ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2008

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1 ESME DI STTO DI LIEO SIENTIFIO ORSO DI ORDINMENTO 00 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROLEM 1 Il triangolo rettangolo ha l ipotenusa a e l angolo ˆ (figura 1). a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamen- te su e su. Sia poi R l intersezione con il cateto R dell arco di circonferenza di centro e raggio P. Si specifichino le limitazioni da imporre a affinché la costruzione sia realizzabile. P b) Si esprima in funzione di l area S del quadrilatero mistilineo PQR e si trovi quale sia il valore minimo e quale il va- Figura 1. lore massimo di S(). c) Tra i rettangoli con un lato su e i vertici del lato opposto su ciascuno dei due cateti si determini quello di area massima. d) Il triangolo è la base di un solido W. Si calcoli il volume di W sapendo che le sue sezioni, ottenute tagliandolo con piani perpendicolari ad, sono tutte quadrati. Q PROLEM ssegnato nel piano il semicerchio di centro e diametro = (figura ), si affrontino le seguenti questioni. a) Si disegni nello stesso semipiano di un secondo semicerchio 1 tangente ad in e di uguale raggio 1. Si calcoli Γ l area dell insieme piano intersezione dei due semicerchi e 1. b) Si trovi il rettangolo di area massima inscritto in. Γ 1 c) Sia P un punto della semicirconferenza di, H la sua proiezione ortogonale su. Si ponga Pˆ e si esprimano in funzione di le aree S 1 e S dei triangoli PH e Figura. PH. Si calcoli il rapporto f() S 1( ). S( ) d) Si studi f () e se ne disegni il grafico prescindendo dai limiti geometrici del problema. 1 Zanichelli Editore, 009

2 QUESTIONRIO Si consideri la seguente proposizione: Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area. Si dica se essa è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta. Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si provi che sen Fra le casseruole, di forma cilindrica, aventi la stessa superficie S (quella laterale più il fondo) qual è quella di volume massimo? Si esponga la regola del marchese de L Hospital ( ) e la si applichi per dimostrare che è: 00 lim 0. Si determini un polinomio P() di terzo grado tale che: P(0) P (0) 0, P(1) 0 e 1 1 P()d 0 1. Se n 1, n, n, con n, sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n? 7 9 Si determini, al variare di k, il numero delle soluzioni reali dell equazione: k 0. Sia f la funzione definita da f(). Si precisi il dominio di f e si stabilisca il segno delle sue derivate, prima e seconda, nel punto. 1 Sia f() ; esiste lim f()? Si giustifichi la risposta Secondo il codice della strada il segnale di salita ripida (figura ) preavverte di un tratto di strada con pendenza tale da costituire pericolo. La pendenza vi è espressa in percentuale e nell esempio è 10%. Se si sta realizzando una strada rettilinea che, con un percorso di 1, km, supera un dislivello di 5 m, qual è la sua inclinazione (in gradi sessagesimali)? Quale la percentuale da riportare sul segnale? 10% Figura. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è ammesso lasciare l aula degli esami prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore, 009

3 SOLUZIONE DELL PROV D ESME ORSO DI ORDINMENTO 00 PROLEM 1 a) onsiderando il triangolo, per costruzione si osserva che ˆ 6, a, Q P, R S Q R P a (figura ). La costruzione è realizzabile fino al caso limite di coincidenza tra il punto Q e il punto, e in tal caso a cos 6 a, e al caso limite P 6 di coincidenza tra il punto R e il punto, cioè per a. I limiti geometrici per la sono dunque: Figura. a a. b) L area S del quadrilatero mistilineo PQR (figura ) si esprime come differenza tra l area del triangolo e la somma delle aree dei due settori circolari QˆP e PˆR, di raggi rispettivamente e a. La funzione area S S() vale: S rea( ) [rea(qˆp ) rea(pˆr )] S() 1 a a 6 6 (a ) a [ (a ) ]. 1 Per determinare i valori di massimo e minimo di S() nell intervallo a a, calcoliamo la derivata prima e ne studiamo il segno: S () 6 [ (a )] ( a). 6 Lo studio del segno della derivata indica che: S () 0 per a a e S () 0 per a a. Quindi il valore a è un punto di massimo; in tal caso l area S è massima e vale: S ma S a 1 a. Per determinare il valore minimo di S(), dobbiamo valutare tale funzione nei punti estremi dell intervallo di variabilità di : S a 1 6 a 0,0 a, S a a a a 0,01 a. Zanichelli Editore, 009

4 Poiché S S min S a S a, l area minima si ottiene per a a. a e il corrispondente valore vale: c) onsideriamo il rettangolo DEFG come in figura 5 e assumiamo come incognita y l altezza DG. Risulta H, da cui si ricava H: H a, mentre K H DG a y. G D K H Figura 5. F E y onsideriamo ora i triangoli e GF; essi sono simili per il Teorema di Talete e, in particolare, vale la proporzione tra basi e altezze: : FG H : K. Ricaviamo FG e sostituiamo le espressioni degli altri segmenti: FG a K a y H FG a y. a La funzione R(y), area del rettangolo inscritto nel triangolo, risulta: R(y) a y y ay y. L intervallo di variabilità di y è 0 y a; nei casi in cui y uguaglia uno dei due estremi, il rettangolo DEFG degenera in un segmento. Osserviamo che R(y) è una funzione parabolica con concavità rivolta verso il basso e assume quindi il valore massimo nel suo vertice di ascissa: y V a. In corrispondenza di tale valore l area R è massima e vale: R ma R a a. 16 d) Il solido W si compone di due piramidi aventi in comune la base quadrata HH come in figura 6. Una piramide ha altezza H, mentre l altra ha altezza H. Ricordando la formula del volume della piramide, il volume del solido W risulta uguale a: 1 H H 1 H H 1 H ' H' Figura 6. 1 a a a. 16 H Zanichelli Editore, 009

5 PROLEM a) Indicate con E e D le intersezioni delle semicirconferenze corrispondenti ai due semicerchi, congiungiamo i punti E con D e con. onsideriamo i lati del triangolo D i cui vertici sono i centri e dei due semicerchi e 1 e uno dei due punti di ' intersezione tra di essi (figura 7). Risulta: D 1 perché D appartiene a, D 1, perché D appartiene a 1, 1, per costruzione. Il triangolo D è pertanto equilatero e l angolo EˆD misura. Figura 7. L area dell insieme piano intersezione dei due semicerchi risulta uguale al doppio della differenza tra l area del settore circolare EˆD e l area del triangolo ED: rea. E 1 D b) onsideriamo il semicerchio e assumiamo come incognita l angolo EˆF (figura ). Le limitazioni affinché il rettangolo non sia degenere sono: G F 0. Dalla trigonometria risulta: EF F sen EF sen, DE E F cos DE cos. D Figura. E L area del rettangolo GDEF vale: R() EF DE R() sen cos sen. Studiamo la derivata prima e il suo segno: R () 0 per 0, R () 0 per. La funzione area R() assume valore massimo per. In tal caso l area massima del rettangolo vale 1 e le corrispondenti dimensioni sono: DE e EF. Figura 9. c) Se P è un punto della semicirconferenza di, H la sua proiezione ortogonale su e Pˆ, si osservano dalla figura 9 due possibili configurazioni a seconda della variabilità dell angolo. Nel primo caso l angolo è acuto o retto 0, mentre nel secondo caso è ottuso a. 0 <. S S 1 H P. P aso a: 0 Le misure dei lati dei triangoli PH e PH, utili per determinare le aree, sono: PH sen, H cos, H 1 cos. S 1 S H b. < <. 5 Zanichelli Editore, 009

6 Le funzioni area sono rispettivamente: S 1 () 1 sen (1 cos ), S () 1 sen cos. La funzione rapporto f () risulta: f () f 1 () S 1( ) 1 cos. S ( ) cos aso b: Le misure dei lati dei triangoli PH e PH, utili per determinare le aree, sono: PH sen() sen, H cos() cos, H 1 cos. Quindi le funzioni area sono rispettivamente: S 1 () 1 sen (1 cos ), S () 1 sen ( cos) 1 sen cos. La funzione rapporto f () risulta: f () f () S 1( ) 1 cos. S ( ) cos d) Prescindendo dai limiti geometrici del problema risulta f 1 () f (), ovvero le due funzioni sono simmetriche rispetto all asse delle ascisse. Pertanto si conviene di studiare la funzione f 1 () 1 cos 1 1. cos co s Tale funzione è periodica, di periodo : ci limitiamo a studiarla nell intervallo [0; ] nel quale è definita per,. La curva interseca gli assi cartesiani in (0; ) e (; 0); è positiva per 0,. I limiti nei punti di discontinuità valgono lim 1 1 cos, lim 1 1 cos, pertanto la funzione ha asintoti verticali di equazioni,. La derivata prima ha espressione e segno: sen f 1 (), c os f 1 () 0 per 0, f 1 () 0 per. y Essa si annulla per 0,,. Pertanto la funzione ha un massimo relativo in (; 0) e minimi relativi in (0; ) e (; ). Studiamo la concavità di f 1 (), tramite il segno di f che ha espressione: f 1 () 1 sen, cos f 1 () 0 cos 0 per 0 1 O, Figura Zanichelli Editore, 009

7 f 1 () 0 per. La funzione ha concavità verso l alto per 0 e per, verso il basso per. Rappresentiamo in figura 10 il grafico di f 1 (), tenendo conto della periodicità di. QUESTIONRIO 1 onsideriamo il postulato detto Principio di avalieri: due solidi, che possono essere disposti in modo che ogni piano, parallelo a un altro fissato, li tagli secondo sezioni equivalenti, sono equivalenti, ovvero hanno lo stesso volume. Tale principio fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per l equiestensione dei solidi. Infatti consideriamo i solidi S e S, come in figura 11. Essi sono equivalenti perché equiscomponibili, ma non è possibile applicare il Principio di avalieri. Pertanto la proposizione Se due solidi hanno uguale volume allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area è falsa. Figura 11. Figura 1. S S' onsideriamo il decagono regolare di lato, inscritto in un cerchio di raggio r e centro O (figura 1). Poiché per ipotesi il lato è sezione aurea del raggio r, risulta: r : : (r ). pplichiamo la proprietà dell invertire delle proporzioni: : r (r ) : r r 1. F E D O r 10 K Posto a 0, vale: r 1 a 1 a a 1 0 a 1 5 a 1 H 5 accettabile 1 5 non accettabile G I L onsideriamo il triangolo isoscele O e conduciamo l altezza OK che è anche mediana e bisettrice. Poiché Ô 5, risulta ÔK. pplichiamo il primo teorema dei triangoli rettangoli della trigonometria: 10 K sen 1 0 O r a r 5 1. Nella figura 1 si considera una casseruola di forma cilindrica con base di raggio e altezza h. La superficie S (quella laterale più il fondo) ha espressione: h S h. Figura 1. 7 Zanichelli Editore, 009

8 onsiderata la superficie S costante, ricaviamo h in funzione di : S h. alcoliamo il volume V della casseruola: V h S S. S onsideriamo la funzione V, ricaviamo la sua derivata prima V e studiamone il segno, tenendo conto del limite geometrico 0: S V, S V 0, soluzione accettabile. 0 S S 0 S Nella figura 1 è riportato il quadro del segno della derivata prima. Il volume V ha un massimo per S e il valore è: S V ma S S S S S S S. V'() V() O Figura 1. S + ma 5 Enunciamo la regola di de L Hospital. Se due funzioni f () e g(), definite in un intorno di, sono derivabili in tale intorno, con g () 0, se le due funzioni, per, tendono entrambe a 0 o a f ( ), e se esiste il limite del rapporto delle derivate delle funzioni date,, allora esiste anche il limite del rapporto delle funzioni, e vale: g ( ) lim f ( ) lim g ( ) f ( ) g( ) f ( ). g ( ) Ponendo f () 00 e g(), le funzioni soddisfano la regola sopra enunciata. Inoltre, ricordando che D[ n ] n n1, per n 1, e D[ ] ln, applichiamo 00 volte il teorema di de L Hospital: 00 lim lim 0. (ln ) 00 Il polinomio P() è della forma: P() a b c d, con a, b, c, d R. alcoliamo i coefficienti a, b, c, d in base alle condizioni imposte dal problema: P(0) d e P(0) 0 d 0; P(1) a b c e P(1) 0 a b c 0; P () a b c P (0) c e P (0) 0 c 0. Risulta pertanto b a e il polinomio è della forma: P() a a. Per ipotesi vale 1 1 P()d, ed essendo P()d 1 (a a )d 0 0 a a 1 a 0 a a 1, Zanichelli Editore, 009

9 si ricava: a 1 1 a 1 b 1. 1 Il polinomio cercato è pertanto: P(). 6 Una successione a n è una progressione aritmetica quando la differenza fra ogni termine e il suo precedente è uguale a una costante d, detta ragione: a n a n1 d. onsiderando i tre termini n 1, n, n, con n, risulta: n n 1 d e n n d. Uguagliando i primi membri si ottiene la seguente equazione: n n 1 n n n n 1 n 0. Sostituendo nell equazione ottenuta le corrispondenti espressioni dei coefficenti binomiali ricaviamo: n(n 1) n n(n 1)( n ) 0. Dividiamo per n e riduciamo allo stesso denominatore semplificando: 6n 6 6 (n 1)(n ) 0 6n 1 (n n ) 0 n 9n 1 0. Risolviamo l equazione: 7 accettabile n 9 5 non accettabile Pertanto il valore di n cercato è n 7. 7 Data l equazione k 0, la scriviamo come k. Risolverla equivale a risolvere il sistema seguente: y y k ovvero a cercare i punti di intersezione tra la curva y di equazione y f () k > e il fascio di rette improprio y k parallelo all asse. k = M La funzione f () ha dominio R, ha intersezioni con gli assi nei punti (0; 0) e (; 0), è positiva o nulla per e negativa per. Poiché la derivata prima vale f () 6, la y = funzione risulta crescente per 0, decrescente per 0 e ; ha pertanto un minimo in + O(0; 0) e un massimo in M(; ). Nella figura 15 sono tracciati il grafico di f () e alcune rette del fascio y k. k = 0 Osservando le intersezioni tra le rette del fascio e la k < 0 O curva f (), si deduce che l equazione di partenza k 0 ammette: Figura Zanichelli Editore, 009

10 per k 0 e k, una soluzione reale; per k 0 e k, tre soluzioni reali, di cui due coincidenti; per 0 k, tre soluzioni reali e distinte. Sia f (). Dette f 1 () e f (), f 1 è una funzione esponenziale, con dominio coincidente con R, mentre f è una funzione potenza ed è trascendente con dominio R. Il dominio di f f 1 () f () è allora R. alcoliamo la derivata prima di f: f () ln. Valutiamo il segno di f () nel punto : f () ln (ln 1) 0, essendo ln 1. alcoliamo la derivata seconda di f: f () ln (1). Esaminiamo il segno di f () nel punto : f () ln (1) ln 1 1 0, poiché ln La funzione f () è definita in R per 1 e può essere trattata per casi: 1 1 per 1 1 f () 1 per 1 1 Semplificando risulta: 1 per 1 f () 1 per 1 Ora, esiste il limite lim 1 f () quando esistono e coincidono limite destro e limite sinistro della funzione. Nel nostro caso risulta che: lim f () lim 1 1 ( 1) e lim f () lim ( 1). 1 1 Si può quindi concludere che non esiste il lim f () Si intende come pendenza p di un tratto rettilineo di strada il rapporto tra il dislivello e l avanzamento orizzontale (figura 16). Per la trigonometria essa rappresenta la tangente dell angolo. Nel nostro caso risulta: 1, km, 5 m 0,05 km. Troviamo l avanzamento orizzontale con il teorema di Pitagora: (1,),05 (0 ) 1,19699 km. Figura Zanichelli Editore, 009

11 alcoliamo la pendenza p: 0,05 p tg 0, ,19699 Pertanto, l angolo di inclinazione vale arctg 0,07101,06, mentre la percentuale da riportare sul segnale è: 0, %. 11 Zanichelli Editore, 009