INTEGRALI IMPROPRI Prerequiii: Oieivi : Clcolo degli inegrli indefinii Inegrle definio di un funzione coninu Teorem e formul fondmenle del clcolo inegrle Appliczioni del clcolo inegrle Sper riconocere un inegrle improprio Sper diinguere inegrli impropri di primo ipo, di econdo ipo e mii Sper deerminre il crere di un inegrle improprio TEORIA in inei y un funzione coninu nell inervllo [, ], ppimo che oo li condizioni eie Si f ( ) l inegrle definio fr e dell funzione f ( ) e grficmene le inegrle rppreen l re dell pre di pino (TRAPEZOIDE) dei dl grfico dell funzione, dll e delle cie e dlle ree di equzione e. Nel co in cui l funzione egn non i coninu nell inervllo di inegrzione, oppure lmeno uno degli eremi di inegrzione non i finio i prl di INTEGRALE IMPROPRIO. In onz l inegrle improprio rppreen l eenione del conceo di inegrle definio per funzioni che preenino un numero finio di puni diconinuià nell inervllo di inegrzione, oppure per funzioni il cui inervllo di inegrzione riuli ilio. Gli inegrli impropri i clificno in:. Inegrli impropri di I ipo o pecie e lmeno uno degli eremi di inegrzione non è finio.. Inegrli impropri di II ipo o pecie e nell inervllo di inegrzione i h lmeno un puno di diconinuià.. Inegrli impropri che ono conempornemene di I e II ipo.
INTEGRALI IMPROPRI DI PRIMO TIPO Sono inegrli che hnno uno o enrmi gli eremi di inegrzione non finii e i preenno oo l form: f ( ) d ; f ( ) d ; f ( ) d Per clcolre il vlore di li inegrli i inegr l funzione in un inervllo finio e poi i p l ie fcendo endere ll infinio uno o enrmi gli eremi di inegrzione: f ( ) d f ( ) d ; f ( ) d f ( ) d ; f ( ) d f ( ) d In e l riulo che ume il ie i diinguono i egueni ci: ) Se il vlore del ie è finio i dice che l funzione è inegrile in eno improprio o generlizzo nell inervllo do e l inegrle improprio è convergene. (Crere convergene) Inerprezione geomeric Are del rpezoide FINITA ) Se il vlore del ie è infinio i dice che l funzione non è inegrile in eno improprio o generlizzo nell inervllo do e l inegrle improprio è divergene. (Crere divergene) Inerprezione geomeric Are del rpezoide INFINITA ) Se il vlore del ie non eie i dice che l funzione non è inegrile in eno improprio o generlizzo nell inervllo do e l inegrle improprio è indeermino. (Crere indeermino) Inerprezione geomeric Null i può ffermre ull re del rpezoide
Eempio d Si de clcolre il eguene inegrle improprio d d [ log ] [ log log] ( log) Poiché il ie oenuo non è finio, l inegrle improprio diverge. Eempio d Clcolre il eguene inegrle improprio d d Poiché il ie eie ed è finio, l inegrle improprio converge. Eempio Clcolre il eguene inegrle improprio co d co d co d [ en] [ en en] en( ) en( ) Poiché per, en ocill conemene r e, le ie non eie e quindi l inegrle improprio è indeermino.
INTEGRALI IMPROPRI DI SECONDO TIPO Sono inegrli che preenno lmeno un puno di diconinuià nell inervllo di inegrzione e, proprio in relzione l loro inervllo di inegrzione, i preenno, in genere, nelle egueni forme: f ( ) d con f ( ) defini in [ ; [ f ( ) d con f ( ) defini in ], ] f ( ) d con f ( ) defini in ], [ f ( ) d con f ( ) defini in [, c[ ] c, ] Per clcolre il vlore di li inegrli i inegr l funzione in un inervllo di comple coninuià e poi i p l ie fcendo endere zero uno o enrmi i prmeri uilizzi nei nuovi eremi di inegrzione: f ( ) d f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) c f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) c d d d c c In e l riulo che ume il ie i diinguono i egueni ci: ) Se il vlore del ie è finio i dice che l funzione è inegrile in eno improprio o generlizzo nell inervllo do e l inegrle improprio h crere convergene. Inerprezione geomeric Are del rpezoide FINITA ) Se il vlore del ie è infinio i dice che l funzione non è inegrile in eno improprio o generlizzo nell inervllo do e l inegrle improprio h crere divergene. Inerprezione geomeric Are del rpezoide INFINITA ) Se il vlore del ie non eie i dice che l funzione non è inegrile in eno improprio o generlizzo nell inervllo do e l inegrle improprio h crere indeermino. Inerprezione geomeric Null i può ffermre ull re del rpezoide d
Eempio Clcolre il eguene inegrle improprio: d poiché ( ) f h un puno di diconinuià per l inegrle è improprio di econdo ipo e, medine il meodo d inegrzione di funzioni rzionli fre, i riduce : [ ] [ ] ( ) log log log log log log log d d Poiché il ie oenuo non è finio, l inegrle improprio diverge. Eempio Clcolre il eguene inegrle improprio : d poiché ( ) f h un puno di diconinuià per l inegrle è improprio di econdo ipo e, riconducendolo d un inegrzione immedi, diven: rcen rcen rcen rcen d d Poiché il ie eie finio, l inegrle improprio converge. Eempio Clcolre il eguene inegrle improprio : d poiché ( ) f nell inervllo d inegrzione h un puno di diconinuià per l inegrle è improprio di econdo ipo e diven: d d d d d Poiché il ie eie finio, l inegrle improprio converge.
ESERCIZI: Queii ripo mulipl:
ESERCIZI: Deermin il crere dei egueni inegrli impropri:. d 5. e d. log d. d 5. d co 6. e d 7. d 8. d ( ) d 9.. d. end. d