Diario del corso di Analisi Matematica 2

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1 Dirio del corso di Anlisi Mtemtic 2 G. Orlndi Vengono qui di seguito elencti gli rgomenti trttti lezione. Il dirio servirà nche per definire il progrmm d esme. Lezione del 3/10/14 (2 ore. [D], sezioni 7.1 e 9.1). Spzi metrici. Proprietà ssiomtiche di un funzione distnz su un insieme: positività, simmetri, diseguglinz tringolre. Esempi di spzi metrici: R ed R n dotti dell distnz euclide. Distnz geodetic tr due punti su un superficie sferic: è il minimo delle lunghezze delle curve sull superficie che congiungono i punti dti (si trtt dell lunghezz di un rco di cerchio mssimo). Spzi normti. Proprietà ssiomtiche di un norm su uno spzio vettorile: positività, positiv 1-omogeneità, disuguglinz tringolre. Esempi: il vlore ssoluto su R, l norm euclide su R n. Definizione di norm l su R n : per x = (x 1,..., x n ) R n, si pone x = sup{ x i, i = 1,..., n}. Defnizione di norm l 1 su R n : x 1 = n i=1 x i. Norm euclide (o norm l 2 ) su R n : x e x 2 = n i=1 x i 2. In generle, se lo spzio vettorile V è uno spzio euclideo, ossi è dotto di un prodotto sclre,, l norm euclide è dt d v = v, v 1/2, per v V. Distnz indott d un norm: un norm su uno spzio vettorile V induce un distnz d su V definit d d(v 1, v 2 ) = v 1 v 2 per v 1, v 2 V. Lezione del 6/10/14 (2 ore, [D], sezioni 7.1 e 9.1; [A], sezione 4.5) Nozione di limite di successione in uno spzio metrico (X, d): dti x n, x X, si dice che x n x in X se d(x n, x) 0 per n +, ovvero ɛ > 0 N > 0 tle che d(x n, x) < ɛ per ogni n > N. L insieme B ɛ ( x) = {y X, d(y, x) < ɛ} si dice pll pert di centro x e rggio ɛ. Le plle perte formno un bse per l topologi su X indott dll distnz d, ovvero A X è perto se e solo se per ogni x A esiste ɛ > 0 tle che B ɛ ( x) A. Grzie ll topologi si può l nozione di continuità per funzioni tr spzi metrici: f : (X, d X ) (Y, d Y ) è continu in x X se ɛ > 0 δ > 0 tle che d X (x, x) < δ implic d Y (f(x), f( x)) < ɛ. 1

2 Un definizione equivlente dell continuità si h vi successioni: f : X Y è continu in x X se e solo se per ogni successione x n x in X si h f(x n ) f( x) in Y. Acune proprietà delle plle perte B r (v 0 ) = {v V v v 0 < r} in uno spzio normto {V, }: invrinz per trslzioni, ossi B r (v 0 ) = v 0 + B r (0), per omoteti, ossi B r (v 0 ) = r B 1 (v 0 ), convessità. Esempi: geometri delle plle perte in R 2 rispetto lle norme 1, 2,. Definizione di insieme convesso in uno spzio vettorile: C V è convesso se per ogni v 1, v 2 C ogni loro combinzione convess (ossi ogni loro medi pest) v t = t v 1 + (1 t) v 2 C, per ogni t [0, 1]. Gometricmente, un insieme è convesso se dti due punti in esso nche il segmento che li congiunge è intermente contenuto in esso. Un insieme chiuso e convesso si dice strettmente convesso, se dti due punti qulsisi sull frontier di esso, i punti del segmento che li congiunge sono punti interni l convesso. Ad esempio, ogni pll chius di uno spzio normto euclideo è strettmente convess: inftti, si C = {v V, v r}, con v = v, v, l pll chius di centro 0 e rggio r. Presi v 1, v 2 sull frontier (ovvero v 1 = v 2 = r), si h inftti, tenendo presente che sotto queste condizioni v 1 e v 2 sono necessrimente linermente indipendenti e quindi vle l diseguglinz di Cuchy-Schwrz in senso stretto, v t 2 = tv 1 + (1 t)v 2 2 = t 2 v (1 t) 2 v t(1 t) v 1, v 2 < r 2 t 2 + (1 t) 2 r 2 + 2t(1 t) v 1 v 2 = r 2, ossi v t < r per ogni t (0, 1). Vicevers, l pll chius rispetto ll norm 1 (o ll norm ) non è strettmente convess, dto che l su frontier è costituit d segmenti. Un funzione vlori reli f : V R è convess se il suo epigrfico chiuso C = {(v, y) V R, y f(v)} è un insieme convesso di V R. In prticolre si h, nelle notzioni precedenti, f(v t ) tf(v 1 ) + (1 t)f(v 2 ) per ogni t [0, 1], per ogni v 1, v 2 V. L funzione si dice strettmente convess se vle l diseguglinz strett f(v t ) < tf(v 1 ) + (1 t)f(v 2 ) per ogni t (0, 1). Esempi di problemi di minim norm (o minim distnz): dt un distribuzione di vlori X = (x 1, x 2,..., x N ) R N, che possimo supporre senz perdit di generlità ordinti in modo crescente, ossi x 1 x 2... x N, determinre l distribuzione costnte M = (y 1, y 2,..., y N ), con y 1 = y 2 =... = y N = m che meglio pprossim l distribuzione dt rispettivmente in norm uno ed in norm euclide. Si trtt di determinre il minimo delle funzioni N f(m) = X M 1 = x k m, k=1 g(m) = X M 2 = N x k m 2. k=1 2

3 Il minimo di f(m) si ottiene in corrispondenz dell medin dell distribuzione ordint x 1,..., x N, ossi x [N/2]+1 nel cso N si dispri, oppure m [x N/2, x N/2+1 ] nel cso N si pri (in prticolre per N pri il minimo non è unico, effetto collegto ll non strett convessità dell norm uno). Il minimo di g(m) è sempre unico (per l strett convessità dell norm) e si ricv fcilmente minimizzndo l funzione qudrtic (g(m)) 2. Si ottiene l medi (ritmetic) m = 1 N N k=1 x k dell distribuzione x 1,..., x N (in questo cso non è necessrio che l distribuzione si ordint secondo vlori crescenti). Lezione dell 8 ottobre 2014 (1 or. [D], sezioni 7.6 e 9) Due distnze d 1 e d 2 su X si dicono equivlenti se per ogni successione {x n } X tle che d 1 (x n, x) 0 si h d 2 (x n, x) 0 e vicevers, ossi se sono equivlenti rispetto ll operzione di limite. In prticolre due distnze equivlenti inducono l stess topologi su X, ovvero gli stessi insiemi perti. Anlogmente, due norme su uno spzio vettorile V si dicono equivlenti se le distnze ssocite sono equivlenti, ovvero se inducono l stess topologi su V. Sussiste l seguente crtterizzzione: due norme N 1, N 2 su V sono equivlenti se e solo se esistono delle costnti C 1, C 2 > 0 tli che per ogni v V si bbi N 2 (v) C 1 N 1 (v) e N 1 (v) C 2 N 2 (v) (ovvero l norm N 1 controll l norm N 2 e vicevers). In R n (o in uno spzio vettorile normto finito dimensionle) tutte le norme sono equivlenti, e quindi per pssggi l limite o stime di continuità si possono usre le norme più pproprite second dell situzione specific. In prticolre, per v R N si h ( lezione bbimo visto il cso N = 2): v v 2 v 1 N v 2 N v. Si osservi come le costnti con cui si controllno reciprocmente le norme dipendno dll dimensione N ed in prticolre crescono indefinitmente l crescere dell dimensione. Questo spetto suggerisce che in spzi dimensione infinit non ci si poss spettre che tutte le norme sino equivlenti tr loro. Lo spzio vettorile C 0 ([, b]; R) delle funzioni f : [, b] R continue sull intervllo [, b] R: ricordimo che per f 1, f 2 C 0 ([, b]), l funzione f 1 + f 2 è definit d x f 1 (x) + f 2 (x), l funzione λ f è definit d x λ f(x), e l elemento neutro (zero) rispetto ll somm è l funzione identicmente null x 0 per ogni x [, b]. Osservzione: C 0 ([, b]; R) (e in genere gli spzi di funzioni che si considerno in nlisi) è uno spzio vettorile infinito dimensionle, ovvero contiene infiniti elementi linermente dipendenti: inftti per ogni n N, l insieme delle funzioni monomili E n = {1, x,..., x n } C 0 ([, b]; R) è linermente indipendente, in qunto un combinzione linere di elementi di E n è un polinomio di grdo l più n, che per il Teorem fondmentle dell Algebr si nnull solo in un numero finito di punti (inferiore o ugule d n), e non può pertnto coincidere con l funzione identicmente null su [, b] meno che tutti i coefficienti sino nulli. 3

4 Lo spzio C 0 ([, b]; R) può essere dotto dell norm l (dett norm dell convergenz uniforme) definit d f l f = sup{ f(t), t [, b]}. Posto M = f, il grfico di f risult confinto nel rettngolo [, b] [ M, M]. Si può definire su C 0 ([, b]; R) nche l norm l 1 (dett norm dell convergenz in medi) ponendo f l 1 f 1 = b f(t) dt. Definizione di norm l2 su C 0 ([, b]; R): b f l 2 f 2 = f(t) 2 dt. Si trtt di un norm euclide, indott dl prodotto sclre f, g l 2 = b f(t)g(t)dt, definito per f, g C 0 ([, b]; R). Quest norm (dett dell convergenz in medi qudrtic) è spesso ust in problemi di minim distnz (cfr. metodo dei minimi qudrti). Lezione del 10 ottobre 2014 (2 ore, [D], sezione 7 e 9, [A], sezione 4.5). Osservzione: si g C 0 ([, b]), g(x) 0 per ogni x [, b] e b g(x)dx = 0. Allor g(x) = 0 per ogni x [, b]. D ciò discende che se f C 0 ([, b]) h norm l 1 (o l 2 ) null, llor necessrimente f(x) = 0 per ogni x [, b]. Abbimo dimostrto lezione che le norme l ed l 1 su C 0 ([, b]) non sono equivlenti: inftti, mentre tutte le successioni convergenti uniformemente convergono in medi, non è sempre vero il vicevers: sino f n, f C 0 ([, b]) tli che f n f 0, si h f n f 1 = b f n (x) f(x) dx b sup f n (x) = f(x) dx = (b ) f n f x d cui f n f 1 0, mentre se considerimo l successione di funzioni f n C 0 ([0, 1]) tli che f n (x) = 0 per x 2/n, f n (x) = nx per x 1/n e f n (x) = 2 nx ltrove, si ottiene che f n 1 = 1/n 0 mentre f n = 1 per ogni n, per cui f n convergono in medi zero, m non uniformemente. Un motivzione dell uso dell norm l 2 (o in generle, di un distnz euclide) per problemi di minim distnz (generlizzzione del metodo dei minimi qudrti, in uso d es. per il clcolo di regressioni lineri in sttistic, l pprossimzione medinte sviluppi di Fourier, l codific JPEG di immgini,...) è dovuto l ftto che l soluzione è unic e si crtterizz ttrverso un proiezione ortogonle. Esempio: pprossimzione di un funzione f C 0 ([, b]) medinte polinomi di grdo (inferiore o ugule ) n ( lezione è stto svolto il cso prticolre [, b] = [ 1, 1], n = 1). Il polinomio P che relizz l minim distnz (ovvero l migliore pprossimzione in medi qudrtic) di f è l proiezione ortogonle di f (rispetto l prodotto sclre l 2 ) sul sottospzio finito-dimensionle V :=spn< v 0, v 1,..., v n >, dove per i = 0, 1,..., n si è posto v i (x) = x i, x [, b]. Pertnto, il polinomio P è dto d n n [ b ] P (x) = f, Q i l 2 ([,b]) Q i (x) = f(t)q i (t)dt Q i (x), x [, b], i=0 i=0 4

5 dove {Q i } i=0,...,n è un bse ortonormle di V, costruibile pplicndo il processo di ortonormlizzzione di Grm-Schmidt ll bse {v 0, v 1,..., v n } di V. Nel cso prticolre [, b] = [ 1, 1], n = 1, si h Q 0 (x) = 1 2 e Q 1 (x) = 3 2 x. Osservzione: lo spzio C 0 ([, b]) non è completo rispetto ll convergenz in medi, o in medi qudrtic: si consideri d esempio l successione f n C 0 ([ 1, 1]) e l funzione discontinu f definite rispettivmente d f n (x) = 0 se 1 x 1/n, f n (x) = nx + 1 se 1/n x 0, f n (x) = 1 se 0 x 1, e d f(x) = 0 per 1 x < 0 e f(x) = 1 se 0 x 1. Si h f n f 1 = 0 (nx + 1) dx = 1/2n 0. 1/n Quindi f n è un successione di Cuchy rispetto ll norm l 1 (in qunto successione convergente), m il limite f non è un funzione continu. Lezione del 13 ottobre 2014 (3 ore, [D], sezione 7, 8.1, 8.2, 8.3 e 9.1.4, 9.5.3, 9.2.2). Definizione di successione di Cuchy in uno spzio metrico. Un successione convergente è di Cuchy. Spzi metrici completi: sono quelli in cui tutte le successioni di Cuchy convergono. Esempi: R ed R n, con l distnz euclide (o un qulunque norm), C 0 ([, b]) dotto dell norm. Lo spzio C 0 ([, b]) non è completo rispetto ll convergenz in medi, o in medi qudrtic, in virtù dell osservzione di cui ll lezione precedente, in cui si mostr un successione di Cuchy (rispetto ll convergenz in medi o in medi qudrtic) di funzioni continue che converge d un funzione discontinu. Nozione di completmento di uno spzio metrico (X, d): è uno spzio metrico completo ( ˆX, ˆd) tle che X ˆX e ˆd(x, y) = d(x, y) per x, y X, ed inoltre per ogni ˆx ˆX esiste x n X tle che x n ˆx in ˆX (densità di X in ˆX). Ogni spzio metrico mmette un completmento, d esempio R, costruito ttrverso le sezioni di Dedekind è il completmento di Q. Il completmento di C 0 ([, b]) rispetto ll norm L 1 è lo spzio delle funzioni sommbili secondo Lebesgue L 1 ([, b]) = {f : [, b] R, b f(x) dx < + }. Anlogmente, il completmento rispetto ll norm L 2 è lo spzio L 2 ([, b]) = {f : [, b] R, b f(x) 2 dx < + } delle funzioni qudrto sommbile secondo Lebesgue. Uno spzio normto completo si dice spzio di Bnch. Uno spzio vettorile completo rispetto d un norm euclide si dice spzio di Hilbert. Lo spzio R n è di Bnch rispetto d un qulunque norm, e di Hilbert rispetto ll norm euclide. Gli spzi (C 0 ([, b]), ) e (L 1 ([, b]), 1 ) sono di Bnch, lo spzio (L 2 ([, b]), 2 ) è di Hilbert. In questi spzi si mbientno svriti problemi dell Anlisi Mtemtic: problemi di ottimizzzione (d esempio, problemi di minim distnz), equzioni differenzili, ecc. Le soluzioni di questi problemi sono spesso rppresentte sotto form di serie di funzioni, quli d esempio le serie di potenze e le serie di Fourier. Nozione di compttezz per successioni. Spzi metrici comptti. Teorem di Weierstrss di esistenz di mssimo e minimo per funzioni continue su spzi comptti. Dimostrzione dell esistenz del minimo: si f(x n ) inf X f un successione minimiz- 5

6 znte, per compttezz di X esiste un sottosuccessione convergente x nk x X. Per l continuità di f si h f(x nk ) f( x) e per l unicità del limite si h f( x) = inf X f, ovvero f( x) = min X f. Crtterizzzione dell compttezz negli spzi metrici: completezz e totle limittezz. Un sottoinsieme E X di uno spzio metrico si dice totlmente limitto se per ogni ɛ > 0 esiste un collezione finit di punti x 1,..., x N E (con N dipendente d ɛ), dett ɛ-rete, tle che E N k=1 B ɛ(x k ). Esempi di insiemi comptti: i sottoinsiemi chiusi e limitti di R n. Defininzione di convergenz puntule: un successione di funzioni f n : [, b] R converge puntulmente d f : [, b] R se x I, lim n f n (x) f(x) = 0. Definizione di convergenz uniforme: dte f, f n : E R R si dice che le f n convergono uniformemente d f in E se lim sup f n (x) f(x) lim f n f l n + n + (E) = 0. x E L convergenz uniforme implic quell puntule, mentre il vicevers non è vero in generle: si prend d esempio E = [0, 1], f n (x) = n x per 0 x 1/n, f n (x) = 2 n x per 1/n x 2/n, e f n (x) = 0 per 2/n x 1. Si h f n (x) 0 per ogni x d, m f n = 1 n, per cui non vi può essere convergenz uniforme ll funzione identicmente null. Proprietà notevoli dell convergenz uniforme: sino f n, f : E R R tli che f n f l (E) 0 per n +. Si h che: 1) se le f n sono continue, llor f è continu. b 2) se E = [, b], lim n f n(t)dt = b lim n f n (t)dt = b f(t)dt (pssggio l limite sotto il segno di integrle). 3) se f n C 1 ([, b]; R) (ossi f n, f n C 0 ([, b]; R)) e f n f, f n g uniformemente in [, b], llor g = f su [, b] (pssggio l limite sotto il segno di derivt). Nel cso prticolre delle serie di funzioni, cioè qundo f n (x) = n k=0 u k(x), con u k : [, b] R, le proprietà dell convergenz uniforme si trducono come segue: dte u k C 0 ([, b]; R), se l serie k=0 u k(x) converge uniformemente in [, b], llor converge d un funzione continu. Inoltre, vle ( b ) b u k (t) dt = u k (t)dt (integrzione per serie). k=0 k=0 Se inoltre u k C 1 ([, b]; R) e k=0 u k (x) converge uniformemente in [, b] llor ( u k (x)) = k=0 u k(x) k=0 (derivzione per serie). 6

7 Appliczione di 2) : dto che per un serie di potenze vle il teorem di integrzione per serie, si può clcolre d esempio b e x2 dx = b k=0 ( ) ( 1) k x 2k dx = k! k=0 b ( 1) k x 2k dx = k! k=0 ( 1) k (b 2k+1 2k+1 ) (2k + 1)k!. Alcuni semplici esempi mostrno come l convergenz puntule non si sufficiente in generle, grntire l vlidità dei pssggi l limite 1) 2) e 3). Dimostrzione dei punti 1) 2) 3) di cui sopr: si h b f(t)dt b b f n (t)dt f(t) f n (t) dt (b ) f f n l ([,b]) 0, d cui discende 2). 3) Si h f n (x) f n () = x f n(t)dt, ed il primo membro converge f(x) f() perchè le f n in prticolre convergono puntulmente, mentre il secondo membro converge b g(t)dt per l convergenz uniforme di f n su [, b] ed il pssggio l limite sotto il segno di integrle. Per il Teorem fondmentle del clcolo ne consegue f = g. 1) Per ogni ɛ > 0 esiste N > 0 tl che per ogni n > N, f n f < ɛ. Si x 0 [, b] e fissto n > N, si δ > 0 tle che f n (x) f n (x 0 ) < ɛ per x x 0 < δ (tle δ esiste per l continuità di f n ). Allor, per ogni x [, b], x x 0 < δ, si h, per l diseguglinz tringolre, f(x) f(x 0 ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) 3ɛ, ovvero f è continu in x 0, per ogni fissto x 0 [, b]. Lezione del 15 ottobre 2014 (1 or, [D], sezione 7, , 8.4.7). Teorem: C 0 ([, b]; R) dotto dell norm è completo. Dimostrzione: dt un successione di Cuchy {f n } C 0 ([, b]; R), per ogni ɛ > 0 n 0 tle che n, m > n 0 f n f m < ɛ. In prticolre, per ogni x b si h f n (x) f m (x) < ɛ, dunque {f n (x)} è di Cuchy in R x b, ed è dunque convergente per l completezz di R. Detto f(x) = lim m f m (x), si h f n (x) f(x) = lim m f n (x) f m (x) ɛ n > n 0, x b. Pssndo l sup su x [, b] si ottiene f n f ɛ n > n 0, ovvero f n f 0 per n +. Inoltre, f C 0 ([, b]) poichè il limite uniforme f delle funzioni continue f n è un funzione continu. Pertnto l successione {f n } converge in C 0 ([, b]; R) rispetto ll norm. Un criterio sufficiente per l convergenz uniforme di un serie di funzioni è il criterio di convergenz totle (di Weierstrss). Lo enuncimo nel qudro più generle degli spzi normti. 7

8 Teorem dell convergenz totle: si (X, ) uno spzio vettorile normto completo. Si {u k } X. Se l serie delle norme k=0 u k è convergente in R, llor l serie k=0 u k è convergente in X, ovvero lim n k=n u k = 0. Dimostrzione: dett σ n = n k=0 u k l successione delle somme przili, dimostrimo che {σ n } è di Cuchy in X: si h, per l disuguglinz tringolre, σ n σ m = m k=n+1 u k m k=n+1 u k = s m s n < ɛ per ogni m > n > n 0, dto che per ipotesi l successione numeric s n = n k=0 u k è di Cuchy in R. Appliczioni del criterio di convergenz totle: in R ed in C corrisponde l criterio di convergenz ssolut. Ricordimo che per un numero complesso c = +ib C R 2 si definisce l norm euclide c = c c = 2 + b 2. Esempio: l serie che definisce l esponenzile complesso e z = 1 k=0 k! zk converge per ogni z C, essendo che l serie delle norme 1 k! z k = e z < + per ogni z C. Dll definizione di esponenzile complesso si possono dedurre le proprietà dell esponenzile e (z 1+z 2 ) = e z1 e z 2 per z 1, z 2 C, ed in prticolre le formule di Eulero e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y). Anlogmente, l serie geometric compless k=0 zk converge, per z < 1 (ovvero nel disco perto del pino B 1 (0) = {x 2 + y 2 < 1}), ll funzione (1 z) 1 (stess dimostrzione che nel cso rele). Lezione del 17 ottobre 2014 (2 ore, [D], sezione 8.4, 8.5). Serie di funzioni in M n (R) R n2, lo spzio delle mtrici qudrte di ordine n, dotto di un norm comptibile con il prodotto (ovvero l norm del prodotto è minore o ugule l prodotto delle norme), come d esempio, per A = [ ij ], l norm A 1 = i,j ij, l norm euclide (di Hilbert-Schmidt) A = tr(a t A) = ij 2 ij, o l norm dell ppliczione linere v Av dt d A = sup{ Av 2, v R n, v 2 1}. Esempi: esponenzile di mtrice e serie di Neumnn. Esponenzile di mtrice: rimne ben definit, per ogni A M n (R), l mtrice exp(a) e A = 1 k=0 k! Ak, dto che per l serie delle norme si h 1 k! Ak 1 1 k! A k 1 = e A 1 < +. L mtrice exp(a) è legt ll risoluzione del sistem di sistemi di equzioni differenzili ordinrie del tipo Ẋ = A X, con X = X(t) = (x 1(t),..., x n (t)) R n. L soluzione del problem di Cuchy con dto inizile X(0) = X 0 è dt inftti d X(t) = exp(ta) X 0. Serie di Neumnn: per A M n (R), A 1 < 1, rimne ben definit l serie (dett di Neumnn) k=0 Ak per il criterio di convergenz totle, essendo A k 1 A k 1 < +. Si h inoltre l identità (I A) 1 = k=0 Ak, dto che vle n (I A) A k = I A n+1 I per n +, essendo A n+1 1 A n k=0 8

9 L serie di Neumnn è utile per risolvere sistemi lineri del tipo λx A X = C, con λ R, C R n. Proprietà di convergenz delle serie di potenze. Dti z 0, c k C, si k=0 c k (z z 0 ) k un serie di potenze complesse centrt in z 0 C, e si R > 0 il suo rggio di convergenz, ovvero R 1 = lim sup k c k 1/k. L serie converge uniformemente in B r (z 0 ) = {z C, z z 0 r} per ogni 0 < r < R, e quindi in prticolre converge d un funzione continu sul disco perto B R (z 0 ) = {z C, z z 0 < r}. Dimostrzione: si h k=0 sup z z 0 r poichè per il criterio dell rdice lim sup k + k ck r k = c k z z 0 k = ( lim sup k + c k r k < +, k=0 ) k ck r = R 1 r < 1. Si può dunque pplicre il criterio di convergenz totle nello spzio metrico completo C 0 ( B r (z 0 ); C), dotto dell norm definit, per f C 0 ( B r (z 0 ), C), d f = sup{ f(z), z z 0 r}. Osservzione: le stesse proprietà di convergenz si ottengono ovvimente per l serie di potenze rele k (x x 0 ) k su [x 0 r, x 0 + r] per ogni r < R, dove R > 0 è il rggio di convergenz dell serie. In prticolre, per un serie di potenze rele vle il teorem di integrzione per serie. Inoltre, dto che l serie delle derivte di un serie di potenze è su volt un serie di potenze con lo stesso rggio di convergenz, vle nche il teorem di derivzione per serie. Iterndo il rgionmento si deduce che un serie di potenze converge d un funzione di clsse C (ovvero dott di derivte continue di ogni ordine). Si può inoltre fcilmente verificre (derivndo) che, dett f(z) = c k (z z 0 ) k, si h c k = f (k) (z 0 )/k!, ossi l serie di Tylor di f converge d f (si dice in tl cso che f è un funzione nlitic, ovvero di clsse C ω. Si ricord che nel cso rele, si hnno le inclusioni strette C ω C... C k... C 1 C 0. Osservzione: l regol di derivzione per serie di potenze può essere utilizzt d esempio per l ricerc di soluzioni y(x) di equzioni differenzili sotto form di serie di potenze y(x) = k x k (esempio: equzioni lineri coefficienti polinomili come l equzione di Bessel (di ordine n) x 2 y + xy + (x 2 n 2 )y = 0, equzioni non lineri coefficienti nlitici come l equzione del pendolo semplice y = sin y), trsformndo l equzione differenzile in un sistem tringolre per i coefficienti k o sfruttndo l identità k = y (k) (0)/k!. Lezione del 20 ottobre 2014 (3 ore, [D], sezione 7.4, 7.5, 14, 14.3). Sviluppi in serie di Fourier per funzioni 2π-periodiche. Motivzioni: risoluzione di equzioni differenzili dell fisic mtemtic (d esempio l equzione del clore, delle onde, di Lplce), 9

10 nlisi in frequenz di segnli periodici, pprossimzione e codific di segnli ed immgini (JPEG), ovvero funzioni che presentno tipicmente delle zone di discontinuità insieme regioni in cui possono essere molto regolri. Ad un funzione f : [ π, π] R tle che π π f(t) 2 dt < + ed estes con periodicità 2π tutto R si ssoci l funzione S n (f) che rppresent l migliore pprossimzione in norm L 2 ([ π, π]) di f medinte polinomi trigonometrici di grdo (inferiore o ugule ) n, ovvero un elemento del sottospzio (2n + 1)-dimensionle P n L 2 ([ π, π]) dto d P n = spn < 1, cos kt, sin kt > k=1,...,n. Dto che quest bse di P n è ortogonle, si ottiene l formul di rppresentzione S n (f)(t) = n k cos(kt) + b k sin(kt), con i coefficienti di Fourier di f dti d 0 = 1 π π k=1 π f(t)dt, k = 1 π π π f(t) cos(kt)dt, b k = 1 π π π f(t) sin(kt)dt, 1 k n. Teorem di Fourier: se f L 2 ([ π, π]) (d es. f continu trtti) llor f S n (f) L 2 ([ π.π]) 0 per n +, ovvero l serie di Fourier di f, definit d k=1 k cos(kt) + b k sin(kt) converge in medi qudrtic d f. Osservzione: l norm L 2 (come l norm L 1 ), essendo un norm integrle, non distingue due funzioni i cui vlori differiscono su un numero finito di punti del dominio (in prticolre un lmeno delle due funzioni non può essere continu), quindi non è un norm in senso stretto su L 2 ([, b]) (rispettivmente L 1 ([, b])), mentre lo è in senso stretto su C 0 ([, b]). Il Teorem di Fourier fferm che l differenz in norm L 2 tr l serie di Fourier di f e l funzione stess f è null: per qunto osservto, questo non signific priori che l serie di Fourier converg puntulmente d f su tutto l intervllo [ π, π]. Esempio (ond qudr): si f definit d f(x) = 1 se 0 < x < π, f(x) = 1 se π < x < 0 e sino f(0), f(±π) definite d rbitrio. L serie di Fourier di f converge puntulmente d f per x 0, ±π. Inoltre, in 0, ±π l su somm vle zero, indipendentemente di vlori ssunti d f(0), f(±π). Osservzione: un funzione dispri (rispettivmente pri) mmette uno sviluppo di Fourier in soli seni (risp. coseni). Proprietà delle serie di Fourier. Diseguglinz di Bessel: ( ) π n f S n (f) 2 l 2 ([ π.π]) = f(t) 2 dt π π 2 k + b 2 k 0 n N. π In prticolre, fcendo tendere n + si ricv il decdimento zero dei coefficienti di Fourier k 0, b k 0 per k + (Lemm di Riemnn-Lebesgue). Dl Teorem di Fourier si ottiene inoltre l identità di Prsevl (lis Teorem di Pitgor in k=1 10

11 L 2 ([ π, π])): π π f(t) 2 dt = π π 2 k + b 2 k. Form compless dei coefficienti di Fourier: posto c j = j ib j, c 2 j = j+ib j per j > 0, 2 c 0 = 0 2, si h S n (f)(t) = n k= n k=1 c k e ikt, con c k = 1 π f(t)e ikt dt. 2π π Coefficienti di Fourier dell derivt: si f L 2 ([ π, π]) derivbile con derivt f L 2 ([ π, π]). Detti k, b k (o, in form compless, c k ) i coefficienti di Fourier di f, e rispettivmente α k, β k e γ k i coefficienti di Fourier di f si h l relzione α 0 = 0, α k = kb k, β k = k k e γ k = ( ik)c k, ossi d un operzione differenzile su f (nello spzio fisico ) corrisponde un operzone lgebric (moltipliczione) sui suoi coefficienti di Fourier (nello spzio delle frequenze ). Dll identità di Prsevl per l derivt si ottiene in prticolre π αk 2 + βk 2 = π k=1 k 2 ( 2 k + b 2 k) = k=1 π π f (t) 2 dt, d cui si deduce che qunto più un funzione è regolre (ossi qunte più derivte possegg) tnto più rpido è il decdimento zero dei suoi coefficienti di Fourier. Esempio di risoluzione di un equzione differenzile medinte serie di Fourier: il pendolo semplice forzto. Cerchimo soluzioni 2π-periodiche dell equzione y +ω 2 y = g su [ π, π], con g(t) termine forznte 2π-periodico. Si g(t) = k= γ k e ikt, y = k= c k e ikt. Si h y = k= (ik)2 c k e ikt, e dunque si ottiene l relzione k= (k 2 + 1)c k e ikt = k= γ k e ikt vlid per ogni t [ π, π], d cui si deduce (k 2 + 1)c k = γ k per ogni k Z, d cui c k = (k 2 + 1)γ k. Convergenz uniforme delle serie di Fourier: si f 2π-periodic, f continu trtti e con derivt continu trtti. (in reltà bst f continu trtti e f L 2 ([ π, π])). Allor l serie di Fourier di f converge uniformemente d f in ogni intervllo [, b] in cui f è continu. Dimostrzione nel cso f C 0 ([ π, π]) e f L 2 ([ π, π]): dllo studio dell 11

12 convergenz totle dell serie di Fourier di f si ricv k cos(kt) + b k sin(kt) k + b k k=1 sup t [ π,π] = k=1 k=1 k=1 k=1 1 k 2 + k2 2 (2 k + b 2 k) 1 k π π π 1 k (k k + k b k ) f (t) 2 dt < +, d cui l convergenz uniforme dell serie di Fourier su [ π, π] (e, per periodicità, su tutto R) d un funzione periodic g C 0 ([ π, π]). Quest coincide con f, come si può dedurre invocndo il teorem di Fourier di convergenz in medi qudrtic: si h inftti g S n (f) l 2 ([ π.π]) 2π g S n (f) l ([ π,π]) 0 per n +, d cui g f l 2 ([ π,π]) g S n (f) l 2 ([ π.π]) + S n (f) f l 2 ([ π.π]) 0 per n +. Dll condizione π π g(t) f(t) 2 dt = 0 si deduce, per l continuità di g(t) f(t), che g(t) f(t) = 0 per ogni t [ π, π], ossi g = f. Convergenz puntule delle serie di Fourier: se (l estensione periodic di) f è continu trtti in R (e le discontinuità sono di tipo slto), e per ogni x in cui f è continu esistono finite l derivt destr e sinistr, llor l serie di Fourier di f converge puntulmente ll medi dei limiti destro e sinistro di f (in prticolre converge d f nei punti di continuità di f). Sviluppi di Fourier per funzioni L-periodiche: si consider come bse ortogonle quell formt d cos( 2πkt), sin( 2π kt)). Per L +, in un senso d precisrsi, l L L serie di Fourier converge ll trsformt di Fourier, strumento per l nlisi in frequenz di segnli non periodici definiti su tutto R. Lezione del 22 ottobre 2014 (1 or, [D], sezione 11.1, , 12.1, 11.2). Il principio delle contrzioni in uno spzio metrico completo (Teorem di punto fisso di Bnch- Cccioppoli): dto (X, d) spzio metrico completo, T : X X un contrzione (ossi K < 1 tle che d(t (x), T (y)) K d(x, y) x, y X), llor esiste un unico punto fisso x X di T (ovvero un unic soluzione x X dell equzione x = T (x)). L dimostrzione è costruttiv, medinte uno schem itertivo, e fornisce nche un stim quntittiv dell errore. Si x 0 X, definimo per ricorrenz l successione x n+1 = T (x n ), per n N. Due i csi: o si h x n+1 = x n per un certo n N, e quindi x n = x n+1 = T (x n ) è punto fisso di T, oppure rimne definit un successione {x n } X, che risult essere di Cuchy in X. Inftti, si h d(x n+1, x n ) = d(t (x n ), T (x n 1 )) K d(x n, x n 1 ) K n d(x 1, x 0 ), 12

13 d cui si deduce che, per m > n + 1 > n 0, per l disuguglinz tringolre, d(x m, x n ) m 1 j=n d(x j+1, x j ) K n d(x 1, x 0 ) j=0 m 1 j=n m n 1 K j d(x 1, x 0 ) = K n d(x 1, x 0 ) K j K n 0 d(x 1, x 0 ) 1 K < ɛ per n 0 sufficientemente grnde, e per ogni m > n + 1 > n 0, ovvero {x n } è di Cuchy in X. Si lim m x m = x X per l completezz di X. Pssndo l limite per m + nell disuguglinz precedente, si ottiene l stim quntittiv dell errore d( x, x n ) K n d(x 1,x 0 ). Inoltre, pssndo l limite per n + 1 K nell relzione di ricorrenz x n+1 = T (x n ), dto che x n+1 x e T (x n ) T ( x) per l continuità di T (dt dll condizione d(t ( x), T (x n )) K d( x, x n )), si deduce x = T ( x), e dunque x è un punto fisso di T. Supponendo ˆx X si un qulunque punto fisso di T, si h d(ˆx, x) = d(t (ˆx), T ( x)) K d(ˆx, x), ossi (1 K) d(ˆx, x) 0, d cui d(ˆx, x) 0 e dunque ˆx = x, ovvero l unicità del punto fisso. Il principio delle contrzioni si pplic nelle più svrite situzioni: d esempio, per dimostrre il Teorem di Cuchy-Lipschitz di esistenz e unicità locle per soluzioni di problemi di Cuchy (per equzioni e sistemi di equzioni differenzili), oppure il Teorem del Dini delle funzioni implicite/inverse (esistenz e unicità locle per soluzioni di sistemi di equzioni lgebriche non lineri), o nche per provre l dipendenz continu delle soluzioni di equzioni differenzili di dti del problem. Inoltre, gli spetti costruttivi e l stim quntittiv dell errore hnno numerose ppliczioni numeriche. Esempio: problem di Cuchy per sistemi differenzili lineri omogenei ed esponenzile di mtrice. Dt A mtrice n n, si consideri il problem di Cuchy dto dl sistem di n equzioni differenzili y = Ay, con l condizione inizile y(0) = y 0. Dett y : [ δ, δ] R n l soluzione, integrndo su [0, t] mbo i membri del sistem di equzioni differenzili e tenendo conto dell condizione inizile, si ottiene che y(t) verific l equzione di punto fisso y = T y, dove l trsformzione T : C 0 ([ δ, δ]; R n ) C 0 ([ δ, δ]; R n ) è definit d T y(t) = y 0 + t A y(s) ds. Si h 0 t T y 1 T y 2 L ([ δ,δ]) = A(y 1 (s) y 2 (s)) ds δ A 1 y 1 y 2 L ([ δ,δ]), L ([ δ,δ]) 0 ossi T è un contrzione sullo spzio metrico completo C 0 ([ δ, δ]; R n ) dotto dell norm L non ppen δ A 1 < 1. Inizilizzndo lo schem itertivo ponendo y 0 (t) = y 0 per δ t δ, si ottiene y n (t) = n 1 k=0 k! tk A k y 0, che converge ll soluzione y(t) = t k A k y 0 = exp(ta) y 0, k! k=0 j=0 K j 13

14 dove exp(ta) = e ta è l esponenzile dell mtrice ta. Si noti che l soluzione trovt in reltà è globlmente definit t R per il criterio di convergenz totle pplicto ll serie che definisce exp(ta). Esempio (non visto lezione): metodo di Newton (o delle tngenti) per il clcolo degli zeri di un funzione non linere f : [, b] R. Supponimo f C 2 ([, b]), e che per un certo < x < b si bbi f( x) = 0, che inoltre si f (x) m > 0, f (x) δ e f(x) Km 2 δ 1 x [, b], per un certo K < 1. Lo schem di Newton per l determinzione di x consiste nell seguente successione definit per ricorrenz: fissto < x 0 < b, si pone, per n N, x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = T (x n), ed in prticolre si h f(x) = 0 se e solo se x = T (x). Essendo T (x) = f(x) f (x) f (x) 2 K per ogni x [, b], si h, per il teorem del vlor medio, T (y 1 ) T (y 2 ) = T (ξ) y 2 y 1 K y 2 y 1 y 1, y 2 [, b], ovvero T è un contrzione. Inoltre vle l stim dell errore x n+1 x = T (x n ) x δ 2m x n x 2 n N (ovvero x n [, b] ), d cui si deduce che se min{ x, b x } δ mx{ 2m x 2, b x 2 } vle T ([, b]) [, b] (in soldoni, x e b x devono vere lo stesso ordine di grndezz, inferiore 2m ), e per il principio delle contrzioni lo schem di Newton converge x. δ (Not: per le ipotesi su f, quest h un segno definito su [, b]. Se nche f h un segno definito su [, b], llor, se è d esempio f (x) m e f (x) 0, si h utomticmente T ([ x, b]) [ x, b], ovvero lo schem di Newton è monotono decrescente se x < x 0 b). Lezione del 24 ottobre 2014 (2 ore, [A], sezioni 2.1, 3.1, 3.2, 3.3). Funzioni vettorili di un vribile rele (curve in R n ): limiti, continuità e derivzione si verificno e/o clcolno per componenti. Interpretzione geometric dell derivt come vettore tngente ll curv immgine. Interpretzione fisic come vettore velocità ssocito ll legge orri di un punto mterile. Equzione prmetric dell rett tngente ll curv immgine: un prmetrizzzione cnonic è dt dllo sviluppo di Tylor di f rrestto l primo ordine. Velocità sclre. Integrle b γ(t)dt di un funzione vettorile γ(t) (equivle d integrre γ(t) per componenti), stim b γ(t)dt b γ(t) dt. Per dimostrre l stim usimo un crtterizzzione dell norm di un vettore in uno spzio euclideo come v = mx α 1 v, α. Inftti per Cuchy-Schwrz si h sempre l disuguglinz v, α v α v, ossi mx α 1 v, α v, ed inoltre v, α = v per α = v 1 v (in prticolre vle α = 1). 14

15 Si dunque α R n tle che b γ(t)dt = b γ(t)dt, α e si osservi che α = 1. Per linerità dell integrle e per l disuguglinz di Cuchy-Schwrz si h b γ(t)dt, α = b γ(t), α dt b γ(t) dt, ovvero l tesi. Funzioni di più vribili reli. Come domini si considerno insiemi D che sino perti, o contenuti (strettmente o meno) nell chiusur di insiemi perti. Insiemi di livello f 1 (c), sottolivello f 1 ((, c)), soprlivello f 1 ((c, + )). Funzioni continue. Gli insiemi di livello di un funzione continu sono chiusi nel dominio dell funzione, i soprlivelli e i sottolivelli sono perti. Grfico Γ f di un funzione di più vribili f : D R n R: Γ f = {(x 1,..., x n, x n+1 ) : (x 1,..., x n ) D, x n+1 = f(x 1,..., x n )}. Derivbilità per funzioni di più vribili. Derivt direzionle di un funzione f : Ω R 2 R in p 0 Ω: dt un direzone v R 2 (ossi v = (, b) con 2 + b 2 = 1), l rett pssnte per p 0 = (x 0, y 0 ) vente direzione v è dt d t p(t) = (x 0 +t, y 0 +tb), e l derivt nell direzione v di f in p 0 è definit d D v f(p 0 ) = d dt t=0f(p(t)) = d dt t=0f(x 0 + t, y 0 + tb). Se v = e 1 = (1, 0) (risp. v = e 2 = (0, 1)) si pone f (x x 0, y 0 ) D e1 f(p 0 ) = d f dx x=x 0 f(x, y 0 ) (risp. (x y 0, y 0 ) D e2 f(p 0 ) = d dy y=y 0 f(x 0, y)), e tle derivt si chim derivt przile rispetto x (risp. rispetto y). Esempi di clcolo di derivte przili. Lezione del 27 ottobre 2014 (3 ore, [A], sezione 3.3, 3.6 e 3.7) Interpretzione geometric delle derivte przili / direzionli: si Γ f = {(x, y, f(x, y)) R 3, (x, y) Ω } il grfico di f. L mpp t (x 0 +t, y 0 +tb, f(x 0 +t, y 0 +tb)) h come immgine l curv costituit dl grfico dell restrizione di f ll rett t (x 0 + t, y 0 + tb). Il vettore d dt (x 0 + t, y 0 + tb, f(x 0 + t, y 0 + tb)) = (, b, D v f(x 0, y 0 ) ), t=0 pplicto nel punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )), è dunque un vettore tngente l grfico di f in (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )), l cui componente orizzontle è l direzione v = (, b), e l cui componente verticle è l derivt direzionle di f nell direzione v in p 0. Sussistono esempi di funzioni che mmettono derivte przili m non sono continue. Esistono esempi di funzioni f che mmettono tutte le derivte direzionli in un certo punto p 0, m non sono continue in p 0. Funzioni differenzibili. Differenzile df(p 0 ) : R n R di un funzione f : Ω R n R in un punto p 0 Ω. Si trtt di un ppliczione linere che verific f(p) f(p 0 ) df(p 0 ) (p p 0 ) lim p p 0 p p 0 = 0. In ltre prole, per un funzione differenzibile in p 0 vle lo sviluppo di Tylor l primo ordine f(p) = f(p 0 ) + df(p 0 ) (p p 0 ) + o( p p 0 ). 15

16 Esempio: se f è linere, ovvero f(p) = f(x 1,..., x n ) = 1 x x n x n =, p, con = ( 1,..., n ), llor ovvimente f è differenzibile, df(p 0 ) v = t v =, v per ogni vettore v R n, e df(p 0 ) è indipendente d p 0. Se f è differenzibile in p 0 llor esistono le derivte przili di f in p 0 e si h f x i (p 0 ) = df(p 0 ) e i, e più in generle esistono tutte le derivte direzionli in p 0 e si h D v f(p 0 ) = df(p 0 ) v per ogni direzione v R n. Se f è differenzibile in p 0, l equzione crtesin del pino tngente l grfico di f in (p 0, f(p 0 )) R n+1 è dt d x n+1 = f(p 0 ) + df(p 0 ) (p p 0 ), ovvero x n+1 = f(p 0 ) + n i=1 (x i x 0,i ) f x i (p 0 ), dove p = (x 1,..., x n ) e p 0 = (x 0,1,..., x 0,n ). Dett e 1,..., e n, e n+1 l bse cnonic di R n+1, il pino tngente l grfico è generto di vettori {e i + e n+1 f x i (p 0 )} i=1,...,n ( lezione bbimo visto il cso n = 2). Un vettore normle l pino tngente in (p 0, f(p 0 )) è dto dl vettore N p0 = ( f x 1 (p 0 ),..., f x n (p 0 ), 1) R n+1. Il differenzile df(p 0 ) si rppresent medinte il grdiente di f in p 0 ( f f(p 0 ) = (p 0 ),..., f ) (p 0 ) R n, x 1 x n ovvero si h df(p 0 ) v = f(p 0 ) t v = f(p 0 ), v per ogni v R n. Fisst l bse cnonic e 1,..., e n di R n (vettori colonn), l insieme {e 1 := e t 1,..., e n := e t n} (vettori rig) form un bse cnonic dello spzio (R n ) delle forme lineri L : R n R. In prticolre, per p = (x 1,..., x n ) si h e i (p) = x i, per cui, con buso di linguggio, si identific e i con de i dx i, il differenzile dell proiezione p = (x 1,..., x n ) e i (p) = x i. In prticolre si h, rispetto quest bse, df(p 0 ) = [ f(p 0 )] t = f x 1 (p 0 )e f x n (p 0 )e n f x 1 (p 0 )dx f x n (p 0 )dx n. Il grdiente individu l direzione di mssim crescit di f in p 0, ossi mx D vf(p 0 ) = mx f(p 0), v = f(p 0 ), rggiunto per v = f(p 0) v =1 v =1 f(p 0 ). Lo schem di flusso / sces grdiente per l determinzione di mssimi locli di un funzione: dto p 0 = (x 0,1,..., x 0,n ) Ω R n, si trtt di risolvere il problem di Cuchy { dp dt = f(p) p(0) = p 0, 16

17 ovvero il sistem di equzioni differenzili ordinrie dx 1 = f dt x 1 (x 1,..., x n ). dx n = f dt x n (x 1,..., x n ) x i (0) = x 0,i i = 1,..., n. Detto p = lim t + p(t), se p Ω llor f( p) = 0, ossi p è un punto critico di f, che, per un scelt generic del dto inizile p 0 risult essere di mssimo locle. L nlogo schem dp = f(p) per trovre i minimi locli nche detto schem di flusso / disces dt grdiente. Lezione del 29 ottobre 2014 (1 or, [A], sezione 3.5, 3.6). Continuità di un funzione differenzibile. Condizioni sufficienti per l differenzibilità, teorem del differenzile totle: se in un intorno B(p 0, r) esistono le derivte przili di f e sono continue in p 0, llor f è differenzibile in p 0. Dimostrzione del teorem del differenzile totle. Funzioni di clsse C 1. Differenzile di funzioni vettorili. Se f = (f 1,..., f m ) : Ω R n R m, p 0 Ω e v = (v 1,..., v n ) R n, si h l rppresentzione medinte l mtrice Jcobin Df(p 0 ) {f 1,...,f m} (p {x 1,...,x n} 0): f 1 x 1 (p 0 ) df(p 0 ) v =.... f m x 1 (p 0 ) f 1 x n (p 0 ) v 1.. f m x n (p 0 ) Regol dell cten per il differenzile composto: se f : Ω R n R m e g : U R m R k sono funzioni differenzibili rispettivmente in p 0 Ω e q 0 = f(p 0 ) U, llor h = g f : Ω R k è differenzibile in p 0 e vle dh(p 0 ) = d(g f)(p 0 ) = dg(f(p 0 )) df(p 0 ). In termini delle mtrici Jcobine, [ ] [ ] [ ] hi gi fl (p 0 ) = (f(p 0 )) (p 0 ), ossi x j y l x j h i x j (p 0 ) = v n m l=1 g i y l (f(p 0 )) f l x j (p 0 ). Appliczione: ortogonlità del grdiente rispetto gli insiemi di livello. Dt un funzione f C 1 (D; R), e dto l insieme di livello f 1 (c), c R, se p 0 f 1 (c) e f(p 0 ) 0, quest ultimo vettore risult ortogonle f 1 (c) in p 0. Dimostrzione (cso n = 2): supponendo che intorno p 0 l insieme di livello si poss descrivere medinte un curv prmetric p(t) = (x(t), y(t)) di clsse C 1, dett g(t) = f((x(t), y(t)) l funzione compost, si h, pplicndo l regol dell cten: 0 = dg dt = f x dx dt + f y dy dt ovvero l condizione di ortogonlità. =< f, dp dt >, 17

18 Not: l ipotesi che l insieme di livello si prmetrizzbile intorno p 0 è sempre soddisftt nel cso f(p 0 ) 0, in virtù del Teorem delle funzioni implicite. Lezione del 31 ottobre 2014 (2 ore, [A], sezione 4.1, 6.5 p.362, 6.7 p.374). Esempi di funzioni vettorili: cmpi vettorili F : D R n R n, trsformzioni di coordinte T : R R n D R n (si intendono invertibili e di clsse C 1 ), superfici prmetriche r : R R 2 R 3. Esempi di cmpi vettorili: grdienti di funzioni sclri. Espressione del cmpo generto d un forz di richimo elstic (dovut d esempio d un moll) post nell origine del pino. Detto U(p) = U(x, y) = k 2 (x2 + y 2 ) il potenzile elstico, si h F (p) = U(p) = kp = krî r dove r = p, î r = p/ p. Espressione del cmpo grvitzionle generto d un mss puntiforme post nell origine: detto U(p) = K/ p il potenzile grvitzionle, con K > 0 un costnte opportun, si h F (p) = U(p) = Kp/ p 3 = Kr 2 î r. Esempi di trsformzioni di coordinte: coordinte polri, coordinte sferiche. Le colonne dell mtrice Jcobin delle trsformzioni di coordinte dnno informzioni sui fttori locli di diltzione di lunghezze, ree e volumi: se d esempio T : (r, θ, φ) (x(r, θ, φ), y(r, θ, φ), z(r, θ, φ)) indic l trsformzione in coordinte sferiche (con r = p = x 2 + y 2 + z 2, θ l ngolo polre e φ l ngolo zimutle), le colonne di DT, dte d T, T, T, costituiscono vettori tngenti rispettivmente lle curve coordinte r θ φ {θ = cost., φ = cost.}, {r = cost., φ = cost.}, {θ = cost., r = cost.}, il determinnte jcobino det DT (r, θ, φ) rppresent il fttore di diltzione del volume di un cubo (infinitesimo) intorno l punto (r, θ, φ) per effetto dell trsformzione T, ed i determinnti dei minori 2x2 di DT rppresentno i fttori di diltzione locle delle ree di qudrti (infinitesimi) prlleli i pini coordinti r = cost., θ = cost., φ = cost.. Superfici prmetriche, vettori tngenti e vettore normle. Dt l prmetrizzzione, di clsse C 1, r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) R 3, con (u, v) D R 2, i vettori colonn dell mtrice Jcobin D r r u x u y u z u, r v sono vettori tngenti ll superficie S = { r(u, v), (u, v) D} R 3 nel punto p = r(u, v) S, e ne generno il pino tngente qulor sino linermente indipendenti, ovvero qundo il rngo di D r si mssimo. Vettore normle d un superficie, nozione di orientzione. Un vettore N = N(p) normle ll superficie in p S si ottiene, in modo cnonico, medinte il prodotto vettorile N = r r. L norm di N u v corrisponde ll re del prllelogrmm individuto d r e r (si ved sotto un u v giustificzione più generle di questo ftto), e costituisce il fttore di diltzione locle dell re di un qudrto (infinitesimo) prllelo gli ssi coordinti di R 2. x v y v z v Derivte przili di ordine superiore. Mtrice Hessin delle derivte przili seconde.teorem di Schwrz: se f C 2 (Ω; R) (ovvero esistono le derivte przili seconde 18

19 e sono continue in D) llor l mtrice Hessin D 2 f(p) = [ x j x i (p)] è simmetric per ogni p D. Derivte successive. Sviluppo di Tylor l secondo ordine per f C 2 (D; R) in p 0 D R n : si v = (v 1,..., v n ) R n, p p(t) = p 0 + tv D per 0 t t 0. Posto g(t) = f(p(t)), si h 2 f g (t) = n i=1 f x i (p(t))v i = f(p), v, g (t) = n i,j=1 2 f x j x i (p(t))v j v i = D 2 f(p) v, v. Dllo sviluppo di Tylor g(t) = g(0) + tg (0) + t2 2 g (0) + o(t 2 ) si ottiene f(p) = f(p 0 ) + f(p 0 ), p p D2 f(p 0 ) (p p 0 ), (p p 0 ) + o( p p 0 2 ). Studio dell ntur dei punti critici di f C 2 (D, R): se p 0 è un punto critico di f (ossi f(p 0 ) = 0), llor lo sviluppo di Tylor l secondo ordine si riduce f(p) = f(p 0 ) D2 f(p 0 ) (p p 0 ), (p p 0 ) + o( p p 0 2 ). Si R O(n) tle che R t D 2 f(p 0 ) R =dig (λ 1,..., λ n ), con λ 1,..., λ n R utovlori di D 2 f(p 0 ), e si p p 0 = R w, con w = (w 1,..., w n ) R n. Si h D 2 f(p 0 ) (p p 0 ), (p p 0 ) = D 2 f(p 0 ) R w, R w = R t D 2 f(p 0 ) R w, w n = λ i wi 2. Ottenimo dunque, tenendo conto che w 2 = Rw 2 = p p 0 2, i=1 f(p) = f(p 0 ) n λ i wi 2 + o( w 2 ), i=1 d cui si deduce che se gli utovlori di D 2 f(p 0 ) sono tutti positivi (risp. negtivi) llor p 0 è un punto di minimo (risp. mssimo) locle per f. Gli insiemi di livello ttorno p 0 sono ellissoidli ed il grdiente è uscente (risp. entrnte) d p 0. Se vi sono utovlori di segno discorde, p 0 è detto un punto di sell. Se qulche utovlore di D 2 f(p 0 ) risult nullo (e gli ltri non sono di segno discorde), llor il solo sviluppo di Tylor l secondo ordine non permette di decidere priori sull ntur del punto critico. Non svolto lezione: clcolo dell espressione del volume n-dimensionle vol n (P n ) del prllelepipedo n-dimensionle P n R n generto d n vettori linermente indipendenti v j = (v 1,j,...v n,j ) R n, per j = 1,..., n. Dett A = [v i,j ] l mtrice n n le cui colonne sono dte di vettori v j, si h vol n (P n ) = det A. 19

20 Detto inftti P n 1 il prllelepipedo (n 1)-dimensionle generto d v 1,..., v n 1, si R SO(n) tle che per w j = Rv j, i = 1,..., n 1 si bbi w i,n = 0 (ovvero i vettori w i gicciono nel sottospzio (n 1)-dimensionle ortogonle l versore e n ). Dett B = [w i,j ] i, j = 1,..., n 1 si h, per ipotesi induttiv, vol n 1 (R(P n 1 )) = det B, d cui vol n (P n ) = vol n (R(P n )) = det B w n,n = det(ra) = det R det A = det A. Sino or dti n vettori linermente indipendenti v 1,..., v n R m, con m > n e si P n il prllelepipedo in R m d essi generto. Si V = [v i,j ], con 1 i m, 1 j n. Provimo che vle l formul generle vol n (P n ) = det(v t V ). Si inftti R SO(m) tle che, per j = 1,..., n, Rv j, e i = 0 per ogni i > n (ovvero i vettori Rv j gicciono nel sottospzio n-dimensionle di R m generto d e 1,..., e n. Per qunto visto prim vol n (P n ) = vol n (R(P n )) = det A dove A è il minore di R V formto dlle prime n righe. Dto che le rimnenti righe di R V sono identicmente nulle, si h in prticolre A t A = (RV ) t RV = V t (R t R)V = V t V. Essendo det(v t V ) = det(a t A) = det A t det A = (det A) 2, si ottiene l formul cerct. Si può inoltre verificre che vle vol n (P n ) = ( l ) 1/2 det(v t V ) = (det A k ) 2, dove l = m! n!(m n)! e gli A k sono i minori n n di V. Nel cso n = 2, m = 3, V l mtrice le cui colonne sono dte d v 1, v 2 R 3, si ottiene in prticolre l formul V t V = v 1 v 2, k=1 ossi l re del prllelogrmm generto d due vettori corrisponde ll norm del loro prodotto esterno. Lezione del 3 novembre 2014 (3 ore, [A], sezione 4.1, 4.2) Esempi di studio dell ntur dei punti critici di un funzione di più vribili mdinte il test dell mtrice hessin. Alcune regole per l determinzione dei segni degli utovlori dell mtrice Hessin: nel cso n = 2 si studi il segno di trcci e determinnte. Più in generle ci si può vvlere dell regol dei segni di Crtesio per le rdici del polinomio crtteristico: se tutti i segni dei coefficienti sono concordi llor non vi sono rdici positive, mentre se tutti i coefficienti sono segno lterno non vi possono essere rdici negtive. Un regol prtic equivlente ll regol dei segni di Crtesio consiste nel clcolre, per k = 1,..., n, i segni dei determinnti dei minori A k = [ ij ], con 1 i, j k e ij = 2 f x i x j (p 0 ). Se questi hnno tutti lo stesso segno llor gli utovlori sono tutti negtivi, se hnno segno lterno gli utovlori sono tutti positivi. 20

21 Estremo superiore ed inferiore di funzioni regolri su domini D R n perti eventulemte illimitti: per determinrli bisogn confrontre il vlore dell funzione nei punti critici interni l dominio con l ndmento limite di f ll frontier D di D o ll infinito. Mssimi e minimi (ssoluti) di funzioni regolri su domini D R n chiusi e limitti: vnno ricercti tr i punti critici interni D e tr i mssimi e minimi vincolti ll frontier (o bordo) D. I vincoli che definiscono D (rispettivmente D) sono espressi in generle d un o più relzioni di uguglinz (rispettivmente disuguglinz) tr le vribili indipendenti, ovvero D è l intersezione di sottolivelli di un o più funzioni regolri. Un modo di studire i mssimi e minimi dell funzione ristrett D si h esplicitndo ove possibile le relzioni di uguglinz rispetto d un delle (o più) vribili indipendenti, e determinndo i punti critici dell funzione rispetto lle vribili rimnenti: d esempio, se è dt f(x, y, z) ed é possibile esplicitre (prte di) D come grfico di z(x, y), llor si determinno i punti critici dell funzione g(x, y) = f(x, y, z(x, y)), per ottenere mssimi e minimi di f ristrett (quell prte di) D. Un esempio di progrmmzione linere in tre vribili (cfr. metodo del simplesso): si d mssimizzre (minimizzre) l funzione f(x 1, x 2, x 3 ) = 3 i=1 ix i + b sotto le condizioni r k (x 1, x 2, x 3 ) 0, con r k (x 1, x 2, x 3 ) = 3 i=1 c ikx i + d k, per k = 1,..., N. Il vincolo imposto d f rppresent l intersezione di N semispzi, ovvero un insieme convesso (ovvero per ogni coppi di punti dell insieme, il segmento che li unisce è intermente contenuto nell insieme) frontier poliedrle. Non essendoci punti critici interni poichè f = ( 1, 2, 3 ) (0, 0, 0), il mssimo ed il minimo sono ssunti ll frontier poliedrle, ed in generle nei vertici del poliedro: inftti, per un scelt generic dei dti si h che i vettori (c 1k, c 2k, c 3k ), che rppresentno le normli lle fcce del poliedro, non srnno prlleli d ( 1, 2, 3 ) = f, e quindi l funzione ristrett d ogni fcci ssumerà necessrimente mssimo e minimo sugli spigoli. D ltr prte, f non srà (in generle) ortogonle gli spigoli, per cui il mssimo e minimo dell funzione ristrett ciscun spigolo verrà ssunto nei vertici. Lezione del 5 novembre 2014 (1 or, [A], sezione 4.2). Mssimi e minimi vincolti: espressione del vincolo in form prmetric. Risoluzione di problemi di mssimo e minimo vincolto qundo il vincolo è espresso in form prmetric. Espressione del vincolo in form implicit (ovvero come insieme di livello di un funzione dt), introduzione l metodo dei moltiplictori di Lgrnge: nei punti di mssimo o minimo vincolto il grdiente dell funzione d ottimizzre risult non vere componenti tngenti l vincolo, e pertnto risult essere prllelo (ovvero proporzionle) l grdiente dell funzione ttrverso cui si esprime il vincolo. Teorem dei moltiplictori di Lgrnge ( lezione è stto discusso il cso n = 2): si A R n perto, f, g C 1 (A; R) e p 0 A un estremo di f vincolto Γ = g 1 (c), per un dto livello c R. Se g(p 0 ) 0 llor esiste λ 0 R (detto moltiplictore di Lgrnge) tle che f(p 0 ) = λ 0 g(p 0 ). Equivlentemente, l coppi (p 0, λ 0 ) R n R è punto 21

22 critico (NB: non più vincolto!!) dell funzione (dett Lgrngin) ψ : A R R definit d ψ(p, λ) = f(p) λ g(p). Ide dell dimostrzione nel cso n = 2: l condizione g(p 0 ) 0 grntisce, in virtù del teorem del Dini delle funzioni implicite, che esist un intorno Q A di p 0 tle che g 1 (c) Q si poss esprimere in form prmetric, ovvero g 1 (c) Q = {p(t), t [, b]}, con t p(t) di clsse C 1. L condizione di estremo vincolto in p 0 = p(t 0 ) si trduce nell condizione di stzionrietà in t 0 per l restrizione di f g 1 (c) Q, ovvero per l funzione compost h(t) = f(p(t)), d cui si ricv 0 = h (t 0 ) = f(p 0 ), ṗ(t 0 ), con ṗ(t 0 ) vettore tngente g 1 (c) Q in p 0. ltrimenti detto, f(p 0 ) è ortogonle g 1 (c) Q in p 0. D ltr prte, essendo g(p) ortogonle g 1 (c) Q in ogni punto, si h che f(p 0 ) è prllelo g(p 0 ), ovvero esiste λ 0 R tle che f(p 0 ) = λ 0 g(p 0 ). Lezione del 7 novembre 2014 (2 ore, [A], sezione 4.4, 3.8) Crtterizzzione dei mssimi e minimi vincolti di un form qudrtic sull sfer unitri di R n. Per p = (x 1,..., x n ) R n, B mtrice simmetric n n, ossi B = B t, si dt l form qudrtic n Q(p) = p t B p = b ij x i x j. Si osservi innnzitutto che Q(λp) = λ 2 Q(p) per ogni λ R (ovvero Q è un funzione omogene di grdo 2). Clcolimone il grdiente: si h i,j=1 Q x k (p) = n i,j=1 b ij (x i x j ) = x k n ( kl + lk )x l, l=1 d cui si deduce Q(p) = (B + B t ) p = 2B p, essendo B + B t = 2B. In prticolre Q(p) = 0 se e solo se p ker B. Considerimo dunque il problem di mssimo (risp. minimo) vincolto mx Q(p), p =1 min Q(p). p =1 Il vincolo può essere espresso dll equzione g(p) = 0, con g(p) = p 2 1 = n i=1 x2 i 1. Impostndo il problem con i moltiplictori di Lgrnge, simo condotti risolvere il sistem Q(p) = λ g(p), g(p) = 0, ovvero, dto che g x k (p) = 2x k, 2B p = 2λp, p 2 = 1. 22