Appunti di Geometria e Algebra

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1 Appunti di Geometria e Algebra (per la facoltà di Ingegneria) Francesco D Andrea Dipartimento di Matematica e Applicazioni R. Caccioppoli Università di Napoli Federico II, P.le Tecchio Napoli v1: 12 giugno Note Appunti del corso di Geometria e Algebra (6 CFU) per i corsi di laurea in Ingegneria Elettrica e Ingegneria Gestionale della Logistica e della Produzione (canale A-COP) dell Università di Napoli Federico II, a.a (Attenzione: questo materiale è destinato esclusivamente agli studenti del corso, con preghiera di non divulgazione.) Testi consigliati [Lom] L.A. Lomonaco, Un introduzione all algebra lineare, Ed. Aracne (Roma). [Pel1] S. Pellegrini, A. Benini e F. Morini, Algebra Lineare 1, Ed. F. Apollonio (Brescia). [Pel2] S. Pellegrini, A. Benini e F. Morini, Algebra Lineare 2, Ed. F. Apollonio (Brescia). [BruLan] M. Brundu e G. Landi, Note di Algebra Lineare e Geometria (2011), on-line. [Par] G. Parigi e A. Palestini, Manuale di Geometria: esercizi e temi d esame svolti, Ed. Pitagora (Bologna).

2 Indice 1 Elementi di teoria degli insiemi (16/03/2011) Notazioni Insiemi privi di struttura Applicazioni tra insiemi Strutture algebriche: gruppi, anelli, campi (18/03/2011) Operazioni di un insieme Gruppi, anelli, campi Sistemi lineari: definizioni e prime proprietà (23/03/2011) Premesse Generalità sui sistemi lineari Matrici Operazioni elementari su un sistema lineare Esame dei casi più semplici di equazioni e sistemi lineari Esercizi Spazi vettoriali e sottospazi (25/03/2011) Introduzione Proprietà elementari Sottospazi Operazioni su sottospazi Esercitazione su vettori e matrici (30/03/2011) Esercizi su spazi e sottospazi Esercizi su matrici Determinante di una matrice Determinante di una matrice n n Dipendenza e indipendenza lineare (06/04/2011) Dipendenza e indipendenza lineare Basi e componenti Esercitazione su basi e dimensione (08/04/2011) Proprietà delle basi Esercizi Spazi metrici (13/04/2011) Lunghezze, angoli e proiezioni in R Aree di triangoli e determinante i

3 8.3 Definizione astratta di prodotto scalare e sue proprietà Proiezioni ortogonali Esercizi Basi ortonormali e metodo di Gram-Schmidt (15/04/2011) Basi ortonormali Metodo di Gram-Schmidt Sottospazi ortogonali Esercizi Matrici (20/04/2011) Prodotto righe per colonne Proprietà del prodotto Inversa ed aggiunta di una matrice Il metodo di eliminazione di Gauss (29/04/2011) Matrici triangolari Il metodo di eliminazione di Gauss Sistemi ridotti e a scala Riduzione di sistemi lineari (04/05/2011) Riduzione di una matrice Soluzione di sistemi lineari generali Calcolo dell inversa di una matrice per riduzione Determinare una base per riduzione Inversa di una matrice con il metodo di Gauss Applicazioni lineari (06/05/2011 e 11/05/2011) Definizione e prime proprietà Proprietà delle applicazioni lineari Rango e sistemi lineari (11/05/2011) Applicazioni e sistemi lineari Rango di una matrice Proprietà del rango Esercizi Esercitazione (13/05/2011) Applicazioni lineari Basi e dimensione Sistemi lineari ii

4 16 Endomorfismi semplici (18/05/2011) Matrice del cambiamento di base Matrici simili e coniugate Esercizio: rotazioni nel piano Autovalori e autovettori (20/05/2011) Autovalori e autovettori Polinomio caratteristico Diagonalizzazione di matrici (25/05/2011 e 27/05/2011) Diagonalizzazione Esercizi Geometria di R 2 (01/06/2011 e 03/06/2011) Equazioni di una retta Intersezione fra due rette Circonferenze Distanze Esercizi Esercitazione (06/06/2011) Tema d esame # Tema d esame # Soluzioni tema d esame # Soluzioni tema d esame # Geometria di R 3 : rette, piani e intersezioni (08/06/2011) Rette e piani in R 3 : equazioni parametriche Equazioni cartesiane di una retta Equazioni cartesiane di un piano Intersezioni Geometria di R 3 : lunghezze, aree e volumi (10/06/2011) Distanze, equazione di una sfera Angolo fra due vettori di R Prodotto vettoriale e prodotto misto Retta per due punti, piano individuato da tre punti A Equazioni polinomiali 182 iii

5 Lezione I Elementi di teoria degli insiemi Sommario: notazioni; richiami di teoria degli insiemi; prodotto cartesiano; applicazioni (funzioni) e loro proprietà; applicazioni iniettive, suriettive, biettive; applicazione identica e applicazione inversa; esempi. 1.1 Notazioni In matematica, per semplificare la scrittura di equazioni e teoremi, su fa uso di simboli specifici. Nella tabella seguente sono riportati i simboli più comuni. Altri verranno introdotti durante il corso. Tavola dei simboli più usati Simbolo Significato per ogni (detto quantificatore universale) esiste (detto quantificatore esistenziale)! esiste ed è unico = implicazione logica se e solo se := definizione (a := b si legge a per definizione è uguale a b ) : tale che e (detta congiunzione logica) o (detta disgiunzione logica) Assumeremo come primitivo il concetto di insieme (adotteremo quindi il punto di vista della teoria ingenua degli insiemi, senza addentrarci nei problemi della teoria assiomatica). In maniera intuitiva, un insieme è una collezione di oggetti di natura arbitraria. Un insieme può essere definito elencando i suoi elementi, oppure specificando le proprietà soddisfatte dai suoi elementi. Ad esempio l insieme dei numeri interi compresi fra 2 e 3 si può scrivere come Insiemi A = { 0, 1, 2, 3, 1, 2 }, oppure A = { n Z : 2 n 3 }. (1.1) L espressione (1.1) si legge A è l insieme degli n contenuti in Z (quindi, interi) tale che n è maggiore o uguale a 2 e minore o uguale a 3. Una proposizione viene usualmente racchiusa fra parentesi graffe. 1

6 In un insieme, l ordine degli elementi è irrilevante. Ad esempio {3, 14} = {14, 3}. Gli insiemi verranno indicati con lettere maiuscole (A, B, C,...), i loro elementi con lettere minuscole (a, b, c,...). L espressione a A si legge a appartiene ad A (o è elemento di, o è contenuto in ). Si può scrivere al rovescio: A a vuol dire A contiene a. L espressione a / A vuol dire a non è elemento di A. Gli elementi di un insieme non devono necessariamente essere numeri: possono essere oggetti di natura arbitraria. Si pensi all insieme dei punti di una retta, l insieme dei giocatori di una squadra di calcio, l insieme dei caratteri di un alfabeto, etc. Gli elementi di un insieme possono essere a loro volta insiemi. Ad esempio, siano A := {1, 2} e B := {1, 4}. Possiamo formare l insieme C i cui elementi sono l insieme A e l insieme B: C := {A, B} = { {1, 2}, {1, 4} } Esiste una notazione specifica per gli insiemi numerici più importanti. Fra questi ricordiamo: N := {0, 1, 2, 3, 4,...} numeri naturali (incluso lo 0) Z := numeri interi (relativi, ossia positivi e negativi, incluso lo zero) Q := numeri razionali (quozienti di due interi) R := numeri reali C := numeri complessi Z + := {1, 2, 3,...} interi positivi Z := { 1, 2, 3,...} interi negativi R + := reali positivi etc. 1.2 Insiemi privi di struttura Definizione Un insieme A si dice sottoinsieme di un insieme B, e scriveremo A B, se ogni elemento di A è anche elemento di B. Quindi: Sottoinsieme A B x A, x B. Se esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A, diremo che A è un sottoinsieme proprio di B, e scriveremo A B. Quindi: A B { x A, x B } { b B : b / A }. E facile mostrare che { } { } A B B A = A = B. 2

7 Definizione Dati due insiemi A e B, la loro intersezione A B è l insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B, la loro unione A B è l insieme degli elementi che che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B, la loro differenza A B è l insieme di elementi che appartengono ad A ma non a B. Quindi: Intersezione, unione, differenza A B := { x : x A x B }, A B := { x : x A x B }, A B := { x : x A x / B }. Si indica con l insieme vuoto, ovvero privo di elementi. Unione, intersezione e Insieme vuoto differenza godono di una serie di proprietà elementari, la cui verifica è lasciata come esercizio. Ad esempio A A = A A = A A = A = A A B = B A (proprietà commutativa di ) A B = B A (proprietà commutativa di ) (A B) C = A (B C) (proprietà associativa di ) (A B) C = A (B C) (proprietà associativa di ) Un elenco più completo si può trovare nella Sezione 1.2 di [Pel1]. Definizione Dati due insiemi A e B, si dice prodotto cartesiano di A e B, e si indica con A B, l insieme delle coppie ordinate aventi il primo elemento in A ed il secondo in B. Quindi: Prodotto cartesiano A B := { (a, b) : a A b B }. Più ingenerale dati n insiemi A 1,..., A n : A 1 A 2... A n := { (a 1, a 2,..., a n ) : a i A i i = 1,..., n }. Esercizio Determinare il prodotto cartesiano di A = {, } e B = {7, 12}. Esercizio Determinare il prodotto cartesiano di A = {0, 1, 5} e B = {0, 1, 2} (notare che (0, 1) (1, 0) in A B). 1.3 Applicazioni tra insiemi Definizione Dati due insiemi A e B si dice corrispondenza da A in B un Corrispondenza 3

8 qualunque sottoinsieme C del prodotto cartesiano A B. L insieme A è detto dominio, l insieme B è detto codominio. Una corrispondenza C da A in B è indicata con la scrittura C : A B. La corrispondenza opposta C op : B A è definita come C op = {(y, x) : (x, y) A B}. Esempio se A = {1, 2, 7} e B = {0, 2, 3, 4, 14}, allora C = {(1, 2), (2, 4), (7, 14)} è la corrispondenza che associa ad ogni elemento di A il suo doppio. Sia C : A B una corrispondenza. L immagine di A A è l insieme C(A ) := {b B : a A, (a, b) C}. La controimmagine di B B è l insieme C op (B ) := {a A : b B, (a, b) C}. Una corrispondenza si dice: 1. ovunque definita se per ogni a A esiste almeno un b B tale che (a, b) C; 2. funzionale o univoca o a un solo valore se per ogni a A esiste al più un b B tale che (a, b) C; 3. suriettiva se per ogni b B esiste almeno un a A tale che (a, b) C; 4. iniettiva se per ogni b B esiste al più un a A tale che (a, b) C. Si verifica facilmente che: C è ovunque definita se e solo se C op è suriettiva; C è funzionale se e solo se C op è iniettiva. Definizione Una corrispondenza C : A B si dice applicazione (o funzio- ne) se è ovunque definita e funzionale. Applicazione o funzione Una definizione equivalente, che non fa ricorso alla nozione di corrispondenza, è la seguente. Definizione Una applicazione (o funzione) f da A in B è una legge che associa ad ogni elemento x di A un elemento y = f(x) in B, detto immagine di x tramite f. Per le applicazioni useremo la scrittura: f : A B x y = f(x) Se f è una applicazione nel senso della definizione 1.3.4, allora l insieme C = { (x, y) A B : y = f(x) } è una corrispondenza (ovunque definita e funzionale). 4

9 Come per le corrispondenze, una applicazione f : A B si dice 1. suriettiva se per ogni y B esiste almeno un x A tale che y = f(x); Suriettività 2. iniettiva se Iniettività f(x) = f(y) = x = y, ovvero due elementi hanno la stessa immagine se e solo se sono uguali. Definizione Una applicazione si dice biunivoca (o biettiva) se è iniettiva e suriettiva. Biunivocità Esempio Si considerino le seguenti applicazioni a) f : N N, f(x) := x + 1, b) g : R R, g(x) := x + 1. La prima è iniettiva ma non suriettiva; la seconda è sia iniettiva che suriettiva, quindi biunivoca. Per verificare l iniettività bisogna dimostrare che due elementi distinti hanno sempre immagini distinte. Nel caso a), per definizione se f(x) = f(y) allora x + 1 = y + 1, e questo implica x = y. Questo dimostra che f è iniettiva. La stessa dimostrazione si applica a g. Per verificare la suriettività bisogna dimostrare che ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. Nel caso b), dato y R, possiamo trovare un numero reale x := y 1 che soddisfa g(x) = g(y 1) = (y 1) + 1 = y; quindi g è suriettiva. Nel caso a) questo non è vero, poichè se y = 0 N, x = y 1 = 1 non è un numero naturale, quindi 0 non è l immagine tramite f di alcun elemento del dominio. Esercizio Si considerino le tre applicazioni seguenti: f : N N, f(x) := x 2, g : R {0} R +, g(x) := x 2, h : R + R +, h(x) := x 2. Verificare che: la prima è iniettiva e non suriettiva, la seconda è suriettiva e non iniettiva, la terza è biunivoca (per la soluzione, vedere l esempio di [Pel1]). Esercizio Sia A = {,, } e B = {, }. Dire se l applicazione f : A B, definita da f( ) =, f( ) =, f( ) =, è iniettiva, suriettiva o biunivoca. 5

10 Sia A un insieme qualsiasi. Chiamiamo applicazione identica su A, indicata con id A, l applicazione che associa ad ogni x A l elemento x stesso. Quindi: Applicazione identica L applicazione identica è biunivoca 1. id A : A A x id A (x) = x Definizione Date due applicazioni f : A B e g : B C la loro composizione, indicata con g f : A C, è l applicazione definita da Composizione (g f)(a) := g ( f(a) ) a A. Due applicazioni f e g si dicono uguali se hanno lo stesso dominio, lo stesso codominio, e f(x) = g(x) per ogni x nel dominio. Notiamo che le applicazioni f e g dell esempio non sono uguali, poichè hanno diverso dominio e diverso codominio. Anche le funzioni g e h dell esercizio non sono uguali, poichè hanno lo stesso codominio ma diverso dominio. Si può verificare facilmente che, per ogni f : A B, vale l uguaglianza fra applicazioni id B f = f = f id A. (1.2) Proposizione (Proprietà associativa della composizione di applicazioni). Date tre applicazioni f : A B, g : B C e h : C D, si ha sempre h (g f) = (h g) f. Dimostrazione. Le due applicazioni anno lo stesso dominio A e lo stesso codominio C, inoltre [h (g f)](a) = h ( g ( f(a) )) = [(h g) f](a) per ogni a A. Una applicazione f : A B si dice invertibile se esiste g : B A (detta inversa di f) tale che g f = id A, f g = id B. Applicazione inversa Si dimostra che f è invertibile se e solo se è biunivoca, e che l applicazione inversa se esiste è anche unica. L inversa di f si indica con f 1. Esempio L inversa dell applicazione h : R + R +, h(x) = x 2, è l applicazione h 1 : R + R +, h 1 (y) = y. Esempio L applicazione id A è inversa di se stessa. Dall equazione (1.2) segue infatti id A id A = id A, come caso particolare quando A = B ed f = id A. 1 Ogni x A è immagine di se stesso, questo prova la suriettività, e id A (x) = id A (y) se e solo se x = y, questo prova l iniettività. 6

11 Lezione II Strutture algebriche: gruppi, anelli, campi Sommario: operazione di un insieme (interna e esterna); proprietà associativa e commutativa; elemento neutro e inverso; gruppo; anello; campo. Esempi. 2.1 Operazioni di un insieme Definizione Sia S un insieme. Si dice operazione interna (binaria) di S una applicazione f : S S S. Operazione interna Il risultato f((a, b)) dell operazioni tra due elementi a, b S si indica con a b. Le operazioni elementari di somma e prodotto fra numeri sono operazioni degli insiemi N, Z, Q, R nel senso della definizione La sottrazione è una operazione di Z, Q, R, ma non è una operazione di N, poiché la sottrazione fra due numeri naturali non è necessariamente un numero naturale (ad esempio, 2 7 = 5 è un intero negativo). La divisione non è una operazione di N o di Z (il rapporto fra due numeri naturali/interi non è sempre un numero naturale/intero) e non è una operazione neppure di Q o R poiché non si può dividere per 0. La divisione è una operazione, ad esempio, di Q {0} ed R {0}. Esempio Sia A un insieme e indichiamo con P(A) la collezione dei sottoinsiemi di A; P(A) è detto insieme delle parti di A. Allora unione, intersezione e differenza fra insiemi sono operazioni interne di P(A), dette operazioni insiemistiche (vedere def ). Definizione Una operazione di un insieme S si dice commutativa se per ogni a, b S si ha a b = b a, e si dice associativa se per ogni a, b, c S si ha 2 a (b c) = (a b) c. Insieme delle parti Proprietà commutativa Proprietà associativa In tal caso scriveremo semplicemente a b c per indicare il risultato dell operazione. 2 Un espressione del tipo a (b c) indica che bisogna svolgere prima l operazione fra le parentesi tonde. 7

12 Somma e prodotto di due numeri godono della proprietà commutativa e associativa. La divisione non è commutativa né associativa. Infatti, ad esempio, 2 : 4 4 : 2 e (16 : 4) : 2 16 : (4 : 2) Come esercizio, si dica se la sottrazione è commutativa e/o associativa. Esercizio Si studi l operazione di N definita da a b = a + 7b. Si dica se è commutativa e/o associativa. Definizione Siano K e S due insiemi. Una operazione esterna di S ad operatori in K è una applicazione Operazione esterna K S S. L immagine della coppia (λ, a) K S si indica con λ a. Vedremo esempi di operazioni esterne nelle lezioni successive. Un insieme S dotato di operazioni (interne o esterne) 1,..., n è detto struttura algebrica (ad n operazioni). Tale struttura algebrica si indicherà con (S; 1,..., n ). Definizione Sia (G, ) un insieme con una operazione interna. Un elemento e G è detto elemento neutro rispetto a se per ogni a G si ha a e = e a = a. Struttura algebrica Elemento neutro Scriveremo (G,, e) per indicare un insieme con una operazione interna ed un elemento neutro rispetto a tale operazione. Esempio Il numero 0 è elemento neutro rispetto alla somma di due numeri, il numero 1 è elemento neutro rispetto al prodotto di due numeri. Proposizione Sia (G, ) come sopra. Se esiste un elemento neutro rispetto a, questo è unico. Dimostrazione. Supponiamo che e ed e siano due elementi neutri di (G, ). Allora e e = e poiché e è neutro; inoltre e e = e poiché anche e è neutro. Ne segue che e = e. Definizione Sia (G,, e) come sopra. Un elemento a G si dice simmetrizzabile (o invertibile) in G rispetto a se esiste un elemento b G tale che a b = b a = e. Elementi invertibili In tal caso b si dice simmetrico (o inverso) di a. 8

13 Esempio Ogni elemento x di (Z, +, 0) è simmetrizzabile, ed il simmetrico è il suo opposto x. Ogni elemento non nullo y di (Q,, 1) è simmetrizzabile, ed il suo simmetrico è l inverso y 1. Esercizio Sia S := {0, 1}. Si definisca una operazione interna + di S attraverso la seguente tavola di Cayley: dove la somma fra due elementi x e y si ottiene selezionando x sulla prima colonna, y sulla prima riga, ed andando a leggere nella tabella l elemento nell intersezione fra la riga di x e la colonna di y. In maniera simile si definisca una seconda operazione interna di S attraverso la tavola: Si dica se le operazioni sono associative, commutative e se possiedono un elemento neutro. Si dica quali elementi sono simmetrizzabili (rispetto a + e ) e chi è il loro simmetrico. Si noti che in questo esempio + non è l usuale somma fra numeri interi. 3 Dato un insieme con una operazione interna, qualunque sia la natura di questo insieme, quando l operazione è denotata con il simbolo + viene detta somma o addizione (e diremo che stiamo usando una notazione additiva); se esiste l elemento neutro, esso viene indicato con 0; il simmetrico di un elemento a viene indicato con a e si dice opposto. Analogamente quando una operazione è denotata con il simbolo viene detta moltiplicazione o prodotto (e diremo che stiamo usando una notazione moltiplicativa); se esiste l elemento neutro, esso viene indicato con 1; il simmetrico di un elemento a viene indicato con a 1 o anche 1 e si dice inverso. a 2.2 Gruppi, anelli, campi Definizione Sia G un insieme dotato di una operazione e di un elemento neutro e G rispetto a. La struttura (G,, e) si dice gruppo se Gruppo i) l operazione è associativa; 3 In questo esempio gli elementi di S si possono interpretare come stati di un interruttore (1 = acceso / 0 = spento) o i due valori di una proposizione (1 = vera / 0 = falsa). Le due operazioni + e vengono dette, rispettivamente, OR e AND e la loro implementazione tramite circuiti integrati è alla base del funzionamento dei computer. 9

14 ii) ogni elemento di G è invertibile. Se l operazione è commutativa, diremo che (G,, e) è un gruppo commutativo (o abeliano 4 ). Esempi di gruppi commutativi sono (Z, +, 0) e (Q {0},, 1). Se A è un insieme, si può considerare la collezione S A delle applicazioni biunivoche f : A A con l operazione di composizione. L equazione (1.2) (con B = A) ci dice che id A è elemento neutro di (S A, ). Per la proposizione la composizione è associativa, ed ogni applicazione biunivoca è invertibile. Quindi (S A,, id A ) è un gruppo. Tale gruppo è detto gruppo delle permutazioni di A 5. Proposizione Sia (G,, e) un gruppo. Allora l inverso di ogni elemento è unico. Dimostrazione. Sia a un elemento di G. Supponiamo che b, b G siano due inversi di a. Allora per definizione a b = e e b a = e. Per definizione di elemento neutro si ha b (a b) = b e = b, (b a) b = e b = b, e dall associatività del prodotto si evince che b = b (a b) = (b a) b = b, ovvero i due inversi b e b sono uguali. Definizione Sia (A, +, 0 A,, 1 A ) un insieme dotato di due operazioni interne, che chiameremo somma (indicata con +) e prodotto (indicato con ), e di due elementi 0 A e 1 A. Tale insieme si dice anello (con unità) se le seguenti proprietà sono soddisfatte: Anello con unità 1. (A, +, 0 A ) è un gruppo commutativo; 2. il prodotto è associativo; 3. 1 A è elemento neutro rispetto al prodotto; 4. per ogni a, b, c A si ha: a (b + c) = a b + a c, (a + b) c = a c + b c. La proprietà 4 è detta proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. Un anello si dice commutativo se il prodotto è commutativo. 4 In onore del matematico Niels Abel ( ). 5 Si può dimostrare che se A ha almeno 3 elementi, il gruppo (S A,, id A ) è non commutativo. 10

15 Un esempio di anello commutativo è (Z, +, 0,, 1). I due elementi 0 A e 1 A dell anello A sono spesso indicati semplicemente con 0 e 1, quando questo non generi confusione; 0 A è detto zero dell anello, e 1 A è detto unità dell anello. Si può facilmente dimostrare, usando la proprietà distributiva, che a 0 A = 0 A a = 0 A per ogni a A. Con abuso di notazioni un anello (A, +, 0 A,, 1 A ) si può anche indicare semplicemente con A, omettendo di scrivere le operazioni, lo zero e l unità. Anche (Q, +, 0,, 1) è un anello commutativo. Però Q rispetto a Z ha una struttura più ricca: ogni elemento non nullo è invertibile rispetto al prodotto. Definizione Un anello commutativo K si dice campo se ogni elemento a 0 è invertibile rispetto al prodotto. Campo Quindi Q è un campo. Altri esempi di campi sono l insieme R dei numeri reali e l insieme C dei numeri complessi. Vedremo un esempio di anello non commutativo più avanti nel corso (esercizio 5.2.3). 11

16 Lezione III Sistemi lineari: definizioni e prime proprietà Sommario: generalità su equazioni lineari e sistemi (di equazioni) lineari; matrice dei coefficienti, dei termini noti e completa; esame dei casi più semplici; determinante di una matrice 2 2. Esempi ed esercizi. 3.1 Premesse Gia nel corso degli studi preuniversitari si sono incontrate equazioni di primo grado (equazioni lineari) in una o più incognite, quali ad esempio 3x = 6, oppure 2x + y = 13, e ci si è trovati a risolvere sistemi di equazioni lineari quali { x + y = 0 x y = 5 Le equazioni lineari sono tra le più semplici equazioni (si confrontino, ad esempio, con le equazioni di secondo grado, studiate al liceo) e costituiscono uno degli oggetti di studio dell algebra lineare. Osserviamo subito che il numero delle equazioni e delle incognite sarà da considerarsi a priori arbitrario. I coefficienti delle incognite potranno assumere qualsiasi valore reale; in particolare non escluderemo equazioni con coefficienti nulli, quali ad esempio 0x = 2 o 3x + 0y = 7. Sebbene si possano considerare equazioni lineari a coefficienti (e soluzioni) in un qualsiasi campo K (vedere ad es. [Pel1]), per semplificare la trattazione ci limiteremo al caso K = R. Notazione: chiameremo n-upla di elementi di S un elemento dell insieme n-uple S n = S } S {{... S }. n Una n-upla (α 1,..., α n ) S n è quindi un insieme ordinato di n elementi di S. 12

17 3.2 Generalità sui sistemi lineari Una equazione in n incognite x 1,..., x n a coefficienti in R si dice lineare se è della forma: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, (3.1) Equazioni lineari con a i R e b R. Una sua soluzione è una n-upla (α 1,..., α n ) R n tale che, sostituendo ciascun α i ad x i in (3.1), l equazione si riduce ad una identità fra numeri reali. Esempio Si verifica facilmente che (4, 1, 6) R 3 è una soluzione dell equazione 3x 1 + x 2 2x 3 = 1. Un sistema di m equazioni lineari in n incognite è un insieme di equazioni a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 Σ :..... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (3.2) Sistemi lineari con a ij R e b i R. Una soluzione del sistema è una n-upla (α 1,..., α n ) R n che risolve simultaneamente tutte le m equazioni. Esercizio Si verifichi che le triple (1, 0, 0) (3, 1, 0) (1, 1, 0) (5, 2, 0) sono soluzioni del sistema { x1 2x 2 + x 3 = 1 2x 1 4x 2 = 2 Si determini almeno un altra soluzione diversa dalle quattro elencate. Chiamiamo soluzione generale del sistema l insieme di tutte le sue soluzioni. La soluzione generale di un sistema Σ è quindi un sottoinsieme S Σ R n. Un sistema si dice compatibile (o risolubile) se ammette soluzioni; se invece non ha soluzioni, il sistema si dirà incompatibile (in questo caso S Σ = ). Soluzione generale Sistemi risolubili Esempio Si considerino i tre sistemi { x1 + 3x 2 = 0 x 1 + 3x 2 = 1 { x1 x 2 = 0 x 1 + x 2 = 2 { x1 + x 2 = 0 2x 1 + 2x 2 = 0 Il primo è incompatibile (se ammettesse soluzione, si avrebbe l assurdo 0 = 1); il secondo ammette (1, 1) come unica soluzione; qualunque coppia (t, t) è soluzione del terzo sistema, per ogni valore del parametro reale t R. 13

18 Vedremo che per un sistema compatibile si possono verificare solamente due casi: i) la soluzione è unica; ii) esistono infinite soluzioni. In un tipico esercizio sui sistemi lineari si può chiedere, dato un sistema, se è compatibile e, in tal caso, determinare tutte le sue soluzioni. Vedremo in questa lezione come si risolvono i casi più semplici, e più avanti nel corso come si risolve un sistema generale. Il sistema Σ in (3.2) si dice omogeneo se b 1 = b 2 =... = b m = 0. Un sistema omogeneo di m equazioni (lineari) in n incognite ha quindi la forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 Σ :..... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 con a ij R. Un sistema omogeneo è sempre compatibile: infatti ammette almeno la soluzione nulla (0, 0,..., 0) R n (detta anche soluzione banale). Sistemi omogenei Soluzione banale 3.3 Matrici I coefficienti del sistema (3.2) si possono scrivere in una tabella a 11 a a 1n a A := 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn detta matrice dei coefficienti del sistema Σ (indichiamo con a i,j l elemento nell intersezione della riga i con la colonna j). Più in generale, si chiama matrice (reale) di tipo m n una tabella di m righe e n colonne i cui elementi sono numeri reali. La matrice m 1 b 1 b B := 2. Matrice dei coefficienti Matrice dei termini noti b m 14

19 si chiama matrice colonna dei termini noti, e la matrice m (n + 1) a 11 a a 1n b 1 a (A B) = 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m Matrice completa si dice matrice completa del sistema. Un sistema è determinato univocamente dalla sua matrice completa. Esercizio Scrivere la matrice completa del sistema dell esercizio Soluzione. (A B) = ( ) Esercizio Scrivere il sistema di equazioni la cui matrice completa è (A B) = Soluzione. x 1 + x 2 + 2x 3 = 4 x 2 2x 3 = 3 x 3 = Operazioni elementari su un sistema lineare Definizione Due sistemi Σ e Σ si dicono equivalenti, e si indica con Σ Σ, se hanno le stesse soluzioni. Quindi: Sistemi equivalenti Σ Σ S Σ = S Σ. Ad esempio i due sistemi seguenti sono chiaramente equivalenti: { x + y = 0 x y = 1 { x y = 1 x + y = 0 Le seguenti operazioni elementari trasformano qualsiasi sistema in uno equivalente: 1. scambiare fra di loro due equazioni; Operazioni elementari 15

20 2. moltiplicare una equazione per un numero reale diverso da zero; 3. sostituire un equazione con quella ottenuta sommando ad essa un multiplo (non nullo) di un altra equazione del sistema. Effettuare una qualsiasi successione di operazioni elementari su un sistema non cambia le soluzioni del sistema stesso. Moltiplicare ambo i membri di una equazione per 0 non diminuisce il numero delle soluzioni del sistema, in quanto qualunque soluzione di un sistema lineare è anche soluzione dell equazione 0 = Esame dei casi più semplici di equazioni e sistemi lineari Esaminiamo i casi più semplici di equazioni e sistemi. La loro comprensione aiuterà nello studio di sistemi più generali. Nel caso di una equazione in una incognita la situazione è riassunta nel seguente schema: (1) se a 0 la soluzione esite, è unica ed è data da a 1 b. ax = b = (2) se a = 0 allora (2 ) se b 0 il sistema è incompatibile (per nessun α R si ha l identità 0α = b se b 0) (2 ) se b = 0 l equazione è 0x = 0 ed ammette come soluzione qualsiasi numero reale. La soluzione generale (l insieme di tutte le soluzioni) è quindi R. Il caso di una equazione in n incognite (con n 2) è simile. Sia a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. Se tutti i coefficienti sono nulli l equazione diventa 0 = b: se anche b = 0, qualunque n-upla (α 1,..., α n ) R n è soluzione; se b 0, allora l equazione è incompatibile. Se almeno un coefficiente è non nullo, sia esso ad esempio a 1, possiamo assegnare valori arbitrari (α 2,..., α n ) R n 1 alle incognite x 2,..., x n e ridurre l equazione ad una ad una sola incognita a 1 x 1 = b (a 2 α a n α n ), la quale ammette un unica soluzione data da α 1 = b (a 2α a n α n ) a 1. 16

21 Le soluzioni sono quindi in corrispondenza biunivoca con l insieme R n 1. Riassumendo: Sia a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. Allora: (1) se (a 1,..., a n ) (0,..., 0) le soluzioni in corrispondenza biunivoca con i punti dell insieme R n 1. (2 ) se b 0 il sistema è incompatibile. (2) se (a 1,..., a n ) = (0,..., 0) allora (2 ) se b = 0 ogni n-upla (α 1,..., α n ) R n è una soluzione. Concludiamo questo studio preliminare considerando un sistema di 2 equazioni in 2 incognite: { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 Σ : a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Effettuiamo le seguenti operazioni sul sistema: 1. moltiplichiamo la prima equazione per a 22, la seconda per a 12 e sommiamo membro a membro; 2. moltiplichiamo la prima equazione per a 21, la seconda per a 11 e sommiamo membro a membro. Il risultato di queste operazioni è il sistema: { (a11 a Σ 22 a 12 a 21 )x 1 = a 22 b 1 a 12 b 2 : (a 11 a 22 a 12 a 21 )x 2 = a 11 b 2 a 21 b 1 I sistemi Σ e Σ non sono necessariamente equivalenti, poiché non abbiamo fatto ancora ipotesi sui coefficienti, e nelle operazioni ai punti 1 e 2 potremmo aver moltiplicato per zero. Quello che possiamo dire per certo è che tutte le soluzioni di Σ sono anche soluzioni di Σ, ovvero S Σ S Σ. Ciascuna equazione di Σ è una equazione in una incognita: per ciascuna di esse vale quindi la discussione nel primo schema di questa sezione. In aggiunta, le incognite x 1 e x 2 in queste due equazioni moltiplicano lo stesso coefficiente, a 11 a 22 a 12 a 21. Per le due equazioni si verificheranno quindi simultaneamente i casi (1) o (2) dello schema citato. Studiamo ora il primo caso, mentre daremo il risultato nel secondo caso senza dimostrazione. 17

22 Se a 11 a 22 a 12 a 21 0 la soluzione della prima equazione in Σ è unica e data da α 1 = a 22b 1 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21, e la soluzione della seconda equazione è unica e data da α 2 = a 11b 2 a 21 b 1 a 11 a 22 a 12 a 21. Il sistema Σ ammette quindi come unica soluzione la coppia (α 1, α 2 ) definita qui sopra. Siccome S Σ S Σ, il sistema Σ o non ammette soluzioni, oppure ammette come unica soluzione la stessa di Σ. Si verifica per sostituzione che vale il secondo caso: il sistema Σ da cui siamo partiti ammette come unica soluzione la coppia (α 1, α 2 ) definita qui sopra. Un analisi di tutti i casi possibili è riassunta nel seguente schema. Si consideri il sistema { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2. Allora: (1) se a 11 a 22 a 12 a 21 0: la soluzione esiste, è unica ed è data dalla coppia: ( ) a22 b 1 a 12 b 2 a 11 b 2 a 21 b 1 (α 1, α 2 ) =, a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 (2) se a 11 a 22 a 12 a 21 = 0 allora (2 ) se (a 22 b 1 a 12 b 2, a 11 b 2 a 21 b 1 ) (0, 0) il sistema è incompatibile. (2 ) se a 22 b 1 a 12 b 2 = a 11 b 2 a 21 b 1 = 0 il sistema è equivalente al sistema di una sola equazione in due incognite: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 e la sua soluzione è ricondotta a quella di un sistema di una sola equazione. Data una matrice 2 2: ( ) a b A = c d l espressione a b c d = ad bc è detta determinante della matrice A. Il determinante della matrice A si può anche indicare con la notazione A oppure con det A. Determinante 18

23 Esempio Si verifica facilmente che = 5 ( 14) = 19, = 4, = 6 3 = 3. Utilizzando la definizione di determinante, lo schema relativo alla risoluzione di sistemi di due equazioni in due incognite si può scrivere in maniera compatta, notando ad esempio che il termine a 11 a 22 a 12 a 21 è il determinante della matrice dei coefficienti. Nel linguaggio delle matrici, abbiamo: Si consideri il sistema lineare la cui matrice completa è ( ) a 11 a 12 b 1 ( A B ) = a 21 a 22 b 2 Allora: (1) se A 0 esiste ed è unica la soluzione (α 1, α 2 ) R 2, ed è data da: b 1 a 12 a 11 b 1 b 2 a 22 a 21 b 2 α 1 = α 2 = A A (2) se A = 0 allora: (2 b 1 a 12 ) se b 2 a 22 0 o a 11 b 1 0 il sistema è incompatibile. a 21 b 2 (2 b 1 a 12 ) se b 2 a 22 = a 11 b 1 = 0 il sistema è equivalente al sistema di una sola a 21 b 2 equazione in due incognite: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b Esercizi Esercizio Si consideri l equazione in una incognita 1 x = 3x + x. Si scriva nella forma normale ax = b. Soluzione. Raccogliendo i coefficienti si ottiene 5x = 1. Esercizio Si scriva in forma normale l equazione x + 2x = 3x. Soluzione. La forma normale è 0x = 0. 19

24 Esercizio Si consideri la matrice completa: (A B) = Dire se il sistema associato è compatibile. Soluzione. Il sistema è incompatibile, poiché la terza equazione è 0 = 2. Esercizio Scrivere la soluzione generale del sistema 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 7 x 2 x 3 = 1 x 3 = 5 Soluzione. Sia (α 1, α 2, α 3 ) R 3 una soluzione. Dalla terza equazione si vede che deve essere α 3 = 5. Sostituendo questo valore (al posto di x 3 ) nelle prime due equazioni si ottiene { 3x 1 + x = 7 x 2 5 = 1 ovvero, in forma normale, { 3x 1 + x 2 = 3 x 2 = 6 Ora dalla seconda equazione si vede che deve essere α 2 = 6. Sostituendo questo valore nella prima equazione si ottiene 3x = 3 ovvero in forma normale 3x 1 = 9, da cui si ricava la soluzione α 1 = 9 3 = 3. Il sistema ammette quindi un unica soluzione, data dalla terna ( 3, 6, 5). La tecnica di risoluzione del precedente esercizio è detta per sostituzione, e vedremo più avanti nel corso come si applica ad un sistema generale di m equazioni in n incognite. 20

25 Lezione IV Spazi vettoriali e sottospazi Sommario: spazi vettoriali: definizione e proprietà elementari; spazi delle n-uple e delle matrici (reali); sottospazi: intersezione, somma e somma diretta. Esempi. 4.1 Introduzione Abbiamo visto nella lezione precedente che un sistema di equazioni lineari in n incognite è determinato dalla sua matrice completa, e che una soluzione è una n-upla di numeri reali. Per proseguire con lo studio di sistemi di equazioni lineari, è fondamentale approfondire le proprietà di n-uple e matrici. Ricordiamo che R n = { X = (x 1, x 2,..., x n ) : x 1, x 2,..., x n R }. L elemento x i è detto componente i-esima di X (x 1 è la prima componente, x 2 la seconda, etc.). In questo contesto, un numero k R è detto uno scalare. Le n-uple possono essere sommate fra di loro e moltiplicate per uno scalare. Sia Y = (y 1, y 2,..., y n ) R n. Definiamo somma e moltiplicazione per uno scalare come segue: Componente i-esima X + Y := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ), kx := (kx 1, kx 2,..., kx n ). Operazioni di R n Sia l n-upla nulla. Si può verificare che 0 R n := (0, 0,..., 0) n-upla nulla Proposizione Valgono le seguenti proprietà: i) (R n, +, 0 R n) è un gruppo commutativo, con elemento neutro 0 R n e opposto X := ( x 1, x 2,..., x n ) ii) k, k R e X, Y R n si ha 1. (k + k )X = kx + k X 2. k(x + Y ) = kx + ky 3. k(k X) = (kk )X 4. 1X = X 21

26 Dimostrazione. La dimostrazione è una semplice verifica. Allora: Siano X, Y, Z tre n-uple. (X + Y ) + Z = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) + (z 1, z 2,..., z n ) = ( (x 1 + y 1 ) + z 1, (x 2 + y 2 ) + z 2,..., (x n + y n ) + z n ) = ( x 1 + (y 1 + z 1 ), x 2 + (y 2 + z 2 ),..., x n + (y n + z n ) ) = (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1 + z 1, y 2 + z 2,..., y n + z n ) = X + (Y + Z) dove la terza uguaglianza segue dall associatività della somma di numeri reali. Abbiamo dimostrato che + è una operazione associativa di R n. commutativa: X + Y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) = (y 1 + x 1, y 2 + x 2,..., y n + x n ) = Y + X Si verifica facilmente che è poiché è commutativa la somma di numeri reali. Chiaramente 0 R n è elemento neutro: X + 0 R n = (x 1 + 0, x 2 + 0,..., x n + 0) = (x 1, x 2,..., x n ) = X, e per la proprietà commutativa si ha anche 0 R n +X = X +0 R n = X. Per finire notiamo che X + ( X) = (x 1 x 1, x 2 x 2,..., x n x n ) = (0, 0,..., 0) = 0 R n e per la proprietà commutativa ( X) + X = X + ( X) = 0 R n. Quindi ogni X è simmetrizzabile e il simmetrico (l opposto in notazione additiva) è proprio la n-upla X. Questo completa la prova del punto i). Per ogni k, k R si ha (k + k )X = ( (k + k )x 1, (k + k )x 2,..., (k + k )x n ) = (kx 1 + k x 1, kx 2 + k x 2,..., kx n + k x n ) = (kx 1, kx 2,..., kx n ) + (k x 1, k x 2,..., k x n ) = kx + k X, k(x + Y ) = ( k(x 1 + y 1 ), k(x 2 + y 2 ),..., k(x n + y n ) ) = (kx 1 + ky 1, kx 2 + ky 2,..., kx n + ky n ) = (kx 1, kx 2,..., kx n ) + (ky 1, ky 2,..., ky n ) = kx + ky, k(k X) = ( k(k x 1 ), k(k x 2 ),..., k(k x n ) ) 22

27 = ( ) (kk )x 1, (kk )x 2,..., (kk )x n = (kk )X, 1X = (1 x 1, 1 x 2,..., 1 x n ) = (x 1, x 2,..., x n ) = X. Questo completa la prova del punto ii). Un insieme con due operazioni che soddisfano proprietà analoghe a quelle della proposizione si dice spazio vettoriale (reale). La definizione di spazio vettoriale si può dare sostituendo ad R un qualsiasi campo K. Per semplicità di trattazione ci limitiamo al caso K = R, sebbene non ci sia alcuna sostanziale differenza con il caso generale. Definizione Un insieme non vuoto V è detto spazio vettoriale (reale) se in V sono definite una operazione interna di somma Spazio vettoriale s : V V V, denotata con s(v, v ) = v + v, ed una operazione esterna p di prodotto per uno scalare : p : R V V, denotate con la semplice giustapposizione p(k, v) = kv, soddisfacenti le proprietà seguenti: i) (V, +, 0 V ) è un gruppo commutativo, il cui elemento neutro indichiamo con 0 V ; ii) k, k R e v, v V si ha 1. (k + k )v = kv + k v 2. k(v + v ) = kv + kv 3. k(k v) = (kk )v 4. 1v = v L elemento 0 V sarà indicato semplicemente con 0, quando questo non generi confusione. Le proprietà 1 e 2 si dicono proprietà distributive (del prodotto rispetto alla somma). Gli elementi di V si dicono vettori e saranno indicati in grassetto. L elemento 0 si dirà vettore nullo, e l opposto di un vettore v sarà indicato con v. Scriveremo Vettori v v = v + ( v ) Differenza di vettori per indicare la somma di un vettore v con l opposto del vettore v. 23

28 Osservazione Segue dalla proposizione che R n è uno spazio vettoriale. Notiamo che un elemento (x 1, x 2 ) R 2 si può identificare con un punto P del piano cartesiano, di cui x 1 e x 2 sono le coordinate (in particolare 0 R 2 = O è l origine del sistema di riferimento cartesiano); la stessa coppia (x 1, x 2 ) si può anche identificare con il segmento orientato #» OP (vettore geometrico applicato nell origine), e la somma per componenti (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) corrisponde alla ben nota regola del parallelogramma, studiata alle scuole superiori (e ripetuta nel corso di Fisica Generale 1). Un discorso simile vale per R 3, i cui elementi si possono identificare con punti dello spazio tridimensionale. Esempio Sia S un insieme. Le funzioni f, g : S R con operazioni (f + g)(x) = f(x) + g(x), (kf)(x) = k f(x), Vettori geometrici Spazi di funzioni formano uno spazio vettoriale, indicato con Fun(S, R). esercizio. Si lascia la verifica come Esempio Indichiamo con R m,n l insieme delle matrici m n. Siano A = (a ij ) e B = (b ij ) due matrici di elementi a ij e, rispettivamente, b ij (con i = 1,..., m e j = 1,..., n). R m,n è uno spazio vettoriale con operazioni Matrici m n A + B := (a ij + b ij ), ka := (ka ij ). L elemento neutro rispetto alla somma è la matrice con tutti gli elementi nulli. L opposto di A è la matrice A := ( a ij ) con tutti gli elementi cambiati di segno. La verifica che si tratta di uno spazio vettoriale procede in maniera completamente analoga a quella per R n (con l unica differenza che gli elementi invece di essere disposti in una riga sono disposti per righe e per colonne), ed è lasciata agli studenti come esercizio. 4.2 Proprietà elementari Proposizione (Legge di semplificazione della somma). v + v = v + v v = v. Legge di semplificazione della somma 24

29 Dimostrazione. L implicazione è ovvia, proviamo l implicazione. Per definizione di spazio vettoriale ogni elemento possiede un opposto. Aggiungendo v ambo i membri dell uguaglianza di sinistra, dall associatività del prodotto e dalla definizione di opposto segue che 0 + v = 0 + v, ovvero v = v (per definizione di elemento neutro). Proposizione (Legge di annullamento del prodotto). kv = 0 k = 0 o v = 0. Legge di annullamento del prodotto Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare le tre seguenti affermazioni: 1. 0v = 0 v V, 2. k0 = 0 k R, 3. se k 0 e v 0 allora kv 0. Dalla proprietà distributiva segue che: 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v, che si può scrivere nella forma 0v + 0 = 0v + 0v (0 è elemento neutro). Dalla legge di semplificazione della somma segue che 0 = 0v. Questo prova il punto 1. Analogamente da k0 = k(0 + 0) = k0 + k0 segue il punto 2. Per ogni k 0, abbiamo v = 1v = (k 1 k)v = k 1 (kv). Se kv = 0, dalla precedente uguaglianza si ricava v = k 1 (kv) = k 1 0 = 0. Questo prova il punto 3 (se k e v sono diversi da zero, kv non si può annullare). Usando l unicità dell opposto, si può facilmente dimostrare che per ogni k, v si ha: ( k)v = k( v) = (kv). Proposizione Se V e V sono spazi vettoriali, allora V V è uno spazio vettoriale con operazioni (v, v ) + (w, w ) := (v + w, v + w ), k(v, v ) := (kv, kv ). L elemento neutro è (0 V, 0 V ) e l opposto di (v, v ) è (v, v ) = ( v, v ). Prodotto cartesiano di spazi vettoriali Dimostrazione. La dimostrazione è analoga a quella per R n. Ad esempio, dalla commutatività della somma di V e V segue la commutatività della somma di V V : (v, v ) + (w, w ) = (v + w, v + w ) = (w + v, w + v ) = (w, w ) + (v, v ). Dall associatività della somma di V e V segue l associatività della somma di V V, e così per tutte le altre proprietà che definiscono uno spazio vettoriale. Osserviamo che come spazio vettoriale R n è il prodotto cartesiano di n copie di R. 25

30 4.3 Sottospazi Definizione Sia (G, ) un insieme con una operazione. Un sottoinsieme non vuoto G G si dice chiuso rispetto all operazione se Chiusura rispetto a un operazione a b G a, b G. Ad esempio Z R è chiuso rispetto all operazione di somma, ma Z {0} Q {0} non è chiuso rispetto all operazione di divisione. Definizione Sia V uno spazio vettoriale, con operazioni s e p, e W V un sottoinsieme non vuoto. Diremo che W è un sottospazio vettoriale di V se, rispetto alle stesse operazioni p, s di V, è uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali In queste note, un sottospazio vettoriale verrà chiamato semplicemente sottospazio. Esistono due criteri elementari, descritti nei punti b) e c) della proposizione seguente, per stabilire quando un sottoinsieme è un sottospazio. Proposizione Sia V uno spazio vettoriale e W V un sottoinsieme non vuoto. Le seguenti condizioni sono equivalenti: a) W è un sottospazio di V ; b) k R e w, w W si ha b1) kw W, b2) w + w W ; c) k, k R e w, w W si ha kw + k w W. La condizione ii) ci dice che W è chiuso rispetto alle operazioni di V. Dimostrazione. a) b) per definizione di spazio vettoriale. Proviamo che b) a). Assumiamo per ipotesi che a) sia soddisfatta. La proprietà associativa e commutativa valgono in V, quindi valgono anche in W. Similmente, le proprietà ii) della definizione valgono in V, quindi valgono anche in W. Per provare che W è uno spazio vettoriale rimane da dimostrare che contiene il vettore nullo e l inverso di ogni elemento. Per ipotesi kw W per ogni k R e w W : prendendo k = 0 si prova che 0 = 0w W ; prendendo k = 1 si prova che w = ( 1)w W. Quindi a) b). D altronde dalla c) prendendo k = 0 si ottiene b1) e prendendo k = k = 1 si ottiene b2). Quindi c) b). L implicazione opposta è ovvia: dalla b1) kw W e k w W per ogni k, k, w, w ; dalla b2) v+v W per ogni v, v W, e in particolare prendendo v = kw e v = k w si giunge alla tesi kw + k w W. 26

31 Se V è uno spazio vettoriale, due sottospazi banali sono dati da {0} e da V stesso. Che V sia un sottospazio è ovvio. Che lo sia {0} è una semplice verifica: per ogni k R e w, w {0} (quindi w = w = 0) si ha kw = 0 (legge di annullamento del prodotto) e w + w = 0 (per la proprietà dell elemento neutro). Quindi il criterio b) della proposizione {0} è sottospazio di V. Sottospazi banali Esempio Molti esempi interessanti si incontrano nei corsi di analisi. Sia Sottospazi di funzioni Fun(R, R) lo spazio vettoriale delle funzioni R R (cf. esempio nel caso S = R). Numerose classi di funzioni sono chiuse rispetto alla somma e moltiplicazione per uno scalare, e formano quindi sottospazi di Fun(R, R). Fra queste ricordiamo: le funzioni continue, derivabili, le funzioni di classe C n (con n 0), le funzioni di classe C. Esempio Un esempio importante è dato dalle funzioni polinomiali (da non confondere con i polinomi). Una funzione p : R R si dice polinomiale (di ordine n) se è della forma Funzioni polinomiali p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n con a 0, a 1,..., a n R. Si verifica facilmente (raccogliendo i coefficienti) che rispetto alle operazioni definite nell esempio si ha (p + p )(x) = (a 0 + a 0) + (a 1 + a 1)x + (a 2 + a 2)x (kp)(x) = ka 0 + (ka 1 )x + (ka 2 )x per ogni p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n e p (x) = a 0 + a 1x + a 2x a mx m. Poiché il risultato delle due operazioni è ancora una funzione polinomiale, per il criterio b) della proposizione tali funzioni formano un sottospazio di Fun(R, R). Un esempio importante di sottospazio si incontra nello studio dei sistemi lineari. Proposizione Sia S Σ l insieme delle soluzioni di un sistema Σ di m equazioni lineari in n incognite: Soluzioni di un sistema lineare a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i i = 1,..., m. (4.1) S Σ R n è un sottospazio se e solo se il sistema è omogeneo. Dimostrazione. Un sottospazio contiene sempre il vettore nullo. L n-upla nulla è soluzione di Σ solo se b i = 0 i = 1,..., m, ovvero Σ è omogeneo. Questo prova che la condizione è necessaria. Assumiamo ora che Σ sia omogeneo, e mostriamo che per S Σ vale il criterio b) della proposizione Sia k R, e siano Y = (y 1,..., y n ) e Z = (z 1,..., z n ) due soluzioni 27

32 del sistema. Dimostriamo che ky e Y + Z sono ancora soluzioni. Sostituendo ky j ad x j nell equazione (4.1) (per ogni j = 1,..., m) si trova a i1 (ky 1 ) + a i2 (ky 2 ) a in (ky n ) = = ka i1 y 1 + ka i2 y ka in y n = = k(a i1 y 1 + a i2 y a in y n ) = 0 per ogni i = 1,..., m. L ultima uguaglianza segue dal fatto che per ipotesi Y è soluzione di Σ. Questo prova che ky è ancora soluzione di Σ. In maniera analoga sostituendo y j + z j ad x j nell equazione (4.1) si trova a i1 (y 1 + z 1 ) + a i2 (y 2 + z 2 ) a in (y n + z n ) = = (a i1 y 1 + a i2 y a in y n ) + (a i1 z 1 + a i2 z a in z n ) = = 0 dove si è usata l ipotesi che Y e Z risolvono Σ. soluzione di Σ. Questo prova che anche Y + Z è 4.4 Operazioni su sottospazi Le proprietà che seguono sono elementari e si dimostrano, come al solito, usando uno dei criteri della proposizione Per la dimostrazione si veda il capitolo III di [BruLan] (prop. 2.3 e 2.5). Siano W 1 e W 2 sottospazi di V. Allora 1. W 1 W 2 è un sottospazio di V. Intersezione e somma di sottospazi 2. W 1 + W 2 := { } v = w 1 + w 2 : w 1 W 1, w 2 W 2 è un sottospazio di V. W 1 + W 2 è detto somma di W 1 e W 2. L unione W 1 W 2 in generale non è uno spazio vettoriale. Il più piccolo sottospazio di V che contiene W 1 W 2 è W 1 + W 2. Osserviamo che l insieme S Σ delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite è l intersezione dei sottospazi di R n dati dalle soluzioni di ciascuna equazione del sistema. Definizione La somma W 1 + W 2 si dice diretta, e si indica con W 1 W 2, se ogni v W 1 + W 2 può essere decomposto in un solo modo come somma v = w 1 + w 2 di w 1 W 1 e w 2 W 2. Somma diretta Proposizione W 1 + W 2 è una somma diretta se e solo se W 1 W 2 = {0}. Dimostrazione. Sia v = w 1 + w 2 = w 1 + w 2, con w 1, w 1 W 1 e w 2, w 2 W 2. Allora u := w 1 w 1 = w 2 w 2. 28

33 Poiché per definizione di sottospazio w 1 w 1 W 1 e w 2 w 2 W 2, il vettore u è elemento sia di W 1 che di W 2, ovvero u W 1 W 2. Se W 1 W 2 = {0}, abbiamo u = w 1 w 1 = w 2 w 2 = 0, ovvero w 1 = w 1, w 2 = w 2 e la decomposizione di v è unica. Quindi la somma è diretta. Viceversa sia W 1 W 2 {0} e sia u un elemento non nullo di W 1 W 2. Allora 0 = u u = sono due decomposizioni differenti dello stesso elemento 0 V e la somma non è diretta. Esempio Sia U = {(x, y) R 2 : x = 0} l asse verticale del piano cartesiano e W = {(x, y) R 2 : y = 0} l asse orizzontale. Allora U W = {(0, 0)} e la somma U +W è diretta. Ogni vettore di R 2 si può scrivere come somma (x, y) = (x, 0)+(0, y), dove (x, 0) W e (0, y) U; quindi U + W = R 2. Notiamo che U W non è uno spazio vettoriale, in quanto (1, 0) W U W, (0, 1) U U W, ma (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) / U W. 29

34 Lezione V Esercitazione su vettori e matrici Sommario: esercizi su spazi vettoriali e calcolo di determinanti; determinante matrici 3 3 (regola di Sarrus); sviluppo di Laplace del determinante di una matrice n n. 5.1 Esercizi su spazi e sottospazi Esercizio (2.8.1 di [Pel1]). Dire quali dei seguenti insiemi sono sottospazi di R 2 : 1. E 1 = {(x, y) R 2 x + y = 0} 2. E 2 = {(x, y) R 2 y = 4} 3. E 3 = {(x, y) R 2 y = x 2 } 4. E 4 = {(x, y) R 2 x y = 0} Soluzione. E 1 ed E 4 sono insiemi di soluzioni di sistemi lineari omogenei: per la Prop sono quindi un sottospazio di R 2. E 2 sono le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo: quindi per la Prop E 2 non è sottospazio di R 2. Infine, presi due vettori (1, 1) e ( 1, 1) di E 3, la loro somma (0, 2) non è in E 3 : dal criterio b2) della Prop segue che E 3 non è sottospazio di R 2. Si può verificare facilmente che un insieme E = {(x, y) R 2 : y = f(x)} è un sottospazio di R 2 se e solo se: E = {0, 0}, E = R 2 oppure E è una retta passante per l origine. Il grafico degli insiemi dell esercizio è in figura 1. Dal grafico si vede che E 2 non è un sottospazio perché non passa per l origine ((0, 0) / E 2 ), E 3 non è un sottospazio perché non è una retta (è una parabola). Figura 1: E 1 è in verde, E 2 in arancione, E 3 in rosso, E 4 in blu. 30