ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2005 Sessione suppletiva

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1 ESAME DI STATO DI LIEO SIENTIFIO ORSO DI ORDINAMENTO 005 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario PROBLEMA 1 Sono dati una piramide triangolare regolare e il prisma retto inscritto in essa in modo che una base sia la sezione della piramide con il piano equidistante dal suo vertice e dalla sua base A) Ammesso di conoscere il volume della piramide, dire se è possibile calcolare il volume del prisma e fornire una esauriente spiegazione della risposta B) Posto che lo spigolo della base AB della piramide sia lungo cm: 1) calcolare la misura dello spigolo della base MNP del prisma, complanare ad AB ; ) supposto che gli spigoli AB e MN siano paralleli, riferire il piano dei triangoli AB e MNP a un sistema di assi cartesiani avente l origine in A e l asse delle ascisse coincidente con la retta AB e trovare le coordinate dei vertici di tali triangoli; ) determinare quindi l equazione della parabola avente l asse perpendicolare alla retta AB e passante per i punti A, B, M e verificare che passa pure per N ; ) calcolare le aree delle parti in cui la parabola trovata divide i triangoli AB e MNP ; 5) spiegare esaurientemente, col metodo preferito, com è posizionata la circonferenza circoscritta al triangolo MNP rispetto al triangolo AB PROBLEMA È assegnata la funzione f a (), dove a è un parametro reale non nullo 1 a 1) Dopo aver fornito la definizione di funzione limitata, spiegare perché la funzione f a () è limitata ) Una volta riferito il piano a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (O) e indicato con A il punto di massimo del grafico G della funzione quando a 0, scrivere l equazione della circonferenza di diametro OA ) Determinare quanti e quali punti hanno in comune la circonferenza e la curva G, quando a varia nell insieme dei numeri reali positivi ) alcolare il valore a di a per il quale la circonferenza e la curva G hanno in comune i vertici di un triangolo equilatero 5) Dopo aver controllato che il valore a sopraddetto è, indicare con e G la circonferenza e la curva corrispondenti a tale valore e calcolare le aree delle regioni piane in cui la curva G divide il cerchio delimitato da 1 Zanichelli Editore, 006

2 QUESTIONARIO 1 5 È dato un trapezio rettangolo, in cui le bisettrici degli angoli adiacenti al lato obliquo si intersecano in un punto del lato perpendicolare alle basi Dimostrare che il triangolo avente per vertici questo punto e gli estremi del lato obliquo è rettangolo e trovare quale relazione lega il lato obliquo alle basi del trapezio Siano AB, A, AD tre spigoli di un cubo Sapendo che uno spigolo è lungo s, calcolare la distanza del vertice A dal piano dei punti B,, D Alberto e Gianna sono chiamati a risolvere la seguente equazione: sen cos 1 Alberto ottiene come 5 soluzione gli angoli tali che: k oppure k (k intero qualsiasi); Gianna trova la seguente soluzione: (1) k k (k intero qualsiasi) È vero o è falso che Alberto ha risolto correttamente e Gianna no? Fornire una risposta esauriente Si consideri la seguente equazione in : (k ) (k 1) (k 1) 0, dove k è un parametro reale diverso da Indicate con e le sue radici, calcolare i limiti di quando k tende a, a e a Il limite della funzione (1 ) 1 per 0: A) è uguale a 1; B) è uguale ; ) non esiste; D) è uguale a e ; E) è uguale a 1 e, con e la base dei logaritmi naturali Una sola risposta è corretta Individuarla e fornirne una spiegazione esauriente 6 Fornire un esempio di funzione reale di variabile reale f () avente le seguenti caratteristiche: f (1) 1, f (1) 0, f (1) In un piano, riferito a un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (O), sono assegnate le rette r ed s di equazioni rispettivamente m 1 e m, dove m è un parametro reale Qual è l equazione del luogo geometrico descritto dal punto di intersezione delle due rette al variare di m? È vero o falso che le due funzioni ln( ) e ln( ) ln( ) hanno lo stesso grafico? Fornire una esauriente spiegazione della risposta Le parti letterali dei termini dello sviluppo del binomio (a b) 10, ordinati secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, sono rispettivamente: a 10, a 9 b, a 8 b, a 7 b, a 6 b, a 5 b 5, a b 6, a b 7, a b 8, ab 9, b 10 Elencare i loro coefficienti e giustificare in modo esauriente la risposta Zanichelli Editore, 006

3 10 Una classe è formata da 7 alunni: 15 femmine e 1 maschi Si deve costituire una delegazione di 5 alunni, di cui femmine e maschi Quante sono le possibili delegazioni? Durata massima della prova: 6 ore È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema Zanichelli Editore, 006

4 SOLUZIONE DELLA PROVA D ESAME ORSO DI ORDINAMENTO 005 Sessione suppletiva PROBLEMA 1 A)Nella figura 1 sono disegnati la piramide triangolare regolare, di base AB equilatera e altezza VH, e il prisma triangolare inscrit- V to nella piramide, di base DEF equilatera e altezza KH 1 VH La piramide triangolare di vertice V e base DEF è simile alla piramide di base AB e vertice V, con rapporto di similitudine F K E k 1 per ipotesi, pertanto i volumi delle due piramidi hanno D rapporto k 1 8 : Vol DEFV 1 8 Vol ABV Ora, la piramide DEFV ha base e altezza congruenti al prisma inscritto di partenza: essa è quindi equivalente alla terza parte del prisma cioè Vol DEFV 1 Vol prisma Sostituendo alla relazione pre- P A M H B N Figura 1 cedente si trova: 1 Vol prisma 1 8 Vol ABV Vol prisma 8 Vol ABV In conclusione, il volume del prisma inscritto è del volume della piramide ABV 8 B1) Nel punto A) si è osservato che i triangoli equilateri MNP e AB sono simili con rapporto di similitudine k 1 Se il lato di AB misura cm, il lato di MNP è lungo cm B) Nella figura sono rappresentati i triangoli AB e MNP nel sistema di assi cartesiani come richiesto P H 1 W M R N OA 1 B Q γ Figura Zanichelli Editore, 006

5 I punti A e B hanno coordinate A(0; 0) e B (; 0); il punto ha ascissa A B e ordinata pari all altezza del triangolo equilatero AB, ovvero Pertanto (; ) Il punto H è ortocentro, incentro, baricentro del triangolo equilatero AB e del triangolo equilatero MNP : esso divide la mediana Q in due parti, una doppia dell altra, per cui H ; Per il rapporto di similitudine tra i due triangoli, risulta poi che M è punto medio di AH, come N lo è di BH e P di H Attraverso la formula del punto medio di un segmento si trova: M 1;, N ; e P ; B) Una parabola con asse di simmetria parallelo all asse ha equazione generica a b c Poiché la parabola passa per i punti A(0; 0), B (; 0) e M 1;, si ottiene il sistema in a, b, c: c 0 16a b c 0 a b c c 0 a b 0 a b c 0 b a a La parabola ha equazione Essa passa per il punto N poiché tale punto è 9 9 simmetrico al punto M della parabola, rispetto all asse di simmetria Si può verificare anche algebricamente che le coordinate di N soddisfano l equazione della parabola: Nella figura è rappresentato il grafico della parabola a 9 b 9 B) Si valuta dapprima l area della superficie S 1 intercettata dal triangolo MNP sulla parabola che ha vertice W ; 9 Per la formula del segmento parabolico si trova: S 1 WR MN 9 7 L area S della parte restante del triangolo MNP si calcola per differenza, tenendo conto che l area del triangolo vale S MNP 1 Si ottiene: S 7 7 In maniera analoga si trovano le aree delle parti in cui la parabola divide il triangolo AB Il segmento parabolico di base AB ha area: S WQ AB 9 7 c 0 5 Zanichelli Editore, 006

6 L area S della parte restante del triangolo AB si calcola per differenza, tenendo conto che l area del triangolo vale S AB S MNP Quindi: S B5) La circonferenza circoscritta al triangolo equilatero MNP ha centro nel circocentro H del triangolo e raggio r HP, cioè r (figura ) Tale circonferenza coincide con la circonferenza inscritta nel triangolo equilatero AB Infatti quest ultima ha centro in H e ha raggio PROBLEMA r HQ, cioè r 1) Una funzione f () si definisce limitata nel suo insieme di definizione A se esiste un numero reale positivo M tale che f () M A La funzione f a () ha come campo di esistenza l insieme dei numeri reali Osservando che 1 a 1 1, R, si può scrivere f a () 1 a a, R Pertanto la funzione è limitata nel campo reale ) Si studia il grafico G della funzione f a (), con a positivo Essa ha campo di esistenza R; 1 a è simmetrica rispetto all asse delle ed è sempre positiva; ha asintoto orizzontale 0, poiché lim a a 0; ha derivata f 1 a (), (1 pertanto ha massimo assoluto nel punto A(0; a); ha derivata seconda f a () a ( 1 ) ( 1, ) ) dunque ha flessi nei punti La circonferenza di diametro OA ha centro nel punto P 0; a e raggio uguale ad a La sua equazione è: Figura A M a A P Q H N B a a a 0 Nella figura è rappresentato il grafico G della funzione f a per un generico a e il grafico della circonferenza = a 1+ a P γ G ) Per determinare le intersezioni delle curve e G bisogna risolvere il sistema delle loro equazioni: O Figura a 0 1 a L equazione risolvente è: a a 0 (1 ) a a (1 ) 0 (1 ) a 0 (1 ) 1 ( a 1) 0 6 Zanichelli Editore, 006

7 Per la legge di annullamento del prodotto: 0 1a Tenendo conto che a è positivo, le soluzioni sono: 0 1 a In particolare, se a 1, le curve si intersecano in tre punti: (0; a), ( a 1; 1), (a 1; 1); se a 1, le curve hanno solo il punto (0; 1) in comune La figura mostra dunque il caso in cui a 1, mentre la figura 5 rappresenta le due curve per a 1 ) Indicati con A, B, i punti di intersezione delle due curve (figura 6), le loro coordinate sono: A(0; a), B ( a 1; 1), (a 1; 1), con a 1 Sfruttando la simmetria della figura, affinché il triangolo AB sia equilatero, è sufficiente imporre A B : (a 1) (1 a) a 1 a 11a a a 1 a a a 1 Elevando al quadrato e semplificando per (a 1) si ottiene a B A O P a A a a=1 O Figura 5 Figura 6 5) Per a, i punti A, B, hanno coordinate A(0; ), B ( ; 1), (; 1) Osservando la figura 6, la curva G divide il cerchio delimitato da in tre parti, di cui due uguali per simmetria Per determinare l area della regione mistilinea AOB, è sufficiente calcolare l area della superficie compresa tra la curva G e il segmento B e sommare a essa l area del segmento circolare OB Mentre il primo addendo si determina con un calcolo integrale, l area del segmento circolare si trova per differenza tra il settore circolare BPO di angolo BPˆ 10 e il triangolo PB Pertanto risulta: S AOB 1 1 d 1 0 () 1 60 ( 1) S AOB [ arctg ] 8 L area S di ciascuna delle due restanti regioni, tra loro congruenti, comprese tra la curva G e gli archi inferiori AB e A, si ottiene come metà della differenza tra l area della circonferenza e l area S AOB : S () () QUESTIONARIO D 1 Nel trapezio rettangolo ABD (figura 7) il segmento EB è bisettrice dell angolo ABˆ ed E è bisettrice dell angolo BĈD Tali angoli sono supplementari perché angoli coniugati formati dalle parallele AB e D e dalla trasversale B Pertanto gli angoli EBˆ e BĈE, essendo metà di angoli supplementari, sono tra loro complementari Il triangolo EB, avendo due angoli complementari, è quindi retto in E Si tracci la perpendicolare EH al lato B Risulta: DÊ ÊH EBˆ, perché complementari di angoli congruenti; EĈB BÊH AÊB, poiché complementari di angoli congruenti E A H B Figura 7 7 Zanichelli Editore, 006

8 Pertanto i triangoli DE e EH sono congruenti per il secondo criterio di congruenza, come pure i triangoli ABE e BEH In particolare, D H e AB BH Essendo B H BH si deduce che B D AB In conclusione, la somma delle basi del trapezio rettangolo è uguale al lato obliquo Il piano passante per i punti B,, D delimita la piramide ABD (figura 8) Lo scopo è quello di determinare l altezza h della piramide rispetto alla base triangolare BD Si calcola dapprima il volume V della piramide: V 1 S BD h, dove S BD è l area della base triangolare BD D Il triangolo BD, avendo per lati le diagonali di tre facce del cubo, è equilatero e il lato vale s Pertanto la sua area risulta: H h S BD 1 s s s A e il volume della piramide diventa V s h Figura 8 B s 6 Esso può essere calcolato in altro modo, considerando come base il triangolo AB In tal caso V 1 S ABAD ovvero V 1 6 s Uguagliando le due espressioni del volume si ottiene: s h s, da cui h s Utilizzando la formula di duplicazione, l equazione sen cos 1 è equivalente all equazione sen 1 che ha soluzioni: 6 k 5 6 k 5 k k (k Z) 1 1 La risposta di Alberto è quindi esatta Le soluzioni fornite da Gianna, (1) k k, possono essere scritte diversamente distinguendo se 1 k è pari o dispari, nel seguente modo: per k pari, cioè k k (k Z), 1 k ovvero k ; 1 per k dispari, cioè k k 1 (k Z), (k 1) 1 ovvero 5 k 1 Pertanto la soluzione data da Gianna è esatta ed è equivalente a quella fornita da Alberto Affinché l equazione di secondo grado (k ) (k 1) (k 1) 0 ammetta soluzioni reali è necessario che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: (k 1) (k )(k 1) 0 k 1 k k k Tale condizione è quindi verificata per qualsiasi k R b Poiché in una equazione di secondo grado, a b c 0, la somma delle radici vale, risulta: a k 1, k k 8 Zanichelli Editore, 006

9 5 I limiti richiesti valgono: lim k 1, e quindi lim k 1 non esiste, lim k 1 k k k k k k onsiderato il limite lim (1 ) 1 1 1, si tratta di una forma indeterminata 1 Si pone, per cui 0 e per 0 risulta Sostituendo nel limite precedente si ottiene: 1 lim (1 0 ) lim 11 lim Applicando il limite notevole lim 1 1 e, ne consegue che lim (1 ) e La risposta esatta è pertanto la E) Le caratteristiche f (1) 1, f (1) 0, f (1) 0 sono condizioni sufficienti per affermare che la funzione f ha un massimo nel punto 1 per il teorema delle derivate successive Un esempio di funzione con tale proprietà è una parabola di vertice V (1; 1) e concavità rivolta verso il basso Imponiamo all equazione di una generica parabola f () a b c tali condizioni: f (1) 1 a b c 1 f (1) 0 a b 0 f (1) 0 a 0 Posto, per esempio, a 1, il sistema diventa: c 0 b a 1 La funzione cercata ha equazione f () 7 Per determinare l equazione cartesiana del luogo geometrico si pongono a sistema le equazioni parametriche delle rette r e s : m 1 m Si ricava il parametro m dalla prima equazione e si sostituisce nella seconda: m 1, Per 0, il luogo geometrico è la circonferenza di equazione 0 Essa ha centro 5 e passa per l origine O (0; 0) 1 ; 1, raggio r È necessario discutere la condizione 0 per vedere se la circonferenza è privata di qualche punto: Zanichelli Editore, 006

10 Il punto (0; 0) non appartiene al luogo m 1 poiché, sostituendo, si trova il sistema impossibile: m Mentre per ; 0 si ha m, che è un valore accettabile per il parametro m 1 m In conclusione il luogo cercato è la circonferenza di equazione 0, privata del punto O (0; 0) 8 9 La funzione f () ln( ) è definita per 0 cioè il suo campo di esistenza è La funzione g () ln( ) ln( ) è definita per 0 0 ovvero per Pertanto le funzioni f e g non possono avere lo stesso grafico perché hanno campi di esistenza differenti Si osserva che nella parte comune dei rispettivi campi, cioè per, la funzione g può essere espressa, secondo le proprietà dei logaritmi, come g () ln( )( ) ln( ) Dunque le funzioni e i loro grafici non sono uguali nei loro campi di esistenza ma coincidono nell intervallo ] ; [ Lo sviluppo del binomio (a b) 10 si ottiene tramite la formula di Newton: (a b) a 10k b k k0 k I coefficienti delle parti letterali sono i coefficienti binomiali con k 0, 1,,, 10 Pertanto essi risultano ordinatamente: 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, ovvero: , 10, 5, 10, 10, 5, 10, 10, 5, 10, 1 I coefficienti dello sviluppo si possono ottenere anche attraverso il metodo ricorsivo del triangolo di Tartaglia, sviluppato fino alla decima riga La caratteristica di tale triangolo, per cui ogni coefficiente è la somma dei due coefficienti della riga precedente a destra e sinistra, è una proprietà dei coefficienti binomiali detta formula di Stifel: n n 1 n 1 k k 1 k 10 k 10 Le femmine sono 15 e devono essere scelte in gruppi di Pertanto i modi di scelta delle ragazze sono le combinazioni di 15 elementi a a, cioè 15, In maniera analoga si stabilisce che le combinazioni per i maschi sono 1, Il numero delle possibili delegazioni si ottengono moltiplicando 15, per 1, : , 1, Zanichelli Editore, 006

11 Per esercitarti ancora sugli argomenti trattati nel Svolgi il Problema 1 Quesito 6 pag 96 Problema 10 pag L 9 (punto a) Esercizio pag L 9 Esercizio 10 pag L 15 Esercizio 18 pag L 10 Problema Esercizio 71 pag V 5 Esercizio 18 pag L 18 Problema 1 pag W 16 (punti a, b) Quesito 1 Problema pag W 16 (punto a) Quesito Quesito 10 pag 96 Problema 17 pag 97 (punto b) Quesito Test pag Q 9 Esercizio 9 pag Q 55 Test 1 pag Q 85 Quesito Esercizio 56 pag U 16 Esercizio 8 pag U 178 Quesito 5 Esercizio 66 pag U 17 Esercizio 68 pag U 17 Quesito 6 Esercizio 15 pag V 19 Quesito pag V 15 Quesito 7 pag V 88 Quesito 7 Quesito 6 pag L 57 (punto b) Problema 1 pag L (punto a) Quesito pag L 8 Quesito 8 Esercizio 60 pag N 6 Esercizio 65 pag N 6 Quesito 5 pag N 95 Quesito 9 Esercizio 105 pag Quesito pag 0 Quesito 10 Esercizio 17 pag 7 Problema 18 pag 1 (punto a) 11 Zanichelli Editore, 006