4 I Condensatori. 4.1 Struttura dei condensatori. Condensatore sferico

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1 4 I Conensatori 4. Struttura ei conensatori Consieriamo un sistema costituito a ue lastre conuttrici sagomate a isco, i raggio R e spessore molto piccolo rispetto al raggio. Le lastre + si trovano affacciate l una i fronte all altra a istanza, i imensioni per cui sia R, e su i esse viene istribuito lo stesso ammontare i carica, ma con segno opposto. Una simile struttura prene il nome i conensatore, e le lastre conuttrici vengono ette armature. Le linee i forza el campo elettrico saranno quelle qualitativamente illustrate in figura, con la carica sulle armature per la gran parte concentrata sullo strato superficiale elle facce interne, a causa egli effetti i inuzione reciproca. opereremo, nel seguito, un moello che ben approssima conensatore reale, assumeno che le ue cariche + e siano interamente localizzate sulle superfici interne, e istribuite uniformemente su i esse. In tale moo trascureremo tutti i piccoli effetti ai bori ella struttura, e il campo elettrico risulterà iverso a zero solo nella regione i affaccio, e lì perpenicolare alle armature. uesta semplificazione, unita alla conizione R, permette i avvalersi ella formula per il campo elettrico el oppio strato infinito. Pertanto, se S è la misura ella superficie ove la carica è istribuita, fra le armature abbiamo un campo uniforme, la cui intensità nel vuoto vale: σ E0 = = ε0 ε0s La geometria a isco qui proposta per una tale struttura, non è vincolante: nelle realizzazioni pratiche la forma elle armature può essere i vario tipo, purché si rispettino le ue conizioni i: inuzione completa e istanza i separazione molto minore ell estensione lineare. Sono concepibili, quini, conensatori a forma i sfera contenuti in cavità metalliche a essa concentriche, a forma i cilinro, e così via. Fra le armature, inoltre, si è soliti porre uno strato i ielettrico, il quale si polarizza, e come si è visto a suo tempo, ha l effetto i inebolire i un fattore, a parità i carica ε r localizzata, il valore el campo E nello spazio interposto. Infatti la tenenza elle molecole el ielettrico, a eformarsi o allinearsi lungo la R Conensatore sferico

2 irezione el campo, lascia neutra la regione interna e prouce l equivalente i uno strato superficiale i carica. uesto origina un campo aggiuntivo E che si sovrappone, con irezione opposta, a E 0, riuceno l intensità el campo risultante: E = E0 + Ep. Se lo spazio i separazione è omogeneamente riempito, si osserva sperimentalmente che, inipenentemente alla carica localizzata sulle armature, il rapporto E0 r E = ε è legato unicamente al tipo i materiale ielettrico utilizzato. Il valore numerico i questo rapporto, ε r >, prene il nome i costante ielettrica el mezzo. Fra le armature avremo quini un campo i intensità: E0 σ E = = ε ε ε. r La realizzazione pratica i un conensatore a facce piane parallele fa uso i alcuni accorgimenti tecnici, come quello i utilizzare per armature elle sottili strisce metalliche separate a pellicole isolanti. La struttura viene avvolta a rotolo, come in figura, e si presenta a forma i piccolo cilinro. Si costruiscono anche conensatori in cui una elle ue armature è costituita a una soluzione liquia o gelatinosa, generalmente i tetraborato i soio, etti conensatori elettrolitici. La configurazione è quella i un involucro cilinrico i alluminio, contenente la soluzione elettrolitica, e al centro un altro conuttore cilinrico i alluminio. Intorno a quest ultimo, immerso nella soluzione, attraverso un opportuno passaggio i carica si fa formare un sottile strato i bollicine i irogeno. uesto sottilissimo strato fa epositare sul conuttore interno ell ossio i alluminio, che riveste il ruolo el ielettrico per questo tipo i conensatore. L involucro e la soluzione possono quini essere caricati negativamente, mentre il conuttore interno fa a armatura positiva. 0 r p Conuttore Regione Neutra E ( ielettrico) E( armature) Isolante 4. L energia potenziale ei conensatori Ossio i l soluzione elettrolitica Un conensatore è un sistema i ue conuttori carichi, e in quanto tale possiee energia potenziale elettrostatica. Come sappiamo, essa è efinita come pari al lavoro svolto al campo elettrostatico quano si smembra la configurazione i cariche in eccesso su ciascuna elle armature separanole Conensatore elettrolitico

3 fino a istanza infinita. Poiché tuttavia, al termine ello smembramento, avremo ue lastre conuttrici neutre affacciate, il fatto che la forza elettrostatica sia conservativa ci autorizza a ire che il lavoro svolto al campo urante qualunque processo che conuca a un tale stato finale è sempre pari all energia potenziale el sistema. Pertanto si è soliti parlare i energia potenziale elettrostatica el conensatore come lavoro svolto al campo elettrico urante il passaggio ella carica in eccesso sull armatura positiva a quella sull armatura positiva. Un tale processo è etto anche scarica el conensatore; ato che la scarica è agevolata alle forze el campo, l energia potenziale i un conensatore è positiva. Dalla formula che fornisce l energia potenziale i un conuttore: U = V chiamano V + il valore (rispetto all infinito) el potenziale ell armatura ove è posta la carica positiva, e V quello ell armatura ove è posta la carica negativa, complessivamente la somma elle ue energie vale: U = V+ + ( V ) = V ( + V ) = V UN CONDENSTORE È UINDI UN DISPOSITIVO IN GRDO DI CCUMULRE ENERGI POTENZILE ELETTROSTTIC lo si ovrà immaginare come una molla compressa, in grao i rilasciare la sua energia allunganosi i scatto non appena gliene venga ata l opportunità. Un conensatore si ice pertanto carico quano vi è stata incamerata energia potenziale. Si faccia attenzione all ambiguità el termine carico, che, in questo caso, non si riferisce a una localizzazione i carica elettrica. In effetti un conensatore non accumula carica, ato che nel complesso si tratta i un oggetto neutro: la sua carica complessiva è + = 0. Un moello i conensatore che si rifà all iraulica viene proposto qui a lato. Supponiamo che all interno i una conuttura piena i acqua vi sia una camera cilinrica con un setto separatore connesso con elle molle. Tale ispositivo blocca lo scorrimento ell acqua al suo interno, e può, in un certo senso, essere caricato. Comprimeno la prima molla in una qualunque elle ue irezioni, e conseguentemente esteneno Per portare all infinito le cariche positive senza istruggere il reticolo ell armatura possiamo immaginare che la lastra metallica si vaa esteneno infinitamente, i moo che gli ammanchi i elettroni si isperano su i essa a istanza infinita le une alle altre. 3

4 l altra, il conensatore incamera energia potenziale, che è in grao i rilasciare spingeno l acqua attraverso un tubo i uscita. Se, poi, questo tubo è collegato all altro in ingresso in una sorta i circuito, allo svuotamento i una regione corrisponerà il riempimento ell altra, e urante il processo si avrà una violenta scarica i acqua nelle conutture. l termine, il ispositivo sarà riempito esattamente ello stesso quantitativo i acqua che conteneva inizialmente, ma la sua energia potenziale sarà scesa a zero. Il conensatore torna utile tutte le volte che si ha bisogno i una sorta i molla elettrica: ovvero i prourre un intenso flusso i cariche che scorrano in un tempo brevissimo. Nei ispositivi i efibrillazione el cuore, a esempio si fa ampio uso i tale proprietà, così come nei flash elle macchine fotografiche. Di un conensatore ci interessa, quini, la proprietà i incamerare energia in relazione alla carica che poniamo su una elle ue armature: questa proprietà ipene tanto alla geometria quanto al ielettrico interposto fra le armature. Essa prene il nome i capacità el conensatore, e, come quella i un semplice conuttore, si misura in Fara. Dalla relazione U = V si vee che ciò che conta, ai fini ell accumulo energetico, è la ifferenza i potenziale fra le ue armature: la granezza più opportuna per valutare quanto un conensatore è buono per lo scopo i incamerare energia è quini: C = = V V V Come per un conuttore, la capacità i un conensatore lontano a influenze esterne è una costante: raoppiano la carica raoppia V, triplicanola triplica, e così via. titolo i esempio calcoliamo la capacità i un conensatore piano con armature i area S, separate a una istanza. bbiamo visto che la iminuzione i potenziale spostanosi lungo le linee i forza, che vanno all armatura positiva quella negativa, vale V V = E. Si ricava quini: + V E = V Ma sappiamo anche che fra le armature il campo elettrico è costante, e pari σ σ a E = ( E nel caso i ielettrico interposto). Confrontano ε0 εε 0 r σ otteniamo V V =, che sostituito nella formula per C fornisce: ε 0 4

5 ε Sε C = = = V V σ 0 0 ove si è sfruttato che σ =. Se vi è un ielettrico interposto, ripeteno i S S 0 r passaggi la formula cambia in: C = εε, evienziano come il ielettrico accresca il valore ella capacità, esseno sempre ε r >. Capacità equivalente Combinano fra loro conensatori ifferenti formano ei sistemi, si potranno ottenere valori ifferenti i capacità, e quini variare a piacimento gli accumuli i energia potenziale. SI DICE CPCITÀ EUIVLENTE, DI UN SISTEM DI CONDENSTORI, FR UN PUNTO ED UN PUNTO, L CPCITÀ DI UEL CONDENSTORE CHE, UNDO VIENE COLLEGT UN SU RMTUR L PUNTO E L LTR L PUNTO, È IN GRDO DI CCUMULRE L STESS ENERGI POTENZILE DEL SISTEM. Vi sono, in realtà, solamente ue moi iversi i mettere in relazione ue o più conensatori: in serie e in parallelo. Due (o più) conensatori si icono collegati in serie fra un punto e un punto quano, per anare a a con un percorso continuo che non inverta mai irezione, siamo costretti a attraversare le armature i tutti. La capacità equivalente i ue conensatori e collegati in serie si ricava teneno conto el fatto che, posta una carica sulla prima armatura, essa si riprourrà, per inuzione, su tutte le altre con i segni alternati, e che la ifferenza i potenziale fra il punto e il punto è la somma elle ifferenze i potenziale intermeie. Si scrive quini: V = V + V La capacità equivalente C E, messa fra e al posto ella serie, una volta caricata con la meesima carica che si pone su ciascuno ei ue conensatori, ovrà generare una ifferenza i potenziale fra le sua armature pari proprio a questo valore V. Solo in questo moo infatti essa incamererà la stessa energia ella serie. Dovrà quini essere: CE = V e in serie fra e 5

6 E poiché è, per efinizione, C = e C V =, sostitueno: V e, semplificano: = + C C C E = + CE C C Da tale formula si evince che la capacità equivalente a una serie è più piccola ella più piccola capacità presente. Due (o più) conensatori si icono collegati in parallelo fra un punto e un punto se possiamo anare a a, con un percorso continuo che non inverta mai irezione, attraversano solo le ue armature i uno qualunque i essi. La capacità equivalente i ue conensatori posti in parallelo, si ricava teneno conto che la ifferenza i potenziale fra le armature i uno qualunque i essi, è sempre pari alla ifferenza i potenziale V fra il punto e il punto. Infatti ognuno ei conensatori ha la prima armatura collegata con e la secona con : le armature i e i collegate al punto è come se fossero un unico conuttore, e lo stesso può irsi elle armature collegate al punto. Pertanto, se le capacità sono ifferenti, la carica su ognuna elle armature i sarà senz altro ifferente a quella sulle armature i, ma il prootto i queste cariche per ciascuna capacità eve sempre are V. uesto è possibile solo se la carica totale = +, che poniamo complessivamente sulle armature tramite un generatore, si ripartisce in maniera proporzionale alle capacità: e in parallelo fra e C V = = C V Se ora, al posto el parallelo, si mette la capacità equivalente carica anrà sulle sue armature. Ma sappiamo che la stessa energia el parallelo, e questo è possibile solo se stesso i prima, a cui: + CE = = = + V V V V C E, tutta la C E eve incamerare V resta lo Sostitueno abbiamo: CE = C + C Da questo risultato si euce che la capacità i un parallelo è maggiore ella più grane capacità presente. 6

7 La formula che aiziona le capacità in parallelo può essere intuita osservano la figura accanto. Immaginiamo i allontanare le armature connesse al punto a quelle connesse al punto. Sarà allora più trasparente che, poneno in parallelo ue conensatori, in realtà stiamo accostano una sola armatura, composta a ue lastre collegate fra loro, a una secona armatura, composta sempre a ue lastre collegate fra loro. ppare quini naturale sommare le capacità ei ue se si vuole sostituire al parallelo un solo oggetto. Si provi, per esercizio, a stabilire come sono isposti i sistemi i conensatori in figura. C D C Serie o parallelo fra e? 7