Fondamenti di Automatica SCILAB e SCICOS

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1 POLITECNICO DI MILANO 3 Laboratorio Fondamenti di Automatica SCILAB e SCICOS Analii in Frequenza Stabilità dei Sitemi Lineari Analii di Senitività Giovanni Vannozzi --- anno accademico

2 Analii in Frequenza Sitemi Lineari L analii in frequenza dei Sitemi Lineari Tempo Invarianti è volta mediante la nozione fondamentale di RISPOSTA IN FREQUENZA; Un egnale inuoidale di frequenza aegnata può eere univocamente rappreentato da un numero compleo, detto FASORE, il cui modulo coincide con l ampiezza del egnale e l argomento con la fae del egnale teo; La ripota di un itema Lineare Tempo Invariante ad un Ingreo Sinuoidale, e tale ingreo non coincide con un modo naturale del itema, è cotituita dalla omma di una componente tranitoria, combinazione lineare dei modi del itema, e di una componente a regime caratterizzata da una inuoide della tea pulazione ω dell ingreo, con faore uguale al prodotto del faore dell ingreo per il valore della Funzione di Traferimento G valutata in corripondenza di jω. Teorema fondamentale dell analii armonica 2

3 Analii in Frequenza Sitemi Lineari la Ripota in Frequenza Gjω è una funzione complea nella variabile reale ω pulazione che identifica in modo completo le proprietà filtranti del itema avente Funzione di Traferimento G; il modulo Gjω definice il guadagno del itema alla pulazione ω, cioè l amplificazione e Gjω >, oppure l attenuazione e Gjω <, ubita da una inuoide di pulazione ω nel paaggio dall ingreo all ucita attravero il itema; l argomento Gjω rappreenta lo faamento del itema alla pulazione ω, cioè il ritardo di fae e Gjω <0, o l anticipo di fae e Gjω>0, ubito da una inuoide alla pulazione ω nel uo traferimento dall ingreo all ucita del itema; di olito la Ripota in Frequenza è rappreentata graficamente da due diagrammi carteiani per il modulo e per la fae, noti come diagrammi di Bode, oppure con un olo diagramma detto diagramma polare, il cui opportuno ampliamento definice il diagramma di Nyquit. 3

4 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Aegnato un Sitema Lineare i vuole determinare la ripota in frequenza mediante la definizione, ovvero come immagine del emiae immaginario poitivo jω tramite la funzione di rete Gjω, al fine di tracciare i grafici relativi : del modulo Gjω o Gjω db in cala lineare avendo come acia, in cala logaritmica la pulazione ω; della fae Gjω, in cala lineare in gradi, avendo come acia, in cala logaritmica, la pulazione ω. G G jω ω j 4

5 Analii in Frequenza Sitemi Lineari La funzione horner erve per valutare un polinomio Px nel punto x O ovvero Px O ; e x O è un vettore, horner retituice un vettore le cui componenti ono i valori di Px calcolato in corripondenza delle componenti di x O. --> polpoly[ 2 3], x, c ; px 2x 3x 2 --> xo3; --> polxohornerpol,xo pxo polxo > polpoly[ 2 3], x, c ; px 2x 3x 2 --> xv[ ]; --> polxvhornerpol,xv polxv

6 Analii in Frequenza Sitemi Lineari La funzione horner permette, poi, di calcolare il valore aunto da una frazione algebrica, data come rapporto di due polinomi N/D, nel punto O ovvero N O /D O ; quando O è un vettore, horner fornice un vettore le cui componenti ono i valori della frazione N/D, calcolata in corripondenza delle componenti di O. --> numpoly[ 2],'','c'; num 2 --> denpoly[ ],'','c'; den 2 --> franum/den; --> v[ ]; 2 --> fravhornerpol,v fra 2 frav

7 Analii in Frequenza Sitemi Lineari La funzione plot2d, con l opzione logflag conente il tracciamento dei grafici nelle cale emilogaritmiche, nelle cale logaritmiche oppure nelle cale lineari. --> t-:0.0:5; --> yexp-t; --> plot2dt,y,logflag'nl',xgrid --> xtitle'grafico della funzione exp-t logflag nn acie e ordinate in cala lineare logflag nl acie cala lineare, ordinate logaritmica logflag ln acie cala logaritmica, ordinate lineare logflag ll acie e ordinate in cala logaritmica 7

8 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Si ottiene la eguente rappreentazione grafica di: y e -t 8

9 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Si conideri il itema del econdo ordine, con uno zero aggiuntivo, definito dalla Funzione di Traferimento G di eguito riportata: G 0 00 Si deidera rappreentare graficamente l andamento del modulo e della fae della funzione di rete Gjω relativi alla ripota in frequenza del itema nell intervallo di pulazione 0-4 ω 0 2. p - z -0, p 2-0,0 Im Re 9

10 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Il litato nel codice dell ambiente Scilab è il eguente: --> numpoly[ 0],, c ; num0 --> denpoly[ ],, c : den --> den2poly[ 00],, c ; den200 --> denden*den2; --> wlogpace-4,2,500; --> RFhornernum,%i*w./hornerden,%i*w; --> mrfabrf; --> frfphaemagrf; --> ubplot2,plot2dw,mrf,logflag ln,xgrid --> ubplot22,plot2dw,frf,logflag ln,xgrid Il denominatore poteva determinari ubito con l itruzione: --> denpoly[ ],, c *poly[ 00],, c ; 0

11 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Un litato, in ambiente Scilab, alternativo ma empre equivalente al precedente, viene motrato dal codice eguente: --> poly0, ; --> num0*; num0 --> den*00*; den 00 --> gieenum/den; --> wlogpace-4,2,500; --> RFhornergiee,%i*w; --> mrfabrf; --> frfphaemagrf; --> ubplot2,plot2dw,mrf,logflag ln,xgrid --> ubplot22,plot2dw,frf,logflag ln,xgrid

12 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Si ottengono i grafici dei moduli e delle fai relativi alla ripota in frequenza nell intervallo di pulazione coniderato Modulo epreo in cala lineare Fae eprea in gradi 2

13 Analii in Frequenza Sitemi Lineari La grandezza fiica A viene eprea in decibel, A db, allorché viene calcolato il uo valore con la eguente relazione: A db 20 log 0 A Pertanto, nel cao della funzione di rete Gjω, i deve intendere: G jω 20 log0 G jω db Il diagramma di Bode è, quindi, determinato dal eguente codice: -->mrfdb20*log0mrf; -->frfphaemagrf; -->ubplot2,plot2dw,mrfdb,logflag ln,xgrid -->ubplot22,plot2dw,frf,logflag ln,xgrid 3

14 Analii in Frequenza Sitemi Lineari I diagrammi di Bode rappreentano il modulo di Gjω in db Modulo riportato in decibel u cala lineare Fae eprea in gradi 4

15 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Siano aegnati i tre itemi del econdo ordine, con uno zero aggiuntivo, definiti dalle Funzione di Traferimento G di eguito riportate: G G G , 0 0, 0, 0 Si vuole rappreentare graficamente l andamento dei moduli e delle fai delle tre funzione di rete G jω, G 2 jω e G 3 jω, afferenti alla ripota in frequenza dei relativi itemi, nell intervallo di pulazione 0-2 r/ ω 0 2 r/. Lo copo è quello di valutare il ruolo epletato dallo zero. 5

16 Analii in Frequenza Sitemi Lineari -->numpoly[ 0],'','c'; -->num2poly[ ],'','c'; -->num3poly[ 0.],'','c'; -->denpoly[ ],'','c'*poly[ 0.],'','c'; -->den2poly[ 0],'','c'*poly[ 0.],'','c'; -->den3poly[ 0],'','c'*poly[ ],'','c'; -->wlogpace-2,2,2000; -->RFhornernum,%i*w./hornerden,%i*w; -->RF2hornernum2,%i*w./hornerden2,%i*w; -->RF3hornernum3,%i*w./hornerden3,%i*w; -->mrf20*log0abrf;frfphaemagrf; -->mrf220*log0abrf2;frf2phaemagrf2; -->mrf320*log0abrf3;frf3phaemagrf3; -->ubplot2,plot2dw,[mrf',mrf2',mrf3'],logflag'ln',xgrid -->ubplot22,plot2dw,[frf',frf2',frf3'],logflag'ln',xgrid 6

17 Analii in Frequenza Sitemi Lineari G jω db G 2 jω db G 3 jω db G jω G 2 jω G 3 jω 7

18 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Sempre ricorrendo all utilizzo della funzione horner, i deidera calcolare e plottare il Modulo e la Fae della Funzione di Rete Gjω afferente la Ripota in Frequenza del Sitema Lineare caratterizzato dal ritardo T O 0,2 e dalla eguente Funzione di Traferimento G: G e 0,2 G jω j5ω jω j2ω 2 e j0,2ω 8

19 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Il litato del codice in ambiente SCILAB è il eguente: --> numpoly[ -5],, c ; --> denpoly[ ],'','c'*poly[ 2],'','c'^2; --> d 0.2; jqrt-; ritardo: d T O 2 --> wlogpace-4,2,000; --> RFhornernum,j*w./hornerden,j*w.*expd*j*w; --> mrfabrf; --> frfphaemagrf; --> ubplot2, plot2dw, mrf, logflag ll,xgrid --> ubplot22, plot2dw, frf, logflag ln,xgrid G jω j5ω jω j2ω 2 e j0,2ω 9

20 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Grafici relativi alla Ripota in Frequenza di Gjω e jωto Ritardo T O 2 20

21 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Grafici relativi alla Ripota in Frequenza di Gjω e jωto Ritardo T O 2 2

22 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Litato relativo al confronto delle due Funzioni di Rete -->jqrt-; d 0.2; ritardo: dt O 2 -->poly0,''; wlogpace-3,2,000; -->GS-5*/*2*^2; -->RFhornerGS,j*w; -->RFRhornerGS,j*w.*expj*d*w; -->mrfabrf;mrfrabrfr; -->frfphaemagrf; frfrphaemagrfr; -->ubplot2,plot2dw,[mrf,mrfr ],logflag ln,xgrid -->ubplot22,plot2dw,[frf,frfr ],logflag ln,xgrid G jω j5ω jω j2ω 2 G R jω G jω e j0,2ω 22

23 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Il confronto fra le Ripote in Frequenza è dato dal grafico: Gjω Gjω e jωd d-0,2 <Gjω <Gjω e jωd 23

24 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Si coniderino le due eguenti Funzioni di Traferimento: G G 2 e 0, Si deiderano determinare le relative Ripote in Frequenza al fine di rappreentarle nel piano compleo della variabile come curve punteggiate dalla pulazione ω. Litato per il tracciamento del Diagramma Polare : --> num; denpoly[ ],, c ; d 0,; --> wlogpace-3,6,000; --> RFhornernum,%i*w./hornerden,%i*w; --> RF2RF.*expd*%i*w; --> plotrealrf,imagrf,realrf2,imagrf2,xgrid 24

25 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Si ottiene il relativo Diagramma polare motrato in figura Ritardo: t O G jω G 2 jω 25

26 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Zoom del diagramma polare 0< ω<000 motra l effetto del ritardo Ritardo: t O G 2 jω G jω 26

27 Analii in Frequenza Sitemi Lineari La ripota in frequenza i ottiene anche, nota la G del itema lineare, direttamente con l itruzione repfreq, i cui parametri ono la G, la frequenza minima f min, la frequenza maima f max dell intervallo di frequenze volute e l incremento o tep da uare per pazzolare l intervallo delle frequenze aegnato [f min, f max ]. L itruzione repfreq retituice due parametri che ono: frq il vettore le cui componenti definicono i valori della frequenza utilizzati per determinare la ripota in frequenza; repf il vettore le cui componenti rappreentano i numeri complei Gjω calcolati per i valori di jω ottenuti dalla relazione: jω j 2π frq. 27

28 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Utilizziamo l itruzione repfreq per ottenere la ripota in frequenza del itema lineare definito dalla funzione di traferimento: G > numpoly[ 0],, c ; num0 --> denpoly[ 0 00],, c ; den > gieeylin c,num,den; --> [frq,repf]repfreqgiee, , 5, 0.00; --> w2*%pi*frq; --> ubplot2,plot2dw,abrepf,logflag'ln',xgrid --> ubplot22,plot2dw,phaemagrepf,logflag'ln',xgrid 28

29 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Si ottiene, in SCILAB, lo teo inieme di grafici della ripota in frequenza già ottenuto facendo ricoro alla itruzione horner. Modulo epreo in cala lineare Fae eprea in gradi 29

30 Analii in Frequenza Sitemi Lineari Con l itruzione: [db,phi]dbphirepf i ottiene il modulo Gjω, epreo in decibel, e la fae G jω, eprea in gradi, della Ripota in Frequenza del itema lineare con funzione di traferimento G. Eempio: il eguente litato, in ambiente SCILAB, --> numpoly[ 0],, c ; --> denpoly[ 0 00],, c ; --> gieeylin c, num, den; --> [frq, repf]repfreqgiee, , 5, 0.00; --> w2*%pi*frq; --> [db, phi]dbphirepf; --> ubplot2,plot2dw, db, logflag'ln',xgrid --> ubplot22,plot2dw, phi, logflag'ln',xgrid 30

31 Analii in Frequenza Sitemi Lineari retituice i grafici del modulo, epreo in db, e della fae, eprea in gradi, della ripota in frequenza. Modulo riportato in decibel u cala lineare Fae eprea in gradi u cala lineare 3

32 Relazione fra Ripota nel Tempo e Ripota in Frequenza È intereante ricercare la relazione fra la Banda Paante e la Velocità di Ripota per un Sitema Lineare. Per emplicità e per una maggiore evidenza i coniderano tre Sitemi Lineari del Primo ordine e privi di zeri, aventi guadagno unitario e definiti mediante le relative Funzioni di Traferimento, come di eguito riportato: G G2 G

33 Relazione fra Ripota nel Tempo e Ripota in Frequenza Le eguenti righe di codice, in ambiente SCILAB: --> wlogpace-2,2,500; --> RFhorner./poly[ ],'','c',%i*w; --> RF2horner./poly[ 5],'','c',%i*w; --> RF3horner./poly[ 0],'','c',%i*w; --> mabrf; m2abrf2; m3abrf3; --> t0:0.05:60; --> gieeylin'c',, poly[ ],'','c' --> giee2ylin'c',, poly[ 5],'','c'; --> giee3ylin'c',, poly[ 0],'','c'; --> ycim'tep', t, giee; --> y2cim'tep', t, giee2; --> y3cim'tep', t, giee3; --> ubplot2,plot2dw,[m' m2' m3'],logflag'll',xgrid --> ubplot22,plot2dt,[y' y2' y3'],xgrid 33

34 Relazione fra Ripota nel Tempo e Ripota in Frequenza Conentono di ottenere i eguenti grafici: G G 2 G 3 G G 2 G 3 34

35 Relazione fra Ripota nel Tempo e Ripota in Frequenza Miuriamo il modulo e lo faamento della ripota in frequenza, ad una data pulazione ω, mediante la conocenza della ripota nel tempo. --> numpoly[ 0],, c ; --> denpoly[ 0 00],, c ; --> gieylin c, num, den; --> w0.03;w20.4;w32; --> t0:0.05:800; t20:0.05:00; t30:0.0:20; --> uinw*t; u2inw2*t2; u3inw3*t3; --> ycimu,t,gie;y2cimu2,t2,gie;y3cimu3,t3,gie; --> ubplot3,plott,u,t,y,xgrid --> ubplot32,plott2,u2,t2,5*y2,xgrid --> ubplot33,plott3,u3,t3,y3,xgrid --> ubplot33,plott3,u3,t3,0*y3,xgrid 35

36 Relazione fra la Ripota nel Tempo e la Ripota in Frequenza y 5 y 2 0 y 3 36

37 Relazione fra la Ripota nel Tempo e la Ripota in Frequenza Le ucite y 2 ed y 3 ono rappreentate amplificate, ripettivamente, dei valori 5 e 0 al fine di meglio procedere alla determinazione dei eguenti parametri: L ampiezza Y della inuoide d ucita a regime, tenendo in conto che le ucite y 2 ed y 3 vengono viualizzate con zoom con fattore, ripettivamente, di valore 5 e 0. La ditanza temporale D tra i due maimi corripondenti dell ingreo e dell ucita, ovvero fra i due punti relativi allo attraveramento dell ae dei tempi corripondenti e ucceivi ai due maimi; tale ditanza D è da prenderi col egno e la ucita y i anticipa l ingreo u i, col egno e l ucita y i ritarda ull ingreo u i. 37

38 Relazione fra la Ripota nel Tempo e la Ripota in Frequenza D Y 38

39 Relazione fra la Ripota nel Tempo e la Ripota in Frequenza I riultati delle miurazioni effettuate ono di eguito riportati Pulazione ω 0,03 r/ periodo T 209 : Y 0,35 Gj0,03 0,35/ 0,35 D 32 Gj0,03 32/ Pulazione ω 2 0,4 r/ periodo T 2 5,7 : Y 2 0,5/5 0, Gj0,4 0,/ 0, D,6 Gj0,4,6/5, Pulazione ω 3 2 r/ periodo T 3 3,4 : Y 3 0,5/0 0,05 Gj2 0,05/ 0,05 D 0,6 Gj2 0,6/3,

40 I Diagrammi di BODE L itruzione idonea al tracciamento dei diagrammi di BODE i preenta in variegate trutture adeguate ai diveri utilizzi: bodey, fmin, fmax, tep, comment bode[y;y2], fmin, fmax, tep, comment bodey, frq, comment bodefrq, db, phi, comment bodefrq, repf, comment y, frq, db phi, repf, fmin, fmax, tep conervano il ignificato già eplicitato in precedenza comment è una tringa con cui i definicono i commenti fmin, fmax, tep e comment ono opzionali 40

41 4 I Diagrammi di BODE Si devono tracciare i diagrammi di BODE delle Funzioni di Traferimento per ognuno dei valori dei parametri dati: 2 T T G T T G 0,5 0,5 3 4 T T G T T G τ τ τ τ, 2 0, ξ ω ξω ω ξ ω ξω ω n n n n n n G G

42 I Diagrammi di BODE --> gieeylin'c',,poly[ ],'','c'; --> giee2ylin'c',,poly[ -],'','c'; --> cf,bode[giee;giee2],0.00,00 --> giee3ylin'c',poly[ 0.5],'','c',poly[ ],'','c'; --> giee4ylin'c', poly[ -0.5],'','c',poly[ ],'','c'; --> cf2,bode[giee3;giee4],0.00,00 --> giee5ylin'c',,poly[ 0.2 ],'','c'; --> giee6ylin'c',,poly[ 2.2 ],'','c'; --> giee7ylin'c',,poly[ 0.02 ],'','c'; --> cf3,bode[giee5;giee6],0.00,00 42

43 I Diagrammi di BODE T T- T- T 43

44 I Diagrammi di BODE τ 0,5 T τ -0,5 T τ 0,5 T τ -0,5 T 44

45 I Diagrammi di BODE ω n ξ 0, ω n ξ, ω n ξ 0, ω n ξ, 45

46 I Diagrammi di BODE --> bode[giee5;giee7],0.0, ω n ξ 0,0 ω n ξ 0, ω n ξ 0,0 ω n ξ 0, 46

47 Verifica STABILITÀ con SCICOS Schema per la imulazione, in ambiente SCICOS, della ripota al gradino relativa alla verifica della tabilità dei due itemi lineari del econdo ordine ω n ; ξ 0, --- ω n ; ξ, Y min 0 Y max 2 Refreh 50 47

48 Diagrammi di Bode verifica tabilità Le ripote al gradino unitario, corripondenti ai diagrammi di BODE dei due itemi del 2 ordine, ono di eguito riportate: ω n ξ 0, ω n ξ, 48

49 Ripota in Frequenza Diagramma Polare Si coniderino le eguenti tre Funzioni di Traferimento: , , , Im Im Im Re Re Re G G2 G3 2 0, 5 0, Si deiderano determinare le relative Ripote in Frequenza al fine di rappreentarle nel piano compleo della variabile come curve punteggiate nella pulazione ω. 0 0, 49

50 Ripota in Frequenza Diagramma Polare Il relativo litato in ambiente SCILAB è il eguente: -->numpoly[ 2],'','c'; -->num2poly[ 5],'','c'; -->num3poly[ 0],'','c'; -->denpoly[ 0.],'','c'*poly[ ],'','c'; -->wlogpace-3,6,5000; -->RFhornernum,%i*w./hornerden,%i*w; -->RF2hornernum2,%i*w./hornerden,%i*w; -->RF3hornernum3,%i*w./hornerden,%i*w; -->plotrealrf,imagrf,realrf2,imagrf2,...,xgrid 50

51 Ripota in Frequenza Diagramma Polare τ 2 τ 2 5 τ 3 0 T 0, T 2 5

52 Ripota in Frequenza Diagramma Polare Si coniderino le eguenti tre Funzioni di Traferimento: G4 G5 G6 2 0, 0,2 0, 0,05 0, Si deiderano determinare le relative Ripote in Frequenza al fine di rappreentarle nel piano compleo della variabile come curve punteggiate nella pulazione ω. z I m p p 2 z R e p z p 2 p p 2 I m I m R e R e 52

53 Ripota in Frequenza Diagramma Polare Il relativo litato in ambiente SCILAB è il eguente: -->num4poly[ 2],'','c'; -->num5poly[ 0.2],'','c'; -->num6poly[ 0.05],'','c'; -->denpoly[ 0.],'','c'*poly[ ],'','c'; -->wlogpace-3,6,5000; -->RF4hornernum4,%i*w./hornerden,%i*w; -->RF5hornernum5,%i*w./hornerden,%i*w; -->RF6hornernum6,%i*w./hornerden,%i*w; -->plotrealrf4,imagrf4,realrf5,imagrf5,...,xgrid 53

54 Ripota in Frequenza Diagramma Polare T 0, T 2 diagrammi polari τ 0,2 τ 0,05 τ 2 54

55 I Diagrammi di NYQUIST Im Γ U G y z 2 p 5 z p 6 p 3 R p p 2 p 4 ε 0 Γ Cammino di Nyquit Re Facendo tendere R all infinito e ε a zero, i ottiene una curva Γ che circonda tutto il emipiano detro Il criterio di tabilità di Nyquit utilizza i diagrammi di Nyquit, cioè diagrammi polari tracciati per - <ω<, eendo: G-jω G*jω, in cui: G*jω è il compleo coniugato di G-jω. Criterio di tabilità di Nyquit: P d Poli di G ubicati nel emipiano detro 55

56 I Diagrammi di NYQUIST Si determini il diagramma di Nyquit come immagine Gjω della funzione di traferimento G allorché jω decrive l intero ae immaginario ed eendo G 0 quando Si noti l effetto introdotto dallo zero poitivo, ito quindi nel emipiano detro della variabile complea. Il litato in ambiente SCILAB è il eguente: -->numpoly[2-2],'','c'; -->denpoly[ ],'','c'*poly[ 0.5],'','c'; -->gieenum/den; -->w-250:0.05:250; oppure: wlinpace-250,250, >RFhornergiee,%i*w; -->plotrealrf,imagrf,xgrid ω Im -2 - ω - 2 G 0,5 Si ottiene, in tal modo, il diagramma di Nyquit della G. Re 56

57 I Diagrammi di NYQUIST Immagine di G jω per < ω< z p - p 2-2 ω ω ω0 57

58 I Diagrammi di NYQUIST L itruzione atta al tracciamento dei diagrammi di NYQUIST i preenta in forma imile a quella afferente i diagrammi di Bode: nyquity, fmin, fmax, tep, comment nyquit[y;y2], fmin, fmax, tep, comment nyquity, frq, comment nyquitfrq, db, phi, comment nyquitfrq, repf, comment y, frq, db phi, repf, fmin, fmax, tep conervano il ignificato già eplicitato in precedenza comment è una tringa con cui i definicono i commenti fmin, fmax, tep e comment ono opzionali fmin, aume valori negativi onde tracciare G jω G*jω 58

59 I Diagrammi di NYQUIST Si ricavi di nuovo il diagramma di Nyquit della funzione di traferimento G, già in precedenza analizzata, applicando direttamente una delle itruzioni pecifiche appena eaminate. Il itema reazionato negativamente è definito dalla eguente funzione di traferimento ad anello aperto: G 2 0,5 Il litato in ambiente SCILAB è il eguente: -->numpoly[2-2],'','c'; -->denpoly[ ],'','c'*poly[ 0.5],'','c'; -->gieeylin c,num,den; -->nyquitgiee,-300,300,0.0, zero poitivo Si ottiene, in tal modo, il diagramma di Nyquit della G. 59

60 I Diagrammi di NYQUIST Gjω Gjω z p - p

61 6 I Diagrammi di NYQUIST Si traccino i diagrammi di NYQUIST delle Funzioni di Traferimento per ognuno dei valori dei parametri dati: 2 T T G T T G 0,5 0,5 3 4 T T G T T G τ τ τ τ, 2 0, ξ ω ξω ω ξ ω ξω ω n n n n n n G G

62 I Diagrammi di NYQUIST --> gieeylin'c',,poly[ ],'','c'; --> giee2ylin'c',,poly[ -],'','c'; --> ubplot2,nyquitgiee,-000,000 --> ubplot22,nyquitgiee2,-00,000 --> giee3ylin'c',poly[ 0.5],'','c',poly[ ],'','c'; --> giee4ylin'c', poly[ -0.5],'','c',poly[ ],'','c'; --> cf,ubplot2nyquitgiee3,-000,000 --> ubplot22nyquitgiee4,-000,000 --> giee5ylin'c',,poly[ 0.2 ],'','c'; --> giee6ylin'c',,poly[ 2.2 ],'','c'; --> cf2,ubplot2,nyquitgiee5,-000,000 --> ubplot22,nyquitgiee6, -000,000 62

63 I Diagrammi di NYQUIST ω ω ω 0 T ω ω ω 0 T 63

64 I Diagrammi di NYQUIST ω ω 0 T τ 0,5 ω 0 T τ 0,5 64

65 I Diagrammi di NYQUIST ω ω ω 0 ω n ξ 0, ω ω 0 ω n ξ, 65

66 G I Diagrammi di NYQUIST Si determini il diagramma di Nyquit della eguente funzione di traferimento ad anello aperto: I m µ/ In ambiente SCILAB, il litato di eguito riportato: -->poly0, ; -->num^2; 2 -->den2 *2*4; >gieeylin c,num,den; oppure: -->gieeylin c,num/den -->nyquitgiee R e Conente di determinare il diagramma di Nyquit della G. z p 3 p 2 z 2 p 66

67 I Diagrammi di NYQUIST µ /6 z j z 2 j p 2 p 2 2 p34 67

68 H I Diagrammi di NYQUIST Si determini il diagramma di Nyquit della eguente funzione di traferimento ad anello aperto: I m µ-/ In ambiente SCILAB, il litato di eguito riportato: R e -->poly0, ; -->num^2; 2 -->den 2*2*4; >accaeeylin c,num,den; oppure: -->accaeeylin c,num/den -->nyquitaccaee Conente di determinare il diagramma di Nyquit della H. z p 3 p 2 z 2 p 68

69 I Diagrammi di NYQUIST µ -/6 z j z 2 j p 2 p 2 2 p34 69

70 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Si conideri il itema lineare decritto dalla Funzione di Traferimento: G U G Si devono tracciare i diagrammi di BODE e di NYQUIST della Ripota in Frequenza relativa alla Funzione di Traferimento G. Si conideri lo chema a blocchi del itema avente reazione unitaria, di cui G rappreenta la Funzione di Traferimento ad ANELLO APERTO. Si dicuta l applicabilità dei Criteri di NYQUIST e di BODE per l ANALISI di STABILITÀ del Sitema RETROAZIONATO. y 70

71 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Litato A -->denpoly[0 ],'','c'*poly[ ],'','c'; -->giee4ylin'c',,den; -->bodegiee4 Litato B -->denpoly[0 ],'','c'*poly[ ],'','c'; -->giee4ylin'c',,den; -->[frq,repf]repfreqgiee4; -->bodegiee4,frq Litato C -->denpoly[0 ],'','c'*poly[ ],'','c'; -->giee4ylin'c',,den; -->[frq,repf]repfreqgiee4; -->[db,phi]dbphirepf; -->bodefrq,db,phi 7

72 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Diagrammi di BODE relativi ai litati A, B e C A B C 72

73 73 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Verifichiamo che il diagramma polare aociato alla ripota in frequenza Gjω preenta, relativamente alla parte reale, un aintoto verticale per ω ω ω ω 0. G ω ω ω j j j G ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω j j j j G lim ] Re[ lim ω ω ω ω j G lim ] Im[ lim ω ω ω ω ω j G

74 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Utilizziamo la funzione horner al fine di tracciare il diagramma polare di Gjω e della immetrica G-jω, relativo all intervallo della pulazione ω dato da 0, r/ < ω < 000 r/ ed approntiamo, in ambiente SCILAB, il eguente inieme di itruzioni con lo copo di verificare l eitenza dello aintoto relativo alla parte reale: --> num; --> denpoly[0 ],, c *poly[ ],'','c'; --> wlogpace-,3,500; --> RFP hornernum,%i*w./hornerden,%i*w; --> RFN hornernum,-%i*w./hornerden,-%i*w; --> plotrealrfp,imagrfp, realrfn,imagrfn 74

75 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati A S I N T O T O ω0 ω0 ω ω 75

76 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Verifichiamo l andamento del diagramma polare Gjω e del uo immetrico G-jω, ottenuto in precedenza per la Funzione di Traferimento G, utilizzando l itruzione relativa al tracciamento dei diagrammi di NYQUIST. In ambiente SCILAB, il litato che egue: --> num; --> denpoly[0 ],'','c'*poly[ ],'','c'; --> gieeylin'c',num,den; --> nyquitgiee genera il grafico relativo al diagramma di Nyquit 76

77 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati aintoto 77

78 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Si analizzi la tabilità del itema di controllo avente Funzione di Traferimento d anello L al variare di T. L T 2 U L y --> num; --> T4; denpoly[0 ],'','c'*poly[ T],'','c'^2; --> elleylin c,num,den; --> T2; den2poly[0 ],'','c'*poly[ T],'','c'^2; --> elle2ylin c,num,den2; --> T0.5; den3poly[0 ],'','c'*poly[ T],'','c'^2; --> elle3 ylin c,num,den3; --> bode[elle;elle2;elle3] 78

79 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Si raffrontano i tre diagrammi di BODE dei moduli e delle fai elle ; T 4 elle3 ; T 0,5 elle2 ; T 2 79

80 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Dall analii dei tre diagrammi di BODE e con riferimento allo omonimo criterio di tabilità di BODE, i deduce quanto egue: L 4 2 ω C 0,32 rad/ec f C 0,05 Hz Φ C 94 Φ M < 0 Sitema retroazionato intabile L ω C 0,50 rad/ec f C 0,0637 Hz Φ C 80 Φ M 0 Sitema al limite della tabilità L 3 0,5 2 ω C 0,848 rad/ec f C 0,35 Hz Φ C 36 Φ M 44 > 0 Sitema reazionato aintoticamente tabile 80

81 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Verifichiamo per via analitica quanto già ottenuto con Scilab Il itema retroazionato i troverà al limite della tabilità quando la ua fae critica Φ C, calcolata alla pulazione critica ω C, varrà Φ C 80, ovvero la fae margine Φ M arà Φ M 0. Ljω C 80 Ljω C j ω 2 [ j ω C T] arctagω C T 80 2 arctagω C T 90 conegue che: arctagω C T 45 ω C T tag45 ω C T Alla pulazione critica ω C il modulo della funzione d anello Ljω C deve oddifare la condizione Lj ω C, il che implica quanto egue: Lj ω C / j ω C j ω C T 2 / ω C [ ω C T 2 ] T T 2 ; ovvero: T 2 ec, da cui: ω C 0,5 r/ 8

82 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Confermiamo mediante il criterio di tabilità di NYQUIST le concluioni già ottenute col ricoro al criterio di tabilità di BODE Si analizza, pertanto, in ambiente SCILAB, la tabilità del itema di controllo avente Funzione di Traferimento d anello L, al variare di T, adottando il criterio di tabilità di Nyquit. L T 2 U L y L itruzione che oddifa allo copo, in ambiente Scilab, aume la forma eguente: --> nyquit[elle;elle2;elle3] a cui corriponde il tracciamento dei tre diagrammi di Nyquit 82

83 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati elle ; T 4 elle2 ; T 2 elle3 ; T 0,5 83

84 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Dai precedenti diagrammi di Nyquit non viene bene evidenziato che la fae, per ω, aume il valore di Φ 270. Uiamo l itruzione: --> nyquit[elle;elle2;elle3],0.05,500 al fine di ottenere: elle ; T 4 elle2 ; T 2 elle3 ; T 0,5 -,j0 Il punto,j0 è eterno al grafico di Nyquit di elle3 Sitema reazionato STABILE aintot. Il punto,j0 i trova ul grafico di Nyquit di elle2 Sitema reazionato al limite della STABILITÀ Il punto,j0 è interno al grafico di Nyquit di elle Sitema reazionato INSTABILE 84

85 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Si vuole verificare tramite il criterio di Nyquit l intabilità del itema reazionato con funzione di traferimento d anello L e cotante di tempo T4. Cammino di Nyquit: La ingolarità nell origine viene evitata da una emicirconferenza di raggio infiniteimo percora in eno antiorario. Coì, i ottiene: P0 zero poli contenuti nel cammino U L -->numpoly[ 0],'','c'; -->denpoly[0 ],'','c'*poly[ 4],'','c'^2; -->elleeylin'c',num,den; -->w[-0.03:-0.00: :-0.00:0.03]; -->nyquitellee,w L 4 -/T Polo doppio 2 Y 85

86 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati ω 0-2 P P 0 -j0 Ljω ω ω - P P ω 0 Sitema reazionato INSTABILE 86

87 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Dato il itema di controllo con funzione di traferimento d anello L, i trovi il valore di K che dà un margine di fae Φ M 45 e i determini la relativa pulazione critica ω C. L K 2 U L y Si inizia col porre K e i ricava il corripondente diagramma di Bode al fine di valutare la pulazione critica ω C e la fae critica Φ C --> num; --> denpoly[0 ],'','c'*poly[ ],'','c'^2; --> elleeylin c,num,den; --> bodeellee 87

88 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Si ottiene il eguente diagramma di Bode relativo a K 88

89 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Si nota che il diagramma di Bode del modulo di L taglia l ae a zero db, approimativamente, alla frequenza critica f C di poco uperiore a 0, Hz; a tale frequenza, la fae critica vale approimativamente Φ C -60 a cui corriponde una: fae margine: Φ M 80 Φ C Al fine di ottenere informazioni di maggior rigore conviene fare ricoro all uo delle itruzioni: p_margin e g_margin -->[phicr frecr] p_marginellee frecr frequenza critica f C phicr fae critica Φ C -->[gainmar frepigr] g_marginellee frepigr frequenza f π relativa a Φ π gainmar guadagno margine G M in db 89

90 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Dall analii del diagramma di Bode i evince la neceità di abbaare il diagramma dei moduli onde limitare, ia la pulazione critica, ia la fae critica, in modo d aumentare la fae margine. In particolare, affinché la fae critica i porti a Φ C 35, il diagramma dei moduli deve tagliare l ae a zero db ad una pulazione critica inferiore e deve abbaari di circa 6,5 db, fatte alve le approimazioni afferenti la preciione con cui i effettuano le letture ul grafico. Si conclude, pertanto, come egue: 20 log k 6,5 log0 k 0 0 k 0,325 k 0,473 0,325 90

91 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati k6,5db Φ C -35 9

92 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati In ambiente SCILAB, ridefiniamo la funzione di traferimento d anello L con k0,473 al fine di ottenere il diagramma di BODE modificato, in coerenza con tutte le coniderazioni appena effettuate e verificare la loro adeguatezza. L 0,473 2 U L Y --> K0,473; --> denpoly[0 ],'','c'*poly[ ],'','c'^2; --> ellee2ylin c,k,den; --> [phicr2 frecr2] p_marginellee2; --> [gainmar2 frepigr2] g_marginellee2; --> bodeellee2 92

93 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Diagramma di BODE relativo al valore di k 0,473 f C 0,06465Hz ω C 2π f C ω C 0,407r/ Φ C -34,20 f π 0,59 Hz ω π 2π f π ω π,00r/ G M 2,52dB 93

94 Stabilità Sitemi Lineari Reazionati Procedura analitica Una fae margine Φ M 45 richiede una fae critica pari a Φ C -35 ; pertanto, alla pulazione critica ω C deve eere oddifatta la eguente relazione angolare: L jω k π 2 2 arctagω c c 35 π 2 2 arctagω 45 2 arctagω ovvero: arctagω c 22,5 ω tag22,5 c 0,44 r / c c Alla pulazione critica ω C 0,44 rad/ec, il modulo della funzione di traferimento d anello vale Ljω C ; cioè, deve eere oddifatta la eguente condizione: L jω c ovvero: K 2 2 ω c ω c K jω jω c c con k > 0 poitivo k 0,485 kdb 20 log0 0,485 6, 3dB 94

95 95 Analii di Senitività e Senitività Complementare R G y SP t yt ut nt dt et N D Y N S S Q Q Q F S F E U Y p

96 Analii di Senitività e Senitività Complementare Le FUNZIONI di SENSITIVITÀ definicono le funzioni di traferimento tra gli ingrei ritenuti ignificativi ai fini del controllo e le ucite di interee del itema di controllo. Le ucite di interee ai fini del controllo ono: et errore di ineguimento; yt ucita controllata; ut azione di controllo Gli ingrei ritenuti ignificativi ai fini del controllo ono: nt diturbo di miura; dt diturbo in ucita e dell attuatore; y Sp t egnale di riferimento Set Point 96

97 97 Analii di Senitività e Senitività Complementare Le FUNZIONI di SENSITIVITÀ ono, pertanto, definite dalle funzioni di traferimento che di eguito i eplicitano: FUNZIONE di SENSITIVITÀ S FUNZIONE di SENSITIVITÀ COMPLEMENTARE FS FUNZIONE di SENSITIVITÀ del CONTROLLO QS N E N Y Y Y G R G R F p D E Y E D Y G R S p N U D U Y U G R R Q p

98 Analii di Senitività e Senitività Complementare Sia aegnato il itema avente Funzione di Traferimento ad anello aperto L, come di eguito riportato: L Y SP E L D Y Si traccino i diagrammi di BODE aociati alle Funzioni di Traferimento S ed F oervandone l andamento. S L L F L 98

99 Analii di Senitività e Senitività Complementare Si tratta di eaminare un itema di controllo in retroazione nel quale i conidera R e rumore di miura nt0. In ambiente SCILAB i tendono le eguenti righe di codice: Funzione di traferimento S poly0, ; num;den*; elleeylin c,num,den; ee/ellee; wlogpace-2,,2000; cf,bodeee,w Funzione di traferimento F poly0, ; num;den*; elleeylin c,num,den; effeellee/ellee; wlogpace-2,,2000; cf2,bodeeffe,w al fine di ottenere i diagrammi di BODE del Modulo e della Fae delle Funzioni di Traferimento S e F. 99

100 Analii di Senitività e Senitività Complementare S 00

101 Analii di Senitività e Senitività Complementare F 0

102 Analii di Senitività e Senitività Complementare Si traccino, confrontandoli, i grafici delle ripote allo calino delle Funzioni di Traferimento S e F, ia nell ambiente SCILAB, ia in ambiente SCICOS. In ambiente SCILAB i tendono le eguenti righe di codice: Funzione di traferimento S poly0, ; num;den*; elleeylin c,num,den; ee/ellee; t0:0.0:2; yeecim tep,t,ee; Funzione di traferimento F poly0, ; num;den*; elleeylin c,num,den; effeellee/ellee; t0:0.0:2; yeffecim tep,t,effe; plott,[yee;yeffe,xgrid Si rilevino il valore limite per t delle due ripote nonché i ripettivi tempi di aetamento, di ovra elongazione e otto elongazione. 02

103 Analii di Senitività e Senitività Complementare Ripota al gradino unitario di S e F F S 03

104 04 Analii di Senitività e Senitività Complementare Simuliamo in ambiente SCICOS le Funzioni di Traferimento S ed F al fine pervenire agli tei riultati già coneguiti in ambiente SCILAB 2 S L S 2 F L L F

105 Analii di Senitività e Senitività Complementare S F 05

106 Analii di Senitività e Senitività Complementare F S 06

107 Analii di Senitività e Senitività Complementare Si conideri ora lo chema a blocchi, riportato nella figura, in cui i conidera un diturbo di miura N preente ulla linea di reazione. Sia L la funzione di traferimento d anello L Y SP E L Y N Si determini la Funzione di Traferimento fra il rumore N e l ucita Y e i decida di imulare ia in ambiente SCILAB, ia in ambiente SCICOS, la ripota del itema retroazionato ad una variazione a calino del diturbo nt. 07

108 08 Analii di Senitività e Senitività Complementare In ambiente SCILAB, coniderato Y SP 0, la Funzione di Traferimento da N ad Y è coì calcolabile: L Y Y SP 0 N E ]} [ { Y N Y L Y p ]} [ {0 Y N L Y Y L N L Y ] [ N L Y L F L L N Y

109 Y N Analii di Senitività e Senitività Complementare Per ottenere la ripota ad un diturbo nt a gradino unitario, in ambiente SCILAB i procede con lo tendere le righe di codice che a lato i riportano: L L Funzione di traferimento -F poly0, ; num;den*; elleeylin c,num,den; giee ellee/ellee; t0:0.0:2; yennecim tep,t,giee; plott,yenne,xgrid 2 F 09

110 Analii di Senitività e Senitività Complementare riferita a F 0

111 Analii di Senitività e Senitività Complementare In ambito SCICOS la imulazione è relativa allo chema eguente: noie nt