10.a La funzione d onda

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1 La funzine d nda

2 Erwin Schrödinger Austria Richard Phillips Feynman USA Schrödinger è stat un scienziat pliedric. Ha cntribuit in md decisiv all svilupp della MQ, intrducend nel 1926 l equazine delle nde che prta il su nme, e che gli valse il Nbel nel Succssivamente, si è ccupat di meccanica statistica, elettrdinamica, relatività generale. Ha svlt un lavr pinieristic in bifisica, anticipand l esistenza del cdice genetic che fu scpert sperimentalmente sl dp mlti anni, nel DNA delle cellule. Feynman è stat un dei fisici più eminenti del XX secl. Ha sviluppat la teria dell elettrdinamica quantistica (QED), indipendentemente da Schwinger e Tmnaga, ma negli stessi anni. Per quest lavr, i tre fisici cndiviser il Nbel nel Ha dat pi cntributi a tutti i campi della Fisica Terica: dalla Fisica delle particelle elementari, alla Fisica dell Stat Slid, alla Supercnduttività e Superfluidità, ecc.

3 La funzine d nda di una particella libera Alle particelle è assciata un nda. La funzine che la descrive è la funzine d nda ψ(x, t) La funzine d nda di una particella libera, ciè nn sggetta all azine di frze, è del tutt simile alle funzini che descrivn le nde elastiche e le nde EM: Onda elastica: u r ( x, t) u exp [ i ( k x ω t + φ )] = r Onda EM: E r ( x, t) E exp [ i ( k x ω t + φ )] = r Funzine d nda (scalare) di una particella libera: ψ( x, t) = ψ exp [ i ( k x ω t + φ )] Alcune particelle hann funzini d nda scalari, altre (cme l elettrne) vettriali. La plarizzazine delle nde EM è assciata all spin del ftne. La plarizzazine della funzine d nda dell elettrne è assciata all spin dell elettrne. Finché nn ci si ccupa dell spin, può essere usat il frmalism scalare.

4 La funzine d nda di una particella libera in termini dell azine meccanica S La funzine d nda di una particella libera è un nda mncrmatica: ψ ( x, t) = ψ exp [ i ( k x ω t + φ )] Ricrdand le relazini di De Brglie, la fase dell nda può essere scritta in termini dell azine meccanica S: p = h k ; E = h ω Azine meccanica iniziale φ = k x ω t + φ p x E h t + S = = S h Azine meccanica ψ ( x, t) = ψ exp ( p x E t + S ) i h Nte: L azine meccanica S fu intrdtta da Hamiltn nella sua frmulazine della meccanica analitica classica. La relazine tra fase e azine meccanica è apprfndita nel paragraf L analgia tra Ottica e Meccanica classica. L unità di misura dell azine è J s, cme per la cstante di Planck. Per quest mtiv h è detta quant d azine.

5 La rappresentazine di ψ sul pian cmpless ψ ( x, t) = ψ exp [ i ( k x ω t + φ )] x Re ψ Im ψ ( x, t) = ψ cs ( k x ω t + φ ) ( x, t) = ψ sin ( k x ω t + φ ) z Re(ψ) e Im(ψ) sn le priezini di un elica. Nel temp, l elica ruta intrn al prpri asse, dand l idea di un cavatappi che avanza. Cntempraneamente, entrambe le priezini avanzan in direzine z, cme mstrat dalle frecce Re ψ / ψ Im ψ / ψ Per semplicità, spess si rappresenta sl il grafic della parte reale Re(ψ) in funzine di x.

6 La funzine d nda nel cas tridimensinale In analgia al cas delle nde EM, per descrivere una particella libera nelsu mt tridimensinale è necessari intrdurre il vettre d nda in sstituzine del numer d nda: ψ [ ] ( ) [ ( r )] ψ x, y, z, t = ψ exp i k ω t + φ ( x, t) = ψ exp i ( k x ω t + φ ) r La relazine di De Brglie diventa vettriale: r r p = h k ; E = h ω Cme nel cas delle nde EM, la direzine del vettre d nda è la direzine di prpagazine dell nda, e in più è anche la direzine del vettre quantità di mt.

7 Principi di svrappsizine r E r ( x, t) = E exp [ i ( k l ω t) ] n ( x, t) = ψ exp [ i ( k ω t) ] ψ l n n l n n Campi EM Particelle Regla di Feynman: smma sui cammini O R Onde EM: Particelle: Il camp elettric ttale nel rivelatre R si trva smmand i campi elettrici assciati ai raggi che prvengn dalla srgente O. La funzine d nda ttale nel rivelatre R si trva smmand le funzini d nda assciate ai pssibili cammini che prvengn dal punt di partenza O.

8 Principi di svrappsizine r E r ( x, t) = E exp [ i ( k l ω t) ] n ( x, t) = ψ exp [ i ( k ω t) ] ψ l n n n La fase delle nde cmpnenti dipende dalla lunghezza del cammin seguit l n O R Interferenza Le cmpnenti che hann fase simile si smman cstruttivamente Le cmpnenti che hann fase diversa si smman distruttivamente

9 Il significat fisic della funzine d nda Le regle per le Onde EM Calclare il camp: Principi di svrappsizine r r E ( x, t ) = E exp [ i ( k l ω t )] n n Calclare l intensità: mdul quadr del camp r I E E / E I / I max x / x x / x

10 Il significat fisic della funzine d nda Le regle per le particelle: E r I ψ ψ 2 Calclare la ψ : Principi di svrappsizine ( x, t ) = ψ exp [ i ( k ω t )] ψ l n n Calclare l intensità: mdul quadr di ψ I ψ ψ / ψ I / I max x / x x / x

11 Il significat fisic della funzine d nda Fisica sperimentale Un esperiment di diffrazine di particelle da una fenditura h scherm I, λ Radiazine incidente Singla fenditura rettanglare D Le particelle si prpagan cme nde e determinan una figura di diffrazine sull scherm

12 Il significat fisic della funzine d nda Fisica sperimentale Σ Dp aver irraggiat l scherm per il temp t, si può fare una mappa dei cnteggi N in gni element di superficie Σ per determinare la fluenza F del fasci punt per punt. Alla fine dell esperiment, la fluenza è un dat sperimentalmente accessibile. ψ 2 è prprzinale all intensità, e l intensità è prprzinale a lla flunza: F = N Σ ; I = N Σ t E = F t E ψ 2 F Il valre di ψ 2 è un dat sperimentalmente sservabile

13 Il significat fisic della funzine d nda Fisica sperimentale Σ La stessa mappa può essere interpretata cme distribuzine di prbabilità che la particella abbia clpit un cert punt dell scherm P = casi favrevli casi ttali = N N tt Mappe di prbabilità Mappe di fluenza / intensità ψ 2

14 Il significat fisic della funzine d nda Fisica sperimentale Σ Il mdul quadr della funzine d nda è assciat alla distribuzine di prbabilità Cme dimstrat da quest esempi, è pssibile effettuare un esperiment per misurare la distribuzine di prbabilità assciata al mdul quadr della funzine d nda ψ 2 : ψ 2 è un sservabile (i.e., una grandezza fisica sservabile). Al cntrari, la fase della funzine d nda nn può essere misurata: ψ nn è un sservabile, nel sens che può essere determinata sl a men di un fattre di fase (ciè un fattre e iφ ) arbitrari.

15 Il significat fisic della funzine d nda L interpretazine di Cpenaghen, riginariamente dvuta a N. Bhr (1927), fissa il significat fisic della funzine d nda in termini di distribuzine di prbabilità. La funzine d nda è l ampiezza di prbabilità di trvare la particella in un cert punt. Il mdul quadr della funzine d nda è la prbabilità di trvare la particella in quel punt. La funzine d nda nn è direttamente sservabile, ma sn sservabili e calclabili gli effetti della prpagazine della funzine d nda. La cstante ψ va determinata impnend la regla di nrmalizzazine delle prbabilità: La smma delle prbabilità di tutti gli eventi mutuamente esclusivi è pari a 1. Esempi: se la particella è certamente lcalizzata sull asse x, allra: ( ) ψ dx = 1 x 2

16 Il significat fisic della funzine d nda L interpretazine di Cpenaghen cntinua a essere aperta a critiche e revisini. Va segnalat che esistn interpretazini alternative del significat di funzine d nda, anche se in quest crs il tema nn verrà ulterirmente analizzat. In realtà, le interpretazini della MQ attengn più al tema dell epistemlgia che della fisica, perché nn ci sn (a tutt ggi) dubbi interpretativi sugli sservabili, sicché nn esistn prpste di esperimenti cruciali che permettan di distinguere un interpretazine dall altra. Dal punt di vista pratic, quest nn è dunque un ver prblema: la struttura matematica della MQ è mlt slida e nn è mai emersa alcuna evidenza sperimentale che ne limiti il camp di applicazine. Alcune delle implicazini cncettuali che emergn dall interpretazine di Cpenaghen sarann citate nel seguit, senza pretesa di cmpletezza. srgente rivelatre elettrne elettrne

17 Diffrazine elettrnica da singla fenditura G. Müllenstedt und C. Jönssn Zeitschrift für Physik, Nr.155, 1959 Un esperiment di diffrazine: l biezine di Einstein e la rispsta di Bhr Einstein: Se l elettrne si prpaga cme un nda, e questa nda è reale, dvrebbe invadere tutta una regine di spazi. Quand però viene rivelat, appare sl in un punt. Quest prcess è una vera e prpria azine a distanza : nn appena l elettrne è rivelat qua, l nda scmpare là, istantaneamente. Ciò cntraddice il Principi di causalità e le leggi della Relatività, per le quali nulla si può prpagare a velcità maggire di quella della luce. Bhr: La Natura segue il Principi di cmplementarietà. Ogni sservazine che facciam è ttenuta cn l us di strumenti che interagiscn cl sistema in sservazine. Se siam interessati al cmprtament ndulatri, nn pssiam fare sservazini che determinin la psizine esatta della particella; e se vgliam studiare il mt della particella individuand la sua psizine, perdiam la sua natura ndulatria e nell esperiment scmpain le figure di diffrazine.

18 MC EM MQ a b c La dppia fenditura: un apprfndiment sul cncett di prbabilità in MQ L esperiment della dppia fenditura può essere prpst (cme esperiment reale di pensier, gedanke experiment) per ggetti macrscpici (MC), nde EM, particelle quantistiche (MQ). L intensità delle nde EM sull scherm (figura b) e la distribuzine di prbabilità delle particelle (figura c) sn rappresentate da mappe identiche. In entrambi i casi le mappe sn caratterizzate da una figura di interferenza. Al cntrari, la mappa ttenuta da un esperiment cndtt cn ggetti macrscpici (figura a) mstra che gli ggetti passan a sinistra, a destra, e nn di determina alcuna interferenza.

19 neutrni Fullerene C 60 Esperimenti di interferenza tra particelle L esperiment delle dppia fenditura è stat realmente realizzat cn ftni, elettrni, neutrni, atmi, mlecle, ttenend sempre le stesse mappe di intensità. Ciò dimstra che l interferenza nn dipende dalle particlari prprietà di ciascun tip di particella, ma piuttst da una prprietà fndamentale della MQ. Quest esperiment è cnsiderat tra i più belli della stria della Fisica. La prima realizzazine (Yung, 1802) ha dimstrat in md inequivcabile la natura ndulatria della luce; le successive varianti hann dimstrat la natura ndulatria della materia.

20 MC S D SD La dppia fenditura: MC Cnsideriam tre esperimenti di MC, ciè cndtti cn particelle macrscpiche di cui pssa essere seguita la traiettria: cnfigurazine S = la particella passa a sinistra ; cnfigurazine D = la particella passa a destra ; cnfigurazine SD = la particella passa a sinistra ppure a destra. In MC gli eventi S, D sn mutuamente esclusivi e le prbabilità si smman: P(SD) = P(S) + P(D)

21 S D SD La dppia fenditura: MQ Ripetiam l esperiment cn particelle micrscpiche: per esempi, elettrni). Otterrem un risultat divers: la mappa crrispndente a SD nn è la smma delle mappe crrispndenti a S e a D. Si manifesta invece il fenmen dell interferenza e appain frange chiare e scure alternate, esattamente cme accade per la radiazine EM

22 S D SD Esperimenti di interferenza a una particella L interferenza nn è dvuta all interazine delle particelle del fasci tra lr. L esperiment può essere infatti realizzat in md che una sla particella per vlta entri nell apparat di misura. Le mappe di intensità sull scherm, dp un temp sufficientemente lung, sn indistinguibili da quelle ttenute cn fasci più intensi e tempi di espsizine più brevi. L esperiment mette dunque in luce il fatt che il cmprtament ndulatri è prpri del singl elettrne e nn sl dei fasci intensi. Il vide dell esperiment di Merli-Missirli-Pzzi (del 1976), mlt istruttiv in prpsit, è dispnibile cme materiale didattic a supprt del crs.

23 S D SD La dppia fenditura: MQ L esperiment dimstra che, in qualche sens, le particelle si prpagan attravers le due fenditure insieme. In termini di prbabilità si può dire che gli eventi S = la particella passa a sinistra D = la particella passa a destra nn si determinan in mdalità mutuamente esclusive. Ciò nn significa che la particella si spezzi: sull scherm ( dvunque la si sservi) essa è sempre intera.

24 S S D D SD SD La dppia fenditura: MQ Si può usare la teria classica delle prbabilità (eventi S e D nn mutuamente esclusivi) per descrivere l interferenza? N. Questa idea nn funzina. Nella teria classica si avrebbe, infatti: P(SD) = P(S) + P(D) P (S D) P(S) + P(D) Questa frmula però nn può spiegare l interferenza cstruttiva, in cui risulta invece P(SD) > P(S) + P(D)

25 ψ S ψ D ψ S + ψ D ψ = P ( R ) ψ S = + ψ S ψ + D ψ D 2 La dppia fenditura: MQ Dal punt di vista della teria classica delle prbabilità la cnclusine è questa: L esperiment cn due fenditure aperte nn può essere pensat cme cmbinazine di due distinti esperimenti classici cn una sla fenditura aperta. Dal punt di vista della teria quantistica delle prbabilità la cnclusine è invece: Nell esperiment cn due fenditure aperte si smman le funzini d nda, e la prbabilità è pari al mdul quadr della funzine d nda ttale. In quest sens, l esperiment è effettivamente la cmbinazine di due esperimenti quantistici cn una sla fenditura aperta, ma la teria classica nn permette di trvare il ness.

26 S D SD La misura in MQ Chiudend la fenditura destra (figura S), si è certi che gli elettrni che raggiungn l scherm devn passare per quella sinistra. Chiudend viceversa la fenditura sinistra (figura D), si è certi che gli elettrni che raggiungn l scherm devn passare per quella destra. Dp aver chius una fenditura, si ha perciò un infrmazine in più sulla traiettria della particella. In quest sens è giust dire che chiudend una fenditura è stata effettuata una misura. L effett della misura è duplice: si ha un infrmazine in più, ma si distrugge la figura di interferenza. In MQ il prcess di misura altera sempre l stat delle particelle. Nn esiste alcuna misura che nn abbia cme effett la perturbazine della funzine d nda.

27 S D SD La misura fa la differenza tra MC e MQ Ciò che realmente distingue l esperiment di MC da quell di MQ nn è la dimensine delle particelle, ma il prcess di misura: Otteniam i risultati della MC quand sserviam la traiettria delle particelle, ciè quand effettuiam misure che permettn di stabilire cn certezza se ciascun event SD si è verificat in mdalità S ppure D; Otteniam i risultati della MQ sl se nn sserviam la traiettria delle particelle, ciè se nn effettuiam misure che permettan di stabilire cn certezza se ciascun event SD si è verificat in mdalità S ppure D.

28 Tentativ di sservare la traiettria Rinuncia a sservare la traiettria La misura fa la differenza tra MC e MQ Dagli esperimenti segue un principi generale: Qualunque tentativ di stabilire se la particella sia passata da un lat dall altr distrugge la figura di interferenza. Questa circstanza nn dipende sl da quant la misura perturbi gli sservabili della particella (quantità di mt, ecc.) La misura distrugge l interferenza anche perché, raccgliend l infrmazine, l apparat perturba la fase della funzine d nda della particella.

29 L infrmazine e la prbabilità in MC e in MQ L esperiment delle dppia fenditura mette in luce un imprtante differenza tra la prbabilità classica e la prbabilità quantistica. In MC tutti i dettagli del mt pssn essere misurati, almen in linea di principi. La statistica ( la prbabilità a priri) sn cmunque utili, perché permettn di avere infrmazini medie su un grande numer di particelle. In MQ i dettagli del mt sn invece preclusi all sservazine. L unica infrmazine che si può ttenere dalla statistica (ciè, da un insieme di esperimenti) dalla teria è la prbabilità che un cert event abbia lug, che un sservabile assuma un cert valre.