Esecizio 9.1 Esecizi con soluzione Te divese onde sonoe hanno fequenza ν ispettivamente 1 Hz, 1 Hz e 5 Mhz. Deteminae le lunghezze d onda coispondenti ed i peiodi di oscillazione, sapendo che la velocità del suono nell aia è v33 m/s. Ricodando le elazioni λv/ν e T1/ν,, ottengo l 1 33 m T 1.1 s, l 2.33m T 2 1 ms, l 3 6.6 1-6 m T 3 2 ns. Esecizio 9.2 Un onda elettomagnetica piana sinusoidale, di fequenza ν1 Khz, polaizzata lineamente, si popaga nel vuoto nel veso positivo dell asse x. a) Se il campo elettico ha ampiezza E 1 V/m quanto vale l ampiezza del campo magnetico? b) Si deteminino le espessioni in funzione del tempo del campo elettico e di quello magnetico se all istante t 1 7.5 µs nel punto dell asse x di ascissa x 1 57 m il campo elettico ha componente E 1 E 1 V/m secondo l asse y. a) B E / c 33.3 nt. b) Deve essee quindi E sin [k(x 1 - x ) - ω t 1 ] E k(x 1 - x ) - ω t (2nπ + π/2) ad con n inteo positivo o negativo: si ottiene x x 1 - ct 1 - (n + 1/4) λ -2943 m - n λ essendo λ c/ν 3 m a questo punto, il campo magnetico e quello elettico si ottengono dalle equazioni amoniche E E sin[ k (x-x ) - ω t] B ce sin[ k (x-x ) - ω t] Esecizio 9.3 Il campo elettico del segnale accolto da un icevitoe adio ha un ampiezza massima E.1 V/m; appossimando ad un onda piana l onda icevuta, si calcoli: a) l intensità media dell onda; Politecnico di Toino Pagina 1 di 6
b) la potenza della stazione se questa iadia isotopicamente ed è posta a distanza d 5 m dall appaecchio icevitoe. a) l intensità media è appesentata dal valo medio del vettoe di Poynting 1 1 I P( t) E( t) B( t ) µ cµ 2 2 E sin ωt b) I appesenta l enegia che in media, nell unità di tempo, attavesa l unità di supeficie; poiché la stazione iadia isotopicamente, la potenza media che attavesa la 2 supeficie sfeica con cento nella stazione e aggio isulta 4π I e coincide con la 2 potenza media iadiata dalla stazione, quindi W media staz. 4π I 41.7 Watt. Esecizio 9.4 Un onda elettomagnetica piana, di fequenza ν25 Khz, si popaga nel vuoto e si iflette sopa una supeficie piana pefettamente conduttice, disposta pependicolamente alla sua diezione di popagazione. A quale distanze dalla supeficie si fomano il pimo massimo e minimo del campo elettico? Si considei un asse x pependicolae alla supeficie piana conduttice, con l oigine O su questa. L onda elettomagnetica piana con il campo elettico costantemente polaizzato lungo l asse y, può in geneale scivesi come sovapposizione di un onda pogessiva ed una egessiva, cioè E(x,t)E sin(kx-ω t) + E 1 sin(kx + ω t + φ) la supeficie è pefettamente conduttice, quindi in tutti i suoi punti, quindi nel piano x E in qualunque istante t; da ciò segue che E E 1 e φ, pe cui applicando la fomula di postafeesi sin a + sin b 2 sin [(a + b)/2]cos[(a + b)/2] ottengo: E(x,t)E sin(kx-ω t) + E sin(kx + ω t)2e sin(kx)cos(ω t) che è l equazione di un onda stazionaia, caatteizzata dall avee una velocità di popagazione nulla. Nei punti di ascisse x(2n + 1)π/(2k) (2n + 1) λ/4 l ampiezza elettica è massima (venti), i punti di ascisse xn λ/2 sono invece i minimi (nodi). Nel nosto caso λc/ν, pe cui si ha il pimo vente pe l max 3 m ed il pimo nodo pe x. Politecnico di Toino Pagina 2 di 6
Esecizio 9.5 Il vettoe di Poynting di un onda elettomagnetica piana nel vuoto è dato da: 2 S ( x, t) S cos ( kx t) ω u x ed è oientato quindi lungo il semiasse positivo delle ascisse in un sistema di ifeimento catesiano (x,y,z). Il valoe dell ampiezza S è 4 W/m 3, il numeo d onda k vale 2 m -1 e la pulsazione angolae ω vale 3x1 9 s -1. Viene ichiesto di calcolae la lunghezza d onda λ, la fequenza ν dell onda e il valoe dei moduli del campo elettico E e del campo magnetico B. Ricodando le elazioni k2π/λ e ω2πν posso scivee: 2π λ k ω ν 2π 6.28.314 m 2 9 1 1.592 1 6.28 8 Hz pe ciò che iguada invece il valoe assunto dai moduli dei campi elettico e magnetico icodiamo che 1 S E B ed inolte che BE/c. Di conseguenza avemo che : µ 1 S µ E B 1 c µ E 122.8 V/m E E.49 1 6 B T Politecnico di Toino Pagina 3 di 6
Esecizi con soluzione Esecizio 9.6 Un onda adio si popaga in un mezzo nel quale è ε 1.5 e µ 1.5 con una fequenza uguale a 1 KHz. Si calcoli la lunghezza d onda. λ239 m. Esecizio 9.7 Un onda elettomagnetica si popaga in un mezzo con velocità 1.5 1 8 m/s. Sapendo che la costante dielettica elativa del mezzo è 3, si calcoli la pemeabilità magnetica del mezzo. µ 1.33. Esecizio 9.8 Un onda elettomagnetica piana di fequenza f7.5 1 14 Hz si popaga lungo l asse x. Essa è polaizzata ettilineamente con il campo elettico E che foma l angolo θ3 con il piano x,y ed ha ampiezza E 1 3 V/m. Scivee l equazione di quest onda e calcolae l ampiezza del campo magnetico. E y.866 µ 1.33. Esecizio 9.9 Le onde luminose nel vuoto hanno una lunghezza d onda che vaia da un massimo di cica.8 µm pe il osso ad un minimo di cica.4 µm pe il violetto. Si detemino i valoi minimo e massimo della fequenza di vibazione del loo campo elettomagnetico. 3.75 1 14 Hz ; 7.5 1 14 Hz. Esecizio 9.1 Il campo elettico di un onda elettomagnetica piana ha un ampiezza di 1-2 N/C. Si tovi la gandezza del campoi magnetico e l enegia pe unità di volume. B3.33 1 11 T; E 8.85 1 16 J/m 3. Politecnico di Toino Pagina 4 di 6
Domande a Test. Domanda 9.1 Un onda elettomagnetica piana polaizzata si popaga nel vuoto con fequenza ν 25 khz. La sua lunghezza d onda λ e la sua velocità di popagazione v valgono: 1) λ 12 km ; v 3 1 6 m/s 2) λ 12 m ; v 3 1 8 m/s 3) λ 12 cm ; v 3 1 8 m/s 4) λ 12 km ; v 3 1 8 m/s RISPOSTA CORRETTA : 2 Domanda 9.2 Si sovappongono due onde piane monocomatiche descitte dalle equazioni ξ 1 4sen( 3x 2t) e ξ2 4sen( 3x + 2t). Se le lunghezze sono espesse in meti e i tempi in secondi, la velocità di guppo della isultante vale: 1),667 m/s 2) 3) 1,333 m/s 4) Non si può die se non si specificano le popietà del mezzo ento il quale avviene la popagazione. RISPOSTA CORRETTA : 2 Domanda 9.3 La legge di Gauss nel vuoto si può espimee mediante la fomula 1) E V ) 2) E u ldl B 3) E t 4) E ρ / ε RISPOSTA CORRETTA : 4 Domanda 9.4 Un onda elettomagnetica di fequenza f5 GHz si popaga in un mezzo con indice di ifazione n2.5. La sua velocità di fase vale: 1) v3 1 8 m/s 2) v5 1 9 m/s Politecnico di Toino Pagina 5 di 6
3) v1.2 1 8 m/s 4) v2 1-1 m/s RISPOSTA CORRETTA : 3 Domanda 9.5 Un onda elettomagnetica polaizzata lineamente si popaga nel vuoto. Il modulo del campo magnetico vale B5 1-8 T. La densità volumica di enegia vale: 1) w1.99 1-9 J/m 3 2) w3.5 1-9 J/m 3 3) w5 1 3 J/m 3 4) w1.99 1 9 J/m 3 RISPOSTA CORRETTA : 1 Politecnico di Toino Pagina 6 di 6