NUMERI PRIMI CONGRUENTI A 1 MODULO 4 E TEST DI PRIMALITA

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1 NUMERI PRIMI CONGRUENTI A 1 MODULO 4 E TEST DI PRIMALITA (PRIME NUMBERS CONGRUENT TO 1 MODULO 4 AND PRIMALITY TEST) Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto Abstract: In this paper we focus our attention on a new primality test, based on forms p = 4n+1 e p= 4n+3 of odd numbers of form 6n + 1, and if p or p 2 it is sum of two squares. There are bedes some thoughts on Fermat's theorem on sums of two squares that states that every prime number can be written as the sum of two perfect squares.

2 Pagina 2 di 19 Riassunto In questo lavoro focalizziamo l attenzione su un nuovo test di primalità basato sulle forme p = 4n + 1 e p = 4n +3 dei numeri dispari di forma 6k + 1, e se p o p 2 so somma di due quadrati. Questo tenendo conto del teorema di Fermat sulla somma di due quadrati perfetti.

3 Pagina 3 di 19 Index: 1. TRAPPOLE PER NUMERI PRIMI TEOREMA DI FERMAT SULLE SOMME DI DUE QUADRATI ALTRI PROGRAMMI RIFERIMENTI...19

4 Pagina 4 di TRAPPOLE PER NUMERI PRIMI In questo lavoro riassumiamo in una Tabella, con qualche breve semplificazione, il test di primalità del prof. Guido Carolla, vedi Rif. 1 e 2 Nel libro PRIMI, PROGRESSIONI E MEDIE, Casa ed. Kimerik, Il prof. Guido Carolla ha mostrato un suo test di primalità, basato su alcune caratteristiche dei numeri primi (forme 6n+1, 4n+1 come somma di due quadrati, 4n+3, ecc.) per determinare con alta percentuale di curezza la loro primalità, e che riassumeremo in una Tabella riepilogativa per facilitare il compito ad eventuali lettori interessati. TABELLA 1 N Esempi da prof. Carolla 6n + 1 (6n +1)/ 6 sempre intero 4n +1 e N^2 somma di due quadrati Se (4n-1)/ 4 intero 989 Si, 165 Si, 247 No solution 941 Si, 157, 235, 941^2 =580^2+ 41^2 839 Si, 140 No solution 49 Si, 8 No solution 4n+3 (4n -3) Se (4n- 3)/4 3 intero Si, 209 n n Primo oppure composto Si No No 5*33 Composto (quadrato, 7^2)

5 Pagina 5 di Si,20 Si, 30 solution, 169 ecc Si, 28, 42, 221 eccezione. solution Si, 37, 55 solution 289 eccez Si, solution 47 Si, 8 solution Si, 10906, solution 157 Si, 26, 39 solution 817 Si, 136, 204 solution 127 Si, 21, solution 1861 Si, 310, 465 solution 1321 Si, 220, 330 solution Si, 2855, 4282 solution 131 Si, 22, 32 solution, Altri e stri esempi Si, 11 Si, 31 Composto (quadrato, 11^2) Composto(quadrato, 13^2) No, 13 *17 anche se la sequenza, lo dà per primo No, quadrato 17^2 19*43

6 Pagina 6 di Si, 157 solution, 235 Si, 167, solution, 23*41 Il primo Si può eliminare poichè (6n+1)/6 è sempre intero, quindi avremo, più semplicemente, se ottiene la sequenza: solution, allora N = numero primo, solution, allora N = numero primo, solution, allora N = numero primo, solution,, allora N = numero composto, solution allora N = numero composto solution allora N = numero composto so sei posbili sequenze sottolineate, tutte diverse tra loro: tre per i numeri primi e tre per i numeri composti, con qualche rara eccezione, riguardante quadrati, facilmente individuabili con l estrazione della loro radice quadrata (ovviamente se questa è intera, N è il suo quadrato). L unica vera eccezione è 221 = 13*17, n quadrato, ma dato per primo dalla sequenza solution.

7 Pagina 7 di TEOREMA DI FERMAT SULLE SOMME DI DUE QUADRATI Il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati afferma che ogni numero primo può scrivere come somma di due quadrati perfetti se e solo se è congruo a 1 modulo 4, in altre parole se la differenza tra tale numero primo e 1 è multipla di 4. p = x y, p 1 ( mod 4) Per esempio: = 1 2, =, = 1 + 4, 29 = 2 + 5, = 1 + 6, 41 = Fa eccezione il 2, che pur n essendo congruo a 1 modulo 4, può tuttavia essere scritto 2 2 come somma di due quadrati però uguali: 2 = Si osservi che il numero primo p che genera ha sempre come somma un multiplo di 4 della forma (2n) 2 con n = intero potivo 1 Quindi posamo affermare che se un numero primo è dato dalla somma di 2 quadrati di cui un termine è un multiplo di 4 della forma (2n) 2 con n 1 allora curamente ha anche che p 1 (mod 4). L altro termine è di tipo (2m+1) 2 con m intero potivo 0 e quindi è dato da tutti i quadrati dispari, così la somma del termine pari della forma (2n) 2 e di quello dispari dà un numero dispari che è ovviamente primo.

8 Pagina 8 di 19 Si ha: per (2n) 2 : 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400,.. per (2m+1) 2 : 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361,. Sommando un termine della 1 serie con u della 2 serie può ottenere un numero primo p = 53 Ma ad esempio: = 125 n è primo Vediamo tutti i 10 ca che presenta con le serie di numeri di sopra: 1+4=5 1+16= = =65 multiplo di = =145 multiplo di = = =325 multiplo di = = =25 multiplo di =45 multiplo di =73

9 Pagina 9 di = =153 multiplo di =205 multiplo di =265 multiplo di =333 multiplo di = = = = = =125 multiplo di =169 multiplo di =221 multiplo di = = =425 multiplo di = =65 multiplo di =85 multiplo di = = = =245 multiplo di =305 multiplo di = = =85 multiplo di = =117 multiplo di 3 e di =145 multiplo di =181

10 Pagina 10 di =225 multiplo di = = =405 multiplo di =481 multiplo di =125 multiplo di = = =185 multiplo di =221 multiplo di =265 multiplo di = =377 multiplo di =445 multiplo di = = =185 multiplo di =205 multiplo di = = = =365 multiplo di =425 multiplo di =493 multiplo di =569

11 Pagina 11 di = = =261 multiplo di =289 multiplo di =325 multiplo di =369 multiplo di = =481 multiplo di =549 multiplo di =625 multiplo di = =305 multiplo di =325 multiplo di = = = =485 multiplo di =545 multiplo di = =689 multiplo di =365 multiplo di =377 multiplo di = =425 multiplo di = =505 multiplo di = = =685 multiplo di =761

12 Pagina 12 di 19 Si genera moltismi numeri primi, esattamente la metà ovvero il 50%. Iltre, tiamo che i numeri evidenziati in blu della 1 serie, so tutti divibili per 8, che è un numero di Fibonacci ed è connesso ai modi corrispondenti alle vibrazioni fiche delle superstringhe attraverso la seguente equazione modulare di Ramanujan: 8 = 1 3 cosπtxw' 2 πx w' e dx 0 4 antilog coshπx 2 πt w' 4 ( ) e φw' itw' log t w' 2. Osserviamo che: I quadrati di numeri pari termina sempre con le cifre: 0, 4, 6 I quadrati di numeri dispari termina sempre con le cifre: 1, 5, 9 Sommando i quadrati di numeri pari con i quadrati di numeri dispari ottengo numeri dispari che termina con le seguenti cifre: 1+0, 4, 6=1, 5, 7 5+0, 4, 6=5, 9, 1 9+0, 4, 6=9, 3, 5 E quindi posso terminare con tutte le cifre dispari 1, 3, 5, 7 e 9. Vediamo in dettaglio: 1 di tutte le somme termina con 5 e quindi n posso essere numeri primi. 3 1 di tutte le somme genera numeri composti. 6

13 Pagina 13 di di tutte le somme genera numeri primi, di questi termina con le cifre 1, termina con le cifre 9, termina con le cifre 3 e termina con le cifre 7

14 Pagina 14 di 19 Abbiamo una distribuzione di numeri primi REGOLARE il che è molto stra e inusuale, anzi sappiamo già a priori che con questo metodo genera, ad esempio, il 33,33% di numeri primi che termina con la cifra 9 (conderando solo i numeri primi che so stati generati). Interessante tare che nelle frazioni 6 1 ed 12 1, i deminatori 6 e 12 so divibili per 24, numero connesso ai modi corrispondenti alle vibrazioni fiche delle stringhe bosoniche, attraverso la seguente equazione modulare di Ramanujan: cosπtxw' 2 πx w' e dx 0 4 anti log coshπx 2 πt w' 4 ( ) = e φw' itw' log t w'. 2

15 Pagina 15 di ALTRI PROGRAMMI Posamo concludere che con questa semplificazione del Test di primalità del prof. Guido Carolla abbiamo fatto un piccolo passo avanti verso una procedura più semplice per testare un numero, con altisma percentuale di curezza, essendo posbili rare eccezioni come 221, che pur essendo composto, passa tuttavia il test come numero primo. L eseguibile per trovare rapidamente l eventuale soluzione di N^2 è biquadrv, biquadrvb.exe, reperibile nel link del prof. Giuseppe Merli: ineme ad altri programmi : ALTRI PROGRAMMI (DEDICATI SPECIFICATAMENTE ALLA TEORIA DEI NUMERI), SI TROVANO QUI (NUMBER THEORY PROGRAMS IN ENGLISH HERE): QUESTO E' L'INDICE DEI PROGRAMMI (QUASI TUTTI) : ENGLISH INDEX AFTER ITALIAN INDEX acamod.exe aritmetica modulare aliquomio sequenze aliquot amipevb n. amici e perfetti anadivi numero e somma dei divisori. Abbondanti e deficienti. anaprim anali di un n. primo biquadrvb N = x 2 + y 2 una soluzione biquagiu N = x 2 + y 2 tutte le soluzioni carmivb numeri di Charmichael colivb a congruo a b mod c collamio Collatz conichemio coniche contframio frazione continua di un radicale

16 Pagina 16 di 19 cribuo n. primi tra a e b decbinmio da decimale a binario dessert deserti senza n. primi diffqua a 2 b 2 dio1vb equazione diofantea di 1 grado diprevb divione 100 cifre divimiovb divisori divrestvb divione con resto ducubvb a 3 + b 3 = c 3 + d 3 egimio frazioni egiziane epeseg N= a*b + a*c + b*c eramio crivello evalmio valutatore espresoni numeriche facred fattorizzatore factomio fattoriale cifre illimitate fattomio fattori primi fibennevb e.mo n. di Fibonacci fifimio numeri di Fibonacci formqmio forme quadratiche ge20vb 20 coppie di n. primi gemelli dopo N genfrape frazione generatrice gera2 fraz. generatrici di radical 2 gldb e gldb2 congettura di Goldbach invmpvb inverso modulo p kquaku a 2 b 3 = k mcdmpho M.C.D e m.c.m. meucon x 2 congruo a -1 mod. p minrera minimo n reduo quadratico e minima radice primitiva di p modpov a b modulo c (modpow) multffu varie di teoria dei numeri nepredi divione in multiprecione nuprivb numero dei n. primi palivb e pali2vb serie palindromiche (reverse and add) pellvb equazione di Pell phivb phi (funzione di Eulero) pidisp pigreco da serie pivbmio pigreco cifre illimitate

17 Pagina 17 di 19 pm7000 crivello semplice polipri studio di x 2 +x + 41 prienne ennemo primo prifoda n. primi di forma data prinextvb nextprime quabicub a 2 = b 3 + c 3 quate somme eguali di quadrati consecutivi radimia radice quadrata raprivb tutte le radici primitive di p rere redui e n redui quadratici di p resnres verifica se a è reduo o n reduo di p segramio secondo grado glimio ngola linea del triangolo di Tartaglia-Pascal stmio stemi di equazioni sogevb numeri di Sophie Germain soquo N 2 sosse serie (1/(a n )) stinupri stima del numero dei n. primi studinterva studio di un intervallo teiniz forme quadratiche tuttexp resti di a j modulo p tuttinve tutte le coppie di inver di N tuttord ordine di tutti gli a inferiori a p tvlvb N = x 2 + y 2 tavola tepiprim terne pitagoriche primitive testprvb test di primalità tregrabuo e trgramio terzo grado trequavb N = x 2 + y 2 + z 2 trequax P = x 2 + y 2 P 2 = x 2 + y 2 P 3 = x 2 + y 2 triavb numeri triangolari triquavb n. triangolari che so quadrati esatti tritarvb triangolo di Tartaglia - Pascal tuquacu a 2 b 3 = k unapit ngola terna pitagorica usup periodo di 1/P variecost costanti varie vbmerse test di Lucas

18 Pagina 18 di 19 vbpart verordvb zequcobvb partizioni di N ordine di a modulo p z 2 congruo a b modulo p

19 Pagina 19 di RIFERIMENTI 1) TEOREMA SU UN TEST DI PRIMALITÀ CON FATTORIZZAZIONE Guido Carolla dal to 2) libro di Guido Carolla PRIMI, PROGRESSIONI E MEDIE, Casa ed. Kimerik 3) La congettura di Polignac, parte finale dedicata alla fattorizzazione di prodotti tra due numeri consecutivi sul stro to 4) La congettura percentuale sul stro to 5) ALTRI PROGRAMMI (DEDICATI SPECIFICATAMENTE ALLA TEORIA DEI NUMERI), SI TROVANO QUI (NUMBER THEORY PROGRAMS IN ENGLISH HERE):