Problemi di isic Principio conservzione energi meccnic
Su un corpo di mss 0kg giscono un serie di orze 0N 5N 37N N (orz di ttrito), secondo le direzioni indicte in igur, che lo spostno di 0m. Supponendo che il corpo inizilmente è ermo, clcolre l velocità inle. Applichimo il teorem dell energi cinetic: () T ΔE E E I v v I dove: T i + + 3 + e risolvendo l () rispetto ll velocità, spendo che inizilmente il corpo è ermo, si ottiene: () v T Il problem desso è clcolre il lvoro totle prodotto dlle orze che giscono sul corpo. Si può procedere in due modi: ) lcolre l orz totle e quindi pplicre l deinizione di lvoro: dove: T T s T s cos α 6J Tx Ty T tgα Tx Ty Tx x y + x y Ty + y + 6.5N 0. α.6 3x cos 45 + + cos30 + N P sen45 sen30 3.6N 3 3 6.N Pertnto dll ppliczione dell () si ottiene: v T 6 5,7m / s 0
) lcolre il lvoro prodotto dlle singole orze ttrverso l ppliczione dell deinizione di lvoro e quindi sommrli lgebricmente: dove: T i + + 3 + N + P 6J s s cos 45 70.7N s s cos 0 50N 3 3 s 3 s cos30 60.6N s s cos80-0n N N s N s cos90 0N P P s P s cos 70 0N Pertnto dll ppliczione dell () si ottiene: v T 6 5,7m / s 0 Un treno viggi su un binrio orizzontle ll velocità costnte di 36 km/h. Supponendo che l locomotiv sviluppi un potenz di 00 kw per mntenere costnte l velocità, determinre l orz dovut gli ttriti e ll resistenz dell ri che si oppone l moto. Poiché l locomotiv si muove velocità costnte, signiic che l somm vettorile di tutte le orze che giscono su di ess è null e quindi il lvoro totle è nullo; ossi l orz resistente (ttrito e resistenz dell ri) è ugule ll orz motrice sviluppt dl motore del treno, e quindi il lvoro resistente è ugule quello motore. Pertnto, prtendo dll deinizione di potenz, clcolimo l orz resistente: 3 s P 00 0 4 P v 0 N dove 36 km/h 0 m/s t t v 0
Sotto l zione di un orz conservtiv di intensità pri 60 N, un corpo mterile di mss 50 kg descrive un rco di circonerenz come quello in igur, di mpiezz 60 e rggio,8 m. Se il corpo h inizilmente velocità null, qunto vle l su velocità ll ine del percorso? Il tringolo AB è equiltero. Intti: HB B sen30 R AB HB R Poiché l orz è conservtiv, il lvoro compiuto è lo stesso qulunque si l triettori che unisce i punti A e B. Pertnto, scegliendo ABR come triettori, il lvoro compiuto d vle: AB R 60,8 78J Dl teorem dell energi cinetic ricvimo l velocità ll ine del percorso: ΔK K K i mv 0 v m 78 50 5, 4m / s Un ser è ppoggit su un moll (k950 N/m), dispost verticlmente e compress di 4 cm. mss dell ser è di 400 g, mentre l mss dell moll è trscurbile. lcolre l ltezz rggiunt dll ser qundo l moll viene libert. lcolre l percentule di energi meccnic dissipt se nel successivo lncio, in seguito lle orze dissiptive, l ser rggiunge l metà dell ltezz precedente. PRINIPIO ONSERVAZIONE ENERGIA EANIA E i E kx mgh h kx 950 0,4 mg 0, 4 0,3 m energi meccnic, in ssenz di orz dissiptive, vle: E mgh 0, 4 0,3 9, J
energi meccnic, in presenz di orze dissiptive che nno rggiungere ll ser un ltezz metà dell precedente, vle: E mg h E Pertnto, l percentule di energi meccnic dissipt è pri l 50%. Un vgone delle montgne russe di mss 80 kg h un velocità di modulo 0 m/s nell posizione A. lcolre l velocità del vgone qundo è nel punto. Si ssum g0 m/s. PRINIPIO ONSERVAZIONE ENERGIA EANIA E A E K A +U A K +U /mv A + /mgh /mv + /mgh 0 +0 0 v +0 6 v 480, 9m / s Determinre l ltezz minim dll qule dovrebbe prtire un corpo per percorrere intermente il circuito, nell ipotesi che strisci senz ttrito e che il rggio del cerchio si 30 cm. Nel punto A il corpo, essendo ermo, h solo energi potenzile, mentre in B h si energi potenzile che energi cinetic, che gli serve per non cdere e quindi percorrere intermente il circuito. Per clcolre l ltezz h pplichimo il principio di conservzione dell energi meccnic, in qunto l unic orz in gioco è l orz peso, che è un orz conservtiv: E A E B mgh mgr + mv
Nel punto B, l ccelerzione centripet ll qule è soggetto il corpo non è ltro che l ccelerzione di grvità, per cui: V g R V g R Pertnto, si ottiene: 5 5 g / h gr / + gr / h R 30 75cm Un corpo di mss m kg viene lscito ndre, con velocità inizile null nel punto A di un supericie vente l orm di un qudrnte di cerchio, di rggio R,3 m. Esso scivol lungo l curv e rggiunge il punto B con un velocità V0 3,7 m/s. A prtire dl punto B scivol su un supericie pin, rrestndosi inine nel punto, che dist d,8 m d B. lcolre: q q il coeiciente di ttrito dell supericie pin il lvoro compiuto contro le orze d ttrito mentre il corpo scivol lungo il trtto AB q ungo il trtto AB, essendoci ttrito, vi è un dissipzione di energi, per cui l energi possedut nel punto B è minore di quell possedut nel punto A. quntità ΔEEA EB rppresenterà proprio il lvoro compiuto contro le orze di ttrito lungo il trtto AB: ΔE E A E B mgr mv 9,8,3 3,7 5,9J q Per clcolre il coeiciente di ttrito dell supericie pin ci serve clcolre il lvoro resistente compiuto dll orz d ttrito. A tl proposito utilizzeremo il: TEOREA DE ENERGIA INETIA ΔE E E B 0 mv 0 3,7 6,8J Noto, dll deinizione di lvoro clcolimo l orz d ttrito:
6,8 D,4N D,8 Inine, dll deinizione dell orz d ttrito ricvimo il coeiciente d ttrito:,4 µ P µ P m g 9,8 0,5
Un ser pesnte poggit sopr un moll elstic produce un compressione sttic di x0 cm. lcolre l mssim compressione dell moll x se l ser cde sopr l moll dll ltezz h0 cm, nell ipotesi che l mss dell moll si trscurbile. Applichimo il secondo principio dell dinmic l corpo poggito sull moll per clcolre l su mss: mg m k x g g dove l non è ltro che l orz elstic prodott dll moll (legge di Hooke). Per clcolre l compressione dell moll nel cso in cui l ser cde sopr l moll dll ltezz h, pplichimo il: PRINIPIO DI ONSERVAZIONE DE ENERGIA EANIA kx / mg (h + x ) kx g/ (h + x ) kx / hx + xx x x xx hx g/ Risolvimo l equzione di grdo nell incognit x così ottenut: b ± b 4c 0 ± 400 + 9600 0 ± 00 x 0x 400 0 x 60cm dove bbimo eliminto l soluzione x -40 cm perché isicmente non ccettbile. 0 Un pllottol di mss 0 g, sprt contro un blocco di mss 990 g poggito sopr un supericie priv di ttrito e issto d un moll di mss trscurbile e k00 N/m, viene incorport dl blocco. Se in seguito ll urto l moll subisce un compressione mssim di 0 cm, clcolre l energi potenzile mssim dell moll e l velocità del blocco subito dopo l urto.
energi potenzile mssim viene clcolt ttrverso l su deinizione: U e kx 00 0, 0,5J Applichimo il principio di conservzione dell energi meccnic (tutt l energi cinetic del blocco viene trserit ll moll sotto orm di energi potenzile elstic) per clcolre l velocità del blocco: U e 0,5 E U e ( + m) V U e V m / s + m 0,9 + 0 Un corpo di mss 00 g, lncito verticlmente verso l lto con velocità di 5 m/s, rggiunge l ltezz mssim di 30 m. lcolre l energi meccnic perdut per l resistenz dell ri. orz d ttrito è un orz dissiptiv, per cui il corpo rggiungerà l mssim ltezz con un energi potenzile U ineriore quell cinetic E possedut ll inizio del moto. Pertnto l quntità ΔE E U rppresenterà proprio l energi meccnic dissipt per eetto dell ttrito dell ri: Δ E E U mv mgh 0, 5 0, 9,8 30 3,7J Un css vente l mss di 0 kg viene trscint per un distnz di 5,0 m sopr un supericie orizzontle con coeiciente d ttrito 0,40 d un orz costnte di 00 N nell direzione del moto. lcolre: q q il lvoro compiuto dll orz pplict e dll orz d ttrito l velocità inle dell css nell ipotesi che l velocità inizile si null q Il lvoro compiuto dll orz è un lvoro motore, quindi positivo; mentre il lvoro compiuto dll orz è un lvoro resistente, quindi negtivo.
Pertnto: D 00 5 000J D µ g D 0,40 0 9,8 5 39J q Il lvoro totle compiuto dlle orze che giscono sul corpo è: T i 000 39 608J Utilizzndo il teorem dell energi cinetic simo in grdo di clcolre l velocità inle dell css: T ΔE T 608 E E V 0 V 7,8m / s I 0 Un corpo di mss 5kg è trscinto in slit con velocità costnte su un rmp priv di ttrito per un trtto 5.7m ino d un ltezz h.5m,rispetto l punto di prtenz, dove si rrest. lcolre il lvoro svolto dll orz peso P! e dll orz trinnte!. Applichimo l deinizione di lvoro per clcolre quello compiuto dll orz peso: P h P P cos(90 + α) mgsenα mg/ mgh 5 9,8,5 368J / dove: h sen α cos( 90 + α) senα Il lvoro totle compiuto d tutte le orze che giscono sul corpo è zero; intti dl teorem dell energi cinetic:
ΔE E E 0 in qunto vi v 0 T i quindi: + + 0 m N N N cos90 0 T P N pertnto: + 0 368J P P cbin di un scensore 500kg st scendendo con velocità inizile vi4.0m/s qundo il sistem di rgni che ne controll l disces cominci slittre, lscindol cdere con ccelerzione g/5. lcolre l velocità inle dell cbin dopo un cdut di hm. Applichimo il teorem dell energi cinetic: TOT ΔE E E i v v i v TOT + v i Poiché non è noto il lvoro svolto dlle orze che giscono su, procedimo nel seguente modo: dove: P TOT P g cos 0 5.9 0 4 J T + P. 0 4 J T T T cos80 4.7 0 4 tensione T l clcolimo pplicndo il principio dell dinmic: 4 4 P T T g (g g / 5) g 9,8 500 390N 5 5
In deinitiv: v 4, 0 + 500 4 500 8m / s onsiderzione: E E i vi + gh 6.8 0 3 v 5.6 0 J 3 J ΔE E E i 47. 0 3 J cos rppresent? Un blocco 5.7kg scivol, con un velocità v. m/s, sul pino orizzontle privo di ttrito di un tvolo, e comprime un moll di costnte elstic k500n/m. Per qule mssim distnz è compress l moll? Applichimo il teorem dell energi cinetic ll mss : ΔE v vi vi in qunto v 0 Applichimo il teorem dell energi cinetic ll moll: kx i kx kx Pertnto: vi 5,7, vi kx x 0,074m 7.4cm k 500
igur mostr un corpo di mss kg scivol su un supericie priv di ttrito dl punto A l punto B, mentre il dislivello verticle è h0.80m. Qunto lvoro compie il peso di? Dll nlisi del problem ppre subito evidente l diicoltà nel risolverlo in qunto non conoscimo l estt orm del percorso seguito. E nche se l conoscessimo, il clcolo srebbe comunque complicto dl tto che l ngolo, che entr nell ormul del lvoro, vri continumente lungo il percorso seguito dl corpo., grzie l tto che l orz peso P è conservtiv, possimo scegliere un ltro percorso tr A e B che ciliti i clcoli. A tl proposito sceglimo il percorso AB, e su di esso clcolimo il lvoro svolto d P. A B TOT P g cos 90 0 P h g h cos 0 5.7J A + B 5.7J Nell igur un pllin di mss m è lscit ndre, d ermo, dll cim di uno scivolo lto h8.5m. A che velocità l pllin rriverà terr, supponendo che l ttrito si nullo? Principio di conservzione dell energi: E i E E i + E Pi E + E P 0 + gh v + 0 v gh 3m / s onsiderzioni: velocità clcolt è l stess che vrebbe rggiunto l pllin se osse cdut lungo l verticle h risoluzione di questo problem con le sole leggi dell dinmic srebbe stt più lborios.
Un serett d cciio m5.g viene sprt verticlmente verso il bsso d un ltezz h8m con velocità inizile vi4m/s, per ondre nell sbbi un proondità hcm. lcolre:. l vrizione di energi meccnic dell serett. l vrizione di energi intern del sistem serett-terrsbbi 3. l intensità dell orz di resistenz medi esercitt dll sbbi sull serett.. Vrizione dell energi meccnic ΔE ΔE + ΔE P lcolimo l vrizione di energi cinetic: Δ E E E i 0 mv i dove l energi cinetic inle è null in qunto ll istnte dell rresto ll proondità h l velocità è zero. lcolimo l vrizione di energi potenzile: Δ EP EP EPi 0 mg(h + h ) dove l energi potenzile inle è null in qunto come rierimento di zero bbimo scelto il punto di rresto dell serett. In deinitiv: Δ E mvi mg(h + h ).44J. Principio di conservzione totle dell energi : Δ E + ΔE INT 0 ΔE INT ΔE.44J onsiderzione: mentre l serett penetr nell sbbi, l orz dissip l su energi meccnic, trserendol ll energi intern (energi termic) dell serett e dell sbbi. 3. energi meccnic dell serett si conserv ino che ess rggiunge l sbbi. In seguito, mentre l serett si spost di un distnz h dentro l sbbi, l su energi meccnic vri di ΔE. Pertnto il lvoro (negtivo in qunto è dirett in senso opposto llo spostmento dell serett) svolto d è proprio ugule ΔE: h h cos80 h ΔE h ΔE 6.84N h
onsiderzione: Si potrebbe trovre nche ttrverso l uso delle leggi dell cinemtic (ricvre l velocità dell serett ll supericie dell sbbi e il rllentmento nell sbbi) e dell dinmic, m con evidenti clcoli più lboriosi. Un ser h un mss m50g e viene lscit ndre d erm lungo un pist (h80cm; R0cm). lunghezz del trtto di pist dl punto di prtenz l punto più lto del cerchio è.5m. ) lcolre, in ssenz di ttrito, l minim ltezz dl suolo d cui si deve lscire ndre l ser, inché riesc compiere il giro del cerchio senz cdere; b) scindo ndre l ser dl punto più lto dell pist, clcolre il vlore mssimo mmissibile per l orz d ttrito, suppost costnte lungo tutt l pist, inché l ser riesc percorrere il cerchio senz cdere; c) Se l orz d ttrito è 0.03N, clcolre l velocità con l qule l ser sorpss il punto più lto del cerchio. ) Applichimo il principio di conservzione dell energi meccnic: E i E E i + E Pi E + E P 0 + mgh min mv + mgr h min v + 4gR g m nel punto più lto del cerchio vle l relzione: gr + 4gR 5gR 5 5 per cui: h IN R 0 50cm g g v g g v gr R b) In questo cso non vle il principio di conservzione dell energi meccnic, in qunto è presente un orz non conservtiv, l orz d ttrito, per cui : ) Δ E E E i ( mv + mgr) mgh dove e sono due vettori prlleli e discordi istnte per istnte, per cui: pertnto dll ) si ricv che:!! cos α
mgh 4mgr mv e tenendo presente che nel punto più lto del cerchio vle l relzione: llor: v g g v gr R mgh 4mgR mgr mgh 5mgR h 5R 0,8 5 0, mg 0,05 9,8 0.06N,5 c) In corrispondenz di un orz d ttrito pri 0,03 N l velocità nel punto più lto vle: mgh 4mgR mv 0,05 v (mgh m mgr ) (0,05 9,8 0,8 0,05 9,8 0, 0,03,5).m / s Un utomobile uori controllo st scendendo con un velocità v30km/h. All ine dell disces c è un rmp di emergenz in controtendenz, con inclinzione β5. Qule deve essere l lunghezz minim per essere certi che l utomobile rresti l su cors? Applichimo il principio di conservzione dell energi meccnic: m: E i E mvi + 0 0 + mgh h senβ per cui: mv v i mgsenβ gsenβ i 57m
Un sticell di mss trscurbile e lunghezz,00m è isst d un perno che le consente di descrivere un cerchio in un pino verticle. Un pll pesnte di mss m è isst ll estremità ineriore. sticell è spostt lterlmente di un ngolo β30 e qui viene lscit liber. A che velocità si muoverà l pll pssndo per il punto più bsso? Applichimo il principio di conservzione dell energi meccnic: E i E mgh + 0 mv + 0 m: h h cosβ ( cosβ) per cui: mg( cosβ) mv v g( cosβ),3m / s Un blocco m,00kg è ppoggito contro un moll sul pino inclinto, come indicto in igur, con pendenz β30, privo di ttrito. moll, vente costnte elstic k9,6 N/cm, è compress di x0 cm e poi lscit liber. Qunto lontno lungo il pino inclinto viene spinto il blocco? Applichimo il principio di conservzione dell energi meccnic: per cui: E E kx mgh dove: h senβ i kx kx mgsenβ 4m mgsenβ
Un pllin, prtendo d erm, scende lungo un pino inclinto (h70cm) senz ttrito, posto su un tvolo d un ltezz h80 cm rispetto l suolo. A qule distnz dl tvolo cdrà l pllin? Applichimo il principio di conservzione dell energi meccnic per determinre l velocità dell pllin nel punto A, che è indispensbile conoscere per clcolre : E i E mgh + 0 mv + 0 v gh 3,7m / s Il moto di cdut dell pllin è quello del proiettile, ossi è crtterizzto d due moti indipendenti, uno in verticle di moto uniormemente ccelerto ed uno in orizzontle di moto uniorme, pertnto: vt h gt 3,7 0,4,5m h 0,7 t g 9,8 0,4s Un pllin viene lncit con velocità inizile vi5 m/s su un rmp senz ttrito (α30 ; h0 cm), ed uscendo descrive un triettori prbolic. A che distnz dll rmp cdrà l pllin? Applichimo il principio di conservzione dell energi meccnic per determinre l velocità dell pllin nel punto più lto dell rmp: E i E mv i + 0 mv + mgh v v i gh 4,85m / s triettori prbolic dell pllin è l composizione di due moti indipendenti, uno in verticle di moto uniormemente ccelerto ed uno in orizzontle di moto uniorme, pertnto: v x t v cos 30 t h v y t gt v sen30 t gt 4,85 cos 30 0,54,3m t 0,54s
dove il tempo t è stto clcolto dll second equzione del sistem che è un equzione di grdo: gt v sen30 h 0 9,8t b ± 4,9t 0, 0 t b 4c 4,9 ± 4 + 7,8 9,6 0,54s dove bbimo trscurto l soluzione t -0,04 s perché isicmente non ccettbile.
lcolre il lvoro compiuto dll orz vribile, l cui componente prllel llo spostmento è mostrt nel grico in unzione dello spostmento stesso. Prtendo dl concetto che il lvoro compiuto d un orz vribile è dto dll re sottes dll unzione che descrive l ndmento di tle orz, llor: 6 + 4 6 + 3 A + A + A 3 + A 4 + A 5 ( 4 4) + ( ) + ( 6) + ( ) + ( 3) 4J