Il sistema di riferimento nello spazio

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1 Il sistema di riferimento nello sazio Obiettivi l l l l l fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello sazio calcolare la misura di un segmento e determinare le coordinate del suo unto medio scrivere l'equazione di un iano, riconoscere iani aralleli e iani erendicolari scrivere l'equazione di una retta, riconoscere rette arallele e rette erendicolari scrivere l'equazione di una sfera, determinare iani tangenti MATEMATICA, REALTAÁ E STORIA La leggenda racconta che l'idea delle coordinate fosse venuta a Cartesio vedendo il movimento di una mosca sul soffitto della sua stanza; egli si sarebbe reso conto che la osizione della mosca oteva essere descritta in funzione della sua distanza dalle areti. Comunque siano andate le cose, sta di fatto che l'introduzione del sistema di coordinate nel iano eá stata la iuá grande rivoluzione matematica della rima metaá del diciassettesimo secolo. Ma le mosche non si muovono solo sui soffitti, volano er tutta la stanza; quindi ercheâ non estendere il sistema di coordinate da due a tre dimensioni? Il concetto eá molto semlice e non eá difficile da alicare, basta assegnare ad un unto tre coordinate anzicheâ due. In questo modo si ossono descrivere rette, iani, sfere, suerfici di varia natura; si uoá verificare che se due rette non hanno unti in comune, non necessariamente debbono essere arallele, mentre due iani non ossono avere un solo unto in comune. Se la cosa a noi oggi sembra cosõá facile, non altrettanto semlice deve essere stato comrendere questa ossibilitaá er le ersone che vivevano nel 1600, secolo in cui nasce la geometria analitica; fu infatti solo nella rima metaá del '700 che due matematici francesi, Alexis Claude Clairaut e Edmond Nicolas Laguerre, ebbero l'idea di utilizzare un sistema di riferimento saziale. Ma anche er noi oggi, che abbiamo ben chiaro che cosa significhi considerare le coordinate di un unto su una retta (una coordinata), nel iano (due coordinate) o nello sazio (tre coordinate), non eá cosõá immediato stabilire quale sia il numero delle dimensioni in cui ci muoviamo. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO 1

2 Ti saraá caitato, camminando in un bosco o in camagna di vedere tante formiche che si muovono tutte in fila, una dietro l'altra; lo fanno ercheâ seguono la scia dei feromoni lasciati delle comagne che le recedono, in modo che nessuna di esse si ossa erdere e non riesca a tornare al formicaio. Da quante dimensioni eá descritto il loro movimento? Se rivolgi la domanda a delle ersone, la maggior arte risonderebbe due ercheâ le formiche ossono andare a destra e sinistra, in avanti e indietro, quindi il loro ercorso sta su un iano; qualcuna risonderebbe tre ercheâ le formiche si muovono anche verso l'alto o il basso ercheâ il terreno non eá detto che sia ianeggiante; forse nessuno o solo qualcuno risonderebbe una. Eure le formiche si muovono in una dimensione ercheâ ossono andare solo avanti o indietro su quella linea; ogni linea, non imorta che forma abbia, a meno che sia frattale, ha una sola dimensione. I fisici e gli ingegneri non arlano di dimensione ma di gradi di libertaá; la formica ha un solo grado di libertaá, quello di muoversi sulla linea tracciata dalle comagne, cosõá come un treno che si muove solo sulla linea descritta dai binari. La mosca di Cartesio che si muove sul soffitto ha due gradi di libertaá e quindi si muove in due dimensioni; quando comincia a volare, il suo sazio di dimensioni ne ha tre. E noi che viviamo sulla Terra, in quante dimensioni ci muoviamo? A questo unto la risosta dovrebbe arrivare in modo naturale due. Dobbiamo considerare la terza dimensione solo se rendiamo un aereo e lasciamo la suerficie del nostro ianeta. Sulla bidimensionalitaá della suerficie terrestre si costruisce anche il sistema di riferimento che si basa sui meridiani e aralleli er la localizzazione di un unto. Tra gli altri sistemi bidimensionali relativi alla suerficie terrestre ne ricordiamo uno recente, quello di Buckminster Fuller (195-19), eclettico architetto e designer statunitense, che ha immaginato la Terra disegnata sulla suerficie di un icosaedro che viene oi "aerto" su di un iano (figura 1). Figura 1 Ma torniamo al nostro sazio tridimensionale. E se ensassimo a una quarta dimensione? o, andando ancora iuá in laá con l'immaginazione, a una quinta o millesima dimensione? Aristotele aveva negato la ossibilitaá della quarta dimensione saziale e Tolomeo diede una sua dimostrazione della non esistenza di uno sazio a quattro dimensioni dicendo in ratica che se tre rette sono tra loro erendicolari non eá ossibile tracciarne una quarta che sia erendicolare alle IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3 altre tre. John Wallis ( ), matematico inglese di cui abbiamo giaá sentito arlare er il suo contributo al calcolo infinitesimale, ensava alla quarta dimensione come a un mostro della natura alquanto imrobabile ercheâ lunghezza, larghezza e sessore riemiono lo sazio intero. Siamo dunque confinati in uno sazio tridimensionale senza uscita, oure ossiamo ensare a qualcosa di diverso? Se la Fisica deve fare i conti con la realtaá, la Matematica uoá amliare le sue vedute e affermare che, se eá ossibile individuare un unto con una coordinata se sta su una linea, con due coordinate se sta su una suerficie, con tre coordinate se sta nello sazio, ercheâ non deve essere ossibile attribuire a un unto quattro, cinque o anche mille coordinate? Non saraá forse ossibile raresentarlo su un suorto fisico reale, ma la mente non one un limite al numero delle dimensioni. Del resto i frattali hanno dimensioni iuttosto strane, ci sono linee a due dimensioni, sazi a dimensioni frazionarie. Oggi in qualsiasi ramo della scienza si lavora con sazi luridimensionali; il motore di ricerca di Google ne eá un esemio. L'ordine con cui vengono elencate le agine web si basa su un algoritmo che utilizza uno sazio di dimensione uguale al numero di agine disonibili in Internet; una stima di questo numero si aggira intorno a 00 mila milioni, non male er uno sazio multidimensionale! Il roblema da risolvere Nello sazio due rette che non si intersecano sono arallele se aartengono allo stesso iano, altrimenti sono sghembe. La distanza tra due rette arallele eá semlice da calcolare basta rendere un unto su una di esse e calcolare la sua distanza dall'altra retta. Se due rette sono sghembe la distanza tra due unti, uno su una retta e uno sull'altra diende da come vengono scelti i unti. Trova una rocedura che consenta di calcolare la minima distanza tra due rette sghembe. 1. ORIENTARSI IN TRE DIMENSIONI 1.1 Il sistema di riferimento Analogamente a quanto abbiamo fatto nel iano, ossiamo introdurre nello sazio un sistema di riferimento cartesiano che ci ermetta di risolvere er via algebrica alcuni roblemi di tio geometrico. Indicato con O un unto dello sazio, consideriamo tre rette er O, non comlanari e a due a due ortogonali, che indicheremo con x, y e z. Fissato su ognuna di tali rette un verso ed un'unitaá di misura, si viene ad individuare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di cui O eá l'origine e le rette x, y, z sono gli assi coordinati. Se l'unitaá di misura scelta eá la stessa er tutti gli assi, il sistema di riferimento si dice monometrico. Gli assi ossono essere orientati Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. 4 Figura a. l come in figura a in modo che, er sovraorsi all'asse y, l'asse x deve comiere una rotazione antioraria; si arla in questo caso di sistema destrorso l oure come in figura b in modo che, er sovraorsi all'asse y, l'asse x deve comiere una rotazione oraria; si arla in questo caso di sistema sinistrorso. b. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO

4 Nella nostra trattazione, salvo diversa secificazione, ci serviremo di un sistema monometrico destrorso. Poiche saiamo che una coia di rette incidenti individua un iano, i tre assi coordinati, a coie, individuano tre iani che rendono il nome di iano coordinato xy quello individuato dalle rette x e y, iano coordinato xz quello individuato dalle rette x e z, iano coordinato yz quello individuato dalle rette y e z. Consideriamo ora un unto qualunque P dello sazio ed i tre iani er P aralleli ai iani coordinati (o, che eá lo stesso, erendicolari agli assi coordinati); tali iani intersecano gli assi coordinati x, y, z nei unti P x, P y e P z di ascissa risettivamente a, b, c (figura a). Ad ogni unto dello sazio eá quindi ossibile associare una terna di numeri reali a, b, c che, nell'ordine, raresentano l'ascissa, l'ordinata e la quota del unto P. Viceversa, tre numeri reali a, b, c individuano, nell'ordine, un unto P x sull'asse x, un unto P y sull'asse y ed un unto P z sull'asse z ; i iani assanti er tali unti e erendicolari ciascuno al rorio asse coordinato individuano un unto P dello sazio (figura b). Esiste quindi corrisondenza biunivoca fra i unti P dello sazio e le terne di numeri reali a, b, c che si dicono coordinate del unto P. Per indicare che a, b, c sono le coordinate di P scriveremo, con convenzione analoga a quella adottata nel iano, P a, b, c. Raresentiamo, ad esemio, in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale i unti A 1, 0, 0, B 0,, 0, C 0, 0,, D, 4, 0, E 0,,, F 1,,. Il rimo dei unti dati, avendo l'ordinata e la quota nulle aartiene all'asse delle ascisse, il secondo a quello delle ordinate ed il terzo all'asse z ; i unti D ed E aartengono invece risettivamente al iano xy e al iano yz; il unto F non aartiene invece neâ agli assi neâ ai iani coordinati (figura 4). Figura a. b. Figura 4 Si verifica oi che n Due unti sono simmetrici risetto all'origine O se hanno coordinate ooste; ad esemio A, 1, 5 e A 0, 1, 5. n Due unti sono simmetrici risetto all'asse x, se hanno la stessa ascissa ed ordinate e quote ooste; analogamente, due unti sono simmetrici risetto all'asse y se hanno la stessa ordinata ed ascisse e quote ooste, sono simmetrici risetto all'asse z se hanno la stessa quota ed ascisse e ordinate ooste. Ad esemio i unti A,, 1 e A 0,, 1 sono simmetrici risetto all'asse x, i unti B 4, 1, 5 e B 0 4, 1, 5 sono simmetrici risetto all'asse y, i unti C 1,, e C 0 1,, sono simmetrici risetto all'asse z. n Due unti sono simmetrici risetto al iano coordinato xy se hanno la stessa ascissa e la stessa ordinata ma hanno quote ooste, sono simmetrici risetto al iano coordinato xz se hanno la stessa ascissa e la stessa quota ma hanno ordinate ooste, sono simmetrici risetto al iano coordinato yz se hanno la stessa ordinata e la stessa quota ma hanno ascisse ooste. Ad esemio i unti A 1,, 1 e A 0 1,, 1 sono simmetrici risetto al iano xy, i unti B,, 6 e B 0,, 6 sono simmetrici risetto al iano xz, i unti C 1,, e C 0 1,, sono simmetrici risetto al iano yz. 1. I segmenti nello sazio Consideriamo due unti A x 1, y 1, z 1 e B x, y, z ; vogliamo calcolare la loro distanza, cioeá la misura del segmento AB. LA MISURA DI UN SEGMENTO 4 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5 Cominciamo con l'osservare che, se il segmento AB eá arallelo all'asse x, i suoi estremi hanno ascisse diverse ma ordinate e quote uguali. Proiettando ortogonalmente AB sul iano xy otteniamo un segmento A 0 B 0 che ha la stessa lunghezza di AB ed eá ancora arallelo all'asse x (figura 5); i unti A 0 e B 0 hanno le stesse ascisse e ordinate di A e B, ma quota 0. Saiamo adesso come calcolare la misura del segmento A 0 B 0 ercheâ basta alicare le conoscenze di geometria analitica nel iano; si ha quindi che AB ˆ A 0 B 0 ˆjx x 1 j Figura 5 In modo del tutto analogo, se il segmento AB eá arallelo all'asse y abbiamo che AB ˆjy y 1 j se il segmento AB eá arallelo all'asse z abbiamo che AB ˆjz z 1 j Se AB non eá arallelo ad alcuno degli assi, ossiamo costruire il aralleleiedo rettangolo che ha come facce i rettangoli individuati dai iani assanti er A e er B e che sono aralleli a quelli coordinati (figura 6); le dimensioni di tale aralleleiedo sono segmenti aralleli agli assi coordinati che misurano risettivamente jx x 1 j jy y 1 j jz z 1 j Figura 6 Il segmento AB eá la diagonale di tale aralleleiedo e si ha che AB ˆ q x x 1 y y 1 z z 1 Se uno dei due unti, ad esemio B, eá l'origine O del sistema di riferimento, la formula si semlifica e diventa OA ˆ x y 1 z 1 1 Osserviamo che la formula trovata eá generale, nel senso che comrende anche quelle individuate nei casi in cui il segmento AB eá arallelo ad uno degli assi cartesiani. Infatti, se ad esemio eá y 1 ˆ y e z 1 ˆ z (cioeá il segmento eá arallelo all'asse x), alicando la formula si ha che q AB ˆ x x 1 ˆjx x 1 j ESEMPI 1. Calcoliamo la distanza fra le seguenti coie di unti. a. A 5, 1, e B 4, 1, In questo caso, oicheâ le ordinate e le quote dei due unti sono uguali, il segmento AB eá arallelo all'asse x; ossiamo quindi subito scrivere che AB ˆj5 4j ˆ9 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO 5

6 b. A 4,, 1 e B 1,, 1 Il segmento AB non eá arallelo ad alcuno degli assi coordinati e si ha quindi che q AB ˆ ˆ 0. Sia A 1, 1, e B,, k ; vogliamo determinare il valore di k affincheâ sia AB ˆ 14. Dalla risoluzione del roblema ci asettiamo di trovare due unti simmetrici risetto ad A. Verifichiamo le nostre intuizioni calcoliamo AB e imoniamo che la misura trovata sia uguale a 14 q 1 1 k ˆ 14 Elevando al quadrato e svolgendo i calcoli otteniamo l'equazione equivalente k 4k 5 ˆ 0 da cui k ˆ 5 _ k ˆ 1 Esistono quindi, come revisto, due unti B che soddisfano il roblema B 1,, 5 e B,, 1.. Calcoliamo la distanza del unto P,, 4 dall'asse x. Consideriamo il iano er P erendicolare all'asse x e sia Q il suo unto di intersezione con tale asse; si ha che Q, 0, 0 (figura 7). Poiche il segmento PQ eá erendicolare all'asse x (se una retta eá erendicolare ad un iano in un suo unto eá erendicolare a tutte le rette del iano che assano er quel unto), la misura di PQ eá la distanza cercata e si ha quindi che PQ ˆ 4 ˆ 5 Figura 7 L'ultimo degli esemi svolti ci offre l'occasione er individuare una formula che consente di determinare la distanza di un unto dagli assi coordinati; dato il unto P x 0,y 0,z 0 n la distanza d x di P dall'asse x eá data dalla relazione d x ˆ y z 0 0 n la distanza d y di P dall'asse y eá data dalla relazione d y ˆ x z 0 0 n la distanza d z di P dall'asse z eá data dalla relazione d z ˆ x y 0 0 Figura In ratica la distanza del unto P da ciascun asse eá data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate, esclusa quella che corrisonde all'asse. Dati A x 1, y 1, z 1 e B x, y, z, il unto medio M del segmento AB, er il teorema di Talete, ha la stessa ascissa e la stessa ordinata del unto medio del segmento che si ottiene roiettando AB sul iano xy; M ha oi la stessa quota del unto medio del segmento che si ottiene roiettando AB sul iano xz o yz (figura ). Poiche saiamo come calcolare le coordinate del unto medio di un segmento in un iano, si ha che IL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO x M ˆ x1 x y M ˆ y1 y z M ˆ z1 z 6 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

7 ESEMPI 1. Il unto medio del segmento di estremi A,, 5 e B, 5, 7 ha coordinate x M ˆ ˆ 0 y M ˆ 5 ˆ 4 z M ˆ 5 7 ˆ 1. Dato il triangolo di vertici O 0, 0, 0, A, 0, 4 e B 0, 4, 0, calcoliamo la lunghezza della mediana relativa al lato OB. Indicato con M il unto medio di OB, la mediana eá il segmento AM; calcoliamo allora, rima di tutto, le coordinate di M x M ˆ 0 y M ˆ 0 4 ˆ z M ˆ 0 quindi M 0,,0 Possiamo adesso calcolare la misura di AM AM ˆ 4 ˆ 6.. Dati il unto B 1,, ed un unto M aartenente al iano yz, determiniamo un unto A sull'asse x in modo che M sia il unto medio del segmento AB. Il unto M ha coordinate 0, a, b, il unto A ha coordinate k, 0,0. Affinche siano verificate le condizioni del roblema deve essere k 1 ˆ 0 da cui k ˆ 1 0 ˆ a da cui a ˆ 1 0 ˆ b da cui b ˆ VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Il segmento AB di estremi A 1, 1, e B 1, 1, a. eá arallelo all'asse x b. eá arallelo all'asse y c. eá arallelo all'asse z d. non eá arallelo a nessuno degli assi cartesiani. Considerati i unti A, 1, 1 e B 0,, 1 e l'origine O del sistema di assi cartesiani ortogonali a. il segmento AB misura b. il segmento OA misura c. il segmento OB misura Considerato il segmento di estremi A,, 1 e B, 4, 5 a. le coordinate del suo unto medio M sono 0, 1,,, 0, 1, b. la distanza di M dall'origine eá uguale a 5 10 c. la distanza di M dall'asse y eá uguale a RICHIAMI E COMPLEMENTI.1 I vettori nello sazio Nello studio della geometria analitica nello sazio si ricorre sovente all'uso dei vettori; estendiamo allora allo sazio cioá che giaá conosciamo sui vettori nel iano ed integriamo le nostre conoscenze limitandoci alle arti di questo argomento che ci saranno utili nel seguito. Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. 47 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO 7

8 Un vettore eá un segmento orientato dello sazio; tutti i vettori che hanno la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo si dicono equiollenti. In articolare un vettore di modulo unitario si chiama versore. Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali nello sazio, ogni vettore ~v uoá essere scomosto nelle sue comonenti vettoriali lungo gli assi cartesiani costruendo il aralleleiedo che lo ha come diagonale (figura 9a); indicate con ~v x, ~v y, ~v z tali comonenti, si ha quindi che LE COMPONENTI LUNGO GLI ASSI Figura 9 ~v ˆ ~v x ~v y ~v z Ad ognuno degli assi cartesiani ossiamo oi associare un vettore di modulo unitario (versore) che ha la stessa direzione e verso del rorio asse all'asse x associamo il versore ~ i, all'asse y il versore ~ j, all'asse z il versore ~ k. I tre versori cosõáintrodotti ~ i, ~ j e ~ k sono detti versori fondamentali dello sazio (figura 9b). Con questa considerazione, i vettori ~v x, ~v y, ~v z ossono a loro volta essere visti come rodotto del loro modulo v x, v y, v z er i versori fondamentali ~ i, ~ j, ~ k; ossiamo cioeá scrivere che ~v ˆ v x ~ i vy ~ j vz ~ k a. Un vettore ~v si uoá quindi anche indicare con la scrittura ~v v x,v y,v z che mette in evidenza le sue comonenti cartesiane. In articolare, i versori fondamentali hanno comonenti cartesiane ~ i 1,0,0 ~ j 0,1,0 k ~ 0,0,1 Se il vettore ha er estremi i unti Ax 1,y 1,z 1 e Bx,y,z, allora Per esemio v x ˆ x x 1 v y ˆ y y 1 v z ˆ z z 1 l il vettore ~v che ha er estremi l'origine O ed il unto A 1,, 4 ha come comonenti cartesiane i numeri v x ˆ 1,v y ˆ,v z ˆ 4 e si uoá scrivere ~v ˆ ~i ~ j 4 k ~ oure ~v 1,, 4 b. l ƒ! il vettore ~s ˆ AB che ha er estremi i unti A 4,,1 e B 1, 1, ha come comonenti i numeri v x ˆ 1 4 ˆ, v y ˆ 1 ˆ, v z ˆ 1 ˆ 1 e si uoá scrivere ~s ˆ ~ i ~ j k ~ oure ~s,,1 Il modulo del vettore ~v v x,v y,v z eá la diagonale del aralleleiedo che ha v x, v y e v z come sigoli, ed eá quindi q v ˆ vx v y v z IL MODULO Per esemio q l il vettore ~v,, 4 ha modulo v ˆ 4 ˆ 9 l ƒ! il vettore AB che ha er estremi i unti A, 1,5 e B 1,1,0 ha modulo q v ˆ ˆ 0. IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

9 I vettori dello sazio hanno caratteristiche analoghe a quelle dei vettori del iano. Per esemio, ossiamo dire che n il rodotto di un vettore ~v v x, v y, v z er uno scalare k eá il vettore che si ottiene moltilicando er k le sue comonenti k ~v ˆ kv x, kv y, kv z LE OPERAZIONI n la somma o la differenza di due vettori ~v v x, v y, v z e ~s s x, s y, s z eá il vettore che si ottiene sommando o sottraendo le risettive comonenti ~v ~s ˆ v x s x, v y s y, v z s z Per esemio, dati i vettori ~v, 4, e ~w 4, 0, 1 si ha che l 4~v ˆ 1, 16, l ~v ~w ˆ 4, 4 0, 1 ˆ 7, 4, 1 l ~v ~w ˆ, 4 0, ˆ 5, 4, 4. Ricordiamo oi la definizione di rodotto scalare. Si dice rodotto scalare fra due vettori ~v e ~s, e si indica con il simbolo ~v ~s, il rodotto dei loro moduli er il coseno dell'angolo convesso # fra essi comreso (0 # ) ~v ~s ˆ vscos # Il rodotto scalare di due vettori eá dunque uno scalare, cioeá un numero reale. Se i due vettori sono dati mediante le loro comonenti cartesiane, il rodotto scalare eá uguale alla somma dei rodotti delle comonenti dei due vettori ~v ~s ˆ v x s x v y s y v z s z Per esemio, il rodotto scalare dei vettori ~v, 4, e ~s 4, 0, 1 eá ~v ~s ˆ ˆ 10 Dalla definizione seguono oi immediatamente le seguenti rorietaá. n Se due vettori sono aralleli il loro rodotto scalare eá uguale, in valore assoluto, al rodotto dei loro moduli. Infatti, se sono aralleli e concordi, si ha che # ˆ 0 e quindi ~v ~s ˆ vs cos 0 ˆ vs; se sono aralleli e discordi si ha che # ˆ e quindi ~v ~s ˆ vs cos ˆ vs. Viceversa, se ~v ~s ˆ jvsj, allora deve essere cos # ˆ1, cioeá # ˆ 0 oure # ˆ e questo significa che i due vettori sono aralleli. Dal unto di vista cartesiano si dimostra che due vettori sono aralleli se e solo se hanno le comonenti roorzionali. Per esemio l i vettori ~v,4, 1 e ~s 6,1, sono aralleli ercheâ il raorto fra le loro comonenti eá ; essendo oi il raorto un numero ositivo, i due vettori sono anche equiversi; l i vettori ~a 1,, e b ~,6, 4 sono aralleli ercheâ il raorto fra le Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO 9

10 loro comonenti eá ; essendo oi il raorto un numero negativo, i due vettori sono di verso oosto. n Se due vettori sono erendicolari il loro rodotto scalare eá nullo. Infatti, essendo # ˆ, si ha che cos # ˆ 0 e quindi ~v ~s ˆ 0 Viceversa se ~v ~s ˆ 0, allora o uno dei due vettori eá il vettore nullo oure eá cos # ˆ 0, cioeá i due vettori sono erendicolari. Dal unto di vista cartesiano si dimostra che due vettori sono erendicolari se e solo se la somma dei rodotti delle loro comoneneti eá nulla v x s x v y s y v z s z ˆ 0 Per esemio sono erendicolari i vettori ~v 1, 1, e ~s 4,, 1 ercheâ ˆ 0.. Matrici e determinanti Si eá fatto uso delle matrici e dei determinanti di ordine due e tre nella risoluzione dei sistemi lineari. Ricordiamo alcuni concetti. Una matrice eá un insieme di n m numeri disosti su n righe e m colonne. Di una matrice che ha n righe e m colonne si dice che eá di tio n, m ; se n ˆ m la matrice si dice quadrata di ordine n. Una matrice si indica con una lettera maiuscola dell'alfabeto, i suoi elementi con una lettera minuscola (di solito corrisondente al nome della matrice) munita di due indici che raresentano risettivamente la riga e la colonna cui aartiene l'elemento. La tabella di numeri viene delimitata da una coia di arentesi quadre. Per esemio 1 4 l la matrice A ˆ 5 0 eá di tio, esihachea 1, ˆ, a,1 ˆ 5, a, ˆ l la matrice B ˆ eá quadrata di ordine e si ha che b, ˆ 1, b 1, ˆ, b, ˆ 7 Ad ogni matrice quadrata A di ordine n si uoá associare un numero reale che viene detto determinante di A e che si indica con il simbolo det A. Il determinante di una matrice quadrata si calcola in modo diverso a seconda dell'ordine della matrice; er l'uso che ne faremo in seguito, ricordiamo le regole er le matrici di ordine e. n Matrici di ordine Il determinante di una matrice di ordine si calcola con la seguente formula rodotto dei due numeri sulla diagonale rinciale rodotto dei due numeri sulla diagonale secondaria IL CALCOLO DEL DETERMINANTE a 11 a A ˆ 4 5 a 1 a det A ˆ a 11 a a 1 a 1 10 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

11 Per esemio 1 4 l se A ˆ 4 5 allora det A ˆ 1 4 ˆ l se B ˆ allora det B ˆ 0 6 ˆ 6 n Matrici di ordine Per calcolare il determinante di una matrice di ordine si segue questa rocedura che eá nota come regola di Sarrus 1. si riscrivono le rime due colonne sul lato destro della matrice. si sommano i rodotti dei numeri sulle tre diagonali rinciali (in rosso). si sommano i rodotti dei numeri sulle tre diagonali secondarie (in blu) 4. si calcola la differenza tra il valore ottenuto al unto. e il valore ottenuto al unto. Per esemio 0 1 l se A ˆ Riscriviamo le rime due colonne sulla destra della matrice data Alicando la regola di Sarrus si ottiene che det A ˆ Š Š ˆ Š ˆ0 somma dei rodotti lungo le diagonali rinciali 1 0 l B ˆ Affianchiamo alla matrice le rime due colonne Si ha dunque somma dei rodotti lungo le diagonali secondarie det B ˆ Š Š ˆ 6 VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Il vettore ~v 1,, 4 ha modulo a. uguale a quello del vettore ~a, 4, 1 b. maggiore di quello del vettore b ~,, c. minore di quello del vettore ~c 0, 4, 5.. Il rodotto scalare dei due vettori ~v 1, 0, e ~s,, 0 eá uguale a a. 10 b. c. d. 0. V V V F F F Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO 11

12 . Dei determinanti delle matrici A ˆ e B ˆ si uoá dire che a. det A ˆ det B b. det A ˆ det B c. det B ˆ det A d. det A non eá confrontabile con det B ercheâ le due matrici hanno ordine diverso. IL PIANO E LA SUA EQUAZIONE.1 L'equazione Nel iano un luogo di unti si uoá raresentare mediante una relazione nelle due variabili x e y; er esemio, una retta eá raresentata da un'equazione di rimo grado, una conica da un'equazione di secondo grado. Se nel iano un'equazione della forma Fx, y ˆ 0 raresenta normalmente una linea, nello sazio un'equazione della forma Fx, y, z ˆ 0 raresenta in generale una suerficie. Per esemio, il luogo dei unti Px, y, z dello sazio che hanno distanza uguale a dall'origine eá una sfera la cui equazione eá x y z {z } ˆ {z } cioeá x y z ˆ 4 distanza di P dall 0 origine valore della distanza Il rimo luogo dei unti dello sazio di cui ci occuiamo eá il iano ed iniziamo dai iani aralleli a quelli coordinati ercheâ di essi eá molto semlice trovare l'equazione. Per esemio, i unti del iano arallelo al iano xy e che incontra l'asse z in un unto di quota hanno la caratteristica di avere ascissa e ordinata variabili, ma quota costante uguale a ; la sua equazione saraá quindi z ˆ. Questi iani sono quindi il luogo dei unti dello sazio che hanno la stessa distanza dai iani coordinati; ossiamo allora dire che n un iano arallelo al iano xy ha equazione della forma n un iano arallelo al iano xz ha equazione della forma n un iano arallelo al iano yz ha equazione della forma z ˆ k y ˆ k x ˆ k essendo k la costante che raresenta la distanza del iano da quello coordinato ad esso arallelo. In articolare, i iani coordinati stessi si ottengono onendo uguale a zero la costante k z ˆ 0 iano xy y ˆ 0 iano xz x ˆ 0 iano yz Consideriamo adesso un iano assante er l'origine O degli assi, la retta r er O erendicolare al iano e scegliamo un unto Qa, b, c su di essa (figura 10). La retta r eá erendicolare a tutte le rette di che assano er O, quindi, qualunque sia il unto Px, y, z su, il triangolo QPO eá rettangolo in O e er esso vale il teorema di Pitagora; uoá quindi essere interretato come il luogo dei unti P tali che OQ OP ˆ QP. Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. 50 EQUAZIONE DEL PIANO PARALLELO AI PIANI COORDINATI Figura 10 Allora, essendo OQ ˆ a b c OP ˆ x y z QP ˆ x a y b z c 1 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

13 il iano ha equazione a b c x y z ˆ x a y b z c cioeá svolgendo i calcoli a b c x y z ˆ x ax a y by b z cz c ovvero ax by cz ˆ 0. Viceversa, tutti i unti Px, y, z che soddisfano l'ultima delle relazioni scritte, riercorrendo i assaggi di calcolo in senso inverso, soddisfano anche alla relazione OQ OP ˆ QP e quindi aartengono al iano. In definitiva ossiamo quindi concludere che un iano assante er l'origine del sistema di riferimento ha equazione ax by cz ˆ 0 EQUAZIONE DEL PIANO PER L'ORIGINE Osserviamo che i coefficienti dell'equazione ottenuta sono rorio le coordinate del unto Q; allora se consideriamo il vettore OQ le cui comonenti car- ƒ! tesiane sono a, b, c, ossiamo dire che i coefficienti delle variabili x, y, z sono, nell'ordine, le comonenti cartesiane del vettore uscente dall'origine e erendicolare al iano stesso. Tali coefficienti, che sono definiti a meno di un fattore di roorzionalitaá (ricorda che due vettori aralleli hanno le comonenti roorzionali), sono i arametri direttori della direzione normale al iano. Per esemio, il iano assante er l'origine e erendicolare al vettore ~v, 1, ha equazione x y z ˆ 0. Consideriamo adesso un iano non arallelo ai iani coordinati e non assante er l'origine. Sia tale iano e sia Ax 1, y 1, z 1 un suo unto; consideriamo il iano 0 ad esso arallelo e assante er l'origine, che saiamo avere equazione ax by cz ˆ 0(figura 11). Il iano corrisonde al iano 0 nella traslazione di vettore ~v x 1, y 1, z 1 che orta l'origine in A; le equazioni di questa traslazione sono analoghe a quelle iuá volte utilizzate nel iano e sono ( x 0 ˆ x x 1 y 0 ˆ y y 1 z 0 ˆ z z 1 Figura 11 Per avere l'equazione di dobbiamo quindi oerare sull'equazione di 0 con le sostituzioni ( x! x x 1 y! y y 1 z! z z 1 ottenendo cosõá l'equazione ax x 1 by y 1 cz z 1 ˆ 0 che, sviluando i calcoli, diventa ax by cz ax 1 by 1 cz 1 ˆ 0 Tenendo resente che l'esressione fra arentesi eá un numero reale che ossiamo indicare con d si ottiene infine ax by cz d ˆ 0 che raresenta quindi l'equazione del iano. EQUAZIONE GENERALE DEL PIANO In tutti i casi analizzati abbiamo semre ottenuto un'equazione di rimo grado nelle variabili x, y, z; al variare dei coefficienti a, b, c, d in R si ottengono tutti i Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO 1

14 ossibili iani dello sazio. Per esemio, se a ˆ b ˆ 0 si ottiene l'equazione z ˆ d c che raresenta un iano arallelo al iano xy e cosõá via. Evidenziamo in articolare i seguenti casi. n Un iano arallelo all'asse x ha una direzione normale che eá erendicolare a tale asse; il vettore normale al iano ha quindi nulla la comonente lungo l'asse x. I arametri direttori del iano sono allora 0, b, c ed il iano ha equazione by cz d ˆ 0 Se oi eá d ˆ 0, allora il iano contiene l'asse x. CASI PARTICOLARI n Analogamente, un iano arallelo all'asse y ha come arametri direttori della direzione normale i numeri reali a, 0, c; la sua equazione eá quindi ax cz d ˆ 0 e, se d ˆ 0, allora il iano contiene l'asse y. n Infine, un iano arallelo all'asse z ha come arametri direttori della direzione normale i numeri reali a, b, 0; la sua equazione eá quindi ax by d ˆ 0 e, se d ˆ 0, allora il iano contiene l'asse z. Riassumendo ossiamo dire che un iano eá semre raresentato nello sazio da un'equazione lineare nelle variabili x, y, z della forma ax by cz d ˆ 0 dove i coefficienti a, b, c raresentano i arametri direttori della direzione normale al iano. ESEMPI 1. Il iano assante er il unto P 1, 5, e arallelo al iano xz ha equazione y ˆ 5; il iano assante er il unto Q 0,, 4 e arallelo al iano xy ha equazione z ˆ 4; il iano assante er il unto R 7, 1, e arallelo al iano yz ha equazione x ˆ 7.. Stabiliamo le caratteristiche dei iani individuati dalle seguenti equazioni a. x 4y ˆ 5 b. y 4z ˆ 0 c. x ˆ 0 d. x y z ˆ 0 a. Poiche manca il termine in z, si tratta di un iano arallelo all'asse z. b. Poiche manca il termine in x ed il termine noto eá nullo, si tratta di un iano che contiene fra le sue rette l'asse x. c. E' il iano yz. d. Poiche manca il termine noto, si tratta di un iano assante er l'origine.. Scriviamo l'equazione del iano assante er l'origine degli assi e er i unti A,, 1), B 1, 0,. L'equazione generale di un iano di questo tio ha la forma ax by cz ˆ 0 Dal unto di vista analitico, un unto aartiene ad un iano se le sue coordinate ne soddisfano l'equazione imonendo dunque il assaggio er i unti A e B dati si ottiene il sistema 14 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

15 a b c ˆ 0 a c ˆ 0 da cui ricaviamo che < a ˆ c b ˆ 5 c Il iano ha dunque equazione cx 5 cy cz ˆ 0 cioeá 6x 5y z ˆ 0. Attenzione affincheá un roblema di questo tio abbia una sola soluzione, i unti dati non devono essere allineati; in caso contrario, infatti, il roblema avrebbe infinite soluzioni raresentate da tutti i iani che hanno er sostegno la retta che assa er quei unti. Osserva il seguente esemio. 4. Scriviamo l'equazione del iano che assa er l'origine e er i unti A, 1, 4 e B 4,,. < d ˆ 0 Imonendo il assaggio er i unti si ottiene il sistema a b 4c d ˆ 0 4a b c d ˆ 0 che eá un sistema indeterminato dal quale ricaviamo, er esemio, che eá Non esiste quindi un solo iano, ma infiniti iani di equazione b ˆ a 4c ax a 4c y cz ˆ 0 5. Scriviamo l'equazione del iano assante er i tre unti A 1,, 1, B, 1, 0, C, 1, 5. L'equazione generica del iano eá ax by cz d ˆ 0; imoniamo il assaggio er ciascuno dei unti dati a ˆ 1 0 d < a b c d ˆ 0 >< a b d ˆ 0 risolvendo il sistema otteniamo b ˆ 10 d a b 5c d ˆ 0 > c ˆ 1 4 d Il iano ha dunque equazione 1 dx 0 10 dy 1 4 dz d ˆ 0 che, dividendo er d e facendo il denominatore comune, diventa 1x 6y 5z 0 ˆ Determiniamo l'equazione del iano arallelo all'asse z che assa er i unti P, 1, 1 e Q 1,,. Un iano arallelo all'asse z ha equazione ax by d ˆ 0. Imoniamo l'aartenenza dei unti P e Q a b d ˆ 0 a ˆ d da cui a b d ˆ 0 b ˆ d L'equazione del iano eá quindi dx dy d ˆ 0 cioeá x y 1 ˆ 0.. Piani erendicolari e iani aralleli La condizione di arallelismo Siano ax by cz d ˆ 0 e a 0 x b 0 y c 0 z d 0 ˆ 0 le equazioni di due iani. Osserviamo subito che, se tali iani sono aralleli, un vettore ortogonale al rimo eá ortogonale anche al secondo; questo significa che i coefficienti delle variabili delle equazioni dei due iani sono roorzionali; deve quindi essere a 0 ˆ ha ^ b 0 ˆ hb ^ c 0 ˆ hc con h R f0g. Viceversa, se i arametri direttori di due iani soddisfano alla condizione a- Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO 15

16 ena scritta, i loro vettori ortogonali hanno la stessa direzione e quindi i iani sono aralleli. Possiamo quindi concludere che condizione necessaria e sufficiente affincheâ due iani siano aralleli eá che siano verificate le relazioni a 0 ˆ ha ^ b 0 ˆ hb ^ c 0 ˆ hc con h R f0g cioeá che siano uguali i raorti fra i coefficienti delle stesse variabili a ˆ b ˆ c a 0 b 0 c 0 Se oi si verifica anche che d 0 ˆ hd, allora i due iani, avendo la stessa equazione, coincidono. Dato un iano di equazione ax by cz d ˆ 0, vogliamo ora determinare l'equazione del iano ad esso arallelo che assa er un unto P 0 x 0, y 0, z 0 assegnato. L'equazione di ha gli stessi coefficienti a, b e c di ed ha quindi equazione ax by cz d 0 ˆ 0. PIANO PER UN PUNTO E PARALLELO A UN ALTRO PIANO Imoniamo il assaggio er P 0 ax 0 by 0 cz 0 d 0 ˆ 0 da cui ricaviamo che d 0 ˆ ax 0 by 0 cz 0 Il iano ha quindi equazione ax by cz ax 0 by 0 cz 0 ˆ 0 Riordinando oortunamente i termini dell'equazione ottenuta ossiamo concludere che il iano assante er un unto Px 0, y 0, z 0 e arallelo al iano ax by cz d ˆ 0 ha equazione ax x 0 by y 0 cz z 0 ˆ 0 (A) ESEMPI 1. Stabiliamo se le seguenti coie di iani sono aralleli a. 6x 9y z ˆ 0 x y z 1 ˆ 0 b. x y z 1 ˆ 0 4x 6y 6z 5 ˆ 0 c. 4x y z 1 ˆ 0 x y 4z 1 ˆ 0 a. Il raorto fra i coefficienti delle stesse variabili eá costante e vale ; i due iani sono quindi aralleli. Inoltre, oicheâ anche il raorto fra i termini noti vale, i due iani coincidono. In effetti la seconda equazione si ottiene dalla rima dividendo i suoi membri er. b. Il raorto fra i coefficienti delle stesse variabili eá costante e vale 1 ; i due iani sono quindi aralleli. Inoltre, oicheâ il raorto fra i termini noti non ha lo stesso valore, i due iani sono distinti. c. Il raorto fra i coefficienti delle stesse variabili non eá costante; i due iani non sono quindi aralleli.. Scriviamo l'equazione del iano assante er il unto P, 0, 1 e arallelo a quello di equazione x 7y 4z ˆ. Possiamo risolvere il roblema in due modi. 16 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

17 Imodo Possiamo servirci della relazione (A) e scrivere subito l'equazione del iano x 7 y 0 4 z 1 ˆ0 da cui, sviluando i calcoli x 7y 4z ˆ 0 II modo Un iano arallelo a quello dato ha gli stessi arametri direttori ed ha quindi equazione x 7y 4z d ˆ 0 Imonendo il assaggio er P otteniamo d ˆ 0 da cui ricaviamo che d ˆ 0 Il iano ha quindi equazione x 7y 4z ˆ 0. Ovviamente il risultato ottenuto eá lo stesso. La condizione di erendicolaritaá Siano ax by cz d ˆ 0 e a 0 x b 0 y c 0 z d 0 ˆ 0 le equazioni di due iani e siano ~n ˆ a, b, c e ~n 0 ˆ a 0, b 0, c 0 i risettivi vettori ortogonali. Osserviamo ora che se i due iani sono fra loro erendicolari, anche i loro vettori ortogonali lo sono e viceversa. Ma due vettori non nulli sono ortogonali se e solo se il loro rodotto scalare eá nullo, quindi la condizione di erendicolaritaá dei due iani eá esressa dalla relazione ~n ~n 0 ˆ 0. Possiamo allora dire che condizione necessaria e sufficiente affincheâ due iani siano erendicolari eá che sia verificata la relazione aa 0 bb 0 cc 0 ˆ 0 ESEMPI 1. Stabiliamo se le seguenti coie di iani sono erendicolari a. x y z 1 ˆ 0 x z ˆ 0 b. x y z ˆ x 4y z ˆ 0 c. x y z ˆ 4 x y z ˆ 1 Verifichiamo se eá soddisfatta la condizione di erendicolaritaá a ˆ0 i due iani sono erendicolari b ˆ0 i due iani sono erendicolari c ˆ 9 i due iani non sono erendicolari. Scriviamo l'equazione del iano che assa er l'origine degli assi ed eá erendicolare a quelli di equazione x y z 1 ˆ 0 e 4x y z ˆ 0. Un iano che assa er l'origine degli assi ha equazione ax by cz ˆ 0. Se deve essere erendicolare al rimo dei iani dati, deve verificarsi la relazione a b c ˆ 0 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO 17

18 Se deve essere erendicolare al secondo dei iani dati, deve verificarsi la relazione 4a b c ˆ 0 Risolvendo il sistema delle due equazioni ottenute troviamo che deve essere a ˆ c ^ b ˆ c. Il iano ha dunque equazione cx cy cz ˆ 0 da cui, suosto c 6ˆ 0, x y z ˆ 0. La distanza di un unto da un iano Dato un iano di equazione ax by cz d ˆ 0 e un unto Px 0, y 0, z 0 che non gli aartiene, ci rooniamo di individuare una formula che esrima la misura della distanza di P dal iano. ƒ! Preso un unto Ax 1, y 1, z 1 su consideriamo il vettore AP ed un qualunque ƒ! vettore AQ erendicolare ad ; sia oi # l'angolo formato dai due vettori (figura 1a). La distanza del unto P dal iano, che indicheremo con d P,, eá la roiezione del vettore AP sulla retta di AQ ed eá quindi data dall'esressione ƒ! AP cos #. Per ricavare il valore di questa esressione in funzione delle coordinate di P e dei arametri dell'equazione del iano ragioniamo in questo modo. ƒ! ƒ! Calcoliamo il rodotto scalare dei due vettori AP e AQ Figura 1a ƒ! ƒ! AQ AP ˆ AQ AP cos # D'altra arte, se consideriamo le comonenti cartesiane dei due vettori che sono ƒ! l er il vettore AP x0 x 1, y 0 y 1, z 0 z 1 ƒ! l er il vettore AQ ha, hb, hc (sono roorzionali ai arametri direttori del iano) lo stesso rodotto scalare uoá essere esresso in questo modo ƒ! ƒ! AQ AP ˆ ha x0 x 1 hb y 0 y 1 hc z 0 z 1 Dal confronto fra le due relazioni e tenendo resente che AQ ˆ h a b c, si ha che ha x 0 x 1 hb y 0 y 1 hc z 0 z 1 ˆh a b c AP cos # da cui ricaviamo che AP cos # ˆ ha x 0 x 1 hb y 0 y 1 hc z 0 z 1 h ˆ a x 0 x 1 b y 0 y 1 c z 0 z 1 a b c a b c Svolgendo i calcoli al numeratore di questa esressione e tenendo conto che ax 1 by 1 cz 1 ˆ d (il unto A aartiene al iano ), ossiamo scrivere che AP cos # ˆ ax 0 by 0 cz 0 d a b c 1 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

19 Osserviamo adesso che l'esressione di sinistra di quest'ultima uguaglianza raresenta rorio la distanza del unto P dal iano se # eá acuto, l'oosto di tale distanza se # eá ottuso (figura 1b). In definitiva, ossiamo quindi scrivere che Figura 1b d P, ˆjax 0 by 0 cz 0 dj a b c Questa formula richiama nella sua struttura quella della distanza di un unto da una retta nel iano l l al numeratore troviamo l'esressione che si ottiene dall'equazione del iano scritta in forma imlicita quando al osto delle variabili si sostituiscono le coordinate del unto P; al denominatore troviamo il modulo del vettore ~n normale al iano, cioeá la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti delle variabili dell'equazione del iano. ESEMPI 1. Calcoliamo la distanza del unto P, 1, 0 dal iano di equazione 4y z 5 ˆ 0. L'equazione del iano eá giaá scritta in forma imlicita con il termine noto a sinistra del simbolo di uguaglianza; ossiamo subito alicare la formula e scrivere d P, ˆq j 4 5j ˆ Dato il unto P 0, 1, 1 e l'equazione x y z d ˆ 0, determiniamo il valore del arametro d in modo che il iano da essa raresentato abbia distanza 14 da P. Calcoliamo la distanza di P dal iano j 1 dj j4 dj ˆ 1 14 j4 dj Imoniamo che tale distanza sia uguale a 14 ˆ Risolvendo l'equazione ottenuta troviamo che d ˆ 10 _ d ˆ 1. Esistono quindi due iani la cui distanza da P soddisfa la condizione richiesta x y z 10 ˆ 0 e x y z 1 ˆ 0.. Troviamo i unti P dello sazio er cui vale 41 la distanza dal iano di equazione x y 6z ˆ. Osserviamo innanzi tutto che i unti P richiesti aartengono ai due iani aralleli a quello dato che si trovano a distanza 41 da questo. Sia dunque P x, y, z un unto dello sazio; l'equazione del iano in forma imlicita eá x y 6z ˆ 0 e deve essere jx y 6z j ˆ cioeá x y 6z ˆ41 I due iani hanno dunque equazione x y 6z ˆ 44 e x y 6z ˆ. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO 19

20 VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Del iano di equazione x y z ˆ 0 uoi dire che a. assa er l'origine del sistema di riferimento b. eá arallelo al vettore ~v, 1, c. eá erendicolare al vettore ~v 6,, 4 d. eá arallelo all'asse z.. Un iano ha equazione ax y cz d ˆ 0. a. Se a ˆ 0, il iano eá arallelo all'asse x. b. Qualunque siano i valori dei arametri a, c, d, il iano non eá arallelo all'asse y. c. Se c ˆ d ˆ 0, il iano contiene l'asse z. d. Il iano assa er il unto C,1,1 se eá a ˆ, c ˆ 1, d ˆ 1. Una sola delle recedenti affermazioni eá falsa, quale? V V V V F F F F. Il iano che assa er il unto P 4, 1, 1 ed eá erendicolare al vettore ~v ˆ ~ i ~ j ha equazione a. x y 1 ˆ 0 b. x y 1 ˆ 0 c. x y 1 ˆ 0 d. x y 1 ˆ 0 4. La distanza del unto P 4,, 1 dal iano di equazione x y 4z 5 ˆ 0eÁ uguale a a. b. c. d LA RETTA E LA SUA EQUAZIONE 4.1 L'equazione Il modo iuá semlice di individuare una retta nello sazio eá quello di fissare un vettore ~v che ne indichi la direzione ed un unto che la determini in modo unico fra tutte le rette che hanno quella direzione. Sia dunque r la retta che assa er il unto P 0 x 0, y 0, z 0 ed eá arallela al vettore ~v `, m, n (figura 1) e sia P x, y, z un generico unto dello sazio. Il unto P aartiene alla retta r ƒ! se il vettore P 0 P eá arallelo al vettore ~v. Saiamo che cioá accade se le comonenti cartesiane dei due vettori sono roorzionali, cioeá se < x x 0 ˆ `t y y 0 ˆ mt con t R z z 0 ˆ nt Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. 59 LA FORMA PARAMETRICA Figura 1 ed eslicitando risetto alle variabili < x ˆ x 0 `t y ˆ y 0 mt z ˆ z 0 nt B 0 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

21 Al variare di t, il unto P si muove su r e quindi il sistema ora scritto raresenta l'equazione arametrica di una retta r dello sazio assante er il unto P 0 x 0, y 0, z 0 e arallela al vettore ~v `, m, n. I arametri `, m, n si dicono arametri direttori della retta. Ad esemio, la retta assante er P 0 1,, e arallela al vettore ~v 1,, 1 ha equazione < x ˆ 1 t y ˆ t z ˆ t Se ora ricaviamo il arametro t da ciascuna delle equazioni del sistema (B), nell'iotesi che i arametri direttori siano non nulli, otteniamo t ˆ x x 0 ` cioeá, confrontando le esressioni trovate ^ t ˆ y y 0 m ^ t ˆ z z 0 n x x 0 ` ˆ y y 0 m ˆ z z 0 n LA FORMA NORMALE La relazione ottenuta raresenta l'equazione in forma normale della retta r. La retta dell'esemio recedente ha equazione normale x 1 ˆ y ˆ z 1 Un terzo modo di scrivere l'equazione di una retta eá quello di vederla come intersezione di due iani che la contengano. Tornando all'esemio recedente, se ricaviamo t da una delle equazioni, ad esemio dalla rima, troviamo che t ˆ x 1; sostituendo l'esressione di t nelle altre due equazioni troviamo il sistema x y ˆ 1 x z ˆ 4 LA RETTA COME INTERSEZIONE DI PIANI che raresenta rorio l'intersezione di due iani. Alla stessa conclusione si arriva confrontando a due a due le esressioni della forma normale dell'equazione < x 1 ˆ y x y ˆ 1 cioeá ancora x z ˆ 4 x 1 ˆ z oure oure ancora >< x 1 ˆ y y > ˆ z >< x 1 ˆ z > y ˆ z cioeá cioeá x y ˆ 1 y z ˆ 11 x z ˆ 4 y z ˆ 11 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO 1

22 I arametri direttori Quando l'equazione di una retta eá data in forma arametrica o in forma normale i arametri direttori si ricavano direttamente dall'equazione stessa < x ˆ 1 t y ˆ t i arametri direttori sono ` ˆ 1 m ˆ n ˆ 4 z ˆ 4t x 1 ˆ y ˆ z i arametri direttori sono ` ˆ m ˆ n ˆ 1 Quando l'equazione eá data come intersezione di due iani, ax by cz d ˆ 0 a 0 x b 0 y c 0 z d 0 ˆ 0 si dimostra che i arametri direttori sono dati dai seguenti determinanti ` ˆ b c b 0 c 0 m ˆ a c a 0 c 0 n ˆ a b a 0 b 0 x y 4z 1 ˆ 0 Per esemio, la retta di equazione ha arametri direttori ` ˆ ˆ 6 m ˆ 1 ˆ 10 n ˆ x y z ˆ ˆ 7 Attenzione! Se nel iano l'equazione di una retta eá definita in modo unico (a meno di un fattore moltilicativo costante), nello sazio equazioni diverse nella loro forma ossono raresentare la stessa retta. Ne abbiamo aena visto un esemio scrivendo la retta recedente come intersezione di iani. Anche le equazioni < x ˆ t < x ˆ 1 k y ˆ 1 4t e y ˆ 5 4k z ˆ t z ˆ 1 k raresentano la stessa retta; entrambe infatti hanno gli stessi arametri direttori, 4 e 1 (quindi sono arallele) e assano er lo stesso unto di coordinate, 1, 0 che si ottengono er t ˆ 0ek ˆ 1. Occorre quindi restare attenzione ai risultati degli esercizi un risultato diverso da quelli roosti non semre eá indice di errore nello svolgimento. ESEMPI 1. Scriviamo l'equazione dell'asse delle ascisse. L'asse x eá arallelo al vettore ~v 1, 0, 0 e assa er l'origine; le sue equazioni arametriche sono quindi y ˆ 0. Tale retta uoá anche essere vista come intersezione dei iani xz e xy ed eá quindi indi- < x ˆ t z ˆ 0 y ˆ 0 viduata anche dal sistema. z ˆ 0 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

23 Non ossiamo invece scrivere l'equazione di questa retta in forma normale ercheâ due dei suoi arametri direttori sono nulli.. Scriviamo l'equazione della retta arallela all'asse y e assante er il unto A 0,, 4. < x ˆ 0 La retta richiesta ha arametri direttori 0, 1, 0 ed ha quindi equazione y ˆ t z ˆ 4 Anche in questo caso la retta uoá essere vista come l'intersezione dei due iani x ˆ 0ez ˆ 4; non ossiamo invece scriverne l'equazione normale.. Scriviamo l'equazione della retta che assa er l'origine degli assi ed ha arametri direttori,, 7. < x ˆ t L'equazione in forma arametrica eá y ˆ t z ˆ 7t L'equazione in forma normale eá x ˆ y ˆ z 7 Ricavando ad esemio t dalla rima equazione e sostituendo nelle altre (oure confrontando le esressioni della forma normale), la retta uoá essere vista come intersezione di due iani y x ˆ 0 z 7x ˆ 0 4. Scriviamo l'equazione della retta che assa er il unto P 1,4, ed eá arallela al vettore ~v 5,,0. < x ˆ 1 5t L'equazione in forma arametrica eá y ˆ 4 t z ˆ Si tratta di una retta arallela al iano xy. Non si uoá scrivere la sua equazione in forma normale ercheâ uno dei arametri direttori eá nullo. Ricavando t, ad esemio dalla seconda equazione e sostituendo il valore ottenuto nella rima, si ha l'equazione della retta come intersezione di due iani x 5y ˆ z ˆ 5. Troviamo l'equazione arametrica della retta individuata dall'intersezione dei iani di equazione x y z 1 ˆ 0ex 4y z ˆ 0 e individuiamo i suoi arametri direttori. x y z 1 ˆ 0 La retta eá individuata dal sistema x 4y z ˆ 0 Il modo iuá semlice di rocedere er trovare la sua equazione arametrica eá quello di indicare con t una delle variabili, er esemio x; otteniamo cosõá < x ˆ t t y z 1 ˆ 0 t 4y z ˆ 0 < x ˆ t Risolvendo adesso il sistema risetto alle variabili x, y, z si ottiene y ˆ 5t z ˆ 4 7t Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO

24 che raresenta l'equazione arametrica della retta; i arametri direttori sono quindi 1, 5, 7. Essi otevano anche essere ricavati dall'intersezione dei due iani ` ˆ ˆ 1 m ˆ 1 1 ˆ 5 n ˆ ˆ 7 L'equazione della retta er due unti Una retta uoá anche essere individuata da due suoi unti. Siano dunque A x 1, y 1, z 1 e B x, y, z due unti dello sazio; vogliamo scrivere l'equazione della retta che assa er questi due unti. ƒ! Osserviamo che il vettore AB, le cui comonenti cartesiane sono x x 1, y y 1, z z 1 daá la direzione della retta; ossiamo quindi assumere tali comonenti come arametri direttori e scegliere uno dei due unti, ad esemio A (sarebbe la stessa cosa scegliere B), er utilizzare la forma arametrica che abbiamo visto all'inizio del aragrafo. Si ha cosõá che la retta che assa er i unti A x 1, y 1, z 1 e B x, y, z ha equazione >< x ˆ x 1 x x 1 t y ˆ y 1 y y 1 t in forma arametrica > z ˆ z 1 z z 1 t e, se i arametri direttori sono tutti non nulli x x 1 x x 1 ˆ y y 1 y y 1 ˆ z z 1 z z 1 in forma normale ESEMPI 1. La retta che assa er i unti A, 1, 1 e B 1, 0, 5 ha equazione >< x ˆ 1 t < x ˆ t y ˆ t cioeá y ˆ 1 t in forma arametrica > z ˆ t z ˆ 1 4t x ˆ y 1 1 ˆ z 1 4 in forma normale Possiamo anche vedere la retta come intersezione di iani confrontando le esressioni della forma normale; ad esemio x ˆ y 1 ( >< 1 x y ˆ 1 > y 1 1 ˆ z 1 cioeá 4y z ˆ 5 4. Scriviamo l'equazione della retta che assa er i unti A, 5, e B 0, 0, 5 e determiniamo la sua intersezione con il iano di equazione x y z ˆ 1. 4 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

25 La retta AB ha equazione >< x ˆ 0 t y ˆ t > z ˆ 5 t cioeá < x ˆ t y ˆ 5 5t z ˆ t Le coordinate del unto di intersezione della retta con il iano dato si ottengono dal sistema dell'equazione della retta con quella del iano x ˆ t >< y ˆ 5 5t z ˆ t > x y z ˆ 1 Sostituendo le esressioni di x, y e z nell'ultima equazione otteniamo x ˆ t x ˆ 6 >< y ˆ 5 5t >< y ˆ 15 da cui > z ˆ t > z ˆ 11 t ˆ 0 t ˆ 4 La retta ed il iano si intersecano nel unto P 6, 15, 11 ; tale unto si ottiene dall'equazione della retta in corrisondenza di t ˆ 4.. Scriviamo l'equazione della retta che assa er i unti A 4, 0, e B 0, 4, 4 e troviamo oi la sua intersezione, se esiste, con la retta di equazione x 1 1 ˆ y ˆ z. 5 Osserviamo rima di tutto che er trovare il unto di intersezione fra due rette si deve risolvere il sistema formato dalle loro equazioni; eá allora oortuno conoscere l'equazione di entrambe in forma arametrica. La retta AB ha equazione (usiamo questa volta il unto B ) >< x ˆ t < x ˆ 4t y ˆ t cioeá y ˆ 4 4t > z ˆ 4 4 t z ˆ 4 t Scriviamo la retta data in forma arametrica (non ossiamo usare ancora il arametro t usato er la rima retta, ci serviremo quindi di un nuovo arametro s) s ˆ x 1 1 >< < x ˆ 1 1s s ˆ y cioeá y ˆ 5s 5 z ˆ s > s ˆ z Osserviamo che le due rette, non avendo arametri direttori roorzionali, non sono arallele; quindi, o si intersecano in un unto, o sono sghembe. x ˆ 4t Imostiamo il sistema delle due equazioni y ˆ 4 4t >< z ˆ 4 t x ˆ 1 1s y ˆ 5s > z ˆ s Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO 5