell asse. Pe comodità usiamo un sistema di coodinate in cui l asse z coincida con l asse dell anello, che poniamo nel piano z = 0. 4
dv(z) z R dq Ogni elementino dq = λdl = λadφ si tova a distanza = a 2 + z 2 dal punto dell asse consideato, e contibuisce dunque al potenziale nel punto con dv = 1 dq a2 + z = 1 2 λa dφ a2 + z 2 Pe calcolae il potenziale nel punto di coodinata z dobbiamo integae sugli elementini di anello V (0, 0, z) = 1 dq a2 + z = 1 λa 2π dφ = 1 2πλa 2 a2 + z 2 a2 + z = 1 Q 2 a2 + z 2 Pe ottenee il campo E sui punti dell asse dobbiamo icodae che E = V. Dalla simmetia del poblema (già noto) sappiamo che solo la componente z del campo saà pesente sull asse, e la componente z del gadiente è la deivata (paziale) ispetto a z Dunque E z (z) = V z = 1 0 Qz (a 2 + z 2 ) 3 2 isultato che avevamo ottenuto calcolando diettamente la componente z del campo 1.2.2 Potenziale di dipolo Consideiamo un sistema costituito da due caiche puntifomi opposte +q e q, statiche e poste a distanza a una dall alta. Chiamiamo il sistema dipolo elettico nel limite in cui la distanza a è molto più piccola delle distanze misuabili. In questo caso chiamiamo momento di dipolo elettico il vettoe p q a dove pe convenzione si pende il veso di a dietto dalla caica negativa alla positiva. Pe comodità poniamo la caica negativa nell oigine degli assi catesiani, e quella positiva lungo l asse z. Calcoliamo quindi il potenziale dovuto alle 5
z P!! a! +q! a θ - q due caiche puntifomi in un punto P qualunque dello spazio, a distanza dall oigine, con a. Usiamo la 8, ossia la convenzione di potenziale nullo all infinito V ( ) = 1 ( q q ) e dove ( a) ( a) = ( 2 2 a + a 2 ) 1 2 = ( 2 2a cos θ + a 2 ) 1 2 dove θ, angolo compeso ta e a, è popio l angolo θ usato pe descivee in coodinate sfeiche la posizione del punto P. Ricodando che siamo nell ipotesi a a2 1 e dunque tascuando ispetto 2 a a, sciviamo 1 = 1 ) 1 2 a a2 (1 2 cos θ + 2 1 (1 2 a ) 1 cos θ 2 1 (1 + a ) cos θ dove abbiamo usato lo sviluppo di Taylo al pim odine (1 + ɛ) α 1 + αɛ con, nel nosto caso, ɛ 2 a cos θ 1 e α = 1 2. Otteniamo, in questa appossimazione cioè V ( ) 1 q [(1 + a cos θ) 1] V ( ) 1 p cos θ 2 (11) 6
dove p p è il modulo del momento di dipolo. Il potenziale così ottenuto è espesso diettamente come una funzione del punto in coodinate sfeiche. Notiamo che V ( ) non dipende dalla coodinata φ, dal momento che il sistema ha una simmetia di otazione attono all asse z. In coodinate catesiane avemo (icodando che z = cos θ) V (x, y, z) 1 pz (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 Da quest ultima espessione è possibile calcolae in ogni punto dello spazio il campo elettico geneato dal dipolo, usando E = V In paticolae, pe ottenee il campo lungo l asse z basta calcolae le deivate paziali V nei punti (0, 0, z). Le deivate paziali ispetto a x e y sono nulle in x = 0, y = 0, dunque il campo lungo l asse ha solo componente z, che vale x, V y, V z E z = V z = 1 2p z 3 come avevamo calcolato diettamente in una lezione pecedente. Nei punti del piano z = 0 (il calcolo delle deivate è lasciato pe esecizio al lettoe) si ha invece: E x = 0 E y = 0 E z = V z = 1 p (x 2 + y 2 ) 3 2 Le linee di campo di E sono mostate qualitativamente in figua Osseviamo che, allontanandosi ad angolo θ fissato, il potenziale di dipolo decesce come 1 (e il campo elettico come 1 2 ), cioè tende a zeo più apidamente del potenziale di una caica puntifome. Si può dimostae che il 3 campo 7
di un sistema di caiche localizzato (ossia confinato ento un ceto aggio finito) a gandi distanze assume questa foma ogni volta che la caica totale del sistema è nulla, ma il baicento delle caiche positive è diveso dal baicento delle caiche negative. Questo non deve stupie: è infatti intuitivo aspettasi che, come abbiamo visto anche in alcuni esempi, una distibuzione di caiche positive confinata ento un ceto aggio cei, a distanze molto maggioi del aggio stesso, un campo indistinguibile da quello di una caica puntifome. Se a questa configuazione si sovappone una distibuzione di caiche negative tale da annullae la caica totale ma da da luogo, a gandi distanze, al campo di una caica puntifome negativa collocata in una posizione non coincidente con quella positiva, il isultato saà un campo (o un potenziale) di dipolo, come quello calcolato sopa. 1.2.3 Dipolo in campo elettico esteno Consideiamo un dipolo p schematizzato come un sistema di due caiche opposte ±q vincolate a imanee a distanza fissa a = p q ta loo (è una descizione che funziona abbastanza bene pe alcune molecole biatomiche, pe esempio). Supponiamo che il dipolo sia immeso in un campo elettico esteno E, descitto dal potenziale V ( ). Con questa schematizzazione è immediato calcolae l enegia potenziale del dipolo nel potenziale esteno, come somma delle enegie potenziali delle due caiche. Se la caica negativa si tova nel punto, quella positiva si toveà in + a, e dunque cioè dove, pe la 6, U p = U +q + U q = qv ( + a) qv ( ) = qdv dv = E d = E a dato che nel nosto caso lo spostamento infinitesimo d = ( + a) = a. Dunque U p = qdv = q E a = q a E U p = p E (12) La fomula 12 espime quindi l enegia potenziale di un dipolo di intensità fissata immeso in un campo elettostatico esteno. *Momento tocente Consideiamo pima il caso in cui il dipolo non può taslae ma è libeo di uotae attono al popio cento di massa: in questo caso la configuazione a cui tendeà (che è come sempe quella di enegia potenziale minima) saà tale da minimizzae p E, cioè da massimizzae p E: il dipolo tendeà a oientasi paallelamente al campo esteno E. La stessa conclusione si aggiunge calcolando esplicitamente il momento tocente che il campo esteno E esecita sul sistema delle due caiche: si ha infatti, consideando i momenti ispetto all oigine (abitaia) delle coodinate, 8
z P F = +q! E! a +q - q F = q! E τ = F q + ( + a) F q = [ q E( )] + ( + a) [q E( + a)] Nell appossimazione di odine zeo, in cui il campo ha lo stesso valoe E in e in + a (o nel caso in cui il campo esteno sia pe ipotesi unifome) si ha cioè τ = ( q E) + ( + a) q E = q a E τ = p E (13) È un esecizio di meccanica dimostae che se un copo igido vincolato a uotae attono a un punto fisso è soggetto a un momento tocente esteno 13, alloa la sua enegia potenziale saà data dalla 12. 2 *Foza totale Se vogliamo calcolae la foza che il dipolo isente, dobbiamo icodae che in meccanica questa è legata all enegia potenziale da F = U 2 Sappiamo infatti dalla meccanica che la potenza applicata da un momento tocente esteno τ su un copo igido (nel nosto caso il dipolo) è data da P = τ ω dove ω è il vettoe velocità angolae. Se le foze sono consevative, la potenza fonita è l opposto della deivata ispetto al tempo dell enegia potenziale P = du dt Nel nosto caso P = τ ω = ( p E) ω = ( ω p) E dove abbiamo usato la popietà del podotto vettoe ( a b) c = ( c a) b. D alta pate sappiamo che p = q a, dove à è un vettoe posizione che sta uotando con velocità angolae ω (supponiamo che il punto fisso sia la posizione della caica negativa), la cui deivata ispetto al tempo vale quindi d a dt d p = ω a. Dunque abbiamo che dt = q d a dt P = du dt = ( ω p) E = d p dt E = d ( p E) dt (icodiamo che E non dipende dal tempo). Dunque du dt U = p E a meno, come al solito, di una costante additiva abitaia. = d dt ( p E) cioè = q ω a = ω p. 9
Nel nosto caso F = ( p E) Nell ipotesi che il dipolo sia già oientato paallelamente a E (oientazione che, come abbiamo visto, minimizza l enegia potenziale a posizione fissata), si ha che p E = p E, e la foza avà la diezione del gadiente del modulo di E, cioè la diezione in cui il modulo di E aumenta maggiomente. Il dipolo, insomma, subisce una foza netta solo se il campo non è unifome, e viene attatto veso le egioni in cui l intensità del campo aumenta. È questo il meccanismo alla base dei cosiddetti fenomeni elettostatici che hanno pemesso la scopeta dell eletticità, e cioè il fatto che oggetti elettizzati come pezzi di plastica o di gomma (un tempo di amba) stofinati con un panno abbiano la capacità di attae piccoli oggetti o di deviae il filo d acqua che scende da un ubinetto (povae pe cedee!): il pettine stofinato si caica e poduce un campo elettico la cui intensità aumenta in vicinanza del pettine stesso; l acqua è costituita da tanti dipoli che vengono attatti dalle egioni in cui l intensità del campo è maggioe, e questo iesce a deviane la taiettoia. Qualcosa di simile avviene nei piccoli oggetti attatti da palloncini, bacchette di plastica o alti oggetti: le loo molecole si compotano come dipoli in pesenza del campo elettico esteno, e vengono attatte dalle egioni di campo elettico più intenso. 10