Diario del corso di Analisi Matematica 2

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1 Dirio del corso di Anlisi Mtemtic 2 G. Orlndi Vengono qui di seguito elencti gli rgomenti trttti lezione. Il dirio servirà nche per definire il progrmm d esme. Lezione del 2/1/13 (1 or). Proprietà ssiomtiche di un funzione distnz su un insieme: positività, simmetri, diseguglinz tringolre. Spzi metrici. Esempi: R ed R n dotti dell distnz euclide. Distnz indott dll norm l 1 su R n. Distnz geodetic tr due punti sull sfer: è l lunghezz dell rco di cerchio mssimo che unisce i punti dti. Lezione del 4/1/13 (2 ore). Proprietà ssiomtiche di un norm su uno spzio vettorile: positività, positiv 1-omogeneità, disuguglinz tringolre. Esempi: il vlore ssoluto su R, l norm euclide su R n. Definizione di norm l su R n : per x = (x 1,..., x n ) R n, si pone x = sup{ x i, i = 1,..., n}. Defnizione di norm l 1 su R n : x 1 = n i=1 x i. Nel cso di un mtrice A = [ ij ] l norm l 1 è dt d A 1 = i,j ij. Si h A B 1 A 1 B 1, ossi l norm l 1 è comptibile con il prodotto di mtrici. Un norm su uno spzio vettorile V induce un distnz d su V definit d d(x, y) = x y per x, y V. Se V è uno spzio euclideo, dotto cioè di un prodotto sclre,, quest ultimo definisce un norm (dett norm euclide) v = v, v 1/2. Lo spzio vettorile C ([, b]; R) delle funzioni f : [, b] R continue sull intervllo [, b] R può essere dotto dell norm l (dett norm dell convergenz uniforme) definit d f l f = sup{ f(t), t [, b]}. Posto M = f, il grfico di f risult confinto nel rettngolo [, b] [ M, M]. Si può definire su C ([, b]; R) nche l norm l 1 (dett norm dell convergenz in medi) ponendo f l 1 f 1 = b f(t) dt. Definizione di norm l2 su C ([, b]; R): b f l 2 f 2 = f(t) 2 dt. Si trtt di un norm euclide, indott dl prodotto sclre f, g l 2 = b f(t)g(t)dt, definito per f, g C ([, b]; R). Quest norm (dett dell convergenz in medi 1

2 qudrtic) è spesso ust in problemi di minim distnz (cfr. metodo dei minimi qudrti). Osservzione: si g C ([, b]), g(x) per ogni x [, b] e b g(x)dx =. Allor g(x) = per ogni x [, b]. D ciò discende che se f C ([, b]) h norm l 1 (o l 2 ) null, llor necessrimente f(x) = per ogni x [, b]. Osservzione: C ([, b]; R) (e in genere gli spzi di funzioni che si considerno in nlisi) è uno spzio vettorile infinito dimensionle: inftti per ogni n N, l insieme E n = {1, x,..., x n } è linermente indipendente, in qunto un combinzione linere non null di elementi di E è un polinomio, e per il Teorem fondmentle dell Algebr si nnull solo in un numero finito di punti (inferiore o ugule d n), e non può pertnto coincidere con l funzione identicmente null su [, b]. Un motivzione dell uso dell norm l 2 (o in generle, di un distnz euclide) per problemi di minim distnz (generlizzzione del metodo dei minimi qudrti, in uso d es. per il clcolo di regressioni lineri in sttistic, l pprossimzione medinte sviluppi di Fourier, l codific JPEG di immgini,...) è dovuto l ftto che l soluzione è unic e si crtterizz ttrverso un proiezione ortogonle. Esempio: pprossimzione di un funzione f C ([, b]) medinte polinomi di grdo (inferiore o ugule ) n. Il polinomio P che relizz l minim distnz (ovvero l migliore pprossimzione in medi qudrtic) di f è l proiezione ortogonle di f (rispetto l prodotto sclre l 2 ) sul sottospzio finito-dimensionle V :=spn< v, v 1,..., v n >, dove per i =, 1,..., n si è posto v i (x) = x i, x [, b]. Pertnto, il polinomio P è dto d n n [ b ] P (x) = f, Q i l 2 ([,b]) Q i (x) = f(t)q i (t)dt Q i (x), x [, b], i= i= dove {Q i } i=,...,n è un bse ortonormle di V, costruibile pplicndo il processo di ortonormlizzzione di Grm-Schmidt ll bse {v, v 1,..., v n } di V. A lezione è stto svolto il cso prticolre [, b] = [ 1, 1], n = 1, dove si h Q (x) = 1 2 e Q 1 (x) = 3 2 x. Lezione del 7/1/13 (2 ore). Nozione di limite di successione in uno spzio metrico (X, d): dti x n, x X, si dice che x n x in X se d(x n, x ) per n +. Definizione di funzione continu tr spzi metrici: f : (X, d X ) (Y, d Y ) è continu in x X se ɛ > δ > tle che d X (x, x ) < δ implic d Y (f(x), f(x )) < ɛ. Crtterizzzione dell continuità: f : X Y è continu in x X se e solo se per ogni successione x n x in X si h f(x n ) f(x ) in Y. Due distnze d 1 e d 2 su X si dicono equivlenti se per ogni successione {x n } X tle che d 1 (x n, x) si h d 2 (x n, x ) e vicevers, ossi se sono equivlenti rispetto ll operzione di limite. Anlogmente, due norme su uno spzio vettorile V si dicono equivlenti se le distnze ssocite sono equivlenti. Sussiste l seguente crtterizzzione: due norme N 1, N 2 su V sono equivlenti se e solo se esistono delle costnti C 1, C 2 > tli che 2

3 per ogni v V si bbi N 2 (v) C 1 N 1 (v) e N 1 (v) C 2 N 2 (v) (ovvero l norm N 1 controll l norm N 2 e vicevers). In R n (o in uno spzio vettorile normto finito dimensionle) tutte le norme sono equivlenti. In prticolre per v R n si h ( lezione bbimo visto il cso n = 2): v v v 1 n v n v. Abbimo dimostrto lezione che le norme l ed l 1 su C ([, b]) non sono equivlenti: inftti, per ogni C > esiste lmeno un funzione f f C tle che f > C f 1, pertnto in C ([, b]) l norm l 1 non controll l norm l. Esempio di un funzione continu su C ([, b]): l funzione T : C ([, b]; R) C ([, b]; R) che ssoci d f l su funzione integrle T (f) definit d T (f)(x) = x f(t)dt è un funzione continu rispetto ll norm l. Inftti, si h l seguente stim: T (f)(x) T (g)(x) = T (f g)(x) = x x f(t) g(t) dt [f(t) g(t)] dt x f g dt f g (x ) x b. Pssndo l sup su x [, b] d mbo i membri, si ricv T (f) T (g) (b ) f g, d cui si deduce che, posto g = f n, se f f n, llor T (f) T (f n ), in ltre prole si h l continuità dell funzione T. Lezione del 9/1/13 (1 or). Definizione di convergenz uniforme: dte f, f n : I R R si dice che le f n convergono uniformemente d f in I se lim sup f n (x) f(x) lim f n f l n + n + (I) =. x I Defininzione di convergenz puntule: le f n convergono puntulmente d f in I se x I, lim n f n (x) f(x) =. L convergenz uniforme implic quell puntule, mentre il vicevers non è vero in generle: si prend d esempio I = [, 1], f n (x) = n x per x 1/n, f n (x) = 2 n x per 1/n x 2/n, e f n (x) = per 2/n x 1. Si h f n (x) per ogni x I, m f n = 1 n, per cui non vi può essere convergenz uniforme ll funzione identicmente null. Proprietà dell convergenz uniforme: sino f n, f : I R tli che f n f l (I) per n +. 1) se le f n sono continue, llor f è continu. 3

4 b 2) se I = [, b], lim n f n(t)dt = b lim n f n (t)dt = b f(t)dt (pssggio l limite sotto il segno di integrle). 3) se f n C 1 ([, b]; R) (ossi f n, f n C ([, b]; R)) e f n f, f n g uniformemente in [, b], llor g = f su [, b]. Nel cso prticolre delle serie di funzioni, cioè qundo f n (x) = n k= u k(x), con u k : [, b] R, le proprietà dell convergenz uniforme si trducono come segue: dte u k C ([, b]; R), se l serie k= u k(x) converge uniformemente in [, b], llor converge d un funzione continu. Inoltre, vle ( b ) b u k (t) dt = u k (t)dt (integrzione per serie). k= k= Se inoltre u k C 1 ([, b]; R) e k= u k (x) converge uniformemente in [, b] llor ( u k (x)) = u k(x) (derivzione per serie). k= k= Appliczione di 2) : dto che per un serie di potenze vle il teorem di integrzione per serie, si può clcolre d esempio b ( b ) ( 1) k b e x2 dx = x 2k ( 1) k dx = x 2k ( 1) k (b 2k+1 2k+1 ) dx =. k! k! (2k + 1)k! k= k= Alcuni semplici esempi mostrno come l convergenz puntule non si sufficiente in generle, grntire l vlidità dei pssggi l limite 1) 2) e 3). Lezione dell 11/1/13 (2 ore). Dimostrzione dei punti 1) 2) 3) dell lezione precedente: 2) Dll esempio dell lezione precedente sull continuità dell trsformt integrle T si deduce, ponendo g = f n ed x = b, che b b f(t)dt f n (t)dt = T (f)(b) T (f n)(b) (b ) f n f l ([,b]) 3) Si h f n (x) f n () = x f n(t)dt, ed il primo membro converge f(x) f() perchè le f n in prticolre convergono puntulmente, mentre il secondo membro converge b g(t)dt per l convergenz uniforme di f n su [, b] ed il pssggio l limite sotto il segno di integrle. Per il Teorem fondmentle del clcolo ne consegue f = g. 1) Per ogni ɛ > si h, per ogni n > n, f n f < ɛ. Si x [, b] e fissto n > n, si δ > tle che f n (x) f n (x < ɛ per x x < δ (tle δ esiste per l continuità di f n ). Allor, per ogni x [, b], x x < δ, si h, per l diseguglinz tringolre, f(x) f(x ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x ) f(x ) 3ɛ, k= 4

5 ovvero f è continu in x, per ogni x [, b]. Successioni di Cuchy in uno spzio metrico. Un successione convergente è di Cuchy. Spzi metrici completi: sono quelli in cui tutte le successioni di Cuchy convergono. Esempi: R ed R n, con l distnz euclide (o un qulunque norm), C ([, b]) dotto dell norm. Osservzione: lo spzio C ([, b]) non è completo rispetto ll convergenz in medi, o in medi qudrtic: si consideri d esempio l successione f n C ([ 1, 1]) e l funzione discontinu f definite rispettivmente d f n (x) = se 1 x 1/n, f n (x) = nx + 1 se 1/n x, f n (x) = 1 se x 1, e d f(x) = per 1 x < e f(x) = 1 se x 1. Si h f n f 1 = (nx + 1) dx = 1/2n. 1/n Quindi f n è un successione di Cuchy rispetto ll norm l 1 (in qunto successione convergente), m il limite f non è un funzione continu. Completmento di uno spzio metrico (X, d): è uno spzio metrico completo ( ˆX, ˆd) tle che X ˆX e ˆd(x, y) = d(x, y) per x, y X, ed inoltre per ogni ˆx ˆX esiste x n X tle che x n ˆx in ˆX. Ogni spzio metrico mmette un completmento, d esempio R, costruito ttrverso le sezioni di Dedekind è il completmento di Q. Il completmento di C ([, b]) rispetto ll norm L 1 è lo spzio delle funzioni sommbili secondo Lebesgue L 1 ([, b]) = {f : [, b] R, b f(x) dx < + }. Anlogmente, il completmento rispetto ll norm L 2 è lo spzio L 2 ([, b]) = {f : [, b] R, b f(x) 2 dx < + } delle funzioni qudrto sommbile secondo Lebesgue. Uno spzio normto completo si dice spzio di Bnch. Uno spzio vettorile completo rispetto d un norm euclide si dice spzio di Hilbert. Lo spzio R n è di Bnch rispetto d un qulunque norm, e di Hilbert rispetto ll norm euclide. Gli spzi (C ([, b]), ) e (L 1 ([, b]), 1 ) sono di Bnch, lo spzio (L 2 ([, b]), 2 ) è di Hilbert. In questi spzi si mbientno svriti problemi dell Anlisi Mtemtic: problemi di ottimizzzione (d esempio, problemi di minim distnz), equzioni differenzili, ecc. Le soluzioni di questi problemi sono spesso rppresentte sotto form di serie di funzioni, quli d esempio le serie di potenze e le serie di Fourier. Un criterio utile per l convergenz uniforme di un serie di funzioni è il criterio di convergenz totle (di Weierstrss). Lo enuncimo nel qudro più generle degli spzi normti. Teorem dell convergenz totle: si (X, ) uno spzio vettorile normto completo. Si {u k } X. Se l serie delle norme k= u k è convergente in R, llor l serie k= u k è convergente in X, ovvero lim n k=n u k =. Dimostrzione: dett y n = n k= u k l successione delle somme przili, dimostrimo che {y n } è di Cuchy in X: si h, per l disuguglinz tringolre, y n y m = m k=n+1 u k m k=n+1 u k < ɛ per ogni m > n > n, 5

6 dto che l successione numeric s n m k=n+1 u k = s m s n. = n k= u k è di Cuchy in R per ipotesi, e Appliczioni del criterio di convergenz totle: in R ed in C corrisponde l criterio di convergenz ssolut. Esempi in M n (R) R n2, lo spzio delle mtrici qudrte di ordine n, dotto dell norm 1 : esponenzile di mtrice e serie di Neumnn. Esponenzile di mtrice: Rimne ben definit, per ogni A M n (R), l mtrice exp(a) e A = 1 k= k! Ak, dto che per l serie delle norme si h 1 k! Ak 1 1 k! A k 1 = e A 1 < +. L mtrice exp(a) entr in gioco nell risoluzione del sistem di equzioni differenzili Ẋ = A X, con X = X(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) R n. L soluzione del problem di Cuchy con dto inizile X() = X è dt inftti d X(t) = exp(ta) X. Serie di Neumnn: per A M n (R), A 1 < 1, rimne ben definit l serie (dett di Neumnn) k= Ak per il criterio di convergenz totle, essendo A k 1 A k 1 < +. Si h inoltre l identità (I A) 1 = k= Ak, dto che vle (I A) n k= A k = I A n+1 I per n +, essendo A n+1 1 A n+1 1. L serie di Neumnn è utile per risolvere sistemi lineri del tipo λx A X = C, con λ R, C R n. Lezione del 14/1/13 (2 ore). Appliczione del criterio di convergenz totle ll convergenz delle serie di potenze. Ricordimo che per un numero complesso c = + ib C R 2 si definisce l norm euclide c = c c = 2 + b 2. Esempi: l serie che definisce l esponenzile complesso e z = 1 k= k! zk converge per ogni z C, essendo che l serie delle norme 1 k! z k = e z < + per ogni z C. Dll definizione di esponenzile complesso si possono dedurre in prticolre le formule di Eulero e x+iy = e x (cos y + i sin y). Anlogmente, l serie geometric k= zk converge, per z < 1 (ovvero nel disco perto del pino B 1 = {x 2 + y 2 < 1}), ll funzione (1 z) 1 (stess dimostrzione che nel cso rele). Dti z, c k C, si k= c k (z z ) k un serie di potenze complesse centrt in z C, e si r > il suo rggio di convergenz, ovvero r 1 = lim sup k c k 1/k. L serie converge uniformemente in B R (z ) = {z C, z z R} per ogni < R < r, e quindi in prticolre converge d un funzione continu sul disco perto B r (z ) = {z C, z z < r}. Dimostrzione: si h k= sup z z R c k z z k = c k R k < +, k= 6

7 poichè per il criterio dell rdice lim sup k + k ck R k = ( lim sup k + ) k ck R = r 1 R < 1. Si può dunque pplicre il criterio di convergenz totle nello spzio metrico completo C ( B R (z ); C), dotto dell norm definit, per f C ( B R (z ), C), d f = sup{ f(z), z z R}. Osservzione: le stesse proprietà di convergenz si ottengono ovvimente per l serie di potenze rele k (x x ) k su [x R, x +R] per ogni R < r, dove r > è il rggio di convergenz dell serie. In prticolre, per un serie di potenze vle il teorem di integrzione per serie. Inoltre, dto che l serie delle derivte di un serie di potenze è su volt un serie di potenze con lo stesso rggio di convergenz, vle nche il teorem di derivzione per serie. Iterndo il rgionmento si deduce che un serie di potenze converge d un funzione di clsse C (ovvero dott di derivte continue di ogni ordine). Si può inoltre fcilmente verificre che, dett f(z) = c k (z z ) k, si h c k = f (k) (z )/k!, ossi l serie di Tylor di f converge d f (si dice in tl cso che f è un funzione nlitic, ovvero di clsse C ω. Osservzione: l regol di derivzione per serie di potenze può essere utilizzt d esempio per l ricerc di soluzioni y(x) di equzioni differenzili sotto form di serie di potenze y(x) = k x k (esempio: equzioni lineri coefficienti polinomili come l equzione di Bessel (di ordine n) x 2 y + xy + (x 2 n 2 )y =, equzioni non lineri coefficienti nlitici come l equzione del pendolo semplice y = sin y), trsformndo l equzione differenzile in un sistem tringolre per i coefficienti k o sfruttndo l identità k = y (k) ()/k!. Lezione del 16/1/13 (2 ore). Teorem: C ([, b]; R) dotto dell norm è completo. Discende dl ftto che C ([, b]; R) è un sottospzio chiuso dello spzio metrico completo L ([, b]; R) = {f : [, b] R, f < + }, lo spzio delle funzioni limitte su [, b] R. Dimostrzione dell completezz di L ([, b]; R): dt un successione di Cuchy {f n } L ([, b]; R), per ogni ɛ > n tle che n, m > n f n f m < ɛ. In prticolre, per ogni x b si h f n (x) f m (x) < ɛ, dunque {f n (x)} è di Cuchy in R x b, ed è dunque convergente per l completezz di R. Detto f(x) = lim m f m (x), si h f n (x) f(x) = lim m f n (x) f m (x) ɛ n > n, x b. Pssndo l sup su x [, b] si ottiene f n f ɛ n > n, ovvero f n f per n +. Inoltre, f L ([, b]; R) poichè f f f n + f n ɛ + f n < +. Inoltre, se f n C ([, b]; R) llor f n L ([, b]; R) in qunto f n mmettono mssimo e minimo su [, b] per il Teorem di Weierstrss, e C ([, b]) è chiuso rispetto ll convergenz uniforme poichè il limite uniforme f delle funzioni continue f n è un 7

8 dunzione continu. Pertnto l successione {f n } converge in C ([, b]; R) rispetto ll norm L. Il principio delle contrzioni in uno spzio metrico completo (teorem di punto fisso di Bnch-Cccioppoli): dto (X, d) spzio metrico completo, T : X X un contrzione (ossi K < 1 tle che d(t (x), T (y)) K d(x, y) x, y X), llor esiste un unico punto fisso x X di T (ovvero un unic soluzione x in X dell equzione x = T (x)). L dimostrzione è costruttiv, medinte uno schem itertivo, e fornisce nche un stim quntittiv dell errore. Si x X, definimo per ricorrenz l successione x n+1 = T (x n ), per n N. Due i csi: o x n+1 = x n per un certo n N, e quindi x n = x n+1 = T (x n ) è punto fisso di T, oppure rimne definit un successione {x n } X, che risult essere di Cuchy in X. Inftti, si h d(x n+1, x n ) = d(t (x n ), T (x n 1 )) K d(x n, x n 1 ) K n d(x 1, x ), d cui si deduce che, per m > n + 1 > n, per l disuguglinz tringolre, d(x m, x n ) m 1 j=n d(x j+1, x j ) K n d(x 1, x ) j= m 1 j=n m n 1 K j d(x 1, x ) = K n d(x 1, x ) K j K n d(x 1, x ) 1 K < ɛ per n sufficientemente grnde, e per ogni m > n + 1 > n, ovvero {x n } è di Cuchy in X. Si lim m x m = x X per l completezz di X. Pssndo l limite per m + nell disuguglinz precedente, si ottiene l stim dell errore d( x, x n ) K n d(x 1,x ). Inoltre, pssndo l limite per n + nell 1 K relzione di ricorrenz x n+1 = T (x n ), dto che x n+1 x e T (x n ) T ( x) per l continuità di T (dt dll condizione di Lipschitz d(t ( x), T (x n )) K d( x, x n )), si deduce x = T ( x), e dunque x è un punto fisso di T. Supponendo ˆx X si un qulunque punto fisso di T, si h d(ˆx, x) = d(t (ˆx), T ( x)) K d(ˆx, x), ossi (1 K) d(ˆx, x), d cui d(ˆx, x) e dunque ˆx = x, ovvero l unicità del punto fisso. j= K j Il principio delle contrzioni si pplic nelle più svrite situzioni: d esempio, per dimostrre il Teorem di Cuchy-Lipschitz di esistenz e unicità locle per soluzioni di problemi di Cuchy (per equzioni e sistemi di equzioni differenzili), oppure il Teorem del Dini delle funzioni implicite/inverse (esistenz e unicità locle per soluzioni di sistemi di equzioni lgebriche non lineri), o nche per provre l dipendenz continu delle soluzioni di equzioni differenzili di dti del problem. Inoltre, gli spetti costruttivi e l stim quntittiv dell errore hnno numerose ppliczioni numeriche. Seguono lcuni esempi solo ccennti lezione. 8

9 Esempio: problem di Cuchy per sistemi differenzili lineri omogenei ed esponenzile di mtrice. Dt A mtrice n n, si consideri il problem di Cuchy dto dl sistem di n equzioni differenzili y = Ay, con l condizione inizile y() = y. Dett y : [ δ, δ] R n l soluzione, integrndo su [, t] mbo i membri del sistem di equzioni differenzili e tenendo conto dell condizione inizile, si ottiene che y(t) verific l equzione di punto fisso y = T y, dove l trsformzione T : C ([ δ, δ]; R n ) C ([ δ, δ]; R n ) è definit d T y(t) = y + t A y(s) ds. Si h t T y 1 T y 2 L ([ δ,δ]) = A(y 1 (s) y 2 (s)) ds δ A 1 y 1 y 2 L ([ δ,δ]), L ([ δ,δ]) ossi T è un contrzione sullo spzio metrico completo C ([ δ, δ]; R n ) dotto dell norm L non ppen δ A 1 < 1. Inizilizzndo lo schem itertivo ponendo y (t) = y per δ t δ, si ottiene y n (t) = n 1 k= k! tk A k y, che converge ll soluzione y(t) = t k A k y = exp(ta) y, (not: t R ), k! k= dove exp(ta) = e ta è l esponenzile dell mtrice ta. Esempio: metodo di Newton (o delle tngenti) per il clcolo degli zeri di un funzione non linere f : [, b] R. Supponimo f C 2 ([, b]), e che per un certo < x < b si bbi f( x) =, che inoltre si f (x) m >, f (x) δ e f(x) Km 2 δ 1 x [, b], per un certo K < 1. Lo schem di Newton per l determinzione di x consiste nell seguente successione definit per ricorrenz: fissto < x < b, si pone, per n N, x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = T (x n), ed in prticolre si h f(x) = se e solo se x = T (x). Essendo T (x) = f(x) f (x) f (x) 2 K per ogni x [, b], si h, per il teorem del vlor medio, T (y 1 ) T (y 2 ) = T (ξ) y 2 y 1 K y 2 y 1 y 1, y 2 [, b], ovvero T è un contrzione. Inoltre vle l stim dell errore x n+1 x = T (x n ) x δ 2m x n x 2 n N (ovvero x n [, b] ), d cui si deduce che se min{ x, b x } δ mx{ 2m x 2, b x 2 } vle T ([, b]) [, b] (in soldoni, x e b x devono vere lo stesso ordine di grndezz, inferiore 2m ), e per il principio delle contrzioni lo schem di Newton converge x. δ (Not: per le ipotesi su f, quest h un segno definito su [, b]. Se nche f h un segno definito su [, b], llor, se è d esempio f (x) m e f (x), si h 9

10 utomticmente T ([ x, b]) [ x, b], ovvero lo schem di Newton è monotono decrescente se x < x b). Lezione del 18/1/13 (2 ore). Sviluppi in serie di Fourier per funzioni 2π-periodiche. Motivzioni: risoluzione di equzioni differenzili dell fisic mtemtic (d esempio l equzione del clore), nlisi in frequenz, pprossimzione e codific di segnli ed immgini (JPEG), ovvero funzioni che presentno tipicmente delle zone di discontinuità insieme regioni in cui possono essere molto regolri. Ad un funzione f : [ π, π] R tle che π π f(t) 2 dt < + si ssoci l funzione S n (f) che rppresent l migliore pprossimzione in norm L 2 ([ π, π]) di f medinte polinomi trigonometrici di grdo (inferiore o ugule ) n, ovvero un elemento del sottospzio (2n + 1)-dimensionle P n L 2 ([ π, π]) dto d P n = spn < 1, cos kt, sin kt > k=1,...,n. Dto che quest bse di P n è ortogonle, si ottiene l formul di rppresentzione S n (f)(t) = n 2 + k cos(kt) + b k sin(kt), con i coefficienti di Fourier di f dti d = 1 π π k=1 π f(t)dt, k = 1 π π π f(t) cos(kt)dt, b k = 1 π π π f(t) sin(kt)dt, 1 k n. Teorem di Fourier: se f L 2 ([ π, π]) (d es. f continu trtti) llor f S n (f) L 2 ([ π.π]) per n +, ovvero l serie di Fourier di f, definit d 2 + k=1 k cos(kt) + b k sin(kt) converge in medi qudrtic d f. Osservzione: l norm L 2 (come l norm L 1 ), essendo un norm integrle, non distingue due funzioni i cui vlori differiscono su un numero finito di punti del dominio (in prticolre un lmeno delle due funzioni non può essere continu), quindi non è un norm in senso stretto su L 2 ([, b]) (rispettivmente L 1 ([, b])), mentre lo è in senso stretto su C ([, b]). Il Teorem di Fourier fferm che l differenz in norm L 2 tr l serie di Fourier di f e l funzione stess f è null: per qunto osservto, questo non signific priori che l serie di Fourier converg puntulmente d f su tutto l intervllo [ π, π]. Esempio (ond qudr): si f definit d f(x) = 1 se < x < π, f(x) = 1 se π < x < e sino f(), f(±π) definite d rbitrio. L serie di Fourier di f converge puntulmente d f per x, ±π. Inoltre, in, ±π l su somm vle zero, indipendentemente di vlori ssunti d f(), f(±π). Proprietà delle serie di Fourier. Diseguglinz di Bessel: ( ) π n f S n (f) 2 l 2 ([ π.π]) = f(t) 2 dt π π 2 k + b 2 k n N. π In prticolre, fcendo tendere n + si ricv il decdimento zero dei coefficienti di Fourier k, b k per k + (Lemm di Riemnn-Lebesgue). Dl Teorem di Fourier si ottiene inoltre l identità di Prsevl (lis Teorem di Pitgor in k=1 1

11 L 2 ([ π, π])): π π f(t) 2 dt = π π 2 k + b 2 k. Form compless dei coefficienti di Fourier: posto c j = j ib j, c 2 j = j+ib j per j >, 2 c = 2, si h S n (f)(t) = n k= n k=1 c k e ikt, con c k = 1 π f(t)e ikt dt. 2π π Coefficienti di Fourier dell derivt: si f L 2 ([ π, π]) derivbile con derivt f L 2 ([ π, π]). Detti k, b k (o, in form compless, c k ) i coefficienti di Fourier di f, e rispettivmente α k, β k e γ k i coefficienti di Fourier di f si h l relzione α =, α k = kb k, β k = k k e γ k = ( ik)c k, ossi d un operzione differenzile su f (nello spzio fisico ) corrisponde un operzone lgebric (moltipliczione) sui suoi coefficienti di Fourier (nello spzio delle frequenze ). Dll identità di Prsevl per l derivt si ottiene in prticolre π αk 2 + βk 2 = π k=1 k 2 ( 2 k + b 2 k) = k=1 π π f (t) 2 dt, d cui si deduce che qunto più un funzione è regolre (ossi qunte più derivte possegg) tnto più rpido è il decdimento zero dei suoi coefficienti di Fourier. Lezione del 21/1/13 (2 ore). Convergenz puntule delle serie di Fourier: se (l estensione periodic di) f è continu trtti in R (e le discontinuità sono di tipo slto), e per ogni x in cui f è continu esistono finite l derivt destr e sinistr, llor l serie di Fourier di f converge puntulmente ll medi dei limiti destro e sinistro di f (in prticolre converge d f nei punti di continuità di f). Convergenz uniforme delle serie di Fourier: si f 2π-periodic, f continu trtti e con derivt continu trtti. (in reltà bst f continu trtti e f L 2 ([ π, π])). Allor l serie di Fourier di f converge uniformemente d f in ogni intervllo [, b] in cui f è continu. Dimostrzione nel cso f C ([ π, π]) e f L 2 ([ π, π]): dllo studio dell convergenz totle dell serie di Fourier di f si ricv k=1 sup t [ π,π] k cos(kt) + b k sin(kt) = k + b k k=1 k=1 k=1 k=1 1 2k 2 + k2 2 (2 k + b 2 k) 1 2k π π π 1 k (k k + k b k ) f (t) 2 dt < +, 11

12 d cui l convergenz uniforme dell serie di Fourier su [ π, π] (e, per periodicità, su tutto R) d un funzione periodic g C ([ π, π]). Quest coincide con f, come si può dedurre invocndo il teorem di convergenz puntule, o quello di Fourier di convergenz in medi qudrtic: si h inftti g S n (f) l 2 ([ π.π]) 2π g S n (f) l ([ π,π]) per n +, d cui g f l 2 ([ π,π]) g S n (f) l 2 ([ π.π]) + S n (f) f l 2 ([ π.π]) per n +. Dll condizione π π g(t) f(t) 2 dt = si deduce, per l continuità di g(t) f(t), che g(t) f(t) = per ogni t [ π, π], ossi g = f. Esempi di pprossimzione di funzioni medinte polinomi trigonometrici. Sviluppi di Fourier per funzioni L-periodiche: si consider come bse ortogonle quell formt d cos( 2π L kt), sin( 2π L kt)). Lezione del 23/1/13 (2 ore). Funzioni vettorili di un vribile rele (curve in R n ): limiti, continuità e derivzione per componenti, interpretzione geometric dell derivt come vettore tngente ll curv immgine. Interpretzione fisic come vettore velocità ssocito ll legge orri di un punto mterile. Equzione prmetric dell rett tngente ll curv immgine: un prmetrizzzione cnonic è dt dllo sviluppo di Tylor di f rrestto l primo ordine. Velocità sclre. Integrle b γ(t)dt di un funzione vettorile γ(t) (equivle d integrre γ(t) per componenti), stim b γ(t)dt b γ(t) dt. Per dimostrre l stim usimo un crtterizzzione dell norm di un vettore in uno spzio euclideo come v = mx α 1 v, α. Inftti per Cuchy-Schwrz si h sempre l disuguglinz v, α v α v, ossi mx α 1 v, α v, ed inoltre v, α = v per α = v 1 v. Si dunque α R n tle che b γ(t)dt = b linerità dell integrle e per l disuguglinz di Cuchy-Schwrz si h b b γ(t)dt, α e si osservi che α = 1. Per γ(t)dt, α = γ(t), α dt b γ(t) dt, ovvero l tesi. Funzioni di più vribili reli. Domini (si considerno domini D che sino insiemi perti, o contenuti nell chiusur di insiemi perti). Insiemi di livello, sottolivello, soprlivello. Funzioni continue. Gli insiemi di livello di un funzione continu sono chiusi nel dominio dell funzione, i soprlivelli e i sottolivelli sono perti. Grfico Γ f di un funzione di più vribili f : D R n R: Γ f = {(x 1,..., x n, x n+1 ) : (x 1,..., x n ) D, x n+1 = f(x 1,..., x n )}. lezione del 28/1/13 (2 ore). Insiemi comptti per successioni. Teorem di Weierstrss: un funzione continu su un insieme comptto per successioni di R n (in generle, su uno spzio metrico comptto per successioni) mmette mssimo e minimo. Dimostrzione (non visto lezione): si f : D R n R con D comptto per successioni. Dt un successione mssimizznte {p n } D (ossi f(p n ) sup D f) esiste 12

13 un sottosuccessione p nk p D, d cui f(p nk ) f( p) per continuit di f. D ltr prte, si h nche f(p nk ) sup D f, d cui l tesi. Nel cso in cui si si interessti ll esistenz del minimo di un funzione su un dominio, bst che il dominio si comptto per successioni e quest si semicontinu inferiormente, ovvero x n x si bbi f(x) lim inf f(x n ). Definizione: dto X spzio metrico, A X si dice limitto se A B(x, r) per un certo x X ed r >. L insieme A si dice totlmente limitto se ɛ > esiste un ɛ-rete di A, ovvero x 1,..., x N X (con N dipendente d ɛ) tle che A j B(x j, ɛ). Crtterizzzione degli insiemi comptti per successioni: in R n, un insieme è comptto per successioni se e solo se è chiuso e limitto; in generle, uno spzio metrico (X, d) è comptto per successioni se e solo se è completo e totlmente limitto. Derivbilità per funzioni di più vribili. Derivt direzionle di un funzione f : Ω R 2 R in p Ω: dt un direzone e R 2 (ossi e = (, b) con 2 + b 2 = 1), l rett pssnte per p = (x, y ) vente direzione e è dt d t r(t) = (x +t, y +tb), e l derivt nell direzione e di f in p è definit d D e f(p ) = d dt t=f(r(t)) = d dt t=f(x + t, y + tb). Se e = (1, ) (risp. e = (, 1)) si pone D e f(p ) = f (x x, y ) (risp. D e f(p ) = f (x y, y )), e tle derivt si chim derivt przile rispetto x (risp. rispetto y). Esempi di clcolo di derivte przili. Interpretzione geometric delle derivte direzionli: si Γ f = {(x, y, f(x, y)) R 3, (x, y) Ω } il grfico di f. L mpp t (x + t, y + tb, f(x + t, y + tb)) h come immgine l curv costituit dll restrizione del grfico di f ll rett r(t) di cui sopr, pssnte per (x, y, f(x, y )) per t =. Il vettore d dt (x + t, y + tb, f(x + t, y + tb)) = (, b, D e f(x, y ) ), t= pplicto nel punto (x, y, f(x, y )), è dunque un vettore tngente l grfico di f in (x, y, f(x, y )), l cui componente orizzontle è l direzione e = (, b), e l cui componente verticle è l derivt direzionle di f nell direzione e in p. Sussistono esempi di un funzioni che mmettono derivte przili m non è continu. Esistono esempi di funzioni f che mmettono tutte le derivte direzionli in un certo punto p, m non sono continue in p. Lezione del 3/1/13 (1 or). Funzioni differenzibili. Differenzile df(p ) : R n R di un funzione f : Ω R n R in un punto p Ω. Si trtt di un ppliczione linere che verific f(p) f(p ) df(p ) (p p ) lim p p p p =. In ltre prole, per un funzione differenzibile in p vle lo sviluppo di Tylor l primo ordine f(p) = f(p ) + df(p ) (p p ) + o( p p ). 13

14 Se f è differenzibile in p llor esistono le derivte direzionli di f in p e si h D e f(p ) = df(p ) e per ogni direzione e R n. Se f è differenzibile in p, l equzione crtesin del pino tngente l grfico di f in (p, f(p )) R n+1 è dt d x n+1 = f(p ) + df(p ) (p p ), ovvero x n+1 = f(p ) + n i=1 (x i x,i ) f x i (p ), dove p = (x 1,..., x n ) e p = (x,1,..., x,n ). Dett e 1,..., e n, e n+1 l bse cnonic di R n+1, il pino tngente l grfico è generto di vettori {e i + e n+1 f x i (p )} i=1,...,n ( lezione bbimo visto il cso n = 2). Un vettore normle l pino tngente in (p, f(p )) è dto dl vettore N p = ( f x 1 (p ),..., f x n (p ), 1) R n+1. Il differenzile df(p ) si rppresent medinte il grdiente f(p ) = ( f x 1 (p ),..., f x n (p )) R n, ovvero si h df(p ) v = f(p ), v per ogni v R n. Il grdiente individu l direzione di mssim crescit di f in p, ossi mx D ef(p ) = mx f(p ), e = f(p ), per e = f(p ) e =1 e =1 f(p ). Lezione del 4/11/13 (2 ore) Lo schem di flusso grdiente per l determinzione di mssimi locli di un funzione: dto p = (x,1,..., x,n ) Ω R n, si trtt di risolvere il problem di Cuchy { dp dt = f(p) p() = p, ovvero il sistem di equzioni differenzili ordinrie dx 1 = f dt x 1 (x 1,..., x n ). dx n = f dt x n (x 1,..., x n ) x i () = x,i i = 1,..., n. Detto p = lim t + p(t), se p Ω llor f( p) =, ossi p è un punto critico, che, per un scelt generic del dto inizile p risult essere di mssimo locle. L nlogo schem dp = f(p) per trovre i minimi locli nche detto schem di disces grdiente. dt Continuità di un funzione differenzibile. Condizioni sufficienti per l differenzibilità, teorem del differenzile totle: se in un intorno B(p, r) esistono le derivte przili di f e sono continue in p, llor f è differenzibile in p. Dimostrzione del teorem del differenzile totle. Funzioni di clsse C 1. Differenzile di funzioni vettorili. Se f = (f 1,..., f m ) : Ω R n R m, p Ω e v = (v 1,..., v n ) R n, si h l rppresentzione medinte l mtrice Jcobin 14

15 Df(p ) {f 1,...,f m} (p {x 1,...,x n} ): f 1 f x 1 (p ) 1 x n (p ) v 1 df(p ) v = f m f x 1 (p ) m x n (p ) v n Regol dell cten per il differenzile composto: se f : Ω R n R m e g : U R m R k sono funzioni differenzibili rispettivmente in p Ω e q = f(p ) U, llor h = g f : Ω R k è differenzibile in p e vle dh(p ) = d(g f)(p ) = dg(f(p )) df(p ). In termini delle mtrici Jcobine, [ hi x j (p ) ] = [ gi y l (f(p )) ] [ fl x j (p ) ], ossi h i x j (p ) = m l=1 g i y l (f(p )) f l x j (p ). Appliczione: ortogonlità del grdiente rispetto gli insiemi di livello. Dt un funzione f C 1 (D; R), e dto l insieme di livello f 1 (c), c R, se p f 1 (c) e f(p ), quest ultimo vettore risult ortogonle f 1 (c) in p. Dimostrzione (cso n = 2): supponendo che intorno p l insieme di livello si poss descrivere medinte un curv prmetric p(t) = (x(t), y(t)) di clsse C 1, dett g(t) = f((x(t), y(t)) l funzione compost, si h, pplicndo l regol dell cten: = dg dt = f x dx dt + f y dy dt =< f, dp dt >, ovvero l condizione di ortogonlità. Not: l ipotesi che l insieme di livello si prmetrizzbile intorno p è sempre soddisftt nel cso f(p ), in virtù del Teorem delle funzioni implicite. Esempi di implementzione dell regol dell cten (con vri busi di notzione): dt f = f(x, y, z) e z = z(x, y) si vuole clcolre il tsso di vrizione f (NB: x buso di notzione!) dell funzione compost g(x, y) := f(x, y, w(x, y)) l vrire di x mntenendo y fisst. Dto che vrindo x vri nche z, si ottiene ( f g ) [ ] f = + f x x x z w x, dove per [ f x ] y,z si intende l derivt przile di f rispetto l primo rgomento (in questo cso x) mntenendo costnti i rimnenti due (in questo cso y e z). Dt l quntità sclre T = T (x, y, z, t) (d es. l tempertur misurt nel punto p = (x, y, z) ll istnte t) e l legge orri p(t) = (x(t), y(t), z(t)) di un punto mterile, si vuole clcolre il tsso di vrizione dt (NB: buso di notzione!) dell quntità T (l dt vrire di t) misurt d un termometro solidle con il punto mterile p(t), ovvero, dett τ(t) = T (x(t), y(t), z(t), t) l tempertur misurt dl termometro nel punto p(t), si vuole clcolre dτ : si h quindi dt ( dt dτ ) = T dt dt x dx dt + T y dy dt + T z dz dt + T t. y,z 15

16 Lezione del 6/11/13 (1 or). Esempi di funzioni vettorili: cmpi vettorili, trsformzioni di coordinte, superfici prmetriche. Trsformzioni di coordinte: mtrice Jcobin {x,y} dell trsformzione in coordinte polri. Coordinte cilindriche {r,θ} (r, θ, z) e sferiche (r, θ, φ) per (x, y, z) R 3 e rispettive mtrici Jcobine. Esempi di cmpi vettorili: grdienti di funzioni sclri. Espressione del cmpo grvitzionle generto d un mss puntiforme post nell origine: detto U(p) = K/ p il potenzile grvitzionle, si h F (p) = U(p) = Kp/ p 3 = Kr 2 î r, dove r = p, î r = p/ p e K > un costnte opportun. lezione dell 8/11/13 (3 ore). Superfici prmetriche e crtesine, vettori tngenti, vettore normle. Dt l prmetrizzzione, di clsse C 1, r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) R 3, con (u, v) D R 2, i vettori colonn dell mtrice Jcobin D r(p ) r u (p ) x (p u ) y (p u ), z (p u ) r v (p ) x (p v ) y (p v ) z (p v ) sono vettori tngenti ll superficie S = { r(u, v), (u, v) D} R 3 nel punto r(p ) S, e ne generno il pino tngente qulor sino linermente indipendenti. Vettore normle d un superficie, nozione di orientzione. Un vettore N(p ) normle ll superficie in r(p ) S si ottiene, in modo cnonico, medinte il prodotto vettorile N = r r. L norm di N corrisponde ll re del prllelogrmm individuto d u v (si ved sotto un giustificzione più generle di questo ftto).. r e r u v Derivte przili di ordine superiore. Mtrice Hessin delle derivte przili seconde.teorem di Schwrz: se f C 2 (Ω; R) (ovvero esistono le derivte przili seconde e sono continue in D) llor l mtrice Hessin D 2 f(p) = [ 2 f x j x i (p)] è simmetric per ogni p D. Derivte successive. Sviluppo di Tylor l secondo ordine per f C 2 (D; R) in p D R n : si v = (v 1,..., v n ) R n, p p(t) = p + tv D per t t. Posto g(t) = f(p(t)), si h g (t) = n i=1 f x i (p(t))v i = f(p), v, g (t) = n i,j=1 2 f x j x i (p(t))v j v i = D 2 f(p) v, v. Dllo sviluppo di Tylor g(t) = g() + tg () + t2 2 g () + o(t 2 ) si ottiene f(p) = f(p ) + f(p ), p p D2 f(p ) (p p ), (p p ) + o( p p 2 ). Studio dell ntur dei punti critici di f C 2 (D, R): se p è un punto critico di f (ossi f(p ) = ), llor lo sviluppo di Tylor l secondo ordine si riduce f(p) = f(p ) D2 f(p ) (p p ), (p p ) + o( p p 2 ). 16

17 Si R O(n) tle che R t D 2 f(p ) R =dig (λ 1,..., λ n ), con λ 1,..., λ n R utovlori di D 2 f(p ), e si p p = R w, con w = (w 1,..., w n ) R n. Si h D 2 f(p ) (p p ), (p p ) = D 2 f(p ) R w, R w = R t D 2 f(p ) R w, w n = λ i wi 2. Ottenimo dunque, tenendo conto che w 2 = Rw 2 = p p 2, i=1 f(p) = f(p ) n λ i wi 2 + o( w 2 ), i=1 d cui si deduce che se gli utovlori di D 2 f(p ) sono tutti positivi (risp. negtivi) llor p è un punto di minimo (risp. mssimo) locle per f. gli insiemi di livello ttorno p sono ellissoidli ed il grdiente è uscente (risp. entrnte) d p. Se vi sono utovlori di segno discorde, p è detto un punto di sell. Se qulche utovlore di D 2 f(p ) risult nullo (e gli ltri non sono di segno discorde), llor il solo sviluppo di Tylor l secondo ordine non permette di decidere priori sull ntur del punto critico. Alcune regole per l determinzione dei segni degli utovlori dell mtrice Hessin: nel cso n = 2 si studi il segno di trcci e determinnte. Più in generle ci si può vvlere dell regol dei segni di Crtesio per le rdici del polinomio crtteristico: se tutti i segni dei coefficienti sono concordi llor non vi sono rdici positive, mentre se tutti i coefficienti sono segno lterno non vi possono essere rdici negtive. Un regol prtic equivlente ll regol dei segni di Crtesio consiste nel clcolre, per k = 1,..., n, i segni dei determinnti dei minori A k = [ ij ], con 1 i, j k e ij = 2 f x i x j (p ). Se questi hnno tutti lo stesso segno llor gli utovlori sono tutti negtivi, se hnno segno lterno gli utovlori sono tutti positivi. Espressione del volume n-dimensionle vol n (P n ) del prllelepipedo n-dimensionle P n R n generto d n vettori linermente indipendenti v j = (v 1,j,...v n,j ) R n, per j = 1,..., n. Dett A = [v i,j ] l mtrice n n le cui colonne sono dte di vettori v j, si h vol n (P n ) = det A. Inftti, detto P n 1 il prllelepipedo (n 1)-dimensionle generto d v 1,..., v n 1, si R SO(n) tle che per w j = Rv j, i = 1,..., n 1 si bbi w i,n = (ovvero i vettori w i gicciono nel sottospzio (n 1)-dimensionle ortogonle l versore e n ). Dett B = [w i,j ] i, j = 1,..., n 1 si h, per ipotesi induttiv, vol n 1 (R(P n 1 )) = det B, d cui vol n (P n ) = vol n (R(P n )) = det B w n,n = det(ra) = det R det A = det A. Sino or dti n vettori linermente indipendenti v 1,..., v n R m, con m > n e si P n il prllelepipedo in R m d essi generto. Si V = [v i,j ], con 1 i m, 1 j n. Provimo che vle l formul generle vol n (P n ) = det(v t V ). 17

18 Si inftti R SO(m) tle che, per j = 1,..., n, Rv j, e i = per ogni i > n (ovvero i vettori Rv j gicciono nel sottospzio n-dimensionle di R m generto d e 1,..., e n. Per qunto visto prim vol n (P n ) = vol n (R(P n )) = det A dove A è il minore di R V formto dlle prime n righe. Dto che le rimnenti righe di R V sono identicmente nulle, si h in prticolre A t A = (RV ) t RV = V t (R t R)V = V t V. Essendo det(v t V ) = det(a t A) = det A t det A = (det A) 2, si ottiene l formul cerct. Si può inoltre verificre che vle vol n (P n ) = ( l ) 1/2 det(v t V ) = (det A k ) 2, dove l = m! n!(m n)! e gli A k sono i minori n n di V. Nel cso n = 2, m = 3, V l mtrice le cui colonne sono dte d v 1, v 2 R 3, si ottiene in prticolre l formul V t V = v 1 v 2, k=1 ossi l re del prllelogrmm generto d due vettori corrisponde ll norm del loro prodotto esterno. Lezione dell 11/11/13 (2 ore). Mssimi e minimi di funzioni su domini D R n chiusi e limitti: vnno ricercti tr i punti critici interni D e tr i mssimi e minimi vincolti ll frontier (o bordo) D, detto nche vincolo. Espressione del vincolo in form prmetric. Risoluzione di problemi di mssimo e minimo vincolto qundo il vincolo è espresso in form prmetric. Espressione del vincolo in form implicit (ovvero come insieme di livello di un funzione dt). Introduzione l metodo dei moltiplictori di Lgrnge: nei punti di mssimo o minimo vincolto l insieme di livello dell funzione d ottimizzre è tngente l vincolo, e quindi il suo grdiente risult essere prllelo (ovvero proporzionle) l grdiente dell funzione ttrverso cui si esprime il vincolo. Un esempio di progrmmzione linere in tre vribili (cfr. metodo del simplesso): si d mssimizzre (minimizzre) l funzione f(x 1, x 2, x 3 ) = 3 i=1 ix i + b sotto le condizioni r k (x 1, x 2, x 3 ), con r k (x 1, x 2, x 3 ) = 3 i=1 c ikx i + d k, per k = 1,..., N. Il vincolo imposto d f rppresent l intersezione di N semispzi, ovvero un insieme convesso (ossi, per ogni coppi di punti dell insieme, il segmento che li unisce è intermente contenuto nell insieme) frontier poliedrle. Non essendoci punti critici interni poichè f = ( 1, 2, 3 ) (,, ), il mssimo ed il minimo sono ssunti ll frontier poliedrle, ed in generle nei vertici del poliedro: inftti, per dti generici si h che i vettori (c 1k, c 2k, c 3k ), che rppresentno le normli lle fcce del poliedro, non srnno prlleli ( 1, 2, 3 ) = f, e quindi l funzione ristrett d ogni fcci ssumerà necessrimente mssimo e minimo sugli spigoli. D ltr prte, f non srà (in generle) ortogonle gli spigoli, per cui il mssimo e minimo dell funzione ristrett ciscun spigolo verrà ssunto nei vertici. 18

19 Lezione del 13/11/13 (2 ore). Teorem dei moltiplictori di Lgrnge: si A R n perto, f, g C 1 (A; R) e P A un estremo di f vincolto Γ = g 1 (). Se g(p ) llor esiste λ R (detto moltiplictore di Lgrnge) tle che f(p ) = λ g(p ). Equivlentemente, l coppi (P, λ) R n R è punto critico (NB: non più vincolto!!) dell funzione (dett Lgrngin) ψ : A R R definit d ψ(q, µ) = f(q) µ g(q). L dimostrzione si bs sul Teorem del Dini delle Funzioni Implicite: dto che g(p ), non è limittivo supporre ( meno di un permutzione di coordinte) g x n (P ). Per il Teorem delle funzioni implicite esiste un intorno B di P tle che il vincolo ristretto B si può esprimere come grfico di un funzione h : R R n 1 R di clsse C 1 (R), ossi Γ B = {(x 1,..., x n ), (x 1,..., x n 1 ) R, x n = h(x 1,..., x n 1 )}. Si osservi che il pino tngente Γ B in un punto Q = (x 1,...x n 1, h(x 1,..., x n 1 ) è generto di vettori Q x i = e i + h x i e n, per i = 1,..., n 1, che sono ortogonli l vettore normle g(q). Inoltre, in P = ( x 1,..., x n 1, h( x 1,..., x n 1 )) l funzione compost m(x 1,..., x n 1 ) = f(x 1,..., x n 1, h(x 1,..., x n 1 ) mmette un punto critico, pertnto in P si h m x i = f, e i + h x i e n = per ogni i = 1,..., n 1, ossi f(p ) è ortogonle l pino tngente Γ in P, e dunque risult necessrimente prllelo g(p ). Crtterizzzione dei mssimi e minimi vincolti di un form qudrtic sull sfer unitri di R n. Per p = (x 1,..., x n ) R n, B mtrice simmetric n n, ossi B = B t, si dt l form qudrtic Q(p) = p t B p = n b ij x i x j. Si osservi innnzitutto che Q(λp) = λ 2 Q(p) per ogni λ R (ovvero Q è un funzione omogene di grdo 2). Clcolimone il grdiente: si h i,j=1 Q x k (p) = n i,j=1 b ij (x i x j ) = x k n ( kl + lk )x l, l=1 d cui si deduce Q(p) = (B + B t ) p = 2B p, essendo B + B t = 2B. In prticolre Q(p) = se e solo se p ker B. Considerimo dunque il problem di mssimo (risp. minimo) vincolto mx Q(p), p =1 min Q(p). p =1 Il vincolo può essere espresso dll equzione g(p) =, con g(p) = p 2 1 = n i=1 x2 i 1. Impostndo il problem con i moltiplictori di Lgrnge, simo condotti risolvere il sistem Q(p) = λ g(p), g(p) =, 19

20 ovvero, dto che g x k (p) = 2x k, 2B p = 2λp, p 2 = 1. Pertnto i punti di estremo vincolto (tr cui il mssimo ed il minimo) sono gli utovettori unitri di B. Osservndo che, se p è un utovettore unitrio, vle Q(p) = p t B p = p t (λ p) = λ < p, p >= λ, si h che i vlori estremi corrispondono gli utovlori di B. In prticolre il mssimo ed il minimo utovlore relizzno rispettivmente il mssimo ed il minimo di Q sull insieme { p = 1}. Utilizzndo quest crtterizzzione di utovettori unitri e utovlori di un mtrice simmetric si può dimostrre d esempio il teorem spettrle per mtrici simmetriche, ovvero l loro digonlizzbilità, costruendo induttivmente un bse ortonormle di utovettori. Norm opertorile di un mtrice. Si A un mtrice n n, si vuole crtterizzre l più piccol costnte A (dett norm opertorile di A) che verific Ap A p per ogni p R n. Si vrà in prticolre, posto w = p, Aw A per ogni w p Rn, w = 1. In prticolre, detto C = sup{ Aw, w = 1} (tle sup è in reltà un mx dto che l sfer unitri è un insieme chiuso e limitto), si h C A m nche Ap C p per ogni p, ossi, per minimlità di A, C A. Pertnto si conclude che A = sup { p =1} Ap, ossi l norm opertorile misur l mssim elongzione possibile di un vettore unitrio sotto l zione dell mtrice A. Inoltre, si verific immeditmente che tle norm è comptibile con il prodotto di mtrici, ossi A B A B. Si h infine A 2 = sup Ap 2 = sup A t Ap, p, { p =1} { p =1} d cui si deduce, per qunto visto prim, che A = µ, con µ > il mssimo utovlore dell mtrice (definit positiv) B = A t A. Lezione del 15/11/13 (2 ore). Teorem dei moltiplictori di Lgrnge nel cso di k vincoli: si G = (G 1,..., G k ) : A R n+k R k di clsse C 1, si f C 1 (A; R). Se p G 1 () è un estremo vincolto per f ristrett G 1 () e se DG(p ) h rngo mssimo k, llor λ 1,..., λ k R tli che f(p ) = λ 1 G 1 (p ) λ k G k (p ). L dimostrzione è conseguenz del Teorem delle Funzioni Implicite e dell regol di derivzione delle funzioni composte. Progrmmzione non linere: dto Ω R n+k, se si deve ottimizzre f C 1 (Ω; R) ristrett i vincoli G 1 (p),..., G k (p), dove p = (x 1,..., x n+k ) Ω e G 1,..., G k C 1, l estremo vincolto p = (x 1,..., x n+k ) Ω risult essere, sotto certe ipotesi sui vincoli, un punto critico (libero) dell funzione (lgrngin) usiliri Ψ(x 1,..., x n+k, λ 1,..., λ k, u 1,..., u k ) = f(p) k λ i (G i (x 1,..., x n+k ) + u 2 i ). i=1 2

21 Il sistem corrispondente Ψ = è detto sistem delle condizioni di Kuhn-Tucker: f x 1 (p ) = k i=1 λ i G i(p ) x 1. f x n+k (p ) = k i=1 λ i G i(p ) x n+k G 1 (p ) = u 2 1. G k (p ) = u 2 k λ 1 u 1 =. λ k u k =. Le ipotesi cui devono soddisfre i vincoli discendono dl Teorem delle funzioni implicite. Il teorem del Dini delle funzioni implicite. Enuncito nel cso di due vribili: se Ω R 2 e g : Ω R è di clsse C 1 (Ω), p (x, y ) g 1 () e g (p y ), llor esistono δ, σ >, ed un intorno R = [x δ, x +δ] [y σ, y +σ] tle che g 1 () R = {(x, y) R, y = φ(x)}, dove φ : [x δ, x + δ] R è un funzione di clsse C 1. Si h inoltre l formul G φ (x, φ(x)) x (x) =. (x, φ(x)) G y Il teorem del Dini dà delle condizioni sufficienti ffinchè l insieme di livello g 1 () poss rppresentrsi, loclmente, come grfico di un opportun funzione y = φ(x), l qule risult definit implicitmente dll equzione g(x, y) =, e le cui derivte possono essere clcolte derivndo implicitmente rispetto x l relzione g(x, φ(x)) =. In prticolre φ può essere clcolt pprossimndol medinte sviluppi di Tylor. Dimostrzione del teorem delle funzioni implicite nel cso di due vribili. Supponendo G(x y, y ) >, esiste σ > tle che G(x, y) > per x y σ x x + σ e y σ y y + σ. Possimo nche supporre senz perdit di generlità che { } G min y (x, y), x σ x x + σ, y σ y y + σ = l >. In prticolre, l funzione t G(x, t) è strettmente crescente per y σ t y +σ, e dunque vle G(x, y σ) < e G(x, y +σ) >. Per l continuità di G esiste < δ < σ tle che G(x, y σ) < e G(x, y + σ) > per ogni x δ x x + δ. Per ogni x δ x x +δ, l strett monotoni dell funzione t G(x, t) implic che esiste un unico punto y φ(x) [y σ, y + σ] tle che G(x, y) = G(x, φ(x)) =. Verifichimo che l funzione implicit φ si di clsse C 1 : sino x e x+h in [x δ, x +δ], considerimo 21

22 l restrizione di G l segmento di estremi p = (x, φ(x)) e q = (x + h, φ(x + h)), ovvero l funzione f(t) = G(p + t(q p)) = G(x + th, φ(x) + t[φ(x + h) φ(x)]), t 1. Per il teorem di Lgrnge del vlor medio, si h, per un certo < τ < 1, f(1) f() = f (τ) = G x (p τ) h + G y (p τ) [φ(x + h) φ(x)], dove p τ = p + τ(q p). Essendo f(1) = f() =, si ottiene in prticolre G x φ(x + h) φ(x) = (p τ) G (p y τ) h. Dll relzione precedente si ricv, dto che p τ [x δ, x + δ] [y σ, y + σ], dove φ(x + h) φ(x) h M l, { } G M = mx x (x, y), x δ x x + δ, y σ y y + σ. Fcendo tendere h zero, si ottiene così l continuità di φ per ogni x δ x x +δ. Or, stbilito che φ è continu, si può dedurre che per h il punto p τ = (x+τ h, φ(x)+τ[φ(x+h) φ(x)]) tende effettivmente p = (x, φ(x)), d cui, pssndo l limite per h nell relzione φ(x + h) φ(x) h si ottiene che φ è derivbile e vle l formul φ (x) = G x G y G x = (p τ) G (p y τ), (x, φ(x)). (x, φ(x)) D ltr prte, il secondo membro dell precedente relzione è costituito dll composizione di funzioni continue, pertnto è continuo. Si deduce pertnto che φ è in reltà di clsse C 1. Lezione del 18/11/13 (2 ore). Il teorem del Dini delle funzioni implicite (cso generle): si G : A R n+k R k un funzione di clsse C 1 nelle vribili (x, y) (x 1,.., x n, y 1,..., y k ) R n+k, e si (x, y ) A tle che G(x, y ) = e det {G 1,...,G k }. {y 1,...,y k } Allor δ, σ >, ed esiste φ : B δ (x ) R n B σ (y ) R k tli che G 1 () (B δ (x ) B σ (y )) = {(x, y) : x B δ (x ), y = φ(x)}. Inoltre, φ è di clsse C 1 e vle [ ] 1 [ ] {G1,..., G k } {G1,..., G k } Dφ(x) =, {y 1,..., y k } {x 1,..., x n } y=φ(x) 22

23 ovvero vle l formul di derivzione implicit x j (G i (x, φ(x))) = G i x j (x, φ(x)) + m l=1 G i y l (x, φ(x)) φ l x j (x). Nel cso G si linere, il teorem delle funzioni implicite si riduce l teorem di Rouché-Cpelli. Alcune ppliczioni del teorem delle funzioni implicite: descrizione delle soluzioni di sistemi di equzioni non lineri, esistenz e unicità per equzioni differenzili estte, teorem dei moltiplictori di Lgrnge nel cso di k vincoli. Teorem dell funzione invers: se g : D R n R n è di clsse C 1 e se detdg(p ) (ovvero [Dg(p )] 1 ), llor U D intorno di p e V R n intorno di q = g(p ) tle che g U : U V è invertibile. Inoltre, l invers g U 1 è di clsse C 1 (si dice che g è un diffeomorfismo locle), e [D(g U ) 1 (q )] = [Dg(p )] 1. Tle risultto dà condizioni sufficienti per l risolubilità di sistemi non lineri di n equzioni in n incognite. Esempio: l trsformzione in coordinte polri x = r cos θ, y = r sin θ verific det {x,y} = r r >, θ R. Tle trsformzione è dunque un diffeomorfismo {r,θ} locle. Si osservi che l trsformzione non è globlmente invertibile, in qunto (r, θ) ed (r, θ + 2kπ) hnno l stess immgine k Z. Lezione del 2/11/13 (2 ore) Formul degli ccrescimenti finiti: si trtt di un versione del teorem del vlor medio per funzioni vettorili. Dt f : D R n R k di clsse C 1 e p 1, p 2 D tli che il segmento [p 1, p 2 ] = {p 1 + t(p 2 p 1 ), t 1} D, si h ( ) f(p 2 ) f(p 1 ) sup Df [p 1,p 2 ] p 2 p 1, dove è d esempio l norm opertorile. Inftti, per il teorem fondmentle del clcolo pplicto t f(p 1 + t(p 2 p 1 )) si h 1 f(p 2 ) f(p 1 ) = d dt f(p t(p 2 p 1 ))dt = [Df(p 1 + t(p 2 p 1 )] (p 2 p 1 )dt 1 1 Df(p 1 + t(p 2 p 1 )) (p 2 p 1 ) dt Df(p 1 + t(p 2 p 1 ) p 2 p 1 dt 1 sup t 1 Df(p 1 + t(p 2 p 1 ) p 2 p 1 dt = sup Df(p 1 + t(p 2 p 1 ) p 2 p 1. [p 1,p 2 ] 23