Per le leggi orarie di questa traiettoria tutta orizzontale e rettilinea si avrà: 1 1 v 2.50 (4.00)

Transcript

1 apitolo Soluzioni. Scegliendo un riferimento con l ae delle acie lungo la traiettoria rettilinea del carrello, l origine nella poizione in cui la forza inizia ad agire, e facendo partire il tempo in queto teo itante, riulterà Per quanto riguarda i vettori forza ed accelerazione riulta: ( 00,0) ; a ( a, 0) Ricaviamo l accelerazione: a m/ m.50 kg 0 m e m/ 0 v Per le leggi orarie di queta traiettoria tutta orizzontale e rettilinea i avrà: 0 v.50 (.00) t a t t t t t v v 0 a t t Il carrello i ferma quando la velocità è nulla:.50 v.50.00t 0 t Ed in queto intervallo di tempo percorre uno pazio pari a: (0.60 ) [.50(0.60).00(0.60) ] m m Per fermarlo in 0.50 occorre una forza maggiore di 00, e preciamente: v.50 t 0.50 (0.500) Scegliendo un riferimento con l ae delle acie lungo la traiettoria rettilinea del motorino, l origine nella poizione in cui viene pento il motore, e facendo partire il tempo in queto teo itante, riulterà Per quanto riguarda i vettori forza ed accelerazione riulta: 0 m e m/ 0 v

2 ( 0.0, 0 ) ; a ( a, 0) Ricaviamo l accelerazione: a m/ m 00 kg Per le leggi orarie di queta traiettoria tutta orizzontale e rettilinea i avrà: 0 v 5.0 (0.00) t a t t t t t v v 0 a t t Dopo 0.0 avremo: v (0.0 ) ( ) m/.0 m/ ; (0.0 ) [ (0.0) ] m 0 m Il motorino i ferma quando la velocità è nulla: 5.0 v t 0 t Ed in queto tempo ha percoro: (75.0 ) [ (75.0) ] m 56 m Per fermarlo in 0.0 occorre una forza maggiore di 0.0, e preciamente: v 5.0 t (0.0) 0 ( ) La ituazione propota è inveroimile, dato che per decelerare il capitano fermandolo in una frazione di econdo occorre eercitare u di lui eattamente la tea forza che eerciterebbe il terreno. Inoltre il ignor Spock ubirebbe un danno ancora maggiore, dato che per uperare in dicea Kirk deve accelerare più di lui e quindi per rallentare é teo nella tea frazione di econdo dovrebbe ubire una forza enorme da parte ella edia razzo con tutti i danni fiici che ne eguirebbero. ome appiamo la velocità con la quale i giunge a terra da un altezza h vale: v gh m/. m/ Ipotizzando che l arreto del capitano avvenga in un intervallo temporale t 0.50, occorre una accelerazione media: v v v fin in 0 (.) a m/ 89 m/ t t 0.50 Ed aumendo che la maa del capitano Kirk ia 80 kg pertanto il ignor Spock deve eercitare una forza media: ma (8089) 7. 0 Si tratta di una forza enorme, coniderando che una maa di un olo chilogrammo è attratta dalla Terra con una forza di 9.8, queta forza corriponde all attrazione che la Terra eercita u di una maa di 7 kg. 5. alcoliamo l accelerazione imprea dai reattori in un riferimento avente l ae delle acie orientato come lo potamento dell aereo:

3 a m/ m/ m Dalla formula di cinematica v v a i ricava la lunghezza necearia a portare l aereo alla velocità di decollo: 000 v (50 km/h ) m/ 69. m/ m.800 m Introducendo un itema di riferimento con l ae delle acie nella direzione lungo cui i muove la caa, come in figura, riulta: e : ma Entrambe le componenti ono in queto cao poitive dato che puntano nella direzione celta per l ae: co co ma e : ma Lungo l ae delle ordinate i ha 0 ed 0, ed inoltre a riulta nulla in in 0 Riolviamo queta equazione ripetto a : in in in in 0.0 che, inerita nella precedente, permette di ricavare a : co co 50 co 5.0 co 0.0 a m/ 9.0 m/ m Scegliendo un riferimento con l ae delle acie orientato poitivo vero detra, lungo di eo abbiamo: Ma co co Ma co co M a.800 co co 0.0 kg.0 kg Scegliendo un riferimento con l ae delle acie orientato poitivo vero detra, lungo di eo abbiamo: ma co 5.0 ma co a m/ 0.8 m/ m.500 v v v a 0 m 57. m 0 a ( 0.8) v 0

4 alcoliamo l accelerazione capace di fermare il vagone in 0.0 m : mg 5 v v v a 0 a m/ 0.65 m/ bbiamo allora: ma co 5.0 [.50 0 ( 0.65)] [.000 co (0.65)] 6.00 La normale eercitata dalle rotaie deve in ambo i cai equilibrare olo la componente di ortogonale alle rotaie: 0 in In un riferimento diegniamo lo chema del corpo libero per il blocco ed indichiamo le forze con ( ; 0), ( ; ), W (0; mg ). Si ha: e : ma 0 0 co 5 0 co 5 (.5 0.9). quindi: (.; 0) e : ma mg 0 in 5 mg m kg 0. kg Orientiamo vero detra un ae delle acie parallelo alle rotaie. Riulta: Ma co co Ma a.00 0 co co 0.0 m/ m/ Orientiamo vero il bordo in alto del foglio un ae delle ordinate. Riulta: Ma in in 0 (.000 in in 0.0 ) Quindi (0 ; ). Orientiamo vero detra un ae delle acie parallelo alle rotaie. Riulta: Ma co co Ma W W W 0 a.00 0 co co 0.0 m/ m/ Orientiamo vero il bordo in alto del foglio un ae delle ordinate. Riulta: Ma in in 0 (.000 in in 0.0 ) Quindi la normale delle rotaie ul treno è orientata vero il bordo inferiore del foglio. 5. iato un riferimento con l ae delle acie parallelo al piano ed orientato in bao ed un ae delle ordinate perpendicolare ad eo ed ucente dal piano, ul blocchetto agicono la forza peo e la normale eercitata dal piano. Si ha:

5 W W mg in 0.0 ( ) 96 mg co 0.0 ( ) 0 ma W ma m g in 0.0 ma a.9m/ ma W 0 mg co ( co 0.0 ) 0 Per la velocità in fondo al piano uiamo la formula v v a, oervando che v m/ e che in 0.0 h : h 0.0 v v a v a.9 m/ 9.8 m/. 0 in Per come è celto il riferimento i ha ( ; 0) e : e : ed (0; ) ; inoltre: mg in ma mg in ma. 0 mg co.0 ma 0 mg co Se il carrello avanza a velocità cotante ignifica che lungo il piano la ua accelerazione è nulla. iando un ae delle acie in queta direzione come in figura, i dovrà avere nulla la omma delle forze lungo : e : ma 0 W 0 mg in 5.0 co5.0 0 co m kg 8.0 kg g in L accelerazione di m è maggiore di prima, perché la forza eercitata non deve più accelerare anche la maa m. alcoliamo il peo di m : W m g 7.00 kg 9.8m/ 68.7 La puleggia tramette emplicemente queta forza alla maa. Si ha quindi lungo l ae orizzontale: 68.7 W m a a.9 m/.00 kg. d ogni corda compete un proprio valore di tenione. he non poa eere lo teo lo i vede immediatamente oervando lo chema del corpo libero in un opportuno riferimento. Se i avee T T la maa non potrebbe ac- celerare. Oggetto ae : T m g m a mg W 5 W 5 5 W T W mg T T T m g 5

6 Oggetto ae : T T m a Oggetto ae : T m g m a Oervando che e poniamo a itema: che, riolto fornice: a riulta a T m g m a T T m a T m g m a a e a a, i giunge al m m a m m m g m ( m m ) T g m m m T m ( m m ) g m m m m g co 5 5 W m g T 5 T m g in 5 W W T T m g W. In queto eercizio occorre introdurre due riferimenti ditinti, uno per il corpo, con l ae delle ordinate perpendicolare al piano, ed un altro per il corpo, con l ae delle ordinate in direzione verticale, come in figura. Riulta: Oggetto ae : T m g in m a Oggetto ae : m g co m a 0 m g co Oggetto ae : T mg ma hiamiamo a. Per le proprietà opra epote della fune e della corda, riulta che a a a, dato che e la velocità di viene incrementata vero detra della quantità a ogni econdo, contemporaneamente la velocità di è incrementata della tea quantità a però in bao, cioè contrariamente al vero celto come poitivo nel riferimento di. Poiamo impotare il itema di due equazioni nelle due incognite T ed a : T mg in ma mg ma ma mg in T mg m a m m in in 5 a g m/ m/ m m m m in mm ( in ) T mg ma mg m g g 90. m m m m ome i vede il egno dell accelerazione è determinato dalla quantità m m in : quando è poitiva il itema i muove vero detra, con la maa che cende, quando è negativa vero initra con che ale.. Per il corpo, orientando vero detra un ae delle acie parallelo al piano di civolamento orizzontale ed uno delle ordinate in verticale: T m a 0 T m a W m a 0 W ( m g)

7 Per il corpo, con la celta di orientare un ae delle acie lungo il piano di civolamento ed un ae delle ordinate ad eo perpendicolare riulta: T W m a T m g in m a W 0 ( m g co ) ( co.0 ) Oervando che le due mae, eendo legate, hanno la tea accelerazione lungo gli ai delle acie, poiamo porre a a a e riolvere il itema: m m in T g T m a T m a m m T m g in m a m a m g in m a m in a g m m Da cui i ricava: a m/.77 m/.0.0 T m a (.0.77) 57.. Per il corpo, orientando vero detra un ae delle acie parallelo al piano di civolamento orizzontale: T W m a T m g in m a Per il corpo, con la celta di orientare in alto un ae delle ordinate verticale riulta: T W m a T m g m a Oervando che le due mae legate hanno la tea accelerazione (in egno ed intenità) lungo queti ai, poiamo porre a a a e riolvere il itema: T m g in m a T m a m g in T m g m a m a m g in m g m a Da cui i ricava: m m in a g 9.8 m/ 6.0 m/ m m Scriviamo la legge oraria di lungo il piano di civolamento, ponendo l origine nella poizione di arrivo in fondo al piano: ( t ) v 0 t a t t Imponendo che la poizione di arrivo ia il fondo del piano, cioè ( t ) 0 : * t 0 t Tracciando lo chema del corpo libero per il ciondolo i vede che u di eo agicono la forza di gravità e la tenione del filo, come in figura. Il ciondolo, come tutto il reto del carrello ha una accelerazione orizzontale a ( a; 0). Poiamo riolvere il problema in due modi: per componenti e vettorialmente. Per componenti i ha lungo i due ai: ae : T in ma ae : T co mg 0 T T W mg a T T 0.0 ma W mg W W 7

8 Dalla econda i ha T mg co che inerito nelle econda produce: m g in ma co in a tan tan a co g g Uando il econdo principio in forma vettoriale riulta: T mg ma fruttando il fatto che l accelerazione è tutta orizzontale, e quindi è orizzontale pure il vettore ma, il metodo di punta-coda fornice un triangolo rettangolo di ipotenua T e cateti ma, mg. Il rapporto fra il cateto oppoto ad e quello adiacente dà la tangente dell angolo: ma a tan tan a tan mg g g Tracciando lo chema di corpo libero per ciacuna delle M, in verticale i ha : T Mg 0 T Mg ( ) 9.6 T mentre per m, empre in verticale: T in0 T in0 mg 0 m 0.7 kg g otare che, eendo la corda quai orizzontale, la ua tenione di 9.6 è molto maggiore del peo mg.0 che otiene. Per analogo motivo deve eere molto tea la corda degli equilibriti del circo. 7. Lungo le direzioni di civolamento, che chiameremo per entrambi, i ha: locco : m g co 5 T m a locco : m g co 60 T m a T W 60 5 W In bae ai veri celti, è poi chiaro che e poniamo pure a a. Si giunge coì al itema: m g co 5 T m a T m a m g co 5 m g co 60 T m a T m g co 60 m a da cui: m a m g co 5 m g co 60 m a che riolta produce: m co 60 m co 5 a g 0.68 m/ m m 8. Per m, nella direzione verticale riulta: a a allora dovrà eere mg T in 0 mg 0 T.7 in0 Valore che nel primo cao coincide con quello letto ul dinamometro, che miura proprio la tenione dell unica corda preente. 8

9 9. La tenione vale T.7 come nel precedente eercizio, ma dato che la corda tira per due volte ul dinamometro, il valore che i legge è il doppio, cioè.. 0. Indichiamo con T le tenioni delle corde inclinate, uguali per la immetria della dipoizione, con T le tenioni delle corde verticali uguali anch ee per immetria, e con T la tenione della corda orizzontale. Per l equilibrio dell anello di initra i ha: T 0 co 5 0 T T T T T 0 T in 5 T 0 Dall equilibrio di una delle due mae i ha T mg che otituita fornice: mg mg co 5 mg T T T co 5 0 in 5 in 5 tan T 5 T T. onideriamo i due vagoni come un unico oggetto. Lungo l ae orizzontale u di ei agice la ola forza dovuta alla locomotiva e i ha: Ma ( ) llora è (7.50, 0) e di coneguenza la forza reitente eercitata dai vagoni ulla locomotiva vale ( 7.50, 0). La forza che il vagone eercita ul vagone deve avere intenità tale da produrre l accelerazione a m/ : Ma ( ) llora è (8.8 0, 0) e di coneguenza la forza reitente eercitata dal terzo vagone ul econdo ( 8.80, 0). Sul vagone lungo le acie agicono ed. La riultante è: R evidentemente poitiva dato che accelera vero detra: R (8.7 0, 0) 8.7 E come i verifica facilmente a m/ m/. 5.0 T. iando un ae delle ordinate verticale orientato in alto poiamo calcolare la tenione coniderando il cetino ed il pacco come un unico oggetto ed oervando che l accelerazione è nulla: T W ( m m ) a 0 T ( m m ) g 0 T (.50.0) 9.8 hiamando la forza normale che il cetino () eercita ul pacco () crivia- W mo ora la econda legge della dinamica per il pacco, notando che la fune non eercita alcuna forza u di eo dato che non lo tocca: 9

10 W 0 m g 0 (.0 9.8) 8 In accordo con la terza legge della dinamica, la forza che il pacco eercita ul fondo del cetino arà (0, 8 ) m 5 T T 60 T T R m 5. ome prima, coniderato prima il tutto un unico oggetto: T W ( m m ) a T ( m m ) g ( m m ) a nel primo cao abbiamo a.0 m/ : T ( m m )( a g) (.50.0)(.0 9.8) 9 Poi applicando la econda legge al olo pacco: W m a m g m a.0 (9.8.0) In accordo con la terza legge della dinamica, la forza che il pacco eercita ul fondo del cetino arà (0, ). el econdo cao abbiamo a.0 m/ : T ( m m )( a g) (.0.50)(.0 9.8) Poi applicando la econda legge al olo pacco: W m a m g m a.0 (9.8.0) 0 In accordo con la terza legge della dinamica, la forza che il pacco eercita ul fondo del cetino arà (0, 0 ). 6. Sulla maa m agice due volte la tenione T mg T mg 0 T.7 Sul gancio agice una volta la tenione della corda quindi (0,.7 ). e egue che il gancio eercita ulla corda una forza (0,.7 ) Sul gancio agice due volte la tenione della corda quindi (0, 9. ). e egue che il gancio eercita ulla corda una forza (0, 9. ) nche ul gancio agice una volta la tenione cioè (0,.7 ). e egue che il gancio eercita ulla corda una forza (0,.7 ). 7. Indicando con la forza normale che la ragazza eercita ull acenore. R Se la bilancia deve egnare 50.0 kg ignifica che la ragazza pinge ulla bilancia con una forza pari al peo di 50.0 kg 9.8 m/ 9 R 50.0 kg vero il bao, cioè: quindi per la terza legge, l acenore pinge ulla ragazza con una forza: R 9 R applichiamo quindi il econdo principio alla ragazza: 0

11 W m a m g m a R R R R R R a m g R R R 9 g ( 9.8) m/.67 m/ m m 80.0 R R Per avere la tenione della fune conideriamo il tutto come un unico oggetto: T W ( m m ) a T ( m m ) g ( m m ) a R R bbiamo trovato a.67 m/ : T ( m m )( a g) ( )( ).0 0 R 8. Il cuneo eercita ul blocco la forza normale. Dalla terza legge egue che il blocco eercita ul cuneo la forza, che è reponabile dell civolamento all indietro del cuneo. ome già fatto in altri eercizi, cegliendo un a- e delle ordinate perpendicolare al piano del cuneo, e tracciato lo chema di corpo libero del blocco, i calcola agevolmente : co 0 co mg mg Eendo ( mg co, 0) i ha: mg co. Tracciamo ora lo chema di corpo libero del cuneo in un riferimento con ai orizzontale e verticale. In verticale agicono la gravità, la forza normale del P pavimento e la componente di, che i equilibrano. ella direzione orizzontale per avere l equilibrio i ha: in 0 in D D mg co in co 0.0 in da cui: D (.7, 0). D 9. Su ciacuna delle mae agice la tenione della corda ed il peo. pplicandoli econdo principio lungo l ae i ottiene: T m g 0 T m g 9.6 T m g 0 T m g 68.7 La forza riultante R che le corde eercitano ul gancio i trova ommando le proiezioni delle due tenioni lungo gli ai: e : R 9.6 in in e : R 9.6 co co 60 8 Per la terza legge il gancio eercita ulle corde una forza uguale e contraria ad R : R ( 5.6, 8 ) 0. Per calcolare la forza (, 0) necearia alla frenata per avere l accelerazione a (.50, 0), coniderando il itema un unico oggetto: ( m m ) a ( )(.50).0 0

12 Poiamo ora ricavare la forza frenante eercitata ul carrello da parte dell auto: m a ( )(.50) ( 75, 0) da cui per la terza legge egue (75, 0). P. Ponendo che i due iano inizialmente fermi le leggi orarie del moto uniformemente accelerato producono: m ( t ) at t m ( t ) at t Imponendo d / ed d / i trovano i due tempi: dm m ( t d ) t t 6. dm m ( t d ) t t 5.00 t t ( ). in M g D. Quando il blocco è ul punto di civolare, la forza di attrito tatico ha raggiunto il uo valore maimo però l accelerazione è ancora zero, eendo fermo. el conueto riferimento con l ae delle acie parallelo al piano, i ha f ( f, 0), (0; ), e, qualunque ia l angolo, l equilibrio chiede: ae : f W 0 f mg in 0 f mg in ae : W 0 mg co 0 mg co Dice il teto che e 5.0 iamo nelle condizioni di maimo attrito tatico, quindi: f,ma mg in 5.0 f,ma mg co In condizioni di attrito maimo deve eere f,ma, da cui: f,ma Per il calcolo della forza di attrito tatico per 0.0 uiamo l equazione precedente: f mg in f 0 5. Il bagaglio i muove anch eo di moto uniformemente accelerato, con a.50 m/ : per produrre una tale accelerazione occorre una forza orizzontale: ma ( ) 5 La ola forza che agice u di eo in orizzontale è l attrito tatico con il tetto dell auto, f. alcoliamo il uo valore maimo: il bagaglio non civola e queto è uperiore al valore trovato di 5.

13 0 ( ) 9 9 mg mg f (0.0 9) 08,ma quindi il bagaglio civola all indietro, o meglio la macchina gli civola otto andando avanti. 6. ffinché le ruote non littino, la forza richieta per far accelerare l auto non deve uperare il valore della maima forza di attrito tatico, Lungo la direzione verticale i ha: mg 0 mg da cui: f mg,ma lungo la direzione orizzontale: f ma m g ma ma, f.,ma a 5.00 m/ 0.50 g 9.8m/ quindi le gomme non littano e Il blocco i mette in moto quando la componente orizzontale di è maggiore della maima forza di attrito tatico. Lungo l ae abbiamo: W 0 mg in 0 mg in ( in 5.0 ) 8.0 Il maimo attrito tatico è: f ( ) 8.75 ma la componente orizzontale di : co (5.0 co 5.0).6 e poiché riulta f il blocco i mette in moto. ma f W 5.0 ma 8. nche in queto cao il blocco i mette in moto quando la componente orizzontale di è maggiore della maima forza di attrito tatico. Solo che ora il valore dell attrito tatico è aumentato vito che l intenità della normale riulta più grande di prima, dovendo equilibrare ia il peo che la componente verticale di. Lungo l ae abbiamo: W 0 mg in 0 mg in ( in 5.0 ) 0.7 Il maimo attrito tatico è: f ( ). ma la componente orizzontale di : co (5.0 co 5.0).6 Riulta che f ma non poiamo concludere che il blocco non i muove in quanto non appiamo e ci i trova nella ituazione di maimo attrito tatico. f W 5.0

14 9. La latra i ferma dal momento in cui la forza di attrito tatico maima upera quella con cui ea viene tirata: 0.0 Detto n il numero di blocchi, dall equilibrio in direzione verticale riulta: W 0 ( m nm ) g 0 ( m nm ) g che inerita nella precedente produce: ( m ) 0.0 nm g 0.0 m n 8.6 m g m Occorrono quindi almeno 9 blocchetti. 5. alcoliamo la velocità maima imponendo che la forza eercitata dal natro ia il maimo attrito tatico poibile: v 0 ma ma m m g v gt m/ ma t f k W f k W 5. alcoliamo l attrito dinamico ricavando dapprima la forza normale. Lungo l ae perpendicolare al piano di civolamento i ha: W 0 mg in mg in 0.0 Lungo l ae parallelo al piano di civolamento quindi riulta: f W ma f mg co 0.0 ma k k k m g in 0.0 m g co 0.0 m a Per trovare il valore dell accelerazione a fruttiamo l informazione che a percorrere i 0.0 m della lunghezza della rampa impiega.50. Dalla legge oraria lungo il piano di civolamento, aumendo che il blocco parta fermo e cegliendo l origine nel punto da cui inizia a civolare coì che 0, i ha: 0 ( t) 0 v t 0 a t a t (.50 ) 0.0 m 0.0 m a (.50 ) a.6 m/ E otituendo nell equazione precedente i trova: in 0.0 co m/ k g g k g co m/ ( ) m/ 0.9 g in 0.0 ( ) m/ f k W 5. oniderando dapprima il itema dei due blocchi come un unico oggetto di maa m m, calcoliamone l accelerazione. Lungo la direzione di civolamento agicono le componenti dei due pei e dei due attriti: W W f f ( m m ) a k k m g in m g in ( ) m m a Lungo la direzione perpendicolare al piano riulta:

15 0 co 0 co W m g m g W 0 m g co 0 m g co da cui i ricavano le forze di attrito: f mg co k Sotituendo nell equazione per la direzione orizzontale: f m g co k m g in 0.0 m g in 0.0 co 0.0 co 0.0 ( ) m g m g m m a a m in 0.0 co 0.0 m in 0.0 co 0.0 m m g.5 m/ deo tudiamo lo chema del corpo libero del blocco, ed imponendo che la ua accelerazione lungo ia a.5 m/ i trova : f W m a k m g co m g in m a co in.5 m g g a quindi (.5 ;0), e dalla terza legge è pure (.5 ;0). 6. La direzione del riultante i trova con la tecnica del parallelogramma: lungo una retta parallela a quella roa tratteggiata. Per individuare il punto di applicazione di R, dopo aver tracciato le rette di azione delle forze i riconoce che il itema ha momento nullo ripetto al punto in cui le due rette i incontrano. Pertanto il riultante potrà eere applicato in uno qualiai dei punti in cui la retta roa tratteggiata incontra la lamina, ad eempio P P R 66. Il momento di ripetto a è b (.0 0.0) m 0 m (antiorario). Per ottenere lo teo valore con una coppia di forze orizzontali applicate in vero detra ed in vero initra deve eere:.0 m 0 m, da cui: m 0.0 m (5 ) (5 ) 67. La forza riultante ha un ponente verticale di vero l alto ed un componente orizzontale di vero detra. Pertanto la ua intenità è lunga quanto la diagonale di un quadrato di lato cioè. Il momento riultante ripetto a (ripetto a cui entrambe le forze da hanno momento nullo), è: 6 m 8 m (negativo perché orario). 6 m Per equilibrare la barretta dovrei applicare u di ea una forza oppota alla riultante, cioè (,) che in più eerciti un momento 8 m (antiorario). Poiché il componente orizzontale ha momento nullo ripetto a, dovrei allora applicare un il componente verticale da vero il bao in un punto 6 metri a initra di, coa impoibile perché il punto cadrebbe fuori dal egmento. 5

16 68. on è poibile perché le due forze hanno momento nullo ripetto al punto e quindi dovrà eere nullo anche il momento delle terza forza ripetto ad. iò implica che la ua retta d azione debba paare per. Eendo poi le due forze uguali, la retta d azione è la biettrice dell angolo e quindi la terza forza arà applicata in uno dei punti in cui la biettrice incontra il triangolo (ad eempio quello indicato. 69. el primo cao la retta di azione di deve eere parallela alla diagonale del parallelogramma di ed. Inoltre, dato che ed hanno momento nullo ripetto al punto, deve paare per. L unico punto che appartiene al trapezio e che ta ulla retta di azione individuata è proprio. el econdo cao vi ono infiniti punti ul trapezio che appartengono alla retta di azione di e quindi il punto di applicazione è indeterminato G m m m m5 m m.0 m W G W T 7. pplicando direttamente la definizione abbiamo: G m m m m m m m m m m m. m G m m m m m m m m m m m.9 m Diegniamo lo chema del corpo libero del itema cotituito dalla caa e della tavola, coniderando che la gravità è applicata nel centro geometrico della caa, e nel centro geometrico della tavola, vito che i tratta di oggetti dotati di ai di immetria. Le equazioni dell equilibrio i crivono: W W 0 T 0 W W T Tutte le forze ono verticali quindi la prima equazione ha olo le componenti lungo l ae : m g m g 0 T Per la econda equazione, dato che è indifferente l ae ripetto a cui i ceglie di calcolare i momenti, prendiamo quello che buca il piano del foglio paando per. In queto modo infatti i calcoli ono facilitati perché il momento di, incognita, riulta nullo dato che la ua retta di azione paa per l ae. oniderato che i pei della caa e della tavola tendono a far ruotare il itema in vero orario attorno all ae per (e quindi hanno momenti negativi) e che W inoltre il braccio di T miura la metà della lunghezza totale della tavola tea, i ha: braccio di nullo: momento nullo 6

17 W. m braccio di pari a, provoca rotazione oraria: momento negativo W.7 m braccio di T pari a, provoca rotazione oraria: momento negativo. m braccio di pari a, provoca rotazione antioraria: momento poitivo da cui otituendo: 0. m g.7 m g. 0 T Dall equazione dei momenti i ricava agevolmente:.7 m g. m g T ( ) ed inerendo il riultato nell equazione delle forze: m g m g ( ) T E utile riolvere nuovamente il problema cegliendo un differente ae per i momenti, ad eempio paante il punto oppure per il baricentro della tavola. 75. pplichiamo le equazioni dell equilibrio dei corpi. Per le forze, tutte verticali: W 0 mg 0 Per i momenti, calcolati ripetto ad un ae orizzontale che paa per la ruota: 0 0 mg L co L co 0 W 5 Riolvendo: L co mg L co (609.8 ) mg ( ) Tracciamo lo chema del corpo libero. Dobbiamo upporre che la forza eercitata dal muro abbia una componente tangenziale per equilibrare il peo del quadro, ed una componente perpendicolare al muro, per equilibrare la tenione del tirante. Si hanno le eguenti equazioni per l equilibrio delle forze: 0 T 0 T 0 T 0 W 0 m g 0 m g Q Q Per l equilibrio dei momenti conviene cegliere un ae paante per la cerniera, in modo da avere nulli i momenti delle due forze ed, dato che le rette d azione paano per : 0 0 W T oniderato che W tende a far ruotare in vero orario attorno all ae per e quindi ha momento negativo e braccio vero antiorario con braccio L L, mentre T tende a far ruotare in, e quindi ha momento poitivo, i ha: 5 Lco L Lco W L T W Q 7

18 L T W W Q L L m g T 0 T m g Q Q Quindi la corda non i rompe eendo T 500. Si ha poi: T 96, m g Q Dopo l aggiunta del bambino che i lacia penzolare dal punto più alto, al itema bambino e tabellone viene ora applicata anche la forza peo del bambino W. Lungo le acie l equazione di equilibrio delle fore non cambia, mentre lungo le ordinate i ha: 0 m g m g ( ) Q Per l equilibrio dei momenti empre attorno ad un ae perpendicolare al foglio e paante per : L L m g T m g L 0 Q T m g ( ) Q Pertanto il tirante non i rompe nemmeno in queto cao. W b D W h 77. Per l equilibrio i deve avere lungo l ae delle acie: 0 e lungo le ordinate: mg 0 mg Per il calcolo dei momenti conviene cegliere un ae paante per il centro della fera in bao, ripetto al quale ono nulli W, le cui forze han- no rette di azione paanti per eo. Riulta: W W 0,, ha momento negativo dato che tende a far ruotare in vero orario attorno a, ed il uo braccio vale: b L R ha momento poitivo dato che tende a far ruotare in vero antiorario attor- no a, ed il uo braccio, coniderato che D R, vale: h ( R) b R ( L LR R ) LR L L f L W Si ottiene allora: LR L mg( L R) 0 mg( L R) LR L 78. Per l equilibrio i deve avere lungo l ae verticale: mg 0 mg ( ) 9 e lungo l ae orizzontale: 8

19 f 0 f alcolando i momenti ripetto ad un ae perpendicolare al piano del foglio in riulta: L mg L 0 mg ( ) 7 f 79. Diegniamo lo chema del corpo libero oervando che la forza eercitata dal vincolo nel punto deve avere ia una componente orizzontale ia una verticale per equilibrare quelle verticali del peo e del tirante e quella orizzon- tale del tirante. Ignorando dapprima l uomo, per il calcolo dei momenti conviene un ae perpendicolare al piano del foglio nel punto, in modo da avere nulli quelli delle due forze incognite e : T G 8.0 T m gg 0.80 T T W U W Lungo l ae verticale i ha: m g T e lungo l ae orizzontale T La direzione della forza è eprea dall angolo in figura: 6 arctan arctan arctan ggiungendo l uomo ed indicando con la ua ditanza da, (nonché braccio di W ), l equilibrio dei momenti diviene: U T m 0 gg m U g ed imponendo che ia T 700 i trova la maima ditanza ammea: T T m 80. Equilibrio dei momenti ripetto ad un ae perpendicolare al foglio e paante per :.0m g.5m g.6m g.0 T 0 O S T Per l equilibrio lungo l ae verticale: G.0 m.6 m W O W. m W S 9

20 m R R W m T T ( m m m ) g 0 O S T ( m m m ) g T [(80 8) ] 60 O S 8. ll equilibrio la tenione di ciacuna corda è uguale al peo delle mae quindi l uguaglianza dei momenti ripetto ad un ae per il centro della puleggia impone che: R R m gr m gr 0 m m m m.00 kg 7 R R 7 quindi la ruota gira e m.00 kg. W d 8. Equilibrio dei momenti ripetto ad un ae perpendicolare al foglio paante per l etremo di initra della tavola: L md m ml 0 5 d L 5.00 m 6 0