16 L INTEGRALE INDEFINITO

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Erica Graziani
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1 9. Integrali immediati 6 L INTEGRALE INDEFINITO Riassumiamo le puntate precedenti: si dice INTEGRALE INDEFINITO di una funzione f ( ), la famiglia di tutte e sole quelle funzioni la cui derivata è uguale a f ( ). Esse sono dette le primitive ( = antiderivate ) di f ( ), e differiscono tutte fra loro per una costante additiva. Ad esempio, presa la funzione f () =cos, la famiglia delle sue primitive, ossia il suo integrale indefinito, è la famiglia costituita dalle infinite funzioni sen, c. Infatti tutte, e sole, le funzioni della forma sen, hanno per derivata cos. Il simbolo di integrale indefinito è il seguente: f ( d ) (leggi: integrale di f ( ) in d ). Tale simbolo è stato scelto per via del legame che il teorema di Torricelli-Barrow stabilisce fra il problema del calcolo dell area sotto una curva (integrale DEFINITO) e la ricerca dell antiderivata o primitiva di una funzione (integrale INDEFINITO, appunto). Poiché, dunque, il simbolo di integrale indefinito indica la FAMIGLIA di tutte le primitive della funzione f ( ) (o, se si preferisce: indica la GENERICA primitiva della f ( )), esso contiene implicitamente una costante additiva arbitraria. Esempi: cos d = sen, d =, d = arctg + TAVOLA DEI PRINCIPALI INTEGRALI IMMEDIATI Formule di derivazione Per derivare una potenza occorre moltiplicare per l esponente D = e abbassare questo di un unità D f( ) = f( ) f '( ) [ ] [ ] Dln = Dln f( ) = f '( ) f( ) De = e f ( ) f ( ) f = '( ) Dsen = [ ] Dcos sen = [ ] De e f D sen f ( ) cos f ( ) f '( ) Dcos f( ) sen f( ) f '( ) D arc sen = D arc sen f ( ) = f '( ) ( ) Formule corrispondenti di integrazione + d = (, ) + + [ f( ) ] [ f( ) ] f '( ) d= (, ) + Caso particolare [ f( )] ( ) '( ) importante: f f d = d = ln f '( ) d = ln f ( ) f( ) ed = e e ( ) f '( d ) = ef( ) = cos cos d = sen +c cos f ( ) f '( ) d= senf ( ) = sen d = cos [ f ] [ ] Darctg Darctg f( ) = f '( ) ( ) = + + [ f ] [ ] sen f ( ) f '( ) d= cosf ( ) d = arc sen f '( ) d = arc sen f ( ) f( ) d = arctg + f '( ) d = arctg f ( ) + f( )

2 OSSERVAZIONI 7 La tabella non riporta le formule di derivazione Darccos =, Darccotg = +, con le corrispondenti formule di integrazione, per il fatto che tali formule differiscono solo per un segno dalle analoghe con arc sen e arctg e dunque, dovendo calcolare ad esempio d, si potrebbe scrivere indifferentemente d = arc sen oppure d = arccos, ma di norma si preferisce, per consuetudine, utilizzare la funzione arc sen. Idem per la coppia arc tg, arc cotg : si privilegia quasi sempre la prima fra le due. Non abbiamo riportato neppure le formule ln a Da = a a a d = ln a perché, di fronte ad un esponenziale in base diversa da e, è sempre possibile passare alla base e, tramite l identità a = e ln a. Discorso analogo per le formule con la funzione logaritmica in base diversa da e. Qui di seguito riportiamo qualche esempio di applicazione delle formule elencate in tabella. Nello svolgere gli integrali proposti, abbiamo tenuto conto della linearità dell integrale indefinito: [ + ] = + hf ( ) kg( ) d h f ( ) d k g( ) d Esempio d = d + = / = 6 + d = 6 + d = + = 6 d d + d d = 6 + ln = = + ln = + ln UN CONSIGLIO DA AMICO Specialmente nei primi esercizi, è opportuno fare la verifica, derivando l espressione ottenuta, per controllare se si ottiene effettivamente quella che era la funzione integranda. E ciò, non soltanto per essere sicuri che il risultato sia esatto, ma anche per impadronirsi meglio dei meccanismi psicologici dell integrazione: essendo l integrazione indefinita nient altro che il processo inverso della derivazione, in qualche modo si impara ad integrare solo se la mente è allenata a tornare-indietro-per-vedere-se-è-giusto. Verifica di d = 6 d = + ln : 6 D c + ln + = = 6 + OK!!!!!!!!

3 Esempio Esempio 8 ( e ) d = e + d = d = = = = = + Esempio ( sen cos ) d = cos sen Esempio Esempio 6 Esempio 7 Esempio 8 Esempio 9 sen d OCCHIO! ATTENZIONE! Questo esercizio non è immediato! Sarebbe sbagliato scrivere sen sen d =! Infatti l integrale proposto non è della forma d, ma si presenta invece come [ f ( )] d. Sennonché, quando la base della potenza è una funzione, la formula di riferimento è + [ f( ) ] [ f ( ) ] f '( ) d = + che richiede la presenza, come fattore moltiplicativo, della DERIVATA della funzione che è alla base della potenza ma un tale fattore nel nostro esempio non c è. L esercizio proposto è dunque abbastanza problematico. Lo si può risolvere solo con una certa dose di inventiva: vedi qui sotto. sen d = sen sen d = ( cos ) sen d = ( sen cos sen ) d = cos = sen d os sen d = cos + ( ) ( ) f( ) f '( ) ln (ln ) ln d = ln d c c = + = + f( ) f '( ) + + f '( ) f( ) d = ln + ln d = d = d = f '( ) f( ) cos d = cos cos d = d = sen f '( ) cos f( ) Con semplici passaggi analoghi a quelli dell Esempio 9, è possibile ricavare le seguenti formule di frequente applicazione: senm cos m d = m cos m sen m d = m m m e e d = m

4 Esempio 0 Esempio sen sen e cosd = e f ( ) e f '( ) e d = e d = e ef ( ) f '( ) 9 Verifica: De ( sen sen ) = e cos, OK!!! Esempio Esempio e d STOP!!! E stato dimostrato che questo integrale non può essere espresso in termini di funzioni elementari. La funzione la cui derivata è e esiste (anzi, ne esistono infinite, che differiscono fra loro per una costante), ma non si tratta di una funzione che si possa scrivere combinando fra loro le classiche funzioni algebriche, goniometriche, esponenziali, logaritmiche ecc. f '( ) + f ( ) ( ) d = d = d = arctg + + ( ) + ( ) Esempio d = d = 9 d = Esempio Esempio 6 d = arctg + c 6 + NOTA 8 NOTA d = d = + = ln 9 ln( 9 ) NOTA : la derivata del denominatore è 8 ; cercheremo perciò di far comparire 8 a numeratore, '( ) onde ricondurci alla situazione f d = ln f ( ) f( ) NOTA : possiamo sciogliere le stanghette di valore assoluto perché è + 9 > 0, d = 9 d = 9 d = NOTA = 9 d = 9d 9 d = arctg = = arctg + c NOTA : approfittando di un risultato già acquisito (Esempio ) 9 7 Esempio 7 d = 9 6+ ( ) = d = ( ) d ( ) d c c = ( ) = + = ( ) + f '( ) f( ) Esempio 8 Esempio 9 ( ) d = d ln ln c ln = + Verifica: ln f '( ) D ( ln ln ) = ( ln ),!!! ln D = ln OK f( ) + sen d = cos = cos

5 0 0. ESERCIZI sugli integrali immediati (o quasi) ) e d ) d ( ) ) + e d ) 7 6 d ) + 6) 7) 8) e d + d + d d 9) ( ) 0) ) cos d + d + d ) ( + ) 0 d ) 6 + d ) ( sen ) ) sen cos d cos d 6a) sen d Suggerimento: cos sen = 6b) cos d 7) 8) 9) 0) ) ) d + d + d Suggerimento: + + d d d + = = =

6 ) ln d ) ln d ) cos sen d 6) 7) cos d sen d Suggerimento: 8) 0 d 9) 0) ) ) ) d ( + ) d ( ) + d d d Suggerimento: = 6 = = =... + ( ) RISPOSTE ) ) e +c ) ) + e + e ) 6) ln + 7) ln + 8) 0) ln + +c ) ln c ) e ln 9) + + ) ( + ) ) ( ) cos sen ) sen 6a) sencos 6b) 7) arctg c ln + 9) arctg 0) ) ( ) ) arc sen c + ) ) ln 0) 6) ln ( sen ) ( + ) + 7) ) ( ) arctg 8) ( ) ) ln ) + + c sen sencos + sen sen 0 0 9) ln 9 arctg ) ( ) ) arc sen( )

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