QUALCHE ESERCIZIO PER LA SETTIMANA

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1 QUALCHE ESERCIZIO PER LA SETTIMANA Il Nicola Pellicanò e l' Enrico Massoni May 1, 13 Trovare e classicare i punti critici delle seguenti funzioni 1.f(x, y) = ylog( x ) + y Studiamo sempre prima il dominio x > < x < domf = (x, y)ɛr : < x < } Calcolo gradiente f = y x ( x), log( x ) + y Impongo annullamento gradiente 4xy x = log( x ) + y = La prima condizione vale per x = y = Se x= allora nella seconda equazione ho log() + y = = y = log ( ) 1 Se y= allora log( x ) = = x = 1 = x = 1 = x = ±1 1

2 I punti critici da studiare sono: P 1 (, log ( 1 ) ) P (1, ) P 3 ( 1, ) Calcolo matrice hessiana 4y( x )+x( 4xy) 4x ( x ) x 4x x Hf(, log ( ( ) 1 4log 1 ) ) = positiva = P 1 minimo ho due autovalori positivi = Hf denita 4 Hf(1, ) = minori incapsulati non funzionano, prima che trovare 4 gli autovalori col polinomio caratteristico controllo il determinate : det(hf) = 16 < = Hf indenita = P sella Hf( 1, ) = 4 4 det(hf) = 16 < = Hf indenita = P 3 sella.f(x, y) = 1 + x + y 1 + x + y, (x, y) x f =, y 1+x +y 1+x +y x = 1+x +y y = 1+x +y x = y =

3 y +1 xy (1+x +y ) 3/ (1+x +y ) 3/ xy x +1 (1+x +y ) 3/ (1+x +y ) 3/ Hf(, ) = P 1 min 1 1 autovalori tutti positivi= Hf denita positiva = 3.f(x, y) = (x + y)(x y) domf = R f = (x y) + (x + y)(x y), (x y) (x + y)(x y) (x y) + (x + y)(x y) = (x y) (x + y)(x y) = y = x Dunque i punti critici sono del tipo P (x, x ) (x y) + (x y) + (x + y) (x + y) (x + y) (x y) (x y) + (x + y) Hf(x, x ) = 4x 4x 4x 4x se usiamo i minori incapsulati abbiamo 1 = 4x, = Non concludo nulla: col polinomio caratteristico invece 4x t 4x det(hf ti) = det 4x 4x t t 1 =,t = 8x = (4x t) 16x = 8x t + t = dunque concludiamo che 3

4 4x 4x Hf(x, x ) = è 4x 4x semidefinita positiva x > nulla x = semidefinita negativa x < Siccome siamo in un caso di semidenita usiamo l'estensione dell'algoritmo classico: 1. f(x, x ) =. f(x, y) f(x, x ) = f(x, y) = (x + y)(x y) = x + y = y x 3. graco 4

5 minimi x > Concludiamo (x, x )sono sella x = massimi x < 4.f(x, y) = x 4 x y x + y 5

6 f = 4x 3 xy 4x, x y + 4y 4x 3 xy 4x = x y + 4y = Considero ad esempio seconda equazione y(4 x ) = = y = x = ± Ponendo y= la seconda eq viene 4x 3 4x = = x(4x 4) = = x = x = ±1 Ponendo x= 8 y 4 = = 4 y = = y = ± Ponendo x=- 8 + y + 4 = = 4 + y + = = y = ± I punti critici sono: (, ), (1, ), ( 1, ), (, ), (, ), (, ), (, ) 1x y 4 4xy 4xy x + 4 Hf(, ) = 4 4 autovalori discordi= Hf indenita= sella 8 Hf(1, ) = autovalori positivi= Hf denita positiva= minimo 8 Hf( 1, ) = autovalori positivi= Hf denita positiva= minimo 6

7 Hf(, 16 8 ) = 8 sella autovalori discordi (pol caratteristico)= Hf indenita= Hf(, ) = autovalori discordi (pol caratteristico)= Hf indenita Hf(, ) = sella autovalori discordi (pol caratteristico)= Hf indenita= Hf(, ) = indenita= sella autovalori discordi (pol caratteristico)= Hf 5.f(x, y) = f = x 1+x +y 1+x +y x(x) (1+x +y ), xy (1+x +y ) 1+x +y x(x) (1+x +y ) = xy (1+x +y ) = 1 + x + y x(x) = xy = Dalla seconda equazione ottengo x = y = per x= 1 + y = = IMP per y= 1 x = = x = ±1 7

8 pt critici: (1, ) ( 1, ) x(x 3 3(y +1)) (x +y +1) y( 3x +y +1) 3 (x +y +1) 3 y( 3x +y +1) (x +y +1) x(x 3y +1) 3 (x +y +1) 3 Hf(1, ) = 1 1 autovalori negativi= Hf denita negativa= massimo Hf( 1, ) = 1 1 autovalori positivi= Hf denita positiva= minimo 6.f(x, y) = x y + 3, attenzione!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! x y + 3 = x + y 3 Problema!! Il dominio non è un insieme aperto! Quello che possiamo fare è studiare i punti interni ma non sappiamo nulla della frontiera. Se facciamo lo studio classico troviamo che (,) è un punto di massimo. Per capire cosa succede alla frontiera possiamo fare due ragionamenti: 1. La funzione è continua nel dominio chiuso, quindi per Weirstraβ un minimo deve esistere! Siccome non l'ho trovato allora esso sarà sulla frontiera! Ma dove? La risposta è tutta la frontiera perchè z= in ogni punto!. Mi rendo conto che la funzione è una semisfera positiva. Da un semplice studio graco vedo che tutta la frontiera delimita il minimo della calotta. N.B. L'esercizio era non tanto perchè esce all'esame una cosa così bastarda ma per abituarsi a ragionare a fronte di bastardate del genere, e soprattutto a riconoscere quando dei criteri possono e NON possono essere applicati. 8

9 7.f(x, y) = y x y > f = log(y)y x, xy x 1 log(y)y x = xy x 1 = y = 1 x = 4log (y)y x (4xlog(y) + )y x 1 Hf(, 1) = det < = Hfindenita= sella 8.f(x, y) = x y + x 8 y y f = 1 y + 1 8, x y 1 1 y = x y 1 = y = 8 x = y y x y 3 9

10 Hf( 64, 8) = det<= Hf idenita= sella 9.f(x, y) = xlog(xy ) xy > = x > y f = log(xy ) + 1, x y log(xy ) + 1 = x y = NON ESISTONO PUNTI CRITICI 1.f(x, y, z) = x z f = zx z 1,, log(x)x z zx z 1 = = log(x)x z = z = x = 1 pt critici: (1,y, ) Hf(x, y, z) = z(z 1)x z x z 1 + log(x)x z 1 x z 1 + log(x)x z 1 log (x)x z 1 Hf(1, y, ) = dal polinomio caratteristico riscontriamo la presenza 1 di autovalori discordi= Hf indenita= tutti punti di sella 1

11 11. (Per masochisti) f(x, y) = (sinx)e cosy f = cosxe cosy, sinxsinye cosy cosxe cosy = sinxsinye cosy = cosx = sinxsiny = x = π + kπ ( 1) k siny = x = π + kπ y = hπ N.B. Ho chiamato in due modi diversi i parametri k e h per x e y!! Confondere i due come lo stesso parametro è un errore comune. sinxe cosy sinycosxe cosy Hf( π + kπ, hπ) = ( 1) k e ( 1)h ( 1) k ( 1) h e ( 1)h Dobbiamo studiare 4 casi: k pari, h pari 11

12 Hf( π + kπ, hπ) = e e Hf denita negativa= massimi k dispari, h dispari e Hf( π + kπ, hπ) = 1 e 1 Hf indenita= sella k pari, h dispari e Hf( π + kπ, hπ) = 1 e 1 Hf indenita= sella k dispari, h pari Hf( π + kπ, hπ) = e e Hf denita positiva= minimi 1