ELETTROMAGNETISMO PARTE II - POTENZIALE ELETTRICO

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1 ELETTROMAGNETISMO PARTE II - POTENZIALE ELETTRICO ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA 1. Calcolo el potenziale ato il campo elettrico Exercise 1. La ifferenza i potenziale elettrico tra il terreno e una nuvola urante un temporale è i V. Trovare la variazione in moulo ell energia potenziale elettrica in multipli ell elettronvolt i un elettrone che si muove tra uesti ue punti. Soluzione: La forza elettrostatica è una forza conservativa, e è uini possibile assegnare a un sistema i cariche una energia potenziale elettrica U, la cui variazione U = W. Assumiamo che il sistema i riferimento uello in cui le cariche sono infinitamente istanti tra loro e assegniamo a tale configurazione U = 0. Quini, W sarà il lavoro elle forze elettrostatiche per avvicinare le cariche. Nel caso i una singola carica, generatrice el campo elettrico, esseno, per efinizione, W = F s, possiamo scrivere U = 1 4πε 0 r. Il potenziale elettrico è il rapporto tra l energia potenziale e la uantità i carica, cioè V = U U e V =, per cui, consierano un solo elettrone, avremo U = e V = V = 1. GeV Exercise. Una ata batteria per auto a 1 V può far fluire una carica totale i 84 Ah attraverso un circuito, a un polo all altro. Trovare la carica, in coulomb, corrisponente e, se tutta la carica subisce una ifferenza i potenziale i 1 V, l energia che viene utilizzata. Soluzione: Dalla efinizione i intensità i corrente abbiamo i = = i t t ne segue che 1 C = 1 A s e uini l energia utilizzata è pari a 84 C h s 3600 s h = C U = V = 1 V C = J Exercise 3. Si supponga che in un lampo la ifferenza i potenziale tra nuvole e terreno sia si V e la uantità i carica trasferita sia 30 C. Trovare l energia trasferita con uella carica. Se tutta l energia rilasciata venisse utilizzata per accelerare un automobile i 1000 kg inizialmente a riposo, trovare la sua velocità finale. Se tale energia venisse impiegata per fonere ghiaccio, uanto ne fonerebbe a 0 C? Il calore latente i fusione el ghiaccio è J/kg. Soluzione: L energia potenziale elettrica è ata a U = V = V 30 C = J Se tale energia potenziale si trasforma interamente in energia cinetica U = K = 1 v m f v i l automobile, la sua velocità finale sarà, esseno v i = 0 K v f = m = J 10 3 = m kg s La uantità i ghiaccio che passa allo stato liuio a 0 C è ata a ove L è il calore latente in uesto caso Q = Lm m = J J kg 1 = kg per

2 ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA Exercise 4. Un elettrone si sposta al punto A al punto B, come mostrato in figura. Il campo elettrico svolge un lavoro i J su i esso. Trovare le ifferenze i potenziale elettrico V B V A, V C V A, V C V B. Soluzione: Il potenziale elettrostatico è efinito come il rapporto tra l energia potenziale e la carica non generatrice el campo. Tra i punti A e B la ifferenza i potenziale sarà pari al lavoro fatto al campo sulla carica, cioè V B A = J C =.46 V il segno negativo è perché si passa a un potenziale minore a uno maggiore come inicato alla freccia. Il punto C appartiene alla stessa superficie euipotenziale el punto B, per cui C A =.46 V, mentre i punti C e B stanno sulla stessa superficie euipotenziale, per cui, esseno la forza elettrostatica conservativa, C B = 0 V. Exercise 5. Nell esperimento i Millikan con le goccioline olio, un campo elettrico i N/C viene instaurato tra ue piani a una istanza i 1.50 cm. Trovare la ifferenza i potenziale tra i ue piani. Soluzione: La ifferenza i potenziale può essere espressa in funzione el campo elettrico come V = Er = N C m = V Exercise 6. Due grani piatti paralleli conuttori vengono posti a una istanza i 1 cm l uno all altro e sulle loro superfici sono presenti cariche uguale e opposte. Un elettrone posto a metà straa tra i ue piatti è soggetto a una forza i N. Si trascuri l effetto ai bori. Trovare il campo elettrico nella posizione ell elettrone e la ifferenza i potenziale tra i ue piatti. Soluzione: L elettrone è sottoposto all azione elle cariche sul piatto negativo che lo attraggono e a uelle sul piatto positivo che lo attraggono. Avremo uini una forza iretta verso le cariche positive i intensità oppia rispetto al caso ella presenza i un solo tipo i carica. L intensità el campo elettrico è ata a E = F e = N C =.4 N 104 C la ifferenza i potenziale sarà V = Er = N C m = V Exercise 7. Un piano carico infinito ha una ensità i carica σ = 0.10 µc/m su una faccia. Trovare la istanza alla uale si trovano le superfici euipotenziali il cui potenziale ifferisce i 50 V. Soluzione: Il campo elettrico prootto a un piano carico infinito è ato a E = σ ε 0 Il campo è iretto perpenicolarmente al piano e è uniforme. Fissiamo l origine el sistema i coorinate sul piano e assumiamo l asse x parallelo al campo e positivo nella irezione el campo. Il potenziale elettrico sarà V = V 0 Ex

3 ELETTROMAGNETISMO PARTE II - POTENZIALE ELETTRICO 3 Le superfici euipotenziali sono superfici che stanno tutte alla stessa istanza al piano e i cui punti hanno lo stesso potenziale. Se ue superfici sono separata a una istanza x allora la ifferenza i potenziale tra i esse sarà V = E x = σ x ε 0 Risolveno rispetto a x, si ottiene 50 V C x = C Nm = m = 8.8 mm Exercise 8. La figura mostra un foglio infinito non conucente con ensità i carica superficiale positiva σ su un lato. Trovare il lavoro fatto al campo elettrico el foglio mentre una piccola carica i prova 0 viene spostata a una posizione iniziale sul foglio a una posizione finale posta a una istanza z al foglio. Soluzione: Il campo elettrico ovuto a un foglio infinito è ato a E = σ ε 0 Il lavoro può essere espresso come il prootto scalare ella forza per lo spostamento; in uesto caso la forza è F = E 0 e lo spostamento è z. Pertanto, L = F s = 0σz ε 0 Exercise 9. Un contatore Geiger è costituito a un cilinro metallico avente iametro i.00 cm, lungo il cui asse viene teso un filo avente iametro cm. Si assuma che tra il cilinro e il filo venga applicata una tensione i 850 V. Trovare il campo elettrico sulla superficie el filo e el cilinro. Soluzione: Applicano il teorema i Gauss su una superficie cilinrica coinciente con il cilinro metallico el Geiger si veano gli esercizi nel file campo elettrico si ottiene che il campo elettrico è ato a sapeno che V = f i Er, si ottiene V = λ πε 0 ˆ i f E = λ πε 0 r r r = Er ln ri f = Er ln r i r f Se ora vogliamo calcolare il campo elettrico sulla superficie el Geiger, r = r f = 0.01 m e si avrà 850 V E cil = = V 0.01 m ln m 0.01 se invece calcoliamo il campo elettrico sul filo, r = r i = m e si avrà 850 V E cil = m ln = V m

4 4 ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA Exercise 10. Il campo elettrico in una sfera isolante i raggio R, all interno ella uale vi sia una carica istribuita uniformemente, è iretto raialmente e ha un intensità E r = r 4πε 0 R 3 Qui positiva o negativa è la carica totale nella sfera e r è la istanza al centro ella sfera. Trovare il potenziale V r all interno ella sfera, assumeno V = 0. Trovare poi la ifferenza i potenziale elettrico tra un punto ella superficie e il centro ella sfera. Se è positiva eterminare uale ei punti si trova al potenziale maggiore. Soluzione: Nel primo caso si ha V r = ˆ 4πε 0 R 3 rr = r 8πε 0 R 3 e la ifferenza i potenziale tra un punto ella superficie e il centro sarà V = [ r ] R 4πε 0 R 3 0 = R 8πε 0 R 3 = 8πε 0 R e la carica è negativa, il potenziale avrà il valore massimo nel centro ella sfera stessa. Exercise 11. La carica è istribuita uniformemente nel volume i una sfera avente raggio R. Se il potenziale è nullo all infinito, imostrare che il potenziale a una istanza r al centro, ove r < R, è ato a V = 3R r 8πε 0 R Soluzione: Usiamo il teorema i Gauss per trovare il campo elettrico entro e fuori la istribuzione i carica sferica. Poiché il campo è iretto raialmente il potenziale elettrico sarà l integrale el campo lungo il raggio ella sfera esteso all infinito. L integrale ovrà essere iviso in ue parti per tenere conto elle iverse regioni, una all infinito alla superficie e l altra alla superficie a un punto interno. All esterno il campo è ato a E = 4πε 0r e il potenziale è V = 4πε 0r, ove r è la istanza al centro ella sfera la carica è vista come puntiforme. Per trovare il campo elettrico all interno ella sfera, scegliamo una superficie gaussiana sferica i raggio r, concentrica alla istribuzione. Il campo è perpenicolare alla superficie e è uniforme e il flusso attraverso la superficie è Φ E = 4πεroE. La carica istribuita ipene al volume ella sfera e sarà r 3 /R 3. Applicano il teorema i Gauss si ha 4πε 0 r E = r3 R 3 E = r 4πε 0 R 3 Se V s è il potenziale sulla superficie ella istribuzione r = R allora il pontenziale in un punto interno sarà V = V s ˆ r R Er = V s Calcoliamo V s alla relazione V = V = 4πε 0 R r 8πε 0 R 3 + 4πε 0 R 3 ˆ r R rr = V s r r R = V s 4πε 0r ; poneno r = R, si ha V s = r 8πε 0 R 3 + 8πε 0 R = R r + R 8πε 0 R 3 = 3R r 8πε 0 R 3 =. Potenziale ovuto a cariche puntiformi 8πε 0 R 4πε e sostitueno 0R 3R r 8πε 0 R 3 Exercise 1. Una carica puntiforme vale +1.0 µc. Si consieri il punto A, posto a una istanza i.0 m e il punto B, posto a una istanza i 1.0 m. Se i ue punti si trovano in irezione iametralmente opposta, come nella figura i sinistra, trovare la ifferenza i potenziale V A V B. Determinare la ifferenza i potenziale uano i punti A e B sono isposti come nella figura a estra.

5 ELETTROMAGNETISMO PARTE II - POTENZIALE ELETTRICO 5 Soluzione: Il potenziale elettrico attorno a una carica positiva puntiforme, rispetto al potenziale nulla a istanza infinita, è ato a V = 4πε 0 r Esseno la carica positiva, il campo elettrico è iretto raialmente alla carica verso l esterno. Consieriamo il caso mostrato nella figura i sinistra. Il potenziale V A e V B è uguale a C V A = 4π C Nm.0 m = 4496 V V C B = 4π C Nm 1.0 m = 899 Il potenziale in ualsiasi punto vicino a una carica positiva è positivo, rispetto al potenziale all infinito. Pertanto V A V B = = 4496 V Nel caso illustrato alla figura i estra, la ifferenza i potenziale è la stessa, perché i punti A e B stanno sulle stesse superfici euipotenziali attorno alla carica +. Exercise 13. Si consieri una carica puntiforme = C, e V = 0 all infinito. Inicare la forma e la imensione i una superficie euipotenziale avente un potenziale i 30 V ovuto soltanto a. Le superfici i cui potenziali ifferiscono per una costante sono istanziate in moo isparato? Soluzione: Calcoliamo il raggio ella superficie sferica euipotenziale attorno alla sola carica puntiforme. Da V = k 0 r, otteniamo r = k 0 V = Nm C C 30 Nm C = 4.50 m La ipenenza tra V e r è i proporzionalità inversa, per cui le superfici risulteranno sempre più spaziate al crescere i r. Exercise 14. Trovare il potenziale che raggiunge una sfera conuttrice isolata i raggio 16.0 cm con una carica i C con V = 0 all infinito. Soluzione: Il potenziale i una sfera conuttrice isolata è espresso a V = k 0 r = Nm C C = 843 V 0.16 m Exercise 15. Quano una navicella spaziale si muove nel gas ionizzato rarefatto ella ionosfera terrestre, il suo potenziale varia tipicamente i 1.0 V per ogni rivoluzione. Assumeno che la navicella sia una sfera i raggio 10 m, stimare la uantità i carica che raccoglie. Soluzione: Sostituiamo i ati inicati nella relazione che esprime il potenziale sulla superficie i una sfera: = V r 1.0 V 10 m = = C k Nm C Exercise 16. Molti ei materiali che costituiscono gli anelli si Saturno hanno la forma i minuscole particelle i polvere i raggio 10 6 m. Questi granelli si trovano in una regione che contiene un gas ionizzato rarefatto e raccolgono elettroni in eccesso. Si supponga, in via approssimativa, che un granello sia sferico, con raggio R = m. Se il potenziale elettrico sulla superficie i un granello è i 400 V, trovare il numero i elettroni in eccesso raccolti consierano V = 0 all infinito. Soluzione: Troviamo prima la carica che viene raccolta = V r = 400 V m = C k Nm C e ricorano il valore ella carica i un elettrone, otteniamo il numero i tali particelle n = C C =.8 105

6 6 ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA Exercise 17. Trovare la carica e la ensità i carica sulla superficie i un contenitore sferico i raggio 0.15 m il cui potenziale è 00 V con V = 0 all infinito. Soluzione: Troviamo la uantità i carica sulla superficie = V r k 0 00 V 0.15 m = = C Nm C La superficie i una sfera è 4πr e supponeno la carica uniformemente istribuita avremo σ = A = C 4π 0.15 m = C m Exercise 18. Una goccia acua sferica su cui è presente una carica i 30 pc ha un potenziale i 500 V sulla superficie con V = 0 all infinito. Trovare il raggio ella goccia. Se ue gocce simili, aventi stessa carica e stesso raggio, si combinano per formare un unica goccia sferica, trovare il potenziale sulla superficie ella nuova goccia così formata. Soluzione: Calcoliamo il raggio ella goccia singola: r = k 0 V = C Nm C 500 V = m Se uniamo le ue gocce per formarne una sola, uesta avrà un volume oppio i raggio r tale che r 3 = r 3 e una carica oppia, =, per cui r = r 3 e il potenziale iverrà V = k 0 r = k 0 r 3 = V 3 V = V 3 = 1000 V 3 = 793 V Exercise 19. Un campo elettrico i circa 100 V/m viene spesso osservato sulla superficie ella Terra. Se uesto campo fosse costante sull intera superficie, trovare il potenziale elettrico in un punto i essa. Su supponga V = 0 all infinito. Soluzione: Consierano la superficie ella Terra con una istribuzione i carica uniforme, possiamo applicare la relazione che lega il campo elettrico al potenziale, assumeno come istanza al centro il raggio terrestre. V = Er = m 100 V m = V Exercise 0. Determinare il potenziale netto nel punto P, in figura, ovuto alle uattro cariche puntiformi se V = 0 è all infinito.

7 ELETTROMAGNETISMO PARTE II - POTENZIALE ELETTRICO 7 Soluzione: Il potenziale nel punto P è eterminato meiante il principio i sovrapposizione, secono il uale il potenziale netto è la somma ei potenziali, teneno conte el segno, ovuti alla presenza i ogni carica consierata come sola. Pertanto V = k 0 3 i=1 i r i = k = k 0 Exercise 1. Nella figura il punto P è al centro el rettangolo. Con V = 0 all infinito, trovare il potenziale generato alle sei cariche puntiformi nel punto P. Soluzione: Il potenziale nel punto P è eterminato meiante il principio i sovrapposizione, secono il uale il potenziale netto è la somma ei potenziali, teneno conte el segno, ovuti alla presenza i ogni carica consierata come sola. Pertanto, calcolano la istanza ei vertici el rettangolo al punto P meiante il teorema i Pitagora, V = k = 5, si ha +.0 = k = k = k 0 Exercise. Una carica puntiforme 1 = +6.0e viene tenuta fissa nell origine i un sistema i coorinate cartesiane. Una secona carica = 10e viene fissata in x = 8.6 nm, y = 0. Il luogo ei punti el piano xy nei uali V = 0 che non siano all infinito è una circonferenza centrata sull asse x, come in figura. Trovare la posizione i x c el centro ella circonferenza e il raggio R i tale circonferenza. Soluzione: L esercizio chiee i eterminare ue uantità incognite. Per ottenere tale risultato, calcoliamo il potenziale in ue punti istinti appartenenti all asse x e alla circonferenza i cui punti si trovano tutti a potenziale V = 0. Per comoità, inichiamo la istanza i all origine con e inichiamo le intersezioni ella circonferenza con l asse x con A x > 0 e B x < 0. Il potenziale ovuto a entrambe le cariche nel punto B sarà V B = k 0 e + = 0 R + x C R + x C + a cui 6.0 R + x C + = 10 R + x C 4 R + x C = 6 Calcoliamo ora il potenziale nel punto A V B = k 0 e + = 0 R x C R x C a cui 6.0 [ R x C ] = 10 R x C 6 = 16 R x C

8 8 ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA Mettiamo ora a sistema le ue euazioni nelle incognite x C e R { { R + xc = 3 8R 8x C = 3 { R = x C = R = 15 x C = = 9 8 Sostitueno ora il valori i e, osservano alla figura che x C < 0, si ha x C = 4.8 nm R = 8.1 nm Exercise 3. Una sfera i rame i raggio 1.0 cm. è ricoperta a uno strato sottile i nichel. Alcuni atomi i nichel sono raioattivi, e emettono un elettrone uano ecaono. Metà i uesti elettroni entrano nella sfera, epositano ciascuno 100 kev i energia. L altra metà i elettroni se ne va, trasportano ciascuno una carica e. Lo strato i nichel ha un attività i B. La sfera è appesa a un lungo filo conuttore e isolata a tutto ciò che la circona. Trovare il tempo necessario affinché il potenziale ella sfera aumenti fino a 1000 V e il tempo affinché la temperatura ella sfera aumenti i 5.0 C, sapeno che la capacità termica ella sfera è 14.3 J/K. Soluzione: L attività egli atomi el nucleo inica che ogni secono sulla sfera vengono epositati elettroni. Affinché il potenziale assuma il valore i 1000 V la carica necessaria è = V r k 0 pari a n e elettroni i carica C il tempo necessario sarà uini 1000 V 0.01 m = = C Nm C n e = C C s = t = = 38 s s 1 Per eterminare la uantità i energia necessario all aumento ella temperatura i 5.0 C, utilizziamo la relazione ella calorimetria E = C T, ove, in uesto caso, C esprime la capacità el corpo. Pertanto, se T = 5.0 C = K si avrà E = 14.3 J K 5.0 K = 71.5 J = ev = ev = kev Per epositare una tale uantità i energia servono elettroni e il tempo necessario sarà t = s 1 = s Exercise 4. La molecola i ammoniaca NH 3 ha un momento i ipolo elettrico permanente, p, pari a 1.47D, ove D è l unità ebye el valore i C m. Calcolare il potenziale elettrico associato a una molecola i ammoniaca in un punto che si trova a una istanza i 5.0 nm all asse el ipolo. Si ponga V = 0 all infinito. Soluzione: Il potenziale elettrico el ipolo in uestione è ato a V = 1 p Nm = πε 0 r C C m m = V Exercise 5. Si supponga che il potenziale elettrico lungo l asse x segua l anamento mostrato in figura. Per i tratti illustrati ab, bc, c, e, ef, fg, gh, si etermini la componente x el campo elettrico. Si ignori il comportamento nei punti estremi ei segmenti.

9 ELETTROMAGNETISMO PARTE II - POTENZIALE ELETTRICO 9 Soluzione: Inichiamo, per chiarezza, le coorinate ei iversi punti. a 6; 0, b 4, 1, c, 1, 0, 6, e, 0, f.5, 7.5, g 3.5, 7.5, h 6, 0. Il campo elettrico lungo la irezione x è la erivata, cambiata i segno, el potenziale rispetto alla istanza lungo x. Pertanto, all analisi, sappiamo che nel caso i rette o i segmenti i retta, la erivata è il coefficiente angolare i tale retta E a,b = = 6 V m E b,c = = 0 V m E c, = = 3 V m E,e = = 3 V m E e,f = = 15 V m E f,g = = 0 V m E g,h = = 3 V m Exercise 6. Rutherfor calcolò il potenziale elettrico in funzione ella istanza r al centro i un atomo otteneno V = Ze 1 4πε 0 r 3 R + r R 3 Si imostri che la relazione che esprime il campo elettrico, E = Ze 1 4πε 0 r r R iscena correttamente a uesta 3 espressione i V. Perché uesta espressione i V non va a zero uano r? Soluzione: La imostrazione è puramente matematica, ricorano il legame che intercorre tra campo elettrico e potenziale, cioè E = V r cioè il campo elettrico è la erivata rispetto a r el potenziale. Calcoliamo, pertanto, la erivata ella funzione V r assegnata, con R costante. E = V r = Ze 4πε 0 1 r 3 R + r R 3 = Ze 1 4πε 0 r + r R 3 = Ze 1 4πε 0 r r R 3 per valutare il comportamento el potenziale per r, calcoliamo il limite ella V r: lim V = Ze 1 r 4πε 0 r 3 R + r R 3 = + 3. Energia Potenziale Elettrica Exercise 7. Trovare l energia potenziale elettrica i ue elettroni separati a una istanza i.0 nm. Aumentano la istanza, l energia potenziale aumenta o iminuisce? Soluzione: Le ue particelle cariche hanno lo stesso segno per cui si eve compiere lavoro positivo per mantenerle nella conizione inicata. L energia potenziale sarà U = 1 1 = Nm C 4πε 0 r C m = J L espressione che esprime l energia potenziale in funzione ella posizione mostra che al crescere i r, l energia iminuisce.

10 10 ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA Exercise 8. Due cariche = +.0 µc sono fisse nello spazio a una istanza =.0 cm, come mostrato in figura. Con V = 0 all infinito, trovare il potenziale elettrico nel punto C. Una terza carica ientica alle preceenti viene portata lentamente all infinito nel punto C. Trovare il lavoro necessario. Trovare, infine, l energia potenziale ella configurazione uano anche la terza carica è al suo posto. Soluzione: Il potenziale elettrico nel punto C si calcola applicano il principio i sovrapposizione, sommano cioè il potenziale in C relativo alle ue cariche consierate sole. La istanza i ogni carica al punto C può essere calcolata osservano che tale istanza è la iagonale i un uarato i lato /, cioè V C = 1 4πε 0 + = 1 4πε 0 4 = 4πε 0 Nm = C C 0.0 m = V Se una terza carica 3, uguale alle preceenti, viene portata nel punto C contro le forze el campo elettrico si compirà un lavoro positivo L = U = V = C V = 5.1 J Calcoliamo ora l energia potenziale ella configurazione con le tre cariche U = U + U U 3 = 1 1 4πε le cariche sono tutte uguali, per cui U = 1 4πε 0 + = 1 + = Nm C 4πε 0 C 0.0 m = 6.9 J Exercise 9. Le cariche e le loro coorinate in un piano xy sono: 1 = C, x = 3.5 cm, y = cm; e = C, x =.0 cm, y = +1.5 cm. Trovare il lavoro che si eve compiere per collocare ueste cariche nelle posizioni inicate, parteno all infinito. Soluzione: Supponiamo che inizialmente lo spazio sia vuoto, per cui per spostare 1 nella posizione inicata non sarà richiesto alcun lavoro. Posizionata la carica 1, per spostare la carica i segno opposto si ovrà compiere un lavoro contro le forze el campo i tipo attrattivo. Il lavoro sarà uini negativo. La istanza tra le ue cariche è ata a r = = 5.6 cm Il lavoro è espresso a L = 1 1 = Nm 4πε 0 r C C m = 1.9 J Exercise 30. Si valuti sommariamente la massa ell elettrone nel moo seguente: si assuma che l elettrone sia composto a tre parti ientiche portate all infinito e poste ai vertici i un triangolo euilatero con lati uguali al raggio classico ell elettrone, m. Trovare l energia potenziale elettrica totale i uesta isposizione. Si ivia per c e si confronti il risultato col valore ella massa ell elettrone, comunemente riconosciuto in kg.

11 ELETTROMAGNETISMO PARTE II - POTENZIALE ELETTRICO 11 Soluzione: L energia potenziale ella configurazione i cariche illustrata è U = U 1, + U 1,3 + U,3 = πε 0 r 1 r r 3 ma 1 = = 3 e r 1 = r = r 3, per cui U = 1 e 4πε 0 9r + e 9r + e = 1 e Nm C = r 4πε 0 3r C m = J ivieno per c si ottiene la massa alla relazione E = mc m = J = kg m s Il valore ha lo stesso orine i granezza ella massa nota e è migliorabile aumentano il numero elle cariche che ipoteticamente formano l elettrone. Exercise 31. Ricavare l espressione per il lavoro necessario per isporre uattro cariche ai vertici i un uarato i moo che agli estremi elle iagonali vi siano cariche i segno uguale anche se i valore uguale. Soluzione: Siano ± le intensità elle cariche e a il lato el uarato, la cui iagonale sarà. Il lavoro sarà L = U = U = U 1, + U 1,3 + U,3 = 1 4πε 0 a + a + a + a + a + a = = 1 4 4πε 0 a + = 4 10 =.3 10 a 4πε 0 a a Exercise 3. Nel moello a uark per le particelle elementari, un protone è composto a tre uark: ue uark up, avente ciascuno carica e/3, e un uark own, avente carica e/3. Si supponga che i tre uark siano euiistanti l uno all altro i m. Si calcoli l energia potenziale el subsitema ei ue uark e l energia potenziale elettrica totale el sistema elle tre particelle. Soluzione: Supponiamo che sia inizialmente presente il uark own. L energia potenziale el subsistema sarà U = U,u + U,u = U 1, + U 1,3 + U,3 = 1 e + e = 1 4e = 4πε 0 9r 9r 4πε 0 9r = Nm C C m = J = 0.48 MeV L energia potenziale elettrica i una tale configurazione sarà U = U 1, + U 1,3 + U,3 = 1 4πε 0 4e 9r + e 9r + e 9r = 1 4πε 0 0 = 0 J Exercise 33. Tre cariche i 0.1 C formano un triangolo euilatero i lato 1.7 m. Se si fornisce energia con potenza 0.83 kw, trovare il numero i giorni necessari per spostare una elle cariche nel punto meio el lato el triangolo a essa opposto. Soluzione: Il lavoro compiuto per spostare una carica è ato alla variazione ell energia potenziale L = U = 4πε 0 r 1 4πε 0 r = 1 1 = 0.1 C Nm 1 4πε 0 r 1 r C 0.85 m 1 = J 1.7 m La potenza è il rapporto tra il lavoro compiuto e l intervallo i tempo, per cui t = L P = J s = s =.1 giorni

12 1 ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA Exercise 34. Nel rettangolo in figura, i lati misurano 5.0 cm e,15 cm, 1 = 5.0 µc e = +.0 µc. Con V = 0 all infinito, trovare i potenziali elettrici nei punti inicati con A e B. Trovare poi il lavoro necessario per spostare una terza carica 3 = +3.0 µc a B a A lungo una iagonale el rettangolo. Inicare se tale lavoro fa aumentare o iminuire l energia elettrica ell insieme elle tre cariche. Infine, se 3 si spostasse lungo un percorso all interno el rettangolo ma non sulla iagonale o fuori el rettangolo, inicare se il lavoro richiesto sarebbe uguale, maggiore o minore. Soluzione: Calcoliamo il potenziale nel punto A V A = 1 4πε 0 Calcoliamo il potenziale nel punto B V B = 1 4πε C 0.15, m C 0.05 m C 0.05, m C 0.15 m Il lavoro necessario per portare una carica 3 a B a A è ato a = V = V L = V = V A V B 3 = V V C = +.5 J Il lavoro è positivo e, pertanto, fa aumentare l energia elettrica el sistema i cariche; infine, tale lavoro non cambia al variare ella traiettoria seguita alla carica, poiché il campo elettrico è conservativo. Exercise 35. Trovare il lavoro richiesto per trasportare la carica +5 all infinito lungo la linea tratteggiata in figura e per porla vicino alle ue cariche fisse +4 e. Si ponga = 1.40 cm e = C. Soluzione: Per trovare il lavoro richiesto, supponiamo che, apprima, il sistema sia composto alle sole ue cariche fisse. In tal caso, il potenziale nel punto in cui si ovrà trovare la terza carica è V = C 4πε , m C = 0 m Supponeno sempre V = 0, osserviamo che la carica +5 eve trovarsi in ue punti che hanno lo stesso potenziale e pertanto V = 0 e, i conseguenza, si ha L = 0. Exercise 36. Una particella con carica positivaq viene tenuta fissa in un punto P. Una secona particella i massa m e carica negativa si muove a una velocità costante su una circonferenza i raggio r 1. centrata sul punto P. Ricavare un espressione per il lavoro L che eve essere svolto a un agente esterno sulla secona particella per aumentare il raggio ella sua orbita fino a ivenire r. Soluzione: La configurazione è uella tipica el moello atomico introotto a Rutherfor, etto a sistema planetario. Il sistema ha un energia totale iniziale ata alla somma ell energia potenziale e i uella cinetica ella carica ruotante. Queste ue granezze cambiano compieno lavoro all esterno, ma la loro somma rimane costante, poiché il campo elettrico è conservativo. Troviamo un espressione ell energia

13 ELETTROMAGNETISMO PARTE II - POTENZIALE ELETTRICO 13 totale in funzione el raggio r. La carica fissa Q esercita una forza centripeta sulla carica che si muove i moto circolare uniforme. Applicano la secona legge i Newton, possiamo scrivere Da uesta relazione possiamo ricavare F c = m v r = F e = Q 4πε 0 r mv = Q 4πε 0 r L energia cinetica ella carica è ata a K = 1 mv = L energia totale sarà E = K + U = Q 8πε 0 r Q Q 8πε 0r. La sua energia potenziale è U = 4πε. 0r Q 4πε 0 r = Q 8πε 0 r Exercise 37. Calcolare il potenziale elettrico generato al nucleo i atomo i irogeno alla istanza meia in cui si trova l elettrone r = m. Trovare l energia potenziale elettrica ell atomo uano l elettrone si trova a tale istanza raiale, e l energia cinetica ell elettrone, assumeno che si muova su un orbita circolare i uesto raggio centrata sul nucleo. Trovare, infine, l energia richiesta per ionizzare l atomo i irogeno, esprimeno tutte le energie in ev. Soluzione: Calcoliamo il potenziale elettrico ell elettrone alla sua efinizione, cioè V = e 4πε 0 r = C m = 7. V L energia potenziale el sistema protonenucleo-elettrone è ata a U = V e + = e 4πε 0 r = C = J = J ev m J Dall esempio preceente, possiamo calcolare l energia cinetica ell elettrone = 7. ev K = 1 mv = e = 13.6 ev 8πε 0 r La ionizzazione ell atomo avviene forneno a uesto elettrone un energia almeno pari a 13.6 ev. Exercise 38. Una particella i carica = 3.1 µc viene tenuta fissa in un punto P e una secona particella i massa m = 0 mg e stessa carica viene inizialmente tenuta a riposo a una istanza r 1 = 0.90 mm a P. La secona particella viene poi rilasciata. Determinare la velocità uano si trova a una istanza r =.5 mm a P. Soluzione: Lo spostamento ella carica alla posizione iniziale a uella finale implica una variazione nell energia potenziale el sistema. Tale variazione è ata U = 1 1 = C 1 4πε 0 r r m = 61.4 J m Ma tale variazione ell energia potenziale è uguale all energia cinetica acuisita alla carica mobile, il cui valore iniziale era zero. Pertanto, U = K = 1 mv a cui v = K m = 61.4 J kg =.5 m 103 s Exercise 39. Una carica Q = 9.0 nc è uniformemente istribuita intorno a un anello i raggio 1.5 m che giace sul piano yz con il centro nell origine. Una carica puntiforme = 6.0 pc viene posta sull asse x a x = 3.0 m. Calcolare il lavoro svolto per spostare la carica puntiforme fino all origine.

14 14 ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA Soluzione: Il lavoro è pari alla variazione ell energia potenziale. Nel caso i un isco carico, essa è ata a L = U = Q 1 4πε 0 r 1 = Nm 1 r + x C C m 1 = J Exercise 40. Due sferette metalliche A e B i massa m A = 5.00 g e m B = 10.0 g portano cariche positive uguali = 5.00 µc. Le sferette sono collegate con un filo privo i massa e i lunghezza = 1.00 m, molto maggiore el raggio ella sferetta. Trovare l energia potenziale elettrica el sistema. Toglieno il filo, trovare l accelerazione i ogni sfera in uell istante e la velocità i ciascuna i esse molto tempo opo il taglio el filo. Soluzione: L energia potenziale elettrica è ata a U = N = πε 0 m C C = 0.5 J Se il filo viene tagliato, le ue sferette sono soggette a una forza repulsiva i intensità uguale e contraria e l accelerazione, applicano la secona legge i Newton, sarà ma = 4πε 0 = U Le masse elle ue sferette sono iverse, per cui, esseno = 1.00 m, a A = U a B = U J = m A kg = 45.0 m s J = m B kg =.5 m s Dopo molto tempo alla rottura el filo, possiamo supporre che l effetto ella forza sia trascurabile e che le sferette si muovano i moto rettilineo uniforme. Per calcolare la velocità osserviamo che l intera energia potenziale si trasformerà in energia cinetica elle sferette, per cui U = K A + K B = 1 ma va + m B v B ma, v A = v B, = va v A 4 = va J v A = kg = 7.75 m s e v B = 3.87 m s. Il segno meno rene conto el verso opposto i moto rispetto alla sferetta A. Exercise 41. Due superfici conuttrici parallele, piane, istanziate i = 1.00 cm hanno una ifferenza i potenziale V = 65 V. Un elettrone viene proiettato a un piatto verso l altro. Trovare la velocità iniziale ell elettrone se esso si ferma proprio sulla superficie el secono piatto. Soluzione: Il secono piatto avrà una carica negativa che si oppone al moto ell elettrone tanto a riurre la sua velocità a zero nello spazio i 1.00 cm. Il lavoro per fermare l elettrone è pari all energia potenziale U = V e = 65 V C = J. Tale lavoro è uguale alla variazione ell energia cinetica ell elettrone, per cui a cui K = K f K i = K f 0 = 1 mv i v i = = m s Exercise 4. Un guscio sferico sottile non conucente, i raggio R viene montato su un supporto isolante e caricato a un potenziale V. Un elettrone viene lanciato la un punto P a istanza r al centro el guscio r R con velocità iniziale v 0. iretto raialmente verso l interno. Trovare il valore i v 0 affinché l elettrone riesca a raggiungere esattamente l involucro prima i tornare inietro.

15 ELETTROMAGNETISMO PARTE II - POTENZIALE ELETTRICO 15 Soluzione: La velocità iniziale viene azzerata a causa ella forza repulsiva che agisce sull elettrone, la cui energia cinetica si azzera. Il lavoro necessario è pari all energia potenziale sull involucro. Pertanto, V e = 1 m vf v0 1 = mv 0 Possiamo, pertanto, ricavare la velocità ev v 0 = m Exercise 43. Due elettroni sono tenuti fissi a.0 cm i istanza. Un altro elettrone viene lanciato all infinito e si arresta a metà straa tra i ue. Trovare la sua velocità iniziale. Soluzione: Possiamo utilizzare la relazione ell esercizio preceente che esprime v 0 = f V. Calcoliamo, apprima, il potenziale nel punto meio el segmento che rappresenta la istanza tra le ue cariche V = e N = 4πε 0 r ev v 0 = m = m C C m C V kg = V = 319 m s Exercise 44. Si consieri un elettrone sulla superficie i una sfera uniformemente carica i raggio 1.0 cm e carica totale C. Trovare la velocità iniziale che ovrà avere l elettrone per raggiungere una istanza infinita alla sfera con energia cinetica nulla. Soluzione: L elettrone eve posseere un energia cinetica che gli consenta i vincere l attrazione ella sfera e uini la velocità iniziale si può intenere come la velocità i fuga alla sfera. Calcoliamo l energia potenziale ell elettrone U = e N m = C C C 4πε 0 r =.3 10 J m L energia totale si conserva e il campo elettrico è conservativo, pertanto.3 10 J = kg v 0 a cui v 0 =.3 10 J kg =. 104 m s Exercise 45. Un elettrone viene lanciato con una velocità iniziale i m s irettamente verso un protone tenuto fisso in un punto. Se l elettrone è inizialmente a una grane istanza al protone, trovare la istanza al protone alla uale la velocità istantanea ell elettrone sarà uguale al oppio el sua valore iniziale. Soluzione: Calcoliamo la variazione ell energia cinetica ell elettrone nelle ue posizioni rispetto al protone fisso. K = 1 m vf v0 se v f = v 0, avremo K = 3 mv 0 Uguagliamo sempre l energia potenziale con la variazione ell energia cinetica a cui e r = 4πε 0 3mv0 = U = 3 mv 0 = e 4πε 0 r N m C C kg = m m s

16 16 ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA Exercise 46. Una sfera metallica cava è caricata con un potenziale i +400 V rispetto al terreno V = 0 e ha una carica i C. Trovare il potenziale elettrico al centro ella sfera. Soluzione: Una carica in eccesso contenuta in un conuttore in euilibrio si ispone sulla superficie esterna el conuttore stesso. La carica porta l intero conuttore, compresi i punti sulla superficie e uelli interni, a un potenziale uniforme. Da ciò segue che V centro = +400V. Exercise 47. Trovare la carica i una sfera conuttrice i raggio r = 0.15 m se il potenziale ella sfera è 1500 V e V = 0. Soluzione: Esprimiamo il potenziale sulla superficie ella sfera V = 4πε 0 r a cui 1 = 4πε 0 rv = Nm 0.15 m 1500 V = C C Exercise 48. I centri i ue sfere metalliche, ciascuna i raggio 3.0 cm, sono separati i.0 m. Una ha carica 1 = C, l altra = C. Si assuma che la loro istanza sia abbastanza grane, rispetto alla loro imensione, a consierare la loro carica uniformemente istribuita, Assumeno V = 0, calcolare il potenziale nel punto intermeio tra i loro centri e il potenziale elettrico i ciascuna sfera. Soluzione: Nelle conizioni assegnate, il potenziale nel punto intermeio è calcolato meiante il principio i sovrapposizione: V = 1 1 4πε 0 r + = Nm C r C C = 180 V 1.0 m 1.0 m Il potenziale i ogni sfera è V 1 = V = 1 = Nm C C m = 997 V 4πε 0 R Nm = πε 0 R C C m = 8990 V Exercise 49. Una sfera metallica avente raggio i 15 cm ha una carica netta i C. Trovare il campo elettrico sulla superficie ella sfera. Se V = 0, trovare il potenziale elettrico sulla superficie ella sfera e la istanza alla superficie alla uale il potenziale elettrico iminuisce i 500 V. Soluzione: Il campo elettrico è calcolato attraverso la legge i Gauss applicato a una superficie gaussiano sferica: Nm E = = πε 0 R C C m = N V C m il potenziale sulla superficie è V = Nm = πε 0 R C C m = 1800 V Se il potenziale si riuce i 500 V, avrà un valore pari a 1300 V, pertanto, ricavano la istanza r, avremo V r = 4πε 0 R + r a cui si ricava r = R = Nm 4πε 0 V r C C 0.15 m = 5.7 cm 1300 V