Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerici per il Design 0 Settemre 00 Vettori Geometrici 1 Vettori Geometrici Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 1 1
Segmento orientto P P 1 Direione: quest Verso: d P 1 P Lunghe P 1 P Vettore Geometrico B P B B VETTORE APPLICATO ALL ORIGINE A A A O UNO QUALSIASI DI QUESTI SEGMENTI ORIENTATI RAPPRESENTA LO STESSO VETTORE GEOMETRICO IL MODULO DEL VETTORE È LA LUNGHEZZA DEL SEGMENTO 4 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg.
Coseni Direttori I coseni direttori sono i coseni dei tre ngoli α β e γ che il ettore form rispettimente con i semissi positii,,. γ α β O I coseni direttori NON sono fr loro indipendenti 5 Somm di due ettori + REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA 6 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg.
Somm di n ettori n 1 + + + n 1... 7 Differen di due ettori - - REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA 8 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 4 4
Prodotto di un Vettore geometrico per un Numero, con numero rele, è un ettore: Stess direione di Modulo Verso: concorde con se >0, ltrimenti discorde. -1,5-1,5 9 Corrisponden fr Vettori Geometrici e Vettori Algerici (TITOLO) 10 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 5 5
Definiione di Punto Vettore (Punto Rppresenttore) Dto un sistem crtesino nello spio ( ssi) Punto ettore (o rppresenttore): è il secondo estremo di un ettore pplicto ll origine P (,,) 11 Corrisponden fr Vettore Geometrico e ettore Algerico Dto un ettore geometrico Prendimo un riferimento crtesino con origine in A Il punto rppresenttore B h coordinte (,,) Corrisponden iunioc fr l tern ordint (,,) (ettore lgerico componenti) e il punto B (secondo estremo di ) B(,,) A SONO LE COMPONENTI DI 1 1 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 6 6
Somm di due ettori geometrici-lgerici + (+) LA REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA ILLUSTRA LA CORRISPONDENZA FRA SOMMA DI DUE VETTORI GEOMETRICi E SOMMA DI DUE VETTORI ALGEBRICi A COMPONENTI 1 Applicione dell Differen di due ettori A( 1,, ) - B ( 1,, ) Il ettore pplicto in B e ente per secondo estremo A (-) corrisponde l ettore lgerico: 1 1 14 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 7 7
Esempi 1) Dti i due punti A(1,-5,) B(7,-,0) indiidure il ettore lgerico pplicto in B e di secondo estremo A: 1 7 5 + 0 6 ) Dto il ettore pplicto in B(,0,-5): indiidurne il secondo estremo A. A(8+, -/+0, --5) 8 15 Prodotto di un Vettore geometricolgerico per un Numero Dll definiione di prodotto di ettore geometrico per un numero si eince immeditmente l corrisponden in R : ettori lgerici proporionli 16 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 8 8
Applicioni 1) Un qulsisi tern ( c) di numeri proporionli (componenti di ) determin un ettore prllelo ) ( c) si dicono prmetri direttori (indiiduno un direione e un erso del ettore geometrico) 1,5 ( c) (1,5 1,5 1,5 ) ( c) ( ) O -0,5 ( c) (-0,5-0,5-0,5 ) 17 Prllelismo fr ettori - Esempio 1 Dti i due ettori geometrici che hnno come corrispondenti i ettori lgerici 8 1/ 1 erificre che sono prlleli. w 4 1/ 4 6 I due ettori geometrici sono prlleli, inftti le componenti dei ettori lgerici corrispondenti sono proporionli, con fttore di proporionlità 1/ 18 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 9 9
Prllelismo fr ettori - Esempio Dto il ettore geometrico il cui corrispondente lgerico è 0 7 indiidure un ettore prllelo e di modulo rddoppito w 4 14 0 19 Versori degli ssi i è il ettore di direione l sse, erso positio e modulo 1 si dice ersore dell sse j è il ersore dell sse k è il ersore dell sse i k O j 1 i 0 0 0 j 1 0 0 k 0 1 0 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 10 10
Componenti di un Vettore geometrico e lgerico Dti un riferimento crtesino e un ettore pplicto in O Moltiplichimo le coordinte del punto rppresenttore P per i tre ersori degli ssi rispettii I NUMERI SONO k P(,,) LE COMPONENTI DI I VETTORI i j k SONO I COMPONENTI DI j O i i + j + k L somm di questi tre ettori è (form crtesin) Ogni ettore può essere espresso come cominione 1 linere dei tre ersori Form crtesin di un ettore geometrico k i + j + k P(,,) i O j L somm di questi tre ettori è (form crtesin) Ogni ettore geometrico può essere espresso come cominione linere dei tre ersori degli ssi Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 11 11
Componenti di un Vettore: Esempi Scriere in form crtesin il seguente ettore: k P(,,) O j i 7 i -j+7k,-,7 sono le componenti del ettore lgerico i,-j,7k sono i componenti del ettore geometrico Coseni direttori di ettori geometrici-lgerici Dll definiione di coseni direttori geometrici segue che i coseni direttori lgerici sono determinti dl rpporto tr le componenti del ettore (coordinte crtesine del punto ettore) e il suo modulo (lunghe del ettore geometrico) α O γ β cos α cos β cos γ 1 1 1 1 + + + + + + cos α + cos β + cos γ 1 4 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 1 1
Dto il ettore Esempio sui coseni direttori 7 determinrne un tern di prmetri e i coseni direttori. - c7 cos α cos β cos γ 4 + 9 + 49 4 + 9 + 49 7 4 + 9 + 49 6 6 7 6 5 Prodotto sclre geometrico e lgerico Dti due ettori geometrici e e chimto θ l ngolo fr essi compreso si definisce prodotto sclre il numero cosθ Si può dimostrre che: cosθ 1 1 + + 6 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 1 1
Applicioni del prodotto sclre 1) L perpendicolrità fr ettori geometrici si stilisce ttrerso l ortogonlità fr i corrispondenti ettori lgerici: prodotto sclre nullo ) Il coseno dell ngolo compreso fr due ettori geometrici si determin come rpporto fr il prodotto sclre dei due ettori e il prodotto dei loro moduli 7 Esempi di pplicioni del prodotto sclre 1) Dti i due ettori erificrne l perpendicolrità 0 9 9 18 1 V w-9+0+90 prodotto sclre nullo: ettori perpendicolri, w ) Dti i due ettori 1, w 9 0 1 indiidure il coseno dell ngolo fr essi compreso cosθ (V w)/ V w ( 18 1) 19 4 + 9 + 1 81 + 1 1148 8 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 14 14
Prodotto ettore Il prodotto ettore Λ fr due ettori dti e, che formno fr loro un ngolo θ, si definisce come il ettore: di modulo senθ di direione perpendicolre l pino formto di due ettori dti di erso determinto con l regol dell mno destr Λ 9 Prodotto ettore lgerico-geometrico Si può dimostrre che il ettore lgerico corrispondente l Λ è il seguente: - 1-1 1-1 0 Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 15 15
Applicione del prodotto ettore Dti due ettori e pplicti nello stesso punto è determinile un tringolo come segue - θ L re del tringolo è l metà del modulo del prodotto ettore: senθ 1 FINE Metodi Mtemtici per il Design Leione pg. 16 16