Microeconomia. Introduzione all economia Politica. Stefano Staffolani. Soluzione esercizi capitolo 2

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1 Microeconomia Introduzione all economia Politica Soluzione esercizi capitolo 2 1

2 Esercizio 2.1 a rappresentazione grafica richiesta dall esercizio e basata sulla tabella 3.2, è presentata nella figura successiva, che, per ogni possibile livello di produzione (sulle ascisse) riporta i valori del ricavo totale (T R), del costo totale TC, e del profitto, che non è altro che la differenza tra ricavi totali e costi totali. Si nota che il profitto è negativo per y() < 6 (e quindi l impresa deve produrre almeno 6 per non lavorare in perdita) e presenta un massimo per y() = 9. Una produzione pari a 9 è quindi quella ottimale per l impresa, perchè massimizza i suoi profitti. Figura a: a relazione tra produzione, ricavo totale, costo totale e profitto 2

3 Esercizio 2.2 In corrispondenza ad ogni possibile livello di produzione, nella figura vengono riportati il prodotto marginale del lavoro ( MP(), cioè la produzione dovuta all ultima ora di utilizzo del lavoro), il prodotto marginale moltiplicato per il prezzo di vendita del prodotto (p MP() cioè il ricavo dovuto all ultima ora di utilizzo del lavoro ) e il costo di utilizzo del lavoro (w), come emergono dalla tabella 2.4 Per l impresa è ottimale aumentare l utilizzo del lavoro fino a quando l ultima ora utilizzata permette un ricavo aggiuntivo maggiore del costo aggiuntivo, cioè fino a quando p MP() w. utilizzo ottimale del lavoro sarà allora pari a poco meno di 6 ore. Figura b: a relazione tra utilizzo del lavoro, produttività marginale e salari 3

4 Esercizio 2.3 Sulla base dei dati della tabella 2.7, in corrispondenza ad ogni possibile livello di produzione, nella prima figura viene riportata la funzione di costo totale (TC(y), che indica il costo totale minimo necessario per produrre la quantità indicata sulle ascisse (quello che deriva dalla combinazione di fattori produttivi che producono il minor costo). Nel secondo grafico sono riportate le funzione di costo medio (AC(y)) e di costo marginale (MC(y)), date rispettivamente da: AC(y) = TC(y) y e MC(y) = dtc(y) dy. Figura c: a relazione tra utilizzo del lavoro, costo totale (1 grafico), costo marginale e medio (2 ) grafico 4

5 Esercizio 2.4 In corrispondenza ad ogni possibile livello di produzione indicato nella tabella 2.8, vengono riportate la funzione di costo totale, di ricavo totale e di profitto. Il profitto è negativo per livelli di produzione inferiori a 5, ed è massimo per una produzione pari a 10. Figura d: a relazione tra produzione, ricavo totale, costo totale e profitto 5

6 Esercizio 2.5 a funzione di produzione y = 0.7 K 0.3 definisce la produzione totale dell impresa per ogni possibile livello di utilizzo dei fattori produttivi lavoro e capitale. a produttività media del lavoro è data dal rapporto tra produzione totale e utilizzo del lavoro: AP = y ; la produttività margianale del lavoro è data dalla derivata della produzione rispetto l utilizzo del lavoro: MP = dy d. Nel caso della funzione di produzione del testo otteniamo per la produttività media: AP (,K) = 0.7 K 0.3 AP (,K) = K 0.3 AP (,K) = ( ) K 0.3 e per la produttività marginale: MP (,K) = K 0.3 MP (,K) = 0.7 Per = 120 e K = 60, K = 1 2. Pertanto: ( ) AP (120,60) = ( ) MP (120,60) = ( ) K 0.3 6

7 Esercizio 2.6 a funzione di produzione y = A α + K β definisce la produzione totale dell impresa per ogni possibile livello di utilizzo dei fattori produttivi lavoro e capitale. a produttività media del lavoro è data dal rapporto tra produzione totale e utilizzo del lavoro: AP = y ; la produttività marginale del lavoro è data dalla derivata della produzione rispetto l utilizzo del lavoro: MP = dy d. o stesso per il capitale. Nel caso della funzione di produzione del testo otteniamo per la produttività media del lavoro: AP (,K) = A α 1 + Kβ e per la produttività marginale del lavoro: MP (,K) = αa α 1 a produttività media del capitale è data da: e la produttività marginale del capitale da: AP K (,K) = A α K + βkβ 1 MP K (,K) = βk β 1 a produttività marginale del lavoro non dipende dall utilizzo del capitale, e vicerversa (funzione di produzione separabile nei fattori produttivi). 7

8 Esercizio 2.7 a funzione di produzione y = αln() + β ln(k) definisce la produzione totale dell impresa per ogni possibile livello di utilizzo dei fattori produttivi lavoro e capitale. a produttività media del lavoro è data dal rapporto tra produzione totale e utilizzo del lavoro: AP = y ; la produttività marginale del lavoro è data dalla derivata della produzione rispetto l utilizzo del lavoro: MP = dy d. Nel caso della funzione di produzione del testo otteniamo per la produttività marginale del lavoro: e per la produttività marginale del capitale: MP (,K) = α 1 MP K (,K) = β 1 K a produttività marginale del lavoro (capitale), in questo caso, non dipende dall utilizzo del capitale (lavoro) perchè la funzione di produzione è separabile nei fattori produttivi. 8

9 Esercizio 2.8 a funzione di produzione y = definisce la produzione totale dell impresa per ogni possibile livello di utilizzo del fattore lavoro. a produttività marginale del lavoro è data da: e la produttività media del lavoro da: MP () = AP () = 10 2 Al fine di calcolare il valore massimo della produttività marginale occorre derivarla rispetto e porre la derivata uguale a zero: Pertanto: dmp d = = 0 = 10 3 ( ) 10 MP = ( ) = Al fine di calcolare il valore massimo della produttività media occorre derivarla rispetto e porre la derivata uguale a zero: Pertanto: dap d = = 0 = 5 AP (5) = = 25 Il calcolo della produttività media e marginale per = 4 ci porta facilmente a concludere che: AP (4) = = 24 MP (4) = = 32 Infine, il prodotto medio è massimo se = 5, come abbiamo visto. Vale: AP (5) = 25 e, calcolando MP (5), otteniamo: MP (5) = = 25 Quindi, per = 5, cioè per quel valore dell utilizzo del lavoro che rende massima la produttività media, produttività media e produttività marginale sono uguali: MP (5) = AP (5). 9

10 Esercizio 2.9 a funzione di produzione y = 1 2 K 1 2, per K = 16, da luogo a y = a produttività marginale è data da: a produttività media è data da: Quindi: MP () = MP () = 2 AP () = AP () = 4 al crescere di, sia la produttività media che quella marginale si riducono (è evidente dalla forma funzionale; per verificarlo, si può calcolare la derivata prima, che risulta negativa in entrambi i casi: dmp d = 2 3 < 0 e dap d = < 0); per che tende a zero, produttività media e marginale tendono a infinito per che tende a infinito, produttività media e marginale tendono a zero la produttività media è doppia della produttività marginale le due funzioni sono convesse (si può calcolare la derivata seconda, che risulta positiva in entrambi i casi: d2 MP d 2 = > 0 e d2 AP d 2 = > 0 ) a rappresentazione grafica è quindi quella della figura seguente: Figura i: Produttività media e marginale AP, MP AP MP 10

11 Esercizio 2.10 Data la funzione di produzione: y = , dobbiamo calcolare la produttività media ( AP() = y ) ) e la produttività marginale (MP() = dy d, rispettivamente dividendo y per e differenziando y rispetto : AP() = MP() = a produttività media e quella marginale sono quindi uguali quando vale: = = 0 = 3 (dove abbiamo escluso lo soluzione = 0 perchè non ha significato economico). Per controllare la correttezza del risultato possiamo ricalcolare la produttività media e quella marginale per = 3: AP(3) = = 13 MP(3) = = 13 Pertanto, AP(3) = MP(3), cvd. Anche se non richiesto dal testo, si può verificare che per = 3 la produttività media è massima. Infatti, se deriviamo AP rispetto, otteniamo che: dap d = che, posta uguale a zero e risolta in al fine di definire il massimo, ci da appunto = 3. Quindi, per = 3 la produttività media è massima ed è uguale alla produttività marginale. 11

12 Esercizio 2.11 a funzione di produzione data dal testo è y = K + 4. Dobbiamo calcolare l elasticità del prodotto all occupazione, che sappiamo essere data da: ε y, = dy d y Dalla funzione di produzione possiamo agevolmente calcolare dy d = 2. Il calcolo della derivata è basato sulla solita metodologia vista nel testo. Basta infatti scrivere y = K e derivare rispetto ; si ottiene: dy d = , cioè: dy d = Basta infine ricordare che: 1 2 = 1. Pertanto: ε y, = 2 y ε y, = 2 K + 4 Dal testo sappiamo che K = 4. Possiamo utilizzare questa informazione se semplifichiamo l equazione precedente: 1 ε y, = 2 ε y, = 2 K + 4 K + 4 dove nell ultimo passaggio abbiamo diviso numeratore e denominatore per. Dato che: K = 4, deve valere che: K = 2 otteniamo quindi che: ε y, = = 1 3 Cioè sappiamo che, nel caso presentato nel testo, se l utilizzo del lavoro cresce dell 1%, la produzione dell imprese cresce di 3 1 %, oppure che se l utilizzo del lavoro cresce del 3%. allora la produzione cresce dell 1%. 12

13 Esercizio 2.12 a funzione di produzione data dal testo è y = K Dobbiamo calcolare il saggio marginale di sostituzione (MRS(K,)), che sappiamo essere dato da: MRS(K,) = MP (,K) MP K (,K) dobbiamo quindi calcolare la produttività marginale del lavoro (MP (,K) = dy d ) e quella del capitale (MP K (,K) = dy d ) e fare il rapporto tra le due grandezze ottenute (con il segno negativo). Otteniamo MP (,K) = MP (,K) = MP K (,K) = 1 2 K 1 2 MP K (,K) = 1 2K 2 1 Il rapporto tra le due, cioè il saggio marginale di sostituzione, è quindi: MRS(K,) = K 1 2 K MRS(K,) = 13

14 Esercizio 2.13 Il calcolo del saggio marginale di sostituzione tra capitale e lavoro (MRS(K, )) relativo alla funzione di produzione: y = 3ln() + 2ln(K), è basato sulla solita definizione: da cui: Dove vale: MP (,K) = dy d MP K (,K) = dy dk MRS(K,) = Per = 3 e K = 2, otteniamo: MRS(K,) = MP (,K) MP K (,K) 3 2 K MRS(2,3) = = 1 MP (,K) = 3 MP K (,K) = 2 K MRS(K,) = 3K 2 Quindi, data la situazione descritta nel testo dell esercizio, l impresa può ottenere la stessa produzione se riduce l utilizzo del lavoro per 1 e aumenta l utilizzo del capitale per 1. 14

15 Esercizio 2.14 Il calcolo dell elasticità di sostituzione fattoriale (σ)) relativo alla funzione di produzione: y = 7ln() + 3ln(K) è basato sulla seguente definizione di σ: dln ( ) K σ = dln(mrs(k, )) che ovviamente richiede la conoscenza del saggio marginale di sostituzione, MRS(K, ). Nel caso della funzione di produzione del testo possiamo calcolare facilmente il MRS(K, ) seguendo lo stesso procedimento dell esercizio 2.13, ottenendo: che può essere risolto in K : passando ai logaritmi: quindi: ln MRS(K,) = 7 3 K K = 3 7 MRS(K,) ( ) ( ) K 3 = ln + ln( MRS(K,) ) 7 σ = dln ( K ) dln(mrs(k,)) = 1 15

16 Esercizio 2.15 a tecnologia descritta dall esercizio è rappresentata da una mappa degli isoquanti come quella descritta nella figura successiva: Figura j: Mappa degli isoquanti K y 0 y 1 y 2 Nella figura si nota come, anche per K = 0, come nei punti in cui l isoquanto interseca l ascissa, la produzione è positiva. Pertanto, per questa tecnologia la produzione è possibile anche in assenza di capitale. 16

17 Esercizio 2.16 Nel caso di rendimenti di scala decrescenti, se l utilizzo di tutti i fattori produttivi viene incrementato nella stessa proporzione, il prodotto cresce in misura meno che proporzionale rispetto la variazione degli input. Se, ad esempio, l utilizzo dei fattori raddoppia, la produzione cresce meno che del doppio. Figura k: Mappa degli isoquanti e rendimenti di scala K 4K 0 2K 0 y 2 >2y1 K 0 y 0 y 1 <2y Nel caso di rendimenti di scala crescenti vale l opposto: se l utilizzo degli input, ad esempio, raddoppia, la produzione cresce più del doppio. a figura seguente mostra questa situazione, in quanto quando gli input raddoppiano passando da 0, K 0, a 2 0, 2K 0, la produzione passa a y 1, e la figura ci dice che y 1 < 2y 0, dove y 0 è la produzione dell impresa quando l utilizzo dei fattori era pari a 0, K 0. I rendimenti di scala sono quindi decrescenti. Se però l utilizzo dei fattori produttivi raddoppia ulteriormente, passando da 2 0, 2K 0, a 4 0, 4K 0, la produzione cresce più che del doppio, perchè vale y 2 > 2y 1. In questo caso, quindi, i rendimenti di scala sono crescenti. 17

18 Esercizio 2.17 Sappiamo che i rendimenti di scala dipendo dal segno della disuguaglianza: y(t,tk) ty(,k) dove il termine a sinistra dell uguale indica la produzione che si ottiene quando si moltiplica l utilizzo dei fattori per t > 1, mentre il termine a destra indica t volte la produzione iniziale. Se vale il segno maggiore, i rendimenti sono crescenti, se vale il segno uguale sono costanti se vale il segno minore sono decrescenti. Al fine di definire y(t, tk), moltiplichiamo i fattori produttivi per un parametro t > 1. a funzione di produzione assegnata nel testo diventa quindi: y(t,tk) = (t) (tK) 1 3 y(t,tk) = t 1 3 Dobbiamo valutare il segno della seguente disuguaglianza: ( ) ( ) K 1 3 t K 1 3 t 1 3 ( ) K 3 1 cioè: t 1 3 t ovviamente, per t > 1 vale sempre il segno minore: t 1 3 < t. I rendimenti di scala della funzione proposta dal testo sono allora decrescenti. 18

19 Esercizio 2.18 isocosto è definito, in generale, da: K = TC r w r. Nota questa equazione, è sufficiente sostituire i valori numerici per TC, w, r indicati nei 4 differenti casi del testo, per ottenere i 4 isocosti richiesti. Tutti gli isocosti sono calcolati con riferimento alla situazione precedente, cioè rappresentiamo gli isocosti relativi ai seguenti valori del costo totale (TC), del prezzo del lavoro (w) e del capitale (r): TC w r a figura seguente presenta la rappresentazione grafica dei 4 isoquanti: Figura l: isocosto K TC=50, w=2, r=2 TC=50, w=2, r=1 50 TC=100, w=1, r=2 25 TC=100, w=2, r=

20 Esercizio 2.19 Il sentiero di espansione è definito dall uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione in valore assoluto e rapporto tra i prezzi dei fattori produttivi, cioè da: MRS(K,) = w r. Il saggio marginale di sostituzione è dato dal rapporto tra produttività marginale del lavoro e produttività marginale del capitale. Considerando la prima funzione di produzione, otteniamo che MP (,K) = 2 3 e che MP K (,K) = 2K 3 4. Pertanto l uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione e rapporto tra i prezzi dei fattori dà luogo a : Risolvendo in K, otteniamo: 2 3 2K 3 4 = w r K 4 3 = 2 w ( r 2 3 K = 2 w ) r che rappresenta il sentiero di espansione relativo alla prima funzione di produzione del testo. Considerando la seconda funzione di produzione e, utilizzando la regola della derivata di funzione di funzione, otteniamo che MP (,K) = 1 ( K 2) e che MP K (,K) = 1 ( K 2) 1 2 2K. Pertanto: ( K 2) = w 1 2 (2 + K 2 ) 1 2 2K r Quindi il sentiero di espansione è dato da: K = r w K = w r 20

21 Esercizio 2.20 Sostituendo α = 3 2 e β = 1 3 nell equazione 2.23, otteniamo: ( w ) 2 3 K = y 2r che, passando ai logaritmi, può essere scritta: ln(k) = ln(y) ln(w) 2 3 ln(r) 2 3 ln(2) Riprendendo la definizione dell elasticità come derivata del logaritmo della variabile dipendente rispetto il logaritmo della variabile indipendente, otteniamo facilmente: a 2 3 ε K,w = dln(k) dln(w) = 2 3 ε K,r = dln(k) dln(r) = 2 3 ε K,y = dln(k) dln(y) = 1 Se il costo del lavoro aumenta del 7%, l utilizzo del capitale aumenta in misura pari 0.07, cioè di circa il 4.67%. 21

22 Esercizio 2.21 Il calcolo delle funzioni di domanda condizionali dei fattori capitale e lavoro richiede la soluzione del sistema 2.18 del testo. Per risolvere il sistema, dobbiamo prima calcolare il saggio marginale di sostituzione, che, in valore assoluto, è pari al rapporto tra produttività marginale del lavoro e del capitale. Data la funzione di produzione del testo, otteniamo facilmente: MP (,K) = e MP K (,K) = 1 2 K 2 1. Possiamo allora scrivere il saggio marginale di sostituzione: K MRS(K, ) =. Il sistema 2.18 da luogo a: { K = w r ȳ = + K Dalla prima equazione: w K = r che rappresenta il sentiero di espansione. Sostituendo nella seconda, otteniamo: ȳ = + w ( ȳ = 1 + w ) r r da cui possiamo calcolare la domanda condizionale del fattore : ( ) ȳ 2 ( ) r 2 = w+r = ȳ 2 w + r r Infine, considerando il sentiero di espansione K = w r e sostituendo dell equazione precedente, otteniamo: ( ) w r K = ȳ r w + r ( ) w 2 K = ȳ 2 w + r che rappresenta la funzione di domanda condizionale del fattore capitale. Abbiamo quindi ottenuto le domande condizionale del lavoro e del capitale come funzione dei parametri esogeni, ȳ, w, r. Nel caso ipotizzato dall ultima parte del testo, vale w = 2 e r = 1, e l impresa deve produrre 100 unità. In questo caso specifico otteniamo allora: e: ( ) = = ( ) K = =

23 Il costo totale, che in generale è dato da: TC = w + rk, nel caso specifico è dato allora da: TC = = 6667 Questo è il costo minimo che deve sostenere l imprenditore per produrre 100 unità. 23

24 Esercizio 2.22 Si noti che la funzione di produzione è la stessa dell esercizio 2.21 e che, per questa funzione di produzione avevamo già calcolato nel suddetto esercizio le funzioni di domanda condizionali, che riportiamo per comodità: ( r = ȳ 2 w + r ( w K = ȳ 2 w + r Possiamo allora calcolare direttamente la funzione di costo totale (TC = w + rk): ) 2 ) 2 ( ) r 2 ( ) w 2 TC = wȳ 2 + rȳ 2 w + r w + r Da questa equazione possiamo facilmente raccogliere il termine ȳ 2 nonchè il denominatore dei due rapporti, ottenendo: quindi: e infine: ( ) 1 2 TC = ȳ 2 ( wr 2 + rw 2) w + r ( ) 1 2 TC = ȳ 2 wr(r + w) w + r ( ) wr TC = ȳ 2 w + r Questa è la funzione di costo totale nel caso la funzione di produzione sia quella indicata nell esercizio. 24

25 Esercizio 2.23 a funzione di costo totale dell equazione 2.25, per α = 2 3 e β = 1 4, può essere semplificata. In particolare, il primo fattore dell equazione (quello che comprende solo α e β), può essere facilmente calcolato e porta al risultato che: a funzione di costo diventa: α + β β β α+β α α α+β TC = 1.797w 8 11 r 3 11 ȳ Sostituendo i valori numerici di w = 1 e di r = 3, otteniamo: TC = 2.425ȳ Il costo medio è dato dal costo totale diviso per la quantità: AC = 2.425ȳ 1 11 Il costo marginale è dato dalla derivata del costo totale fatta rispetto la quantità: MC = 2.645ȳ 1 11 Per ȳ = 400, otteniamo quindi che AC = e che MC =

26 Esercizio 2.24 esercizio ci fornisce la funzione di costo medio e ci chiede di calcolare il costo marginale. Sappiamo che: 1. il costo medio è dato dal rapporto tra costo totale e quantità 2. il costo marginale è dato dalla derivata del costo totale fatta rispetto la quantità Dal punto 1. sappiamo anche, quindi, che il costo totale è dato dal costo medio per la quantità, cioè che, nel caso dell esercizio, dove AC = 7y: TC = (7y)y TC = 7y 2 A questo punto è facile calcolare il costo marginale, semplicemente derivando: MC = 14y 26

27 Esercizio 2.25 Nel caso presentato dalla tabella, il costo totale dipende da quale impianto l imprenditore sceglie tra i 3 che possono essere installati. Ognuno dei 3 impianti presenta differenti costi fissi e differenti costi variabili. Il costo totale, per ognuno dei 3 impianti, è dato da TC = FC +VC y, dove FC individua i costi fissi e VC i costi variabili. Per ognuno dei 3 impianti è quindi possibile calcolare la funzione di costo totale, cioè calcolare il costo totale per differenti livelli di produzione, come nella tabella seguente: y impianto 1; FC=10, VC=10 impianto 2; FC=30, VC=5 impianto 3; FC=70, VC= Il costo totale associato ai tre impianti può ovviamente essere rappresentato graficamente, come nella figura seguente, grafico a sinistra, dove la produzione è ovviamente rappresentata sulle ascisse: Figura m: Il costo totale con 3 differenti impianti Ovviamente, l imprenditore utilizzerà l impianto che porta ad un minor livello di costo totale. Pertanto, per livelli di produzione compresi tra 1 e 4, utilizzerà l impianto 1 (si noti che per y = 4 i costi totali sono pari a 50 sia se si utilizza l impianto 1 che se si utilizza l impianto 2), i per livelli di produzione compresi tra 4 e 10 utilizzerà l impianto 2 (si noti che per y = 10 i costi totali sono pari a 80 sia se si utilizza l impianto 2 che se si utilizza l impianto 3) e per livelli di produzione superiori a 10 l impianto 3. a sua funzione di costo totale sarà allora quella rappresentata nella figura precedente a destra, che, semplicemente, riprende i minimi livelli di costo della figura a sinistra. 27

28 Esercizio 2.26 Dal costo medio è possibile passare al costo totale semplicemente moltiplicandolo per la quantità prodotta. Pertanto, data la funzione di costo medio del testo, la funzione di costo totale sarà: TC = xy 2 dove x è un parametro. Il costo marginale è allora dato da: MC = 4xy E la produzione della 40 esima unità cioè per y = 40, avremo che il costo marginale è dato da MC = 160x. 28

29 Esercizio 2.27 Il costo medio minimo si ottiene in corrispondenza di una quantità prodotta tale che la derivata della funzione di costo medio fatta rispetto y sia uguale a zero. Data la funzione di costo medio del testo, si ottiene: dac dy = 4y 20 = 0 y = 5 Per y = 5, il costo medio è: AC(5) = = 110. a funzione di costo totale si ottiene moltiplicando per y il costo medio. Si ottiene quindi: TC(y) = 2y 3 20y y. Derivando il costo totale rispetto y, otteniamo che il costo marginale è dato da: MC(y) = 6y 2 40y Questa funzione ammette un minimo per un valore di y tale che: dmc dy = 0, cioè: da cui MC ( 10 3 ) = y 40 = 0 y =

30 Esercizio 2.28 a funzione di offerta della singola impresa è definita dall uguaglianza tra prezzo e costo marginale dell impresa. Sappiamo inoltre che il costo marginale è la derivata della funzione di costo totale fatta rispetto la quantità. a funzione di costo totale del testo, TC(y) = 50y 2 + 6y, derivata rispetto y, da luogo quindi a: MC(y) = 100y + 6 E l uguaglianza tra prezzo e costo marginale porta alla definzione della funzione inversa di offerta: p = 100y + 6 Risolvendo in y otteniamo la funzione di offerta: y = p dove quindi il prezzo deve essere maggiore di 6 per far si che l impresa offra una quantità positiva sul mercato. elasticità dell offerta al prezzo è data da: Nel nostro caso, quindi: ε y,p = 1 p 100 y ε y,p = dy p d p y ε y,p = p p ε y,p = p p 6 Abbiamo quindi calcolato l elasticità dell offerta al prezzo. Se il prezzo è pari a 106, la produzione sarà pari a y = = 1 e il profitto dell impresa sarà dato, come al solito, dalla differenza tra ricavi totali e costi totali, questi ultimi calcolati per y = 1: π = TC(1) π = 106 ( ) π = = 50 imprenditore ottiene profitti massimi pari a

31 Esercizio 2.29 Al fine di calcolare i rendimenti di scala, dobbiamo moltiplicare tutti i fattori produttivi della funzione di produzione del testo per un parametro t > 1 e confrontare la produzione che otteniamo con la t volte la produzione che ottenevamo in precedenza, cioè valutare il segno della disuguaglianza: y(t,tk) ty(,k) Se vale il segno maggiore, i rendimenti sono crescenti, se vale il segno uguale sono costanti se vale il segno minore sono decrescenti. Data la funzione di produzione del testo, la disuguaglianza può essere scritta: [ ] (t) (tk) [(t)(tK)] 3 1 t K (K) 1 3 A sinistra dell uguale possiamo mettere in evidenza il termine t 2 3, perchè questo termine è presente in tutti gli addendi della somma: [ ] [ ] t K (K) 1 3 t K (K) 1 3 e, ovviamente, semplificare: t 2 3 t per t > 1, vale ovviamente il segno minore. Pertanto i rendimenti di scala sono decrescenti (quindi la funzione di costo medio dovrà essere crescente rispetto la quantità prodotta). a domanda condizionale di fattori produttivi è basata sul sistema 2.18 del testo, che, per essere sviluppato, richiede il calcolo del saggio marginale di sostituzione tra K e, che, in valore assoluto, è il rapporto tra produttività marginali: MRS(K,) = MP (,K) MP K (,K) Nel caso della funzione di produzione dell esercizio, la produttività marginale del lavoro è data da: ( ) MP (,K) = K Mettendo il evidenza il termine K 2 3, otteniamo: ( MP (,K) = (K 2 ) 3 1 ) + 1 K 2 ( 2 K) (si provi e rimoltiplicare e si vedrà che si ottiene lo stesso risultato). a produttività marginale del capitalè è data da: MP K (,K) = K K

32 Mettendo il evidenza il termine 2 3, otteniamo: ( MP K (,K) = (K 2 ) 1 3 ) + 1 (K 2 ) Si consideri adesso il saggio marginale di sostituzione. E dato dal rapporto tra MP (K,) e MP K (K,). Osservando le equazioni delle due produttività marginali, si nota immediatamente che il rapporto porta a notevoli semplificazioni, in quanto il termine entro parentesi tonda è uguale nelle due equazioni. Quindi: MRS(K, ) = ( ) 2 K 3 Siamo allora in grado di impostare il sistema 2.18, con r = 1: { ( K ) 2 3 = w ȳ = K (K) 1 3 Dalla prima equazione è agevole calcolare il sentiero di espansione: e sostituirlo nella seconda equazione: e, raccogliendo il termine 2 3 : K = w 3 2 ( ȳ = w 3 2 ( ) 3 2 ) + 2 w ȳ = 2 [ ] w + 2 w ȳ = 2 [ ] w Da cui possiamo calcolare la funzione di domanda condizionale del lavoro: (y,w) = y 3 2 ( ) 1 y 3 [1 + w] 3 (y,w) = 1 + w Dal sentiero di espansione possiamo calcolare K, la domanda condizionale del capitale: K(y,w) = w 3 2 ( ) y 3 ( ) 3 y w 1 + K(y,w) = w 1 + w Nota la domanda condizionale di fattori produttivi, possiamo calcolare la funzione di costo totale, data da TC(y, w) = w (y, w) + r K(y, w). Dato r = 1, avremo quindi: ( ) y 3 ( ) 3 y w TC(y,w) = w w 1 + w 32

33 dove, mettendo in evidenza i termini comuni ai due addendi, otteniamo: ( ) y 3 TC(y,w) = w 1 + ( ) 1 + w w TC(y,w) = w (1 + w) 2 y 3 2 imprenditore conosce quindi la sua funzione di costo totale, che presenta rendimenti decrescenti, quindi può definire la funzione di offerta di prodotto, cioè la quantità di y che è ottimale produrre per ogni dato prezzo di vendita del prodotto e prezzi dei fattori produttivi. a sua funzione di profitto è data da: π = py TC(y,w) π = py w (1 + w) 2 y 3 2 obiettivo della massimizzazione del profitto è raggiunto scegliendo la quantità ottimale y tale che: p = 3 w 2 (1 + y w) 2 questa equazione è stata ottenuta derivando la funzione di profitto rispetto y e ponendo la derivata prima uguale a zero oppure equagliando il prezzo al costo marginale (che non è altro che l espressione a destra dell uguale). equazione precedente presenta la funzione inversa di offerta di prodotto. a funzione di offerta è facilmente ottenibile risolvendo in y la funzione inversa di offerta: ( ) 2 y p 2 (p,w) = (1 + w) 4 3 w A questo punto conosciamo la quantità che è ottimale produrre nell impresa per ogni possibile livello di prezzo di vendita del prodotto e del costo del lavoro. Per produrre la quantità y, l impresa avrà bisogno di fattori produttivi in una quantità che dipendera dalle funzioni di domanda condizionale di lavoro e capitale K calcolate ( per y = y y 3. Cioè, dato (y,w) = 1+ w) e sostituendo: (p,w) = ( 2 p 3 w ) 2 (1 + w) w 3 ( 2 p (p,w) = 3 w (1 + w che rappresenta la funzione di domanda non condizionale del fattore lavoro. Utilizzando la stessa metodologia, avremo la domanda non condizionale del capitale:: ( 2 K p (p,w) = (1 + ) 3 w) 3 w ) 3 33

34 Esercizio 2.30 Il sistema indicato nel testo (equzione 2.39) ci dice che l impresa massimizza i profitti quando sceglie i fattori produttivi, K e, risolvendo il seguente sistema: { p y = w p y K = r che eguaglia la produttività marginale in valore di ogni fattore produttivo al suo costo di utilizzo. Calcolando le produttività marginali del lavoro e del capitale dalla funzione di produzione fornita nel testo, possiamo riscrivere il precedente sistema applicandolo al nostro esercizio: { p = w pk 2 3 = r da cui possiamo immediatamente calcolare la funzione di domanda non condizionale di lavoro: ( p ) 3 2 (p,w) = 3w e la funzione di domanda non condizionale di capitale: ( p ) 3 K 2 (p,r) = r Se aumenta il costo di utilizzo del capitale la domanda di lavoro non si modifica (i fattori lavoro e capitale sono indipendenti). Questo perchè il costo del capitale, r, non compare nella funzione di domanda di lavoro. Si noti che questo risultato dipende dalla forma della funzione di produzione, e che in generale, invece, l utilizzo del lavoro dipende dal costo del capitale. Se aumenta il costo di utilizzo del capitale la domanda di capitale si riduce perchè il costo del capitale r è al denominatore, quindi K (p,r) dipende negativamente da r e l elasticità dell utilizzo del capitale al suo costo di utilizzo ε K,r è pari a 3 2. Per p = 10, w = 1 e r = 2, avremo che: ( ) (10,1) = ( ) 3 10 K 2 (10,2) =

35 Esercizio 2.31 a funzione di produzione indicata nel testo implica che i fattori lavoro e capitale siano perfettamente complementari, infatti la quantità prodotta dipendo soltanto dal fattore utilizzatp in minore quantità tra i due (come nel testo, nell esempio dell autocarro e dell autista). In casi come questi è razionale per l impresa utilizzare la stessa quantità dei due fattori produttivi. Pertanto, deve valere = K. Cioè vuol dire che la funzione di produzione può essere semplicemente scritta y = (oppure y = K, ma data K =, è ovviamente la stessa scrittura). Il profitto dell impresa, dato p = 20 e w = 1, può essere scritto: π = 20 1 r dove nell ultimo addendo abbiamo scritto al al posto di K, perchè per l impresa è opportuno che essi siano uguali (nell esempio del testo, il numero di ore di utilizzo dell autocarro deve essere uguale al numero di ore retribuite all autista). a massimizzazione del profitto rispetto (derivata prima posta uguale a zero) da luogo a: 10 1 r = 0 10 = (1 + r) = ( ) r dove abbiamo di fatto applicato ( ) la condizione di massimizzazione dei profitti, valore della produttività marginale 10 uguale al costo marginale (1 + r). Ovviamente, dato che K =, deve anche valere: K = ( ) r Allora il costo totale che deve sostenere l imprenditore per produrre il bene y, dato da TC = w + rk, sarà: ( ) 10 2 ( ) 10 2 TC(y,r) = 1 + r TC(y,r) = r 1 + r 1 + r elasticità dell utilizzo del lavoro al costo del capitale è data da: ( ) d ( r ) ε,r = dr se scriviamo: = 100(1 + r) 2 è agevole calcolare la derivata di rispetto r: quindi scrivere l elasticità: d dr = 200(1 + r) 3 = 200 (1 + r) 3 ( ε,r = 200 ) ( r (1 + r) (1+r) 2 ) 35 ε,r = 2 r 1 + r

36 Ovviamente, ε K,r = ε,r in quanto K =. elasticità del costo totale al costo del capitale è invece data da: ( ) dtc ( r ) ε TC,r = dr TC Dato che la derivata del costo totale rispetto r è pari a: dtc dr ( ) ( ) 100 r ε TC,r = (1 + r) r = 100 (1+r) 2, otteniamo: ε TC,r = r 1 + r 36

37 Esercizio 2.32 Dato che dobbiamo calcolare la domanda condizionale dei fattori produttivi, la metodologia per lo svolgimento dell esercizio è basata sul sistema 2.18, che richiede il calcolo del MRS(K,): MRS(K,) = MP 1 (,K) MP K (,K) = 6 K K = 1 K 4 Pertanto il sistema 2.18, per r = 5 e w = 1 può essere scritto: { 14 K = 1 5 ȳ = K la prima equazione, risolta in K, ci porta al sentiero di espansione: K = 4 5 Sostituendo nella seconda equazione del sistema: ( ) 4 4 ȳ = ȳ = da cui la domanda condizionale del fattore lavoro: quindi, dal sentiero di espansione: (y) = 1.195y 6 5 K(y) = 0.956y 6 5 Il costo totale è allora dato da: TC(y) = y y 5 TC(y) = 5.975y 5 6 I corrispondenti costi medi (AC(y)) e marginali MC(y) sono i seguenti: AC(y) = 5.975y 1 5 MC(y) = 7.170y 1 5 uguaglianza tra prezzo, pari a 8 5, e costo marginale definisce la quantità ottimale da produrre: 8 5 = 7.170y 1 5 da cui y = e la produzione ottimale dell impresa. Sostituendo y in e K, otteniamo = e K =

38 Esercizio 2.33 a quota del lavoro sul prodotto è data dal rapporto tra ammontare della retribuzione del fattore lavoro (w) e valore della produzione (py), cioè q = w py = w p y. Data la funzione di produzione del testo, quindi: q = w p α + K α Se l impresa massimizza i profitti, l uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione e costo relativo del lavoro, come descritta nel testo deve valere. Il saggio marginale di sostituzione è dato da: MRS(K,) = αα 1 αk α 1 MRS(K,) = quindi deve valere: ( K ) α 1 = w r. Il sentiero di espansione è dato da: ( w ) 1 α 1 K = r Possiamo sostituire K nella quota del lavoro, ottenendo: q = w p ( ( α + w ) 1 α 1 r ) α ( ) K α 1 che, mettendo in evidenza α al denominatore e dividendo numeratore e denominatore per, può essere scritta: q = w 1 ( p α ( ) α ) w α 1 r Ma sappiamo anche che, se l impresa massimizza i profitti, la produttività marginale del lavoro in valore deve essere uguale al costo di utilizzo del lavoro. In simboli: quindi: q = w p pα α 1 = w α 1 = w α p w α p 1 (1 + ( ) α w α 1 r ) q = α 1 + ( w r ) α α 1 Dato che α < 1 perchè la legge della produttività marginale decrescente deve valere per l impresa che massimizza i profitti, al crescere di w il termine ( ) α w α 1 r si riduce, quindi il denominatore della quota del lavoro si riduce. a quota del lavoro, in questo caso, è quindi crescente rispetto al salario. 38

39 Esercizio 2.34 Il testo dell esercizio richiede la rappresentazione grafica dell effetto output e dell effetto sostituzione in tre differenti contesti. I tre grafici successivi considerano sempre le scelte di un imprenditore tra i fattori produttivi lavoro e capitale, e sono costruiti sulla base della stessa simbologia. In ognuno dei tre grafici è rappresentata la situazione iniziale, dove l utilizzo dei fattori è indicato dal punto A, e la situazione successiva al cambiamento dei prezzi dei fattori, con utilizzo dei fattori indicato dal punto B. Il punto C è invece rappresentato per scindere l effetto output dall effetto sostituzione. Per definire le coordinate del punto C si rappresenta un isocosto parallelo all isocosto successivo alla variazione del prezzo del fattore e tangente all isoquanto precedente la variazione del prezzo. Iniziamo dal caso dell aumento del costo del capitale. a figura (n) rappresenta l isocosto iniziale come la retta passante per il punto A. aumento del costo del capitale ha l effetto di far ruotare l isocosto verso l interno (si ricordi che l isocosto è definito da K = TC r w r. Supponiamo che il nuovo isocosto sia quello tratteggiato e rappresentato più in chiaro. Figura n: Effetto output e effetto sostituzione nel caso di aumento del costo del capitale K ya yb effetto sostituzione(-) effetto totale (-) B A C effetto output(-) effetto totale (-) effetto output (-) effetto sostituzione (+) impresa, se volesse continuare a produrre la quantità y A, cioè rimanere sullo stesso isoquanto, dovrebbe sostenere un costo totale maggiore ma, dato il nuovo prezzo relativo, avrebbe convenienza a posizionarsi sul punto C. Il passaggio dal punto A al punto C individua quindi l effetto sostituzione: di quanto il fattore diventato relativamente meno costoso sostituisce quello più costoso se si continua a produrre la stessa quantità. 39

40 Ma non ci sono motivi per cui, dato l aumento del costo del capitale, l impresa trovi conveniente produrre la stessa quantità. A costi dei fattori più alti, la quantità ottimale si deve ridurre. Supponiamo che ai nuovi prezzi dei fattori l impresa trovi conveniente produrre y B, utilizzando le quantità di fattori produttivi definite dal punto B. effetto output è rappresentato quindi nel passaggio dal punto C al punto B. effetto totale nel passaggio dal punto A al punto B. Si noti che nel caso rappresentato in figura lavoro e capitale sono complementi (all aumentare del costo del capitale, l effetto totale è quello di ridurre l utilizzo del lavoro). Con altre rappresentazioni grafiche, lavoro e capitale potrebbero essere sostituti (l utilizzo del lavoro potrebbe cioè aumentare quando il costo del capitale aumenta, cioè l effetto totale per il lavoro potrebbe essere positivo). a figura (q) rappresenta il caso della riduzione del costo del capitale. In questo caso, l isocosto ruota verso l esterno facendo perno sull intercetta orizzontale, fino alla retta tratteggiata più chiara. effetto sostituzione è valutato a parità di produzione (sempre sull isoquanto y A ) mentre l effetto output considera la produzione ottimale dell impresa dopo la riduzione del prezzo del capitale (y B > y A ). effetto output è valutato nel passaggio dal punto C al punto B. Figura o: Effetto output e effetto sostituzione nel caso di riduzione del costo del capitale K ya yb effetto totale (+) effetto output(+) effetto sostituzione(+) C B A effetto output (+) effetto sostituzione (-) effetto totale (-) Si noti che, per come è stata rappresenta la figura, i due fattori produttivi sono sostituti, perchè al ridursi del costo del capitale l utilizzo del lavoro si è ridotto. Questo risultato non è valido in generale, ma dipende da come sono state costruite gli isoquanti. Un risultato con effetto totale positivo per l utilizzo del lavoro andrebbe ugualmente benissimo a figura (p) rappresenta il caso della riduzione del costo del lavoro. In questo caso, l isocosto ruota verso l esterno facendo perno sull intercetta verticale. effetto sosti- 40

41 tuzione è valutato a parità di produzione (sempre sull isoquanto y A ) mentre l effetto output considera la produzione ottimale dell impresa dopo la riduzione del prezzo del lavoro (y B > y A ). effetto output è valutato nel passaggio dal punto C al punto B. Figura p: Effetto output e effetto sostituzione nel caso di riduzione del costo del lavoro K ya effetto totale (+) yb effetto output(+) A C B effetto sostituzione(-) effetto sostituzione (+) effetto totale (+) effetto output (+) Per come è stata rappresenta la figura, i due fattori produttivi sono complementari, perchè al ridursi del costo del capitale l utilizzo del capitale è aumentato. Questo risultato non è valido in generale, ma dipende da come sono state costruiti gli isoquanti. 41

42 Esercizio 2.35 esercizio chiede di calcolare l elasticità della domanda di lavoro al salario. Dato che conosciamo la funzione di produzione, dobbiamo quindi calcolare la funzione di domanda di lavoro che, per l impresa che massimizza i profitti, è data dall uguaglianza tra produttività marginale in valore del lavoro e salario, cioè da: p dy d = w. Data la funzione di produzione dell esercizio, otteniamo quindi: pαa α 1 = w che, risolta in, da luogo alla funzione di domanda di lavoro: α 1 = w αap 1 α = αap w ( αap = w ) 1 1 α Se applichiamo la trasformazione logaritmica a questa funzione di domanda otteniamo: ln() = 1 1 α ln(αap) 1 1 α ln(w) elasticità della domanda di lavoro al salario è data, come sappiamo, da ε,w = dln() dln(w). Nel nostro caso avremo quindi: ε,w = 1 1 α Se α = 3 1, vale ε,w = 3 2. Se il salario aumenta del 3%, l utilizzo del lavoro dovrà allora ridursi del 4.5%. Per ottenere questo risultato, basta ricordarsi che l elasticità può essere anche scritta come: ε,w = Da questa equazione conosciamo ε,w = 3 2 e dw w = 0.03 (cioè il 3%). Ma allora otteniamo immediatamente: d = = = 4.5%. d dw w 42

43 Esercizio 2.36 Il Comune in questo caso si comporta come se fosse un impresa: assumendo ausiliare del traffico (utilizzando lavoro, n) produce un bene, le multe (M), con valore unitario pari a 64 euro. Ogni ausiliario costa 400 euro. Il profitto che il comune ottiene dalle multe è allora dato da: π = 64M 400n dove M rappresenta il numero di multe e n il numero di ausiliari del traffico. Dal testo dell esercizio conosciamo la relazione che lega il numero di multe al numero di ausiliari, e possiamo sostituirla nella funzione di profitto: π = 64( 100 n) 400n π = 6400 n) 400n Il comune sceglie allora n in modo da massimizzare i profitti: dπ dn = = 0 n da cui: 3200 n = n = 8 n = Per il Comune è ottimale assumere 64 berretti verdi. Si noti che lo stesso risultato poteva essere ottenuto impostando la relazione p dm dn = w (dove abbiamo sostituito n al tradizionale e M al tradizionale y, con: p = 64, n e w = 400. dm dn = 50 43

44 Esercizio 2.37 esercizio ci chiede di calcolare l occupazione ottimale dell impresa data la funzione di produzione y = , il prezzo di vendita del bene, p = 1 e il salario, w = 2. a solita condizione di uguaglianza tra valore della produttività marginale e il salario può quindi essere scritta: = 2 da cui si ottiene = a produzione dell impresa sara quindi data da: y = 30 ( ) = 225. I costi che sostiene l impresa saranno dati dal costo del lavoro, w, più i costi fissi, pari a 3. Pertanto: TC = = I ricavi totali dell impresa saranno dati dal prezzo di vendita del prodotto, p = 1 per la produzione, y = 225. Pertanto T R = 225. Il profitto, dato da T R TC, sarà quindi 225 ( ) = Questo è il profitto massimo che può conseguire la nostra impresa. 44

45 Esercizio 2.38 Per calcolare l elasticità della domanda di lavoro al salario dobbiamo conoscere la funzione di domanda di lavoro, che sappiamo essere data dall uguaglianza tra valore della produttività marginale e salario. Nel caso proposto dall esercizio, la produttività marginale è data da: dy d = Pertanto deve valere: p(100 2) = w da cui si ottiene facilmente: = Per semplificare la notazione, definiamo ω = w p come il salario reale (quello rispetto cui il testo chiede di calcolare l elasticità), quindi w p = ω Per il calcolo dell elasticità ion questo caso non è conveniente passare ai logaritmi ma utilizzare l equazione: ε,ω = d ω dω Applicando questa definizione di elasticità alla nostra funzione di domanda di lavoro, otteniamo: ε,ω = 1 ω ω ε,ω = ω 100 ω 45

46 Esercizio 2.39 esercizio ci chiede di rappresentare graficamente costi medi, costi variabili medi, costi fissi medi, costi marginali, prezzi e profitti sulla base delle relative grandezze totali presentate nella figura dell esempio 2.26 (che riportiamo per comodità). Per rappresentare queste grandezze occorre tener conto di quanto segue: costo medio e costo marginale devono essere uguali quando il costo medio è minimo; per y = y 1, il costo totale è uguale a ricavo totale e i profitti sono nulli; pertanto, il prezzo deve essere uguale al costo medio (p = AC); per y = y 3, il costo totale è uguale a ricavo totale e i profitti sono nulli; pertanto, il prezzo deve essere uguale al costo medio (p = AC); per y = y 2, i profitti sono massimi; pertanto, il prezzo deve essere uguale al costo marginale (condizione di massimo profitto, p = MC); il costo fisso unitario (AFC)deve essere sempre decrescente; il costo medio è dato dalla somma tra costo medio variabile e costo medio fisso (AC = AVC + AFC) dato che il costo medio variabile è sempre crescente, il costo marginale deve essere sempre superiore al costo medio variabile (MC > AVC) Per semplificare, abbiamo assunto che costi marginali e cost medi variabili siano delle rette; questo non è necessario, e rispetto l esempio 2.26 implica α = 1 2 (vedi le equazione dell esempio). 46

47 Figura q: Dai costi e ricavi totali (primo grafico) alle corrispondenti grandezze unitarie (secondo grafico) TR,TC, π TR TC FC π y 1 y 2 y 3 π y AC, MC, AFC, AVC MC AVC π AC p AFC y 1 y 2 y 3 y a figura riepiloga dalle condizioni viste sopra. 47

48 Esercizio 2.40 esercizio si riferisce all esempio 2.26 del libro e ci chiede di calcolare la funzione di offerta dell impresa nel caso in cui i costi fissi siano pari a 20, il salario sia pari a 1 e valga α = 1 2. Sappiamo che la funzione di offerta è basata sull eguaglianza tra prezzo e costo marginale. Il costo marginale è già calcolato nell esempio 2.26; sostituendo α e w, otteniamo: MC = 2y Dato che il prezzo deve essere uguale al costo marginale, otteniamo: p = 2y y = p 2 che rappresenta la funzione di offerta (la relazione tra quantità ottimale e prezzo di vendita del prodotto). a rappresentazione grafica, che omettiamo, è semplicemente data da una retta che esce dall origine con pendenza pari a 2, nello spazio con il prezzo sulle ordinate e la quantità offerta sulle ascisse (p = 2y). Il profitto è dato da: π = py TC(y ) dove TC è già calcolato nell esempio Sostituendo w, FC, e α otteniamo: TC = y Ma sappiamo anche che, per un prezzo p = 10 come indicato dal testo, vale y = 5. Sostituendo y = 5 nella funzione di costo totale otteniamo otteniamo TC = 45. I ricavi totali sono dati da py, dove p = 10 e y = 5. Pertanto sono pari a 50. I profitti sono quindi pari a π = = 5. 48

49 Esercizio 2.41 esercizio di chiede di calcolare i costi fissi che sostiene una impresa se di questa impresa conosciamo la funzione di costo totale, il prezzo di vendita del prodotto e i profitti. Ricordiamoci che: p = MC(y) definisce la quantità ottimale da produrre. In questo caso, conosciamo sia il prezzo che il costo marginale, quindi anche la quantità ottimale, y π = py TC(y,FC) è la funzione di profitto. In questa funzione conosciamo sia i profitti, che la quantità ottimale da produrre, che i prezzi. unica incognita sono i costi fissi, che possiamo quindi agevolmente calcolare. Nel caso dell esercizio 40 = 2y y = 20 perchè il prezzo è p = 40 e la funzione di costo totale è TC = FC + y = (FC ) perchè il profitti sono pari a 10 e, come avevamo già visto, p = 40 e y = 20 Pertanto, risolvendo nei costi fissi, FC, otteniamo FC =

50 Esercizio 2.42 a funzione di produzione proposta nel testo dell esercizio, calcolata per K = 9, da luogo a: y = Noti i prezzi dei fattori lavoro e capitale, il testo ci chiede di calcolare i costi medi e i costi marginali dell impresa. Per calcolare questi costi è necessario conoscere la funzione di costo totale. Come al solito questa funzione rappresenta il costo totale minimo che è necessario sostenere per produrre una certa quantità. Dati w = 3 e r = 2, e poiché il capitale è disponibile in quantità fissa, K = 9, possiamo scrivere la funzione di costo TC = wk + r. Dalla funzione di produzione sappiamo che: = 1 81 y2, cioè: TC(y) = y2 TC(y) = y2 dove quindi i costi fissi sono pari a 18 = 2 9. a funzione di costo medio, data da AC(y) = TC y sarà semplicemente: AC(y) = 18 y y e la funzione di costo marginale, MC(y) = dtc dy, sarà: MC(y) = 6 81 y MC(y) = 2 27 y a rappresentazione grafica dà luogo a funzioni di costo medio e costo marginale aventi la stessa forma di quelle della figura riportata nella soluzione dell esercizio Il costo marginale è una retta uscente dall origine, il costo medio è a forma di U con un minimo definito da dac dy = 0, cioè: 18 y = 0, quindi y =

51 Esercizio 2.43 impresa deve scegliere capitale e lavoro in modo da ottenere il massimo profitto, ma il capitale può essere utilizzato solo in misura pari a 64 (impianto A) oppure pari a 27 (impianto B). Ovviamente, l impianto A procura costi maggiori dell impianto B, rispettivamente pari a 10 e 3. Potremo risolvere il problema utilizzando varie metodologie. Utilizziamo quella che ci sembra più intuitiva, cioè scriviamo la funzione di produzione nei due casi. Nel caso di K = 64, otteniamo y = ; nel caso di K = 27, otteniamo y = Pertanto, per p = 6 e w = 2: per K = 64 (impianto A), y = 4 1 3, cioè: = ( y 4) 3 e, dato rk = 10, il profitto è pari a: ( y ) 3 π A (y) = 6y 2 10 πa (y) = 6y y3 10 per K = 27 (impianto B), y = 3 1 3, cioè: = ( y 3) 3 e, dato rk = 3, il profitto è pari a: ( y ) 3 π B (y) = 6y 2 3 πb (y) = 6y y3 3 Quindi sceglieremo l impianto A se π A (y A ) > π B(y B ) cioè se, una volta che la produzione ottimale è stata scelta nei due casi, il profitto corrispondente è più elevato utilizzando l impianto A. Altrimenti sceglieremo l impianto B. Nel caso dell impianto A, sulla base dell uguaglianza tra prezzo e costo marginale, avremo un livello di produzione definito da: 6 = 3 32 y2 y A = 8 Il profitto che ottiene l impresa utilizzando l impianto A è quindi: π A (6) = = 22 Se l impresa scegliesse invece l impianto B, il livello di produzione ottimale è definito da: Il profitto in questo caso è dato da: 6 = 2 9 y2 y B = 3 3 π B (3 3) = (3 3) 3 3 = E quindi ottimale scegliere l impianto A, perchè permette di ottenere profitti più elevati (π A = 22,π B = ). 51

52 Esercizio 2.44 Dalla funzione di produzione di breve periodo possiamo, al solito, calcolare l utilizzo ottimale del lavoro di ogni impresa sulla base della relazione che eguaglia il valore della produttività marginale al salario: p dy d = w cioè, dati i valori di p = 20, w = 4 e data la funzione di produzione y = 10ln(): = 4 da cui = 50. Questa è la domanda di lavoro di ogni singola impresa. Dato che nel sistema economico esistono imprese, l utilizzo totale del lavoro sarà dato da =

53 Esercizio 2.45 Al fine di calcolare la funzione di offerta aggregata dobbiamo prima calcolare la funzione di offerta della singola impresa. Dato che la funzione di costo totale è nota, ogni impresa, al fine di massimizzare i profitti, sceglierà la produzione tale che valga l eguaglianza tra prezzo di vendita del prodotto e costo marginale: p = 0.2y + 1 y = 5(p 1) che rappresenta la funzione di offerta della singola impresa. Dato che esistono 100 imprese identiche, la funzione di offerta aggregata (Y ) sarà data da Y = 100y, cioè Y = 500(p 1). 53