o Quale delle seguenti funzioni non ha come dominio

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1 . Funzioni reali di variabile reale TEORIA a p. 590 Esercizi ereliminari o Vero o falso? a. ogni relazione è una funzione b. ogni funzione è una relazione c. se { è una funzione di dominio A e codominio B, allora ogni elemento di A non può avere più di una immagine in B d. se { è una funzione di dominio A e codominio B, allora non possono esserci due elementi distinti di A che hanno la stessa immagine in B e. se { è una funzione di dominio A e codominio B, allora non possono esserci elementi di A che non hanno immagini in B [] [TI affermazioni vere e false] e Stabilisci se le relazioni rappresentate dai seguenti diagrammi a frecce definiscono funzioni da A a B, giustificando la risposta. 8 c. a b c e Stabilisci quali delle seguenti relazioni definiscono delle funzioni, giustificando la risposta. a. la relazione che associa a ogni studente di una scuola la sua classe b. la relazione che associa a ogni persona i propri fratelli c. la relazione che associa a ogni persona la propria madre d. la relazione che associa a ogni regione d'italia le regioni con cui confina e. la relazione che a ogni italiano associa il suo comune di residenza f. la relazione che associa a ogni segmento del piano la sua misura; g. la relazione che associa a ogni cittadina italiana suo marito; h. la relazione che associa a ogni punto del piano le rette che passano per quel punto. Test o Considera la funzione (() = -. Quanto vale o Quale delle seguenti funzioni non ha come dominio R? 0 [9-S o {() = = X [9 {() = [Q] {() = [Q]- 8.. Quale delle seguenti funzioni è definita in tutto R? 60 o Data la funzione {() = - 6, per quale dei seguenti valori di è {() = [Q] 5 l 0 = - -- l l [9 = + 4 l [Q] = + 4

2 Dominio di funzioni razionali e ESERCIZIO GUIDATO Determina ildominio delle seguenti funzioni: +l a'=- 9 b.= c. = + lo a. La funzione è definita per: - 9 i= O => i= 9 => i= H Quindi ildominio è R - {HHH} b. La funzione è definita per: - 8 i= O => ( - 4) i= O => i= HH I\X i= H Quindi ildominio è R - {H HH'HHHH}' c. La condizione + lo i= Oè sempre verificata (perché?) quindi il dominio è Stabilisci ildominio delle seguenti funzioni. O = ----l = -"---z ----=-- G) =_l_ = + - l «D =- =-=-=-- o + o = + 0 = G) = O,5-5 = z - 7 CD= = + -8 (+)+ «D = +4 e = G = o = +4 + = X = = z + 8 = 6 - = + = = = --.,.--- (+)-5 = + 4 = - + X - = + - X - [R - {l}; R - {O,}; R) [R - {O};R - {±5}; R - {O}) [R - {lo}; R - {±6}; R - {O, ± }) [R-{-};R;R-{-4,O}] [R-{-,};R-{-5};R-{-, ±}) Immagini e controimmagini G) ESERCIZIO GUIDATO È data la funzione ( così definita: (() = + 4, Determina ((6). Calcola quindi per quale valore di risulta - (() =. L'immagine di 6, che si indica con ilsimbolo {(6), si ottiene sostituendo 6 al posto di nell'espressione analitica della funzlone: {(6) = 6 _ =H Il valore di cercato è la soluzione dell'equazione (() =, ossia dell'equazione + 4 =. - Risolvendo questa equazione troverai = 8. o Data la funzione {() = - 8, calcola (( - ~). Stabilisci quindi per quale valore di risulta (() =.[-9; = ~] i) Data la funzione (() = ~ - ~, calcola (( ~ ). Stabilisci quindi per quale valore di risulta (() =. [O; = ~] G Data la funzione {() = - -, determina {( -). Stabilisci quindi per quali valori di risulta (() = -. 9; = O v = ) e Data la funzione (() = - -, determina {( -). Stabilisci quindi per quali valori di risulta {() = -. [-;=Ov=l] 6

3 6) Data la funzione f() = +, calcola f(o,5). Stabilisci se esiste un valore di per cui (() = 0,5. + e Data la funzione f() = : - l,calcola {( -0,5). Stabilisci se esiste un valore di per cui f() =. [- 9 7 i non e +. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione _~_---I' InoRlA a p. 594 Il eiano cartesiano fd Rappresenta nel piano cartesiano i seguenti punti e stabilisci in quali quadranti sono situati. A(-~,-l), B(~,), C(-, l), D(,-) e Rappresenta nel piano cartesiano i seguenti punti e stabilisci in quali quadranti sono situati. A(~,-l), B(-,-), C(,l), D(l,-~) 6) Rappresenta nel piano cartesiano i seguenti punti e stabilisci in quali quadranti sono situati. A(-~,l), B(-, 4), C(-,-), D(-,~) e Rappresenta il segmento di estremi A( -, -) e B(, ). ED Rappresenta il segmento di estremi A(-, ) e B(l, -l). Cl!) Rappresenta il triangolo di vertici A( -, l), B(, ) e C(O, ). e Rappresenta il triangolo di verticia(l, ), B(4, ) e C(l, Rappresenta nel piano cartesiano il quadrilatero ABCD di vertici A(l, O), B(, O), C(, l) e D(O, l). Di che tipo di quadrilatero si tratta? Cl) Rappresenta nel piano cartesiano il quadrilatero ABCD di vertici A(O, O), B(l, l), C(O, ) e D( -l, l). Di che tipo di quadrilatero si tratta? e Rappresenta nel piano cartesiano il quadrilateroabcd di verticia(-, O), B(-l, ), C(I, O), D(-I, -). Di che tipo di quadrilatero si tratta? Il grafico approssimativo, per punti, di semplici funzioni Dominio di funzioni razionali e ESERCIZIO GUIDATO Traccia approssimativamente il grafico delle funzioni: a'=- b. = - a. Devi costruire anzitutto una tabella, per determinare le coordinate di alcuni punti appartenenti al grafico della funzione. Completa, per esempio, la tabella riportata qui sotto: nota che abbiamo scelto di attribuire a valori pari, in modo da ottenere per valori non frazionari e quindi punti più facili da rappresentare. I -4 ~~. = --l 6.I Rappresenta nella figura i punti le cui coordinate hanno [valori di e della tabella e congiungili con una linea continua: otterrai come grafico una retta.

4 b. Procedi come nel caso precedente. Completa anzitutto la tabella qui sotto O 7 - Rappresenta nella figura i punti le cui coordinate hanno i valori di e della tabella e congiungili con una linea continua: otterrai come grafico una curva simmetrica rispetto all'asse, detta parabola. o Traccia approssimativamente il grafico di ciascuna delle seguenti funzioni. G=- o = l- e =+l e=- CD =- CI!)=- G) = - CD =- C!)=-- e = - CD = e=--l Cl) =-5 G=--l Ci) = -+l <D =' CD =-4 i)=-' o= --l E)=- e =4- G) =- 4 G)=-- 4 G =-+ ~ ~ =- -4 fa =_ 6

5 l'analisi di un grafico: riconoscimento del grafico di una funzione, del dominio e dell'immagine e ESERCIZIO SVOLTO Stabiliamo se le seguenti curve sono grafici di funzioni. a b Il grafico di una funzione reale di variabile reale è caratterizzato dal fatto che ogni retta verticale in un punto. lo incontra al massimo I I : I I_ Se tracciamo nella fig. a delle rette verticali, ne troviamo alcune (come quelle tratteggiate in azzurro nel disegno qui sopra), che incontrano la curva rossa in due punti: pertanto, tale curva non è ilgrafico di una funzione. Se tracciamo nella fig. b delle rette verticali (vedi disegno qui sopra) ogni retta o non interseca la curva rossa oppure la interseca in un punto soltanto: pertanto, tale curva è il grafico di una funzione. Awertenza. Nelle figure relative ai seguenti esercizi 7S e 76 sono riportati i grafici di due funzioni: il tratteggio agli estremi del grafico indica che esso prosegue indefinitamente; ilpallino pieno indica che ilpunto appartiene al grafico della funzione mentre il pallino vuoto indica che non vi appartiene. In tutti i grafici si intende che l'unità di misura coincida con il lato dei quadra tini della quadrettatura

6 o ESERCIZIO SVOLTO Individuiamo dominio e immagine della funzione che ha ilseguente grafico. Il dominio è l'insieme dei valori assunti dalle ascisse dei punti che appartengono al grafico della funzione. Geometricamente, per individuare il dominio possiamo immaginare di proiettare tutti i punti del grafico sull'asse. L'immagine è l'insieme dei valori assunti dalle ordinate dei punti che appartengono al grafico della funzione. Geometricamente, per individuare!'immagine possiamo immaginare di proiettare tutti i punti del grafico sull'asse. A 8.. o Proiettando sull'asse, otteniamo il segmento AB, con l'estremo A( -, O) incluso e l'estremo B(, O) escluso; perciò ildominio è l'insieme: Proiettando sull'asse, otteniamo il segmento OC, inclusi gli estremi 0(0, O) e C(O, 4), perciò l'immagine della funzione è l'insieme: D={ERI-:::;<} = { E RIO:::; :::;4} 65

7 G ESERCIZIO SVOLTO Individuiamo dominio e immagine della funzione che ha il seguente grafico. Dominio Dal momento che i tratteggi agli estremi del grafico indicano che esso prosegue indefinitamente, se immaginiamo di proiettare tutti i punti del grafico sull'asse, otteniamo tutto l'asse. Immagine Proiettando tutti i punti del grafico della funzione sull'asse, otteniamo la semiretta dell'asse costituita dai punti di ordinata minore o uguale a. Il dominio D della funzione è l'insieme R: L'immagine della funzione è perciò l'insieme: = { E Rl <::: } Stabilisci il dominio e l'insieme immagine delle relazioni che hanno i seguenti grafici, quindi specifica se sono funzioni. Dominio =. Dominio = Dominio = Immagine = 66

8 . Dominio = Immagine = Dominio = Dominio =.. I I J L '~ ~ O / Dominio =.. Dominio =.. Immagine = H Dominio =.. O Dominio =... Dominio =. Dominio =.. Immagine = 6i