Corso di Fisica Quantistica Dip.to di Fisica, Università di Pavia

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Michela Scognamiglio
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e rinciio d indeterinazione: 1 febbraio 018 Lucio Claudio Andreani Web:

1 Corso di Fisica Quantistica Di.to di Fisica, Università di Pavia Esercizi su lunghezza d onda di de Broglie e rinciio d indeterinazione: 1 febbraio 018 Lucio Claudio Andreani Web: htt://fisica.univ.it/dida/corso-fisica-quantistica.ht Eventuali errori ossono essere segnalati a lucio.andreani@univ.it Grazie!

2 Bibliografia [CF] A. Caforio, A. Ferilli, Fisica! Le Monnier Scuola [HRK] D. Halliday, R. Resnick, K.S. Krane, Fisica, Casa Editrice Abrosiana [MNV] P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci: Fisica Vol II, EdiSES Siulazioni MIUR di seconda rova di aturità di fisica: htt://fisica.univ.it/dida/aturita.ht

3 Forule utili h, h E c E hc, 0 c 4 c 34 E(eV) Js 1.4 (μ) 1 0c, 0v,, 1 Relazione di de Broglie Energia/lunghezza d onda dei fotoni v c Forule relativistiche e kg, ec MeV Massa/energia di rioso: elettrone kg, c GeV Massa/energia di rioso: rotone d sin n, n 1,, 3,... Diffrazione: legge di Bragg x, Et Princiio di inteterinazione

4 Quesito n. 6 Prova aturità di fisica del 1/01/017: Diostra che a un elettrone non relativistico, accelerato da fero ediante una differenza di otenziale V isurata in volt, si uò associare un onda di de Broglie la cui lunghezza d onda uò essere esressa dalla forula: Calcola tale lunghezza d onda er V=50 V. 1,504 V (V) 1/ Per un elettrone non relativistico si ha E da cui ee 1/ e h e quindi. e E L energia acquistata da un elettrone in un otenziale di accelerazione V è ari a ev. Assuendo V= 1 V, si ottiene 1/ 34 6, J/s 9 1, , kg 1, C1V da cui la forula del testo. Se V=50 V si ottiene =0,173 n=1,73 A. Non è un valore articolarente iccolo: gli elettroni nel icroscoio elettronico a trasissione (TEM) sono accelerati con una differenza di otenziale che uò arrivare fino a 300 kev e la lunghezza d onda è olto iù iccola. Però in quel caso è necessaria una trattazione relativistica. n

5 CF unità 4 b 55 e Un rotone (assa di rioso 0 = kg) è accelerato a una velocità ari a v= /s. Qual è la lunghezza d onda di de Broglie della articella? Soluzione Il rotone è relativistico con v/c=0.5. Quindi = 0 v con h kg s λ Utilizzando la relazione relativistica che esrie l energia di una articella in funzione della sua quantità di oto, calcolare l energia totale, l energia cinetica e la velocità di un rotone di lunghezza d onda ari a Soluzione La quantità di oto è data da =h/= kg /s. L energia è data da E E 4 0 c c 9 10 J 6.6 GeV, Ekin E 0c 5.3 GeV. Osservando che l energia di rioso è 0 c = J=0.938 GeV, la velocità si ottiene da 6.6 GeV 1 0c v 0.989c GeV

6 CF unità 4 roblea Un fascio di elettroni accelerati er ezzo di una tensione di 104 V si diffrange su un cristallo. Se il rio assio di intensità della figura di diffrazione coare lungo la direzione che fora un angolo di 1.37 con i iani reticolari del cristallo, qual è la distanza fra tali iani? Soluzione Alichiao la relazione di de Broglie er trovare la lunghezza d onda dell elettrone (che ha un energia bassa e non relativistica): h 34 h h Js / ee eev kg J e oi la legge di Bragg er trovare la distanza fra i iani: 1.0 A d sin n, n 1 d.8 A. sin

Diffrazione dai cristalli: d di raggi X: Max von Laue (191) E hc, 10 10 E

7 Diffrazione dai cristalli: d di raggi X: Max von Laue (191) E hc, E 10 kev Phograhic fil di elettroni: Davisson e Gerer (197) X-rays Al (oly) electrons e E e h e 30, kg E 150 ev di neutroni: 193 (Chadwick), 1936 n E n h n 7, kg E 0.081eV neutrons NaCl (ono) X-rays

8 Quesito 3, rova aturità di fisica dell 11/11/016: Il otere risolutivo di un icroscoio ottico è inversaente roorzionale alla lunghezza d onda della luce utilizzata er illuinare il caione da osservare. Un aggiore otere risolutivo erette di distinguere dettagli iù iccoli del caione in esae e di ottenere ingrandienti aggiori. In un icroscoio elettronico, la luce visibile è sostituita da un fascio di elettroni. Questi vengono accelerati da una differenza di otenziale dell ordine delle decine di kv e si coortano coe onde. Le lunghezze d onda associate a queste articelle sono iù iccole risetto a quelle della luce di un fattore che uò essere anche di Quindi anche l ingrandiento di un icroscoio elettronico uò essere 10 5 volte iù grande risetto a quello di un icroscoio ottico. Un icroscoio elettronico oera con un fascio di elettroni di lunghezza d onda = Doo aver stabilito se gli elettroni, doo essere stati accelerati, si uovono a velocità relativistica o eno, calcola la loro velocità.. Calcola la differenza di otenziale V che accelera gli elettroni saendo che questi sono eessi a velocità trascurabile da un filaento di tungsteno riscaldato.

Con una lunghezza d onda =5 10-1, l iulso è =h/=1,35 10 - kg /s.

Quindi occorre scrivere = 0 v, con =(1-v /c ) -1/ =(1- ) -1/.

trova 0 8 1 v 0,436c 1,3110 s. 1 0 L energia cinetica è E kin 0 c 4 c 0 c.

9 Con una lunghezza d onda =5 10-1, l iulso è =h/=1, kg /s. L elettrone è oderataente relativistico, si uò confrontare con 0 c=, kg /s. Quindi occorre scrivere = 0 v, con =(1-v /c ) -1/ =(1- ) -1/. Dividendo er c e definendo 0 =/( 0 c)=0,485 si ottiene una equazione er la velocità, dalla quale si trova v 0,436c 1,3110 s. 1 0 L energia cinetica è E kin 0 c 4 c 0 c. Conviene calcolarla in elettronvolts raccogliendo 0 c =51 kev, da cui si trova E kin =57 kev e il otenziale di accelerazione V=57 kv. Questo torna con il testo che arla di diverse decine di kv. Bacillus subtilis Poliovirus 100 n 50 n

10 Il rinciio d indeterinazione

MNV Eseio 18.11 (occhio ai nueri ) Consideriao le goccioline d olio nell eseriento di Millikan er la isura della carica dell elettrone.

11 MNV Eseio (occhio ai nueri ) Consideriao le goccioline d olio nell eseriento di Millikan er la isura della carica dell elettrone. Assuiao che una gocciolina abbia un raggio r=1 e che la densità dell olio sia r=0.9 g/c 3. Suonendo che essa scenda con velocità v=10 c/s, calcolare (a) la sua lunghezza d onda di de Broglie e (b) l indeterinazione della velocità. (a) La assa è data da =r (4r 3 /3)= g, l iulso è =v= kg /s e la lunghezza d onda di de Broglie è =ħ/= Si tratta di un valore olto iccolo, er cui non è ossibile ettere in evidenza gli asetti ondulatori della articella. (a) L indeterinazione della osizione della gocciolina si uò assuere uguale al raggio, x=r=10 6, da cui l indeterinazione della velocità v=ħ/(x)= /s. Anche qui si tratta di un valore iccolissio. Concludiao che il rinciio di indeterinazione ha un effetto trascurabile nel caso di cori acroscoici.

12 MNV eseio 18.1 Un elettrone ha energia cinetica E k = 1 kev e la sua velocità è nota all 1%. (a) Deterinare se l elettrone è relativistico o eno. (b) Calcolare il valore liite er l incertezza sulla osizione x. (c) Se invece la sua osizione è conosciuta entro x=10-6, calcolare l incertezza relativa della velocità. (a) La velocità classica è data da v=(e/ e ) 1/ = /s<<c. Quindi l elettrone è non relativistico. D altra arte e c = ev=0.51 MeV>>E k, ossia l energia cinetica dell elettrone è << dell energia associata alla assa di rioso. (b) Dal rinciio d indeterinazione abbiao x=ħ/=ħ/( e v)= , che è un incertezza olto iccola, dell ordine delle distanze interatoiche. (c) Stavolta otteniao l intertezza sulla velocità coe v=ħ/( e x)= /s, da cui v/v= Anche qui si tratta di un incertezza olto iccola.

13 Indeterinazione sull energia Il livello dell atoo di idrogeno ha una vita edia ari a t=1.6 ns, che roduce una indeterinazione E sull energia dello stato e una indeterinazione sulla lunghezza d onda eessa nella transizione 1s. (a) Calcolare l incertezza sull energia dello stato. (b) Calcolare l incertezza / sulla lunghezza d onda del fotone eesso nella transizione. 1s E Soluzione: (a) L incertezza sull energia è ari a E=ħ/t= J = ev. (b) Poiché l energia della transizione è E=(3/4)Ry=0.75*13.6 ev=10. ev, l incertezza è olto inore dell energia stessa: E<<E. Quindi l incertezza sulla lunghezza d onda uò essere calcolata seliceente coe / = E/E Questa è detta la larghezza naturale dello stato eccitato.

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