6 Stato Limite Ultimo per tensioni normali

6 Stato Limite Ultimo per tensioni normali

Legami costitutivi non lineari Si considerano i seguenti legami costitutivi non lineari del calcestruzzo e dell acciaio Legame parabola - rettangolo Legame stress block ε cu = 0,0035 = 0,35% ε c2 = 0,0020 = 0,20% ε c4 = 0,2 ε cu = 0,07% Legame elasto - plastico a deformazione illimitata Acciaio B450C = f yk γ s = 450 1,15 ε yd = E s = 391,3 210000 = 391,3 MPa = 0,00186 = 0,186%

Ipotesi di calcolo Oltre alle ipotesi classiche 1) conservazione delle sezioni piane; 2) perfetta aderenza tra calcestruzzo e acciaio; 3) calcestruzzo non reagente a trazione; per la verifica e il progetto allo Stato Limite Ultimo si assume inoltre che 4) la crisi viene raggiunta per schiacciamento del conglomerato che perviene alla deformazione ultima ε cu ; 5) l armatura tesa è snervata. L ipotesi 4 è giustificata dalla rimozione del limite di deformazione dell acciaio, che non può andare in crisi. L ipotesi 5 è legata alle limitazioni sui quantitativi di armatura, che la rende rigorosa nel caso delle sezioni inflesse.

Flessione retta 1/2 Nel caso di flessione retta con un momento agente nel piano verticale, l asse neutro è orizzontale. La sua posizione è quindi individuata da un solo parametro, indicato con x, che misura la sua distanza dal lembo compresso della sezione. x ε c = ε cu σ c = f cd La posizione di x definisce il diagramma limite delle deformazioni ε che corrisponde al raggiungimento del valore ε cu nel calcestruzzo. Per una sezione a doppia armatura, il valore di x può essere determinato imponendo l equilibrio alla traslazione della sezione nella direzione dell asse della trave, cioè N s N s N c = 0

Flessione retta 2/2 Usualmente N c si esprime come frazione del valore che si avrebbe se tutto il calcestruzzo compresso fosse soggetto alla tensione massima, cioè N c = f cd A c,comp β in cui β viene denominato fattore di riempimento. La distanza di N c dal lembo superiore compresso viene espressa come aliquota κ del valore di x. Per una sezione rettangolare, considerando il legame parabola-rettangolo, risulta β = 17 21! 0,810 κ = 99 238! 0,416 Considerando, invece, il legame stress block, si ha ( β = ε cu ε c4 ) f cd ( = 0,80 κ = ε cu ε c4 ) 2 = 0,40 ε cu f cd ε cu ε cu = 0,0035 = 0,35% ε c2 = 0,0020 = 0,20% ε c4 = 0,2 ε cu = 0,07% Si nota che, per i due legami costitutivi considerati, i valori di β e di κ sono sostanzialmente coincidenti.

La verifica nel caso di sezione rettangolare 1/2 Dopo avere calcolato la posizione dell asse neutro, si determina il momento resistente di calcolo M Rd attraverso la condizione di equilibrio alla rotazione della sezione. La verifica è soddisfatta se risulta M Rd M Sd dove M Sd è il momento flettente di calcolo. L equazione dell asse neutro si scrive N s N s N c = 0 in cui N s = σ s A s = sa s N s = σ s A s = s ua s N c = f cd bxβ con s = σ s s = σ s u = A s A s

La verifica nel caso di sezione rettangolare 2/2 Le tensioni σ s e σ possono essere calcolate dalle deformazioni ε s s ed ε s. Considerando che il diagramma delle deformazioni è lineare anche allo stato limite ultimo, le deformazioni ε s ed ε s possono essere calcolate attraverso la similitudine dei triangoli individuati da tale diagramma. Si ha ε s d x = ε cu x ε s = d x x ε ε s cu x c = ε cu x ε s = x c x ε cu da cui σ s = se ε s ε yd σ s = E s ε s se ε s ε yd σ s = se ε s ε yd σ s = E s ε s se ε s ε yd

Sezione rettangolare a semplice armatura In accordo con le prescrizioni della normativa sulla quantità di armatura, si assume che l armatura tesa sia sempre snervata, cioè s = σ s = 1 L equazione dell asse neutro si scrive quindi N c + N s = 0 da cui si ricava f cd bxβ + A s = 0 x = A s bβ f cd Nota la posizione dell asse neutro, il momento resistente della sezione si ottiene imponendo l equilibrio alla rotazione della sezione rispetto al punto di applicazione di N c. Si ha M Rd = ( d κ x) A s Si nota che la quantità d κ x = z rappresenta il braccio della coppia interna, mentre A s = N s è lo sforzo nell armatura tesa.

Sezione rettangolare a doppia armatura 1/3 Allo SLU l armatura superiore è snervata quando cioè quando che, per un acciaio di tipo B450C, risulta Si osserva che se la distanza x dell asse neutro dal bordo compresso è inferiore a 2,14 c, allo SLU l armatura compressa non è snervata. Ciò può accadere o per sezioni con un elevato rapporto c/d, cioè nel caso di travi a spessore, o per sezioni con una notevole quantità di armatura in compressione. Nell ipotesi - da verificare a posteriori - che anche l armatura compressa è snervata l equazione dell asse neutro si scrive da cui si ottiene ε s = x c x ε cu ε yd x ε x cu c ε cu ε yd 0,0035 c = 2,14 c x 2,14 c 0,0035 0,00186 N c N s + N s = f cd bxβ A s + A s = 0 ( ) x = A s A s bβ f cd ( s = 1),

Sezione rettangolare a doppia armatura 2/3 ( x = A s A s ) bβ f cd Confrontando il valore così ottenuto con la quantità 2,14 c, si può avere la conferma che, allo SLU, anche l armatura compressa sia snervata. In caso contrario, invece, si ha e l equazione dell asse neutro si scrive cioè s = x c f cd bxβ A s x σ s = x c x ε yd Introducendo la percentuale meccanica di armatura ε cu ε yd ε cu ε yd + A s = 0 f cd bβ x 2 ε A s A s cu ε x A cu s f ε yd c = 0 yd e ponendo ω = A s bd f cd A s u 1 = ε cu ε yd A s

Sezione rettangolare a doppia armatura 3/3 l equazione precedente assume la forma β x 2 ω ( 1 u 1 )d x ωu 1 cd = 0 che risolta fornisce x = ω 2β 1 u 1 ( ) + ( 1 u 1 ) 2 + 4β ω u 1 c d d Una volta individuata la posizione corretta dell asse neutro, il momento resistente di calcolo si può ottenere imponendo l equilibrio alla rotazione della sezione rispetto al punto di applicazione di N c. Si ha M Rd = N s ( d κ x) + N s ( κ x c) cioè ( ) + M Rd = A s d κ x ( ) s A s κ x c

Esempi 1/3 2,14 c = 8,56 cm ( x = A s A s ) bβ f cd ( ) + M Rd = A s d κ x ( ) s A s κ x c A s = 4φ20 = 4 π 2,02 4 = 4 3,14 = 12,56 cm 2 A s = 2φ14 = 2 π 1,42 = 2 1,54 = 3,08 cm 2 4 β = 0,810 κ = 0,416 d = 50 4 = 46 cm s = 1 f cd = 0,85 25 1,5 = 14,17 MPa = 14,17 103 kn/m 2 = 450 1,15 = 391,3 MPa = 391,3 103 kn/m 2

Esempi 2/3 π 2,02 As = 4φ 20 = 4 = 4 3,14 = 12,56 cm 2 4 π 2,02 π 1,42 As = 2φ 20 + 1φ14 = 2 + = 2 3,14 + 1,54 = 7,82 cm 2 4 4 β = 0,810 κ = 0,416 d = 50 4 = 46 cm s = 1 25 f cd = 0,85 = 14,17 MPa = 14,17 103 kn/m 2 1,5 450 = = 391,3 MPa = 391,3 103 kn/m 2 1,15 x= ( As As ) 2,14 c = 8,56 cm bβ f cd

Esempi 3/3 u = A s = 7,82 A s 12,56 = 0,623 A s u 1 = ε cu = 0,0035 ε yd A s 0,00186 7,82 12,56 = 1,172 ω = A s bd f cd = 12,56 30 46 391,3 14,17 = 0,251 Si ottiene così x = ω 2β 1 u 1 = 0,251 2 0,810 1 1,172 s = ( ) + ( 1 u 1 ) 2 + 4β ω u 1 σ s = x c ε cu = 7,04 4 x ε yd 7,04 0,0035 0,00186 = 0,813 c d d = ( ) + ( 1 1,172) 2 + 4 0,810 e il momento resistente risulta 0,251 1,172 4 46 = 7,04 cm 46 Si può quindi calcolare il tasso di lavoro dell armatura compressa M Rd = A s d κ x ( ) + s A s ( κ x c) = ( ) + 0,813 7,82 ( 0,416 7,04 4) = 12,56 46 0,416 7,04 10 6 391,3 10 3 = 209,0 knm

Limitazione della quantità di armatura 1/5 Le NTC08 ( 7.4.6.2.1) impongono alle percentuali geometriche di armatura tesa e compressa ρ = A s ρ = A s bh bh le seguenti limitazioni 1,4 ρ ρ + 3,5 f yk f yk con f yk in MPa. Tale relazione impone implicitamente che la profondità dell asse neutro allo SLU non sia eccessiva, conferendo così un adeguata duttilità alla sezione. Per duttilità si intende la capacità di un elemento strutturale di deformarsi oltre il limite elastico prima di pervenire alla rottura. In particolare per un acciaio del tipo B450C si ha ρ ρ 3,5 = 3,5 f yk 450 = 0,00778 = 0,778% Ricordando che allo SLU la posizione dell asse neutro di una sezione rettangolare a doppia armatura con acciaio snervato sia in trazione sia in compressione è data dalla relazione si può scrivere x h = 1 ( A s A s ) β bhf cd = 1 β ( ) x = A s A s bβ f cd ( ) 1 β ρ ρ f cd f cd 3,5 f yk = 1 0,810 f yk 1,15 f cd 3,5 f yk = 3,76 f cd

Limitazione della quantità di armatura 2/5 e in definitiva x h 3,76 f cd Per una sezione rettangolare, le prescrizioni regolamentari determinano quindi il valore massimo del rapporto tra la posizione dell asse neutro e l altezza della sezione che dipende dalla classe del calcestruzzo e vale x h = 3,76 f cd max I valori di (x/h) max sono riportati nella seguente tabella in funzione della classe di calcestruzzo. Classe 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/55 50/60 f cd (MPa) 9,07 11,33 14,17 15,87 19,83 22,67 25,50 28,33 (x/h) max 0,415 0,332 0,265 0,237 0,190 0,166 0,147 0,133

Limitazione della quantità di armatura 3/5 La profondità dell asse neutro che corrisponde alla crisi con l acciaio al limite elastico (x/h) y è x h y = ε cu ε cu + ε y d h = 0,0035 0,0035 + 0,00186 d h = 0,653 d h! 0,653 0,9 = 0,587 avendo posto d/h! 0,9. Si osserva che il valore trovato è molto maggiore di quelli che si ottengono dalla tabella precedente. Di conseguenza la limitazione regolamentare della quantità di armatura implica che allo SLU l acciaio teso in una sezione rettangolare inflessa a semplice o doppia armatura è sempre snervato.

Limitazione della quantità di armatura 4/5 A ulteriore riprova, si può calcolare la deformazione minima nell acciaio teso allo SLU. Si ha ε s = d x ε cu x = d x 1 = d h x h 1! 0,9 x h 1 avendo posto d/h! 0,9. Il valore minimo di ε s si ottiene quando il rapporto x/h raggiunge il suo valore massimo, e ciò accade se si impiega la massima armatura regolamentare. Si ha quindi ε s,min = 0,9 1 ( x h ) max ε cu = 0,9 3,76 f cd 1 0,0035 = 0,0035 0,2394 f cd 1 ( )

Limitazione della quantità di armatura 5/5 ε s,min = 0,0035( 0,2394 f cd 1) Si nota che anche ε s,min dipende dalla classe del calcestruzzo. I suoi valori sono riportati nella seguente tabella. Classe 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/55 50/60 f cd (MPa) 9,07 11,33 14,17 15,87 19,83 22,67 25,50 28,33 ε s,min 0,41% 0,60% 0,84% 0,98% 1,31% 1,55% 1,79% 2,02% Si osserva che lo SLU viene sempre raggiunto con l acciaio ampiamente in campo plastico, (ε yd = 0,186%). In definitiva, la limitazione regolamentare della quantità di armatura garantisce in ogni caso un adeguata duttilità della sezione.

Progetto di una sezione rettangolare a semplice armatura 1/4 Nel caso del progetto allo SLU di una trave a semplice armatura sono note: - le resistenze di calcolo del calcestruzzo f cd e dell acciaio ; - il momento flettente di calcolo M Sd. Sono incognite: - la geometria della sezione, in termini di base b e altezza h; - l area dell armatura longitudinale A s. Il progetto viene condotto assegnando il diagramma limite delle deformazioni in accordo alla limitazione regolamentare della quantità di armatura, ponendo x = 0,25 d.

Progetto di una sezione rettangolare a semplice armatura 2/4 Progetto della sezione La risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo, N c, vale N c = β b x f cd ed è applicata alla distanza κ x dal bordo compresso, con β = 0,810 e κ = 0,416. Il braccio della coppia interna risulta z = d κ x = 1 κ x d d = ( 1 κξ )d = ζ d in cui ξ = x d = 0,25 e ζ = z = 1 κξ = 1 0,416 0,25 = 0,896. d Ponendo M Sd = M Rd, la condizione di equilibrio alla rotazione intorno all armatura tesa si scrive Ponendo si ha 1 M Sd = M Rd = N c z = β b x f cd ( 1 κξ)d = β bd 2 ξ( 1 κξ) f cd ( ) f cd r 2 = β ξ 1 κξ M Sd = M Rd = bd 2 r 2 in cui r dipende dalla classe del calcestruzzo e dalle unità di misura utilizzate.

Progetto di una sezione rettangolare a semplice armatura 3/4 Nel caso di travi emergenti la relazione precedente fornisce il minimo valore di d in funzione di M Sd una volta fissato il valore di b, cioè M d min = r Sd b Analogamente, nel caso di travi a spessore la relazione precedente fornisce il minimo valore di b in funzione di M Sd una volta fissato il valore di d, cioè Esprimendo f cd in kpa, i valori di r possono essere calcolati in funzione di f cd con la relazione r = Tali valori sono riportati nella seguente tabella: 1 ( ) f cd = β ξ 1 κξ M Sd = M Rd = bd 2 b min = r2 M Sd d 2 1 0,810 0,25 0,896 f cd = 1 0,1814 f cd Classe 16/20 20/25 25/30 28/35 35/45 40/50 45/55 50/60 f cd (kpa) 9,07x10 3 11,33x10 3 14,17x10 3 15,87x10 3 19,83x10 3 22,67x10 3 25,50x10 3 28,33x10 3 r 0,0247 0,0221 0,0197 0,0186 0,0167 0,0156 0,0147 0,0139 r 2

Progetto di una sezione rettangolare a semplice armatura 4/4 Progetto dell armatura tesa Stabilite le dimensioni della sezione, l area minima dell armatura longitudinale può essere determinata dalla condizione di equilibrio alla rotazione intorno al punto di applicazione della risultante N c degli sforzi di compressione. Si ha M Sd = N s z = A s ζ d = A s 0,896d! A s 0,9d da cui si ottiene M Sd A s = 0,9d

Progetto di una sezione rettangolare a doppia armatura 1/8 Nel caso del progetto allo SLU di una trave a doppia armatura sono note: - le resistenze di calcolo del calcestruzzo f cd e dell acciaio ; - il momento flettente di calcolo M Sd. Sono incognite: - la geometria della sezione, in termini di base b e altezza h; - l area dell armatura longitudinale tesa A s ; - l area dell armatura compressa A s. Analogamente al caso precedente, il progetto viene condotto assegnando il diagramma limite delle deformazioni in accordo alle limitazioni regolamentari sui quantitativi di armatura, ponendo x = 0,25 d.

Progetto di una sezione rettangolare a doppia armatura 2/8 Il braccio della coppia interna z, cioè la distanza tra l armatura tesa A s e la risultante degli sforzi di compressione N c e N s, viene sempre espresso in funzione dell altezza utile d con la relazione z = ζ d. Questa volta, però, ζ non è più uguale a (1 κξ), anche se non è molto diverso da tale valore a causa della vicinanza tra N c e N s. Lo sforzo nell armatura tesa vale N s = A s, quello nell armatura compressa N s = A s σ s. La tensione nell armatura compressa può essere ricavata dal legame costitutivo dell acciaio in funzione della deformazione ε s = x c x ε cu = ξ γ ξ ε cu in cui γ = c/d. Si ha σ s = E s ε s = s avendo indicato con il simbolo s il rapporto tra la tensione dell armatura compressa e il valore di calcolo della tensione di snervamento dell acciaio.

Progetto di una sezione rettangolare a doppia armatura 3/8 Come già mostrato in precedenza, per un acciaio B450C l armatura superiore è snervata quando x > 2,14 c, che per x = 0,25 d, implica che γ = c d 0,25 2,14 = 0,12 In questo caso, che si riscontra di solito nelle travi emergenti, risulta s = 1. per esempio per travi a spessore, si ha σ s = s = ξ γ ε cu ξ ε yd In caso contrario, In definitiva, lo sforzo nell armatura compressa si scrive avendo posto u = A s A s N s = A s σ s = ua s s = s un s

Progetto di una sezione rettangolare a doppia armatura 4/8 Si osserva, inoltre, che la risultante degli sforzi nell armatura tesa e compressa, N s + N s, è applicata alla distanza d 1 al di sotto di N s. Questa distanza può essere calcolata imponendo l equilibrio alla rotazione degli sforzi N s e N s rispetto al punto di applicazione della loro risultante. Si ha N s d 1 N s ( d c + d 1 ) = 0 ( ) = 0 N s d 1 s un s d c + d 1 ( 1 s u)d 1 s u d c ( ) d 1 = s u d c 1 s u ( ) = 0 ( ) = s u 1 γ 1 s u d

Progetto di una sezione rettangolare a doppia armatura 5/8 Progetto della sezione Ponendo M Sd = M Rd, la condizione di equilibrio alla rotazione rispetto al punto di applicazione della risultante degli sforzi nell armatura tesa e compressa si scrive che vale con buona approssimazione anche per travi a spessore. La relazione precedente si può quindi scrivere ( ) = M Sd = M Rd = N c d κ x + d 1 = β b x f cd ( 1 κξ)d + s u(1 γ ) 1 s u d = = bd 2 s u 1 γ βξ( 1 κξ) f cd 1+ 1 s u 1 κξ Per travi emergenti risulta γ! 0,1 (armatura compressa snervata) e poiché κ = 0,416 e ξ = 0,25, si ha 1 γ 1 κξ = 1 0,1 1 0,416 0,25 = 1,005! 1 ( ) f cd 2 βξ 1 κξ M Sd = M Rd = bd 1 s u

Progetto di una sezione rettangolare a doppia armatura 6/8 ( ) f cd 2 βξ 1 κξ M Sd = M Rd = bd Ponendo 1 s u 1 r = βξ ( 1 κξ ) f cd 2 1 s u si ha M Sd = M Rd = bd 2 r 2 Questa relazione è analoga a quella ottenuta per sezioni a semplice armatura e può essere utilizzata allo stesso modo. La presenza di armatura in compressione comporta solo la variazione del coefficiente r, sostituito da r. Si nota che r dipende dalla classe del calcestruzzo, dalla percentuale di armatura compressa u e dal suo tasso di lavoro s.

Progetto di una sezione rettangolare a doppia armatura 7/8 Progetto dell armatura tesa Per determinare la minima armatura tesa, si impone l equilibrio alla rotazione rispetto al punto di applicazione dello sforzo di compressione nel calcestruzzo. Si ha M Sd = N s ( d κ x) + N s ( κ x c) = = A s ( 1 κξ)d + s ua s ( κξ γ )d = con ( ) = A s 1 κξ + s u κξ γ da cui si ottiene A s = M Sd z in cui z è il braccio della coppia interna, pari a ζ = 1 κξ + s u κξ γ ( ) = ( ) = = 1 0,416 0,25+ s u 0,416 0,25 0,1 = 0,896 + 0,004 s u z = ζ d Si nota che la presenza di armatura in compressione non influenza in maniera significativa la misura del braccio della coppia interna. d = A s z

Progetto di una sezione rettangolare a doppia armatura 8/8 Pertanto, per il progetto dell armatura tesa può essere utilizzata la medesima relazione valida per le sezioni a semplice armatura, cioè M A s = Sd 0,9d Progetto dell armatura compressa Definite le dimensioni della sezione e l area dell armatura tesa, si può controllare se occorre anche armatura in compressione calcolando il momento resistente per sezione a semplice armatura M Rd, As =0 = bd 2 r 2 Se risulta M Sd > M Rd, As =0 bisogna disporre anche un armatura compressa per incrementare il momento resistente della quantità ΔM = M Sd M Rd, As =0 Si ha ΔM A s = (d c) s in cui s = 1 se γ 0,12, altrimenti in caso contrario s = ξ γ ξ ε cu = 0,25 γ ε yd 0,25 0,035 0,0186 = 7,53( 0,25 γ )

Valori dei coefficienti r e r 1/2 I coefficienti r e r sono dati dalle espressioni 1 1 r = = β ξ 1 κξ 0,810 0,25 0,896 f cd ( ) f cd = 1 0,1814 f cd r = 1 s u ( ) f cd = βξ 1 κξ 1 s u ( ) f cd = 0,810 0,25 1 0,416 0,25 1 s u 0,1814 f cd Si nota che al crescere della resistenza del calcestruzzo f cd i coefficienti r e r si riducono: un calcestruzzo migliore consente di utilizzare una sezione più piccola. Si nota, inoltre, che al crescere della percentuale u di armatura compressa il coefficiente r si riduce in maniera rilevante per sezioni alte ( γ 0,12), perché l armatura compressa è snervata e fornisce il massimo contributo possibile ( s = 1). Per sezioni basse ( γ > 0,12), invece, l armatura compressa rimane in campo elastico, il suo contributo si riduce ( s < 1) e il coefficiente r varia meno rapidamente. Alcuni valori di r e r sono riportati nella seguente tabella al variare di f cd, γ e u.

Valori dei coefficienti r e r 2/2 Si nota che, in certi casi, i valori di r risultano molto piccoli, e ciò può condurre all utilizzo di sezioni molto basse e molto armate. Tuttavia, per ragioni costruttive, non è opportuno che la percentuale geometrica di armatura sia superiore a 0,010 (1,0%) per le travi emergenti e a 0,015 (1,5%) per le travi a spessore. Indicando questi valori con il simbolo ρ max, si ha ρ max = A s bh = 1 2 r min M Sd 0,9d 1 bh = M Sd bd 2 = M Sd bd 2 = ρ max d 0,9h r min = 1! M Sd 1 bd 2 1 ρ max Il coefficiente r min ha lo stesso significato dei coefficienti r e r. Per l acciaio B450C risulta = 391,3x10 3 kpa e si ha r min = 0,0160 per ρmax = 0,010 e r min = 0,0131 per ρmax = 0,015. Da un punto di vista applicativo è opportuno che r o r non sia inferiore a questi limiti.

Esempi 1/5

Esempi 2/5 0,12

Esempi 3/5

Esempi 4/5 7, 53 7,53 0, 377 0, 377 2,8

Esempi 5/5 1, 0% 0, 377 0, 377 11,5

La pressoflessione retta: verifica 1/4 Una sezione assegnata è soggetta a pressoflessione quando è sollecitata da uno sforzo normale N Sd di compressione e da un momento flettente M Sd diretto secondo uno degli assi principali d inerzia. La verifica allo SLU può essere condotta cercando il momento resistente M rd che corrisponde a uno sforzo normale resistente pari allo sforzo normale di calcolo, cioè N Rd = N Sd, e confrontando tale valore con il momento flettente di calcolo M Sd. Il procedimento di verifica, quindi, può essere sintetizzato nei seguenti passi: 1) Calcolo dello sforzo normale massimo che la sezione può sopportare, che vale N Rd = A c f cd + A s. Se risulta N Sd > N Rd la verifica non è mai soddisfatta, qualunque sia il valore di M Sd. 2) Se risulta N Sd N Rd, poiché le espressioni per il calcolo di N Rd e M Rd sono diverse a seconda che la sezione sia parzializzata o tutta compressa, è necessario individuare a quale delle due situazioni corrisponde lo sforzo normale di calcolo N Sd.

La pressoflessione retta: verifica 2/4 Si deve quindi calcolare il valore dello sforzo normale che separa queste due situazioni, che vale N Rd = β A c f cd + A s,i σ s,i e confrontarlo con N Sd. Se risulta N Rd > N Sd la parte compressa deve essere ridotta affinché sia N Rd = N Sd e la sezione sarà parzializzata. Viceversa, se risulta N Rd < N Sd la sezione sarà tutta compressa. In entrambi i casi bisogna determinare la posizione dell asse neutro, che sarà interno o esterno alla sezione rispettivamente. 3) Se la sezione è parzializzata, la deformazione massima al bordo compresso è pari a ε cu ; il diagramma delle deformazioni è individuato dalla distanza x dell asse neutro dal bordo compresso.

La pressoflessione retta: verifica 3/4 Lo sforzo di compressione nel calcestruzzo può essere calcolato utilizzando lo stesso coefficiente di riempimento β valido nel caso della flessione. Se la sezione è tutta compressa, il diagramma di deformazione deve presentare il valore ε c2 in un punto distante (1 ε c2 ε cu )h! 3h 7 dal lembo compresso (nel caso di sforzo normale centrato, infatti, il diagramma delle deformazioni allo SLU è costante e vale ε c2 ). Il diagramma è individuato dal valore della deformazione minima ε c,min al lembo inferiore, ovvero dal parametro η min = ε c,min 0 η min 1. ε c2 con In definitiva, quindi, il diagramma delle deformazioni cui corrisponde uno sforzo normale N Rd = N Sd, si ottiene ricercando o per tentativi, o con un procedimento iterativo, il valore di x se la sezione è parzializzata, o di η min se la sezione è tutta compressa.

La pressoflessione retta: verifica 4/4 Si osserva, inoltre, che nel caso di sezione tutta compressa lo sforzo di compressione nel calcestruzzo non può essere calcolato utilizzando lo stesso coefficiente di riempimento β valido nel caso della flessione, perché il tratto parabolico delle tensioni nel calcestruzzo non parte da zero. Occorre dunque determinare nuove espressioni per β e κ, che nel caso di sezione rettangolare si scrivono β = 1 4 ( 21 1 η min ) 2 κ = ( ) 2 1 16 49 1 η min 2 1 4 21 1 η min ( ) 2 È facile verificare che per η min = 0 si ottengono i valori relativi al caso della flessione semplice, cioè β = 17 21! 0,810 κ = 99 238! 0,416 4) Una volta individuato il diagramma delle deformazioni per cui N Rd = N Sd, si deve calcolare il momento resistente di calcolo M Rd e confrontarlo con M Sd.

La sezione rettangolare 1/2 Sezione parzializzata Il diagramma delle ε è individuato dalla distanza x dell asse neutro dal bordo superiore. Si ha ε s = d x x Le corrispondenti tensioni si ricavano dalle relazioni da cui si ottiene N s = A s σ s N s = A s σ s La risultante delle tensioni di compressione nel calcestruzzo vale con β = 0,810. ε cu ε s = x c x ε cu σ s = se ε s ε yd σ s = E s ε s se ε s ε yd σ s = se ε s ε yd σ s = E s ε s se ε s ε yd N c = β b x f cd La distanza x dell asse neutro dal bordo superiore si ottiene dalla relazione N c + N s N s = N Sd

La sezione rettangolare 2/2 Sezione tutta compressa Il diagramma delle ε è individuato dal parametro η min = ε c,min ε c2 Le deformazioni in corrispondenza delle armature superiori e inferiori valgono c ε s = 4h / 7 1 η ( min ) + η min ε d c2 ε s = 4h / 7 1 η ( min ) + η min ε c2 Le tensioni nell acciaio e le risultanti N s, N s e N c possono essere calcolate con le stesse espressioni valide per la sezione parzializzata. In questo caso però ( ) 2 β = 1 4 21 1 η min Il parametro η min si ottiene dalla relazione N c + N s + N s = N Sd In entrambi i casi (sezione parzializzata o tutta compressa) il momento resistente M Rd può essere calcolato attraverso la condizione di equilibrio alla rotazione intorno al baricentro geometrico O della sezione. La verifica è soddisfatta se risulta M Rd > M Sd

Esempi 1/2 Si verifichi allo Stato Limite Ultimo una sezione rettangolare 30x60 in calcestruzzo di classe C25/30 armata con 10 cm 2 inferiori e 6 cm 2 superiori in acciaio B450C, con copriferro c = 4 cm, soggetta alle sollecitazioni di calcolo M Sd = 45 knm e N Sd = - 675 kn

Esempi 2/2 Si verifichi allo Stato Limite Ultimo una sezione rettangolare 30x60 in calcestruzzo di classe C25/30 armata con 10 cm2 inferiori e 6 cm2 superiori in acciaio B450C, con copriferro c = 4 cm, soggetta alle sollecitazioni di calcolo MSd = 120 knm e NSd = - 2500 kn

Riferimenti bibliografici 1. D.M. 14 gennaio 2008. Norme tecniche per le costruzioni. Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti, G.U. n. 29 del 4 febbraio 2008, Supplemento Ordinario n. 30, 2008, (NTC08). 2. Circolare 2 febbraio 2009 n. 617. Istruzioni per l applicazione delle Nuove norme tecniche per le costruzioni di cui al D.M. 14 gennaio 2008, approvata dal Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici. 3. Mezzina Mauro (a cura di), Fondamenti di Tecnica delle Costruzioni, Città Studi Edizioni, 2013. 4. Ghersi Aurelio, Il cemento armato (seconda edizione), Dario Flaccovio Editore, 2010. 5. Cosenza E., Manfredi G., Pecce M., Strutture in cemento armato, basi della progettazione (seconda edizione), Ulrico Hoepli Editore, 2015.