Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Variabili aleatorie

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1 Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà. La complessità dei fenomeni naturali e delle società umane, che rende molto difficile conoscere tutte le relazioni causali fra eventi, suggerisce di considerare casuali eventi che in effetti non lo sono, o lo sono solo in parte. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 1 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 2 Il caso Il caso Come controllare il caso? Esempio 1: Quando si lancia una moneta, se si conoscessero perfettamente la moneta, la posizione rispetto alla tavola e le componenti della forza di lancio, si potrebbe prevedere esattamente se si vedrà testa o croce. Poiché queste informazioni, ed i calcoli conseguenti, sono al di là della pratica corrente, si classifica il gioco come un evento casuale. Il controllo della casualità può esser fatto in diversi modi: approccio scientifico: si cerca di conoscere il fenomeno casuale in dettaglio e si cerca d operare di conseguenza, cercando di prevedere gli effetti di certe cause e stabilendo quali sono i risultati possibili. approccio magico: si prega, si va dall astrologo o dal mago a farsi fare le carte, si compiono gesti rituali, ecc. approccio violento: si nega la casualità e s impone che gli eventi si svolgano come si vuole. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 3 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 4

2 Il caso Il caso Esempio: e si deve affrontare un esame: i studia fino ad avere una preparazione sufficiente (approccio scientifico). e si è ansiosi o insicuri, ci si preoccupa di vestirsi bene e di presentarsi educati e disponibili; ci si protegge con delle preghiere o dei voti, facendo scongiuri e usando santini (approccio magico). Ci si procura una raccomandazione, si offrono soldi o favori alla commissione, oppure la si minaccia con una pistola (approccio violento). Attenzione ai giubbetti antiproiettile... Tuttavia, se l esame non si supera, vuol dire comunque che non s è studiato abbastanza, anche se Marte ed aturno erano in Acquario... Nei fenomeni che interessano la ricerca scientifica, non s ammette che eventi siano puramente casuali e si cercano sempre le cause. In questo modo, la parte d un fenomeno dovuta al caso è limitata, anche se con dei limiti (principio d indeterminazione di Heisenberg). i considera comunque casuale la parte del fenomeno che non si riesce a spiegare al livello corrente di conoscenze. Nella natura e nella società umana s osservano fenomeni talmente complessi che non se ne possono neanche cercare tutte le numerose cause. i parla allora di fenomeni casuali o aleatori e ad ogni modo in cui essi si possono realizzare s attribuisce una probabilità di realizzarsi. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 5 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 6 commesse e probabilità commesse e probabilità commesse e probabilità Una scommessa è un patto fra due giocatori che si trovano davanti ad un fenomeno aleatorio: essi dividono l insieme degli eventi possibili in due ed ognuno impegna una somma su una delle due classi della partizione, scommettendo che l evento che si realizzerà sarà fra quelli della classe scelta. e l evento che si realizza sta in una classe, il giocatore che l ha scelta vince e si prende i soldi dell altro giocatore, che perde. I due giocatori sono liberi d impegnare la somma che vogliono e d accettare o no la somma proposta dall avversario. La scommessa si decide attraverso una discussione che porta a stabilire il valore delle somme impegnate. La relazione fra le somme di denaro impegnato (o comunque il valore di quel che s impegna) è allora la misura della probabilità che ogni giocatore attribuisce al realizzarsi d un evento della classe d eventi scelta. i può ragionare così: Due giocatori J 1 e J 2 impegnano le somme s 1 e s 2 sulle classi E 1 ed E 2. iano s 1 < s 2 e s = s 1 + s 2 la somma totale impegnata. e si realizza E 1, J 1 vince una somma più grande di quella che aveva impegnato, è quindi in vantaggio rispetto a J 2 che, se si realizza E 2, vincerebbe una somma più piccola. Perché J 2 accetta? Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 7 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 8

3 commesse e probabilità commesse e probabilità Il baro Altrimenti J 1 non avrebbe accettato la scommessa. Ma che interesse ha J 2 di giocare così? Forse J 2 è più sicuro di vincere di J 1. Dunque le due somme impegnate indicano le probabilità di realizzarsi che i due giocatori attribuiscono agli eventi delle due classi. Il baro è colui che influenza segretamente in suo favore eventi apparentemente casuali. Esempi: Carte con sei assi, dadi truccati, cavalli drogati, informazioni dall interno dell azienda, compari di vario genere, ecc. Il baro ha qualche informazione (segreta) in più dell altro, pertanto le somme impegnate non riflettono la probabilità. Quindi le informazioni e l onestà dei giocatori devono esser le stesse. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 9 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 10 commesse e probabilità commesse e probabilità Per verificarlo, basta scambiare i ruoli dei due giocatori: J 1 scommetterà su E 2 e J 2 su E 1. e le somme impegnate non cambiano, allora si tratta d una scommessa equa. e cambiano la scommessa non era equa, perché la stima delle probabilità fatta dai due giocatori è diversa. si chiama la probabilità di E 1. i può concludere che la probabilità del realizzarsi d un evento casuale E 1 Analogamente, la probabilità di E 2 è. può esser misurata dal rapporto, dove s 1 ed s 2 corrispondono ad una scommessa equa relativa ad i due eventi E 1 ed, cioè la negazione di E 1. Risulta. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 11 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 12

4 Un fenomeno aleatorio è un fenomeno che si realizza secondo eventi casuali, dunque imprevedibile. Tuttavia, si è in grado di conoscere tutte le possibili realizzazioni del fenomeno, cioè i modi in cui si può realizzare. Esempio 1: Nel gioco di testa o croce, si sa che il lancio della moneta dà come risultato sicuro una delle due facce della moneta, ma non si sa esattamente quale. Esempio 2: Nel caso del lancio d un dado, si sa che può risultare un numero da 1 a 6. Ogni realizzazione d un fenomeno è un evento elementare e l'insieme di tutti gli eventi elementari si chiama spazio degli eventi. Ad ogni fenomeno aleatorio è associato uno spazio degli eventi, e gli eventi elementari che ne fanno parte ne sono tutte le possibili realizzazioni. Esempio 1: Nel gioco di testa e croce, lo spazio degli eventi è l insieme {testa, croce}. Esempio 2: Nel lancio d un dado, lo spazio degli eventi è l insieme {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Esempio 3: Nei giochi di carte lo spazio degli eventi è l insieme {x x è una carta}....nel caso dell esame, lo spazio degli eventi è l insieme {bocciato, 18, 19,..., 30 e lode, bocciato ed arrestato}... Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 13 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 14 Definizione. i chiama fenomeno aleatorio ogni fenomeno che ha luogo con la realizzazione, a priori sconosciuta, d'uno qualunque ed uno solo degli eventi elementari appartenenti allo spazio degli eventi associato al fenomeno. Per indicare uno spazio d eventi s usa d abitudine la lettera Ω, eventualmente con un indice per distinguerlo da altri spazi) e con ω un evento elementare, sicché si può scrivere se l evento elementare ω fa parte delle possibili realizzazioni del fenomeno che ha Ω come spazio degli eventi. Invece che d eventi elementari, ci si può interessare ad eventi più complessi, che sono sottoinsiemi di Ω. Definizione. i chiama evento un qualunque sottoinsieme di Ω. Un evento è dunque composto da alcuni eventi elementari, cioè è un insieme di possibili realizzazioni del fenomeno, lo si indica con E, eventualmente con indici. Esempio 2: Nel gioco dei dadi, si può scommettere se il risultato sia pari o dispari. i tratta dei sottoinsiemi di Ω D : E 1 = {2, 4, 6} = {ω, ω è pari}, E 2 = {1, 3, 5} = {ω ω è dispari}. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 15 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 16

5 L'implicazione fra due eventi E 1 ed E 2,, significa che il primo è contenuto nel secondo, cioè ne è un sottoinsieme,. Esempio 3: Nel gioco delle carte, l evento «carta di cuori» implica l evento «carta rossa», e {ω ω è una carta di cuori} {ω ω è una carta rossa}. Il complementare (o negazione) d'un evento E è quello composto da tutti gli eventi elementari che non ne fanno parte. Lo s indica con ovvero con. Esempio 1: L'evento complementare di «testa» è «croce», dunque E = {testa} e = {croce} e viceversa. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 17 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 18 La congiunzione di due eventi è quello composto da eventi elementari comuni ai due eventi. Corrisponde all intersezione fra sottoinsiemi,. L'alternanza o unione di due eventi è l evento composto dagli eventi elementari che compongono almeno uno dei due eventi. È l unione fra sottoinsiemi,. Esempio 3: A carte, l evento «cuori e maggiore di dieci» è la congiunzione fra«cuori» e «fante, donna, re». i tratta dunque dell evento {fante di cuori, donna di cuori, re di cuori} = {ω ω è una carta di cuori} {ω ω è più grande di dieci}. Esempio 3: A carte, l evento «cuori o quadri» è l evento «carta rossa». Dunque {ω ω è una carta rossa} = {ω ω è una carta di cuori} {ω ω è una carta di quadri}. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 19 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 20

6 La differenza de due eventi è quello composto dagli eventi elementari del primo che non fanno parte del secondo,. Non c è bisogno che.. La disgiunzione di due eventi è quello composto dagli eventi elementari che fanno parte d uno solo dei due. È la differenza simmetrica fra i due eventi. Esempio 2: a dadi, l'evento che risulta dall differenza fra «pari» e «minore di tre» è {4, 6} = {ω ω è pari e ω non è più piccolo 3} = {ω ω è pari} - {ω ω è più piccolo di 3}. Esempio 3: A carte, la disgiunzione fra «cuori» e «figure» è l insieme composto dalle carte di cuori da 1 a 10 e da tutte le nove figure non di cuori. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 21 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 22 Valgono le seguenti proprietà derivanti dalle operazioni fra insiemi in, dal momento che ( è un algebra di Boole: = - A = A A B = B A A B = B A A A = A A A = A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) A = A A Ω = Ω A = A = A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A - (B C) = (A - B) (A - C) A - (B C) = (A - B) (A - C) A - = A - = A A B = (A - B) (B - A) = (A B) - (A B) In principio, ogni sottoinsieme è un evento, sicché l insieme degli eventi coincide con l insieme delle parti di : P( ). stesso potrà essere finito o infinito, in particolare continuo. Tuttavia, per evitare difficoltà, invece di P( ) nel seguito si tratterà con un suo sottoinsieme con particolari proprietà. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 23 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 24

7 Definizione. i chiama σ-algebra ogni sottoinsieme Σ di P( 1) ; ) tale che: 2) se, allora ; 3) se I è discreto (finito o numerabile), e, per ogni, allora. Risulta che, se allora anche,, e. Definizione: i chiama classe d'eventi mutualmente esclusivi ogni famiglia d eventi tali che per ogni. Definizione: i chiama classe d'eventi esaustivi ogni famiglia d eventi tale che Definizione: i chiama sistema completo d eventi o partizione, ogni classe d eventi mutuamente esclusivi ed esaustivi. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 25 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 26 Esempio 2: Nel lancio d un dado, gli eventi E 1 = {1,2}, E 2 = {3, 5}, E 3 = {4} formano una classe d eventi mutuamente esclusivi. Gli eventi E 1 = {1,2}, E 4 = {x dispari}, E 5 = {4,6} formano una classe d eventi esaustivi. Gli eventi E 1 = {1,2}, E 2 = {3,5}, E 5 = {4,6} formano un sistema completo d eventi. Quando si parla di fenomeno casuale, si dà una valutazione qualitativa del fatto che il fenomeno si può presentare con una certa probabilità. Nelle scommesse, invece, il denaro implica una quantificazione e s è visto che l ammontare delle scommesse può esser assunto a misura. Definizione i chiama probabilità d un evento una misura numerica della verosimiglianza che esso si realizzi. Per fenomeni diversi, si può definire una probabilità in modo diverso. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 27 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 28

8 La probabilità classica i suppone che la probabilità di realizzarsi degli eventi elementari che formano sia sempre la stessa. Pertanto, se questi sono n, la probabilità del realizzarsi in questo caso d un evento elementare è 1/n. In simboli, se gli eventi elementari di sono, allora per ogni. Esempio 1: Nel lancio della monetina, = {testa, croce}. In genere si suppone che la probabilità che esca una delle due facce sia la stessa. i valuta cioè d aver una probabilità su due che esca testa o che esca croce. e esce, si riceve il doppio della somma impegnata. Pertanto le probabilità dei due eventi elementari sono p(testa) = p(croce) = 1 / 2 = 0,5. Esempio 2: Nel lancio del dado, = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dunque composto da 6 eventi elementari. e il dado è equilibrato, si valuta d aver una probabilità su sei che esca il numero scelto (e cinque che non esca). e si vince, si ottiene sei volte la somma impegnata. Pertanto, p(i ) = 1 / 6, per ogni i = 1,..., 6. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 29 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 30 osservi che, nella teoria classica, si hanno i seguenti risultati: P1) per ogni evento si ha ; P2) la probabilità di è ; P3) se due eventi E 1 ed E 2 son disgiunti,, allora i tratta d una probabilità a priori, che si può usare soltanto quando s è sicuri che gli eventi elementari hanno tutti uguale probabilità di realizzarsi, cioè l'inverso del numero d eventi elementari di. i tratta allora di contare gli eventi elementari. e gli eventi elementari non sono equiprobabili, le probabilità non saranno le stesse per tutti. Esempio 4. Nel gioco della roulette, la palla casca nei buchi d una ruota, numerati da 0 a 36. e i buchi sono tutti uguali, si può supporre che la probabilità di cadere in uno qualunque sia sempre la stessa, cioè 1/37. Altrimenti, se i buchi non sono tutti uguali e non c è modo di calcolare teoricamente la probabilità d ogni numero. i dovrà quindi ricorrere a metodi empirici. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 31 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 32

9 La probabilità frequentista e gli eventi elementari non sono equiprobabili, ma si può ripetere il fenomeno in condizioni identiche, si può usare la definizione frequentista di probabilità. i tratta di ripetere il fenomeno molte volte, sempre nelle stesse condizioni e contare le frequenze di ogni evento elementare. I seguenti risultati sono tuttavia validi per la probabilità frequentista: P1) per ogni evento si ha ; P2) la probabilità di è ; P3) se due eventi E 1 ed E 2 son disgiunti,, allora i chiama allora probabilità dell'evento il rapporto fra il numero delle sue realizzazioni ed il numero totale di ripetizioni, cioè la sua frequenza relativa: p Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 33 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 34 Esempio 1: se si dubita che la moneta sia regolare, si può fare una serie (lunga) di lanci e vedere se la frequenza di testa e croce è 1/2 o no. La ripetizione della prova dà le probabilità a posteriori degli eventi; nel caso del lancio della moneta, la conoscenza delle frequenze relative potrà servire come probabilità a priori per un gioco successivo, con la stessa moneta. Nulla però esclude che le frequenze osservate non siano avvenute per caso. Inoltre, non si sa quante ripetizioni siano necessarie per una stima affidabile delle probabilità. i può solo pensare che, aumentando indefinitamente il numero di ripetizioni, la frequenza relativa possa esser una buona stima della probabilità dell evento. i esprime questo dicendo che la probabilità dell evento E è data da un valore limite,, al crescere di n. Poiché questa definizione si basa su probabilità a posteriori, non è possibile applicare questo metodo a fenomeni che non si possono ripetere nelle stesse condizioni più volte. In tal caso occorrerà ricorrere ad un altra definizione. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 35 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 36

10 soggettiva Questa definizione si basa sulle scommesse. i chiama «probabilità d un evento il valore per un giocatore di un unità monetaria condizionata dal realizzarsi d un certo evento» (De Finetti, 1987). È la somma p che s accetta di scommettere sull evento per vincere un unità monetaria, se esso si realizza, in una scommessa equa. Per questo, si deve accettare di scommettere 1 - p sul non realizzarsi dell evento. Perché le probabilità così stabilite siano effettivamente valide, occorre stabilire, nel caso di più eventi elementari possibili, un principio di coerenza, perché altrimenti un giocatore, combinando diverse scommesse, potrebbe avere un guadagno certo. i dimostra che, perché una scommessa sia equa, occorre e basta che la somma delle probabilità degli eventi elementari di Ω sia 1: Con questa condizione soddisfatta, sono valide le proprietà: Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 37 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 38 P1) per ogni evento si ha ; P2) la probabilità di è ; P3) se due eventi E 1 ed E 2 son disgiunti,, allora Esempio 4: Nella roulette, tutte le scommesse sono calcolate sulla base di 36 numeri possibili: 1/36 per l'en plein, 1/2 pere rosso/nero, pari/dispari, ecc., mentre il numero di possibilità è 37, perché esiste lo zero. Pertanto la somma delle probabilità dei 36 numeri su cui si scommette è 36/37 < 1. Il casino dunque vince certamente, il che spiega perché se ne aprono tanti. Questa definizione di probabilità si può adottare sempre, anche se non dà una regola pratica per aiutare un giocatore a decidere le sue scommesse. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 39 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 40

11 Quest ultima definizione è poco usata nella ricerca scientifica. Normalmente, s usa la definizione teorica, quando possibile, oppure quella frequentista. Tuttavia, entrambe, nelle previsioni, hanno i loro limiti. Esempi: Nel gioco del lotto, ci si affida ai numeri ritardatari. Tuttavia le estrazioni sono indipendenti una dall altra, sicché potrebbe capitare che un numero ritardatario tardi ancora per un tempo indefinito. Nelle previsioni meteorologiche, ci si affida alla climatologia ed a modelli di circolazione dell atmosfera, per prevedere, sulla base dell accaduto e delle statistiche passate, l evoluzione possibile del tempo. Tuttavia, le previsioni hanno una durata limitata e non possono esser mai certe. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 41 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 42 assiomatica Occorre anche considerare eventi elementari composti: i pensi al lancio di due dadi. Il risultato di ogni dado è da considerarsi indipendente da quello dell altro. Il calcolo delle probabilità degli eventi elementari dovrà quindi tener conto di questo fatto. Ne risulta che la probabilità d una qualunque coppia di valori da 1 a 6 è 1/36, poiché si tratta du tutte le coppie del prodotto {1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5,6}. Le tre diverse definizioni sono valide in occasioni diverse e per questo sono tutte utili. In particolare, esse soddisfano le tre proprietà P1), P2), P3). i possono allora considerare queste proprietà come assiomi e non occuparsi più del tipo di probabilità che s utilizza. È certo che le probabilità descritte godranno comunque delle proprietà che si potranno dedurre dagli assiomi. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 43 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 44

12 Definizione. Dato uno spazio d eventi elementari Ω ed una σ-algebra P (Ω), si chiama probabilità su ogni funzione a valori reali tale che: P1) per ogni evento si ha ; P2) ; P3) se è una famiglia d eventi esclusivi, allora. Definizione. Uno spazio con una probabilità si chiama spazio di probabilità. Proprietà delle probabilità e un evento E si suddivide in due E 1 ed E 2, allora p(e) = p(e 1 ) + p (E 2 ). e, dove sono eventi elementari, allora. e di due eventi, E, F uno implica l altro, E F, allora p(f) = p(e) + p (F - E). e di due eventi, E, F, E F, E F, allora p(e) p(f). Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 45 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 46 condizionali Per ogni,. Per ogni,. p(ω) = 1: Ω prende il nome di evento certo. p( ) = 0: prende il nome di evento impossibile. Per ogni E, F si ha p (E - F) = p (E) - p (E F) e reciprocamente p (F - E) = p (F) - p (E F). Per ogni E, F si ha p (E F) = p (E) + p (F) - p (E F). Le probabilità trattate finora non dipendono da altre informazioni che dalla conoscenza di Ω. Talvolta però si hanno informazioni supplementari che permettono di cambiare la conoscenza del fenomeno e quindi la probabilità che s associa agli eventi elementari. Esempio 3: Nell estrarre una carta, l asso di cuori ha una probabilità su 52 d esser estratto: se però si sa che s è estratta una carta rossa, si ha un probabilità su 26 che sia l asso di cuori, mentre se si sa d aver preso un asso, s ha una probabilità su quattro che sia proprio di cuori. La probabilità 1/52 diventa quindi 1/26 o 1/4. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 47 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 48

13 Infatti, quando s è realizzato un evento, s è realizzato un evento elementare, sicché l evento certo non è più ma E, dunque p(e) = 1. Ogni altro evento, sia F, non si realizza se non quando, cioè a condizione che. Una volta realizzato E la probabilità non è più accettabile e va modificata: Definizione i chiama probabilità condizionale di F noto E, e si scrive p(f E), la probabilità di realizzarsi di F sapendo che E s è realizzato, e si ha Questa definizione è una probabilità, perché verifica P1), P2), P3). Esempio 3: e si applica la formula all estrazione d una carta, si vede che le probabilità di prendere l asso di cuori, sapendo che la carta è rossa è (1/52)/(26/52) = 1/26, mentre se si sa che è un asso è(1/52)/(4/52) = 1/4. Moltiplicando i due membri dell equazione per p(e) o p(f) s ottiene e reciprocamente che è la legge di moltiplicazione delle probabilità. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 49 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 50 Può capitare che sia ed utilizzando questa legge si ha In questo caso si dice che E, F sono eventi indipendenti o disgiunti. In questo caso la legge di moltiplicazione diventa Esempio 5: C è una probabilità di 0,01 che il conducente d una macchina sia ubriaco. i sa che la probabilità d aver un incidente è 0,001 per i conducenti sobri e dello 0,02 per gli ubriachi. Che probabilità c è che ci sia un incidente ed il conducente sia ubriaco? I due eventi sono indipendenti, dunque la probabilità è 0,01 * 0,02 = 0,0002. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 51 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 52

14 Teorema delle probabilità totali. iano un sistema completo d eventi, ed F un evento qualunque. Allora si ha Ovvero, la probabilità d un evento è la somma delle probabilità condizionate di F noti gli eventi del sistema completo. Esempio 5. Qual è la probabilità totale che ci sia un incidente? L insieme {sobrio, ubriaco} è un sistema completo, con probabilità corrispondenti 0,01 e 0,99, le probabilità condizionali d aver un incidente sono rispettivamente 0,02 et 0,001. Dunque la probabilità totale è 0, ,00099 = 0, Il teorema permette di calcolare la probabilità d un evento condizionato da un sistema completo. Al contrario, se ci si trova in una tale situazione, si può raffinare l informazione sul sistema completo a posteriori. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 53 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 54 Teorema di Bayes. iano un sistema completo d eventi ed F un evento qualunque, e siano note per ogni i sia p(e i ) che p(f E i ). Allora, se E * appartiene al sistema completo, si ha che Esempio 5: Poiché c è stato un incidente, qual è la probabilità che il conducente fosse ubriaco? i sa che la probabilità che il conducente sia ubraico e che ci sia un incidente è 0,0002 e che la probabilità totale d incidenti è 0,00119: il rapporto è allora 20/119. Una volta che l incidente è avvenuto, la probabilità che il conducente fosse ubriaco è una su sei, mentre prima dell incidente non era che una su cento. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 55 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 56

15 ia dato uno spazio di probabilità (Ω, Σ, p) associato ad un fenomeno aleatorio. ia data una funzione ξ: Σ V che ad ogni evento elementare ω Σ associa l'elemento v = ξ(ω) V. v è dunque conseguenza dell evento elementare ω che s è realizzato. Una funzione ξ il cui valore dipende da un fenomeno aleatorio prende il valore di variabile aleatoria o casuale. Esempio 2: Nel lancio del dado, si decide che il giocatore incassa esattamente tanti euro quanto è il valore sulla faccia in alto del dado lanciato. La somma vinta è una variabile aleatoria, perché dipende dall evento che si realizza. Esempio 5: In una sperimentazione si fanno delle osservazioni dove si rilevano dei caratteri. Poiché spesso si suppone che la scelta degli oggetti da osservare è fatta in modo casuale (in certi casi esso è addirittura un requisito richiesto), i caratteri vanno visti come variabili aleatorie e le modalità osservate sono i valori che esse assumono al momento dell osservazione, dette anche le realizzazioni della variabile aleatoria. i distinguono due casi, secondo che V è un insieme finito o infinito. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 57 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 58 finite In questo caso, Ω può essere finito od infinito. Comunque, l'insieme dei valori d una variabile aleatoria ξ è finito e si possono enumerare. i ha V = {X 1, X 2,..., X n }. Ad ogni evento elementare ω, di probabilità p(ω), è associato un valore ξ(ω) = X i per qualche i. Per ogni valore X i, sia E i l insieme degli eventi elementari per i quali ξ(ω) = X i. Allora la probabilità p(e i ) è la somma delle probabilità degli eventi elementari che lo compongono:. Teorema. L'insieme degli eventi associati ai valori di ξ è un sistema completo. i può dunque associare ad ogni valore di ξ, la sua probabilità, cioè la probabilità di E i, e si scrive Essa verifica i tre assiomi delle probabilità per lo spazio d eventi V. L'insieme delle coppie {(X i, p i ) i = 1,..., n} si chiama distribuzione o legge di probabilità della variabile aleatoria discreta. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 59 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 60

16 Esempio 1: nel lancio di due monete, ci si domanda il numero di testa che risultano. i hanno allora quattro eventi elementari: {cc, ct, tc, tt} (c = croce, t = testa), ai quali s attribuiscono i valori della variabile aleatoria numero di teste 0, 1, 1, 2, rispettivamente. Risultano di conseguenza associati a tali valori gli eventi E 0 = {cc}, E 1 = {ct, tc}, E 2 = {tt}. Le probabilità associate agli eventi elementari sono sempre 1/4, e dunque agli E i sono associate le probabilità 0,25, 0,50, 0,25, rispettivamente. La legge di probabilità è allora {(0, 0,25), (1, 0,5), (2, 0,25)}. e ha senso sommare e dividere i valori: media: la media di, vale La media si chiama anche speranza matematica di ξ. e s associa alla variabile aleatoria ξ una funzione reale g(ξ) e si vuol conoscere il suo valore a priori, se ne calcola la speranza matematica che è una misura del valore di g(ξ) che ci si deve aspettare a posteriori. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 61 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 62 Nel caso delle scommesse, o del gioco d azzardo, si consideri la variabile aleatoria g(ξ) rappresentante il guadagno del giocatore associato a ciascun evento elementare. e le scommesse od il gioco sono equi, la speranza matematica del guadagno E[g(ξ)] dev esser nulla, perché altrimenti uno dei due giocatori avrebbe la certezza di vincere o perdere una somma per la sola ragione di star giocando. Esempio 4: Alla roulette se si punta 1 su un numero, sia il 23, si riceverà 36 volte 1 se esce. associa dunque a 23 il valore del guadagno 35 = 36-1 ed a tutti gli altri numeri il valore -1. e si gioca qualche migliaia di volte e la roulette è buona, si può sperare che il 23 abbia una probabilità (frequentista) di uscire di 1/36 (se non ci fosse lo zero) contro 35/36 di non uscire. La speranza della puntata en plein sarebbe quindi E[gep] = 35*1/36-1*35/36 = 0, cioè il gioco sarebbe equo, senza vincitori né vinti. iccome nei casino esiste lo zero, le probabilità sono rispettivamente 1/37 e 36/37, sicché la speranza matematica della puntata diventa E[gepcasino] = 35*1/37-1*36/37 = -1/37 = -0,027. Negli tati Uniti ci sono due zeri, dunque: E[gepUA] = 35*1/38-1*36/38 = -2/38 = -0,053. Pertanto, se si gioca alla roulette, si può star certi, alla lunga, di perdere (poco) e non di vincere. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 63 Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 64

17 Nel gioco del lotto, si confronti l inverso della probabilità d ogni giocata (su una sola ruota) con il guadagno (quota pagata -1) e s osservi poi la speranza matematica associata al tipo di giocata. Tipo di giocata dell evento Inverso della probabilità Quota pagata Guadagno peranza matematica Estratto 0, ,00 10,90 9,90-0,394 Ambo 0, ,50 242,50 241,50-0,395 Terno 0, , , ,50-0,649 Quaterna 0, , , ,00-0,848 Cinquina 0, , , ,00-0,978 È evidente che chi gioca è sicuro di perdere, ma se nella giocata secca si butta il 40% della puntata (che non è poco), nella cinquina si butta letteralmente tutto. Non a caso, il governo ha raddoppiato le estrazioni. Lezione 19.wpd 18/01/2011 XIX - 65