1. CONCETTI GEOMETRICI GENERALI

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1 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese orso Di Laurea In Ingegneria ivile Topografia _ Esercitazioni 1. NETTI GEMETRII GENERLI

2 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese L angolo è la porzione di piano delimitata da due semirette con la stessa origine. L ampiezza dell angolo è rappresentata dalla rotazione intorno all origine di una semiretta fino a sovrapporsi alla seconda semiretta - a + b L origine comune è detta vertice; Le due semirette = a e = b sono dette lati; L angolo viene indicato con la notazione, () oppure con una lettera minuscola dell alfabeto greco (,, ). La semiretta a può ruotare intorno a in due sensi opposti per andare a sovrapporsi a quella b. onvenzionalmente si considera positivo il senso orario, negativo quello antiorario. DEFINIZINE DI NGL

3 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese L angolo di direzione si ottiene ruotando in senso orario la semiretta che fornisce la direzione di riferimento su quella che rappresenta la direzione in oggetto. Se la direzione di riferimento è quella del Nord allora l angolo di direzione si chiama azimut. a L angolo = è la parte di piano individuata dalla rotazione positiva di per sovrapporsi su. b L angolo = è la parte di piano individuata dalla rotazione positiva di per sovrapporsi su. NGL DI DIREZINE

4 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese L ampiezza di un angolo può essere espressa in diversi sistemi di misura; quelli più utilizzati in topografia sono: 1. Sistema sessagesimale: l unità è il go sessagesimale ( ) definito come 1/360 dell'angolo giro; i suoi sottomultipli sono: il primo sessagesimale ( ), 1/60 di go sessagesimale; il secondo sessagesimale ( ), 1/60 di primo (1/3600 di go) [es: = ]. Questo sistema viene utilizzato in cartografia per indicare le coordinate geografiche dei punti. 2. Sistema sessadecimale: l unità è il go sessagesimale ( ), i sottomultipli sono decimi, centesimi, millesimi, ecc. di go [es: =218,3456]. Questo sistema viene usato per trasformare l ampiezza di un angolo espressa nel sistema sessagesimale in altre unità di misura. 3. Sistema centesimale: l unità di misura è il go centesimale [indicato con (c), (g) o (gon)], definito come 1/400 dell angolo giro. I sottomultipli sono: il primo centesimale, pari a 1/100 di go; il secondo centesimale, pari a 1/100 di primo (1/ di go). 4. Sistema Matematico: l unità di misura è il iante. UNITÀ DI MISUR DEGLI NGLI

5 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese Il iante [] (unità SI) è definito come l angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza uguale al suo raggio. l R R er l = R si ha: l R R 1 l R R R l NGL GIR NGL ITT NGL RETT 2R = 2 = 6,28318 R R = = 3,14159 R R = = 1, R 2 DEFINIZINE DI RDINTE

6 NVERSINE SESSGESIMLI SESSDEIMLI Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese D SESSGESIMLI L SESSDEIMLI isogna dividere i primi per 60 e i secondi per 3600, quindi si sommano le parti decimali ottenute al valore intero dei gi. onsideriamo l angolo di : 17' 26'',3 4817'26'', , ' 3600'' N: le frazioni di secondo sono decimali D SESSDEIMLI L SESSGESIMLI er eseguire questa conversione bisognerà moltiplicare per 60 la frazione di go e la frazione di primi. onsideriamo l angolo 48, , = 17,438 0, = 26, ,3 NVERSINI NGLRI

7 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese D SESSGESIMLI RDINTI NVERSINE RDINTI SESSGESIMLI π Esempio: = = 142, π 180 π 142, ,4829 D RDINTI SESSGESIMLI 180 π 180 Esempio: = 1,0000 1, , '44'',8 π NVERSINI NGLRI

8 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese D ENTESIMLI RDINTI NVERSINE RDINTI ENTESIMLI π 200 Esempio: = 275, π 275,7615 π 4 200,3316 D RDINTI ENTESIMLI Esempio: = 3,7720 π 200 3, π 240,1330 NVERSINI NGLRI

9 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese NVERSINE ENTESIMLI SESSGESIMLE D ENTESIMLI SESSGESIMLE Esempio: = 78,8412 D RDINTI ENTESIMLI , , '25'', c Esempio: = 68,21 00 =68, , , NVERSINI NGLRI

10 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese IN GENERLE π NVERSINI NGLRI

11 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese Un sistema di riferimento è un insieme di parametri (presi singoli, a coppie o a terne), detti coordinate, che individuano la posizione dei punti (lungo una curva, nel piano o nello spazio). In topografia si utilizzano essenzialmente il riferimento ortonormale o cartesiano ortogonale e il riferimento polare. y Il riferimento ortonormale è definito da una coppia di rette tra loro ortogonali, sulle quali si fissa un riferimento cartesiano R[]. 90 x In cartografia l asse delle ascisse è coincidente con la direzione dell Est geografico, e l asse delle ordinate è coincidente con in Nord geografico. SISTEMI DI RIFERIMENTI

12 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese Il riferimento polare è definito da un punto, polo, da una semiretta di origine, asse polare, e da un verso positivo per le rotazioni (in topografia, tizionalmente, si considera positivo il senso orario). N + d ogni punto viene associata in modo biunivoco una coppia (; ) di numeri reali eterogenei, detti coordinate polari di : coordinata iale o raggio vettore coincidente con il segmento, che è la distanza tra il polo del sistema e il punto. I punti che hanno la stessa coordinata iale giacciono su un cerchio. coordinata angolare o anomalia cioè l angolo di direzione descritto dall asse polare per sovrapporsi, ruotando in senso orario, alla direzione. Se la direzione di riferimento è quella del Nord allora l angolo di direzione si chiama azimut. I punti che hanno la stessa coordinata angolare giacciono tutti su una semiretta. SISTEMI DI RIFERIMENTI

13 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese N TRSFRMZINE DELLE RDINTE LRI DI UN UNT NELLE RELTIVE RDINTE RTESINE E VIEVERS H sin cos roiettando il punto sull asse delle ordinate, rimane definito il triangolo retto H. I cateti di questo triangolo retto sono le coordinate cartesiane di ( ; ). L ipotenusa e l angolo di questo triangolo retto sono le coordinate polari di (, ). arctg sin TRSFRMZINE TR SISTEMI DI RIFERIMENT cos

14 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese VLRE DELL NMLI er definizione l anomalia è una quantità positiva, mentre il risultato numerico della funzione arctan è rappresentata da un numero compreso tra -100 c e 100 c λ arctg N si calcola l angolo acuto usando i valori assoluti delle coordinate di N N H H + H + p 200 λ p 200 λ p 400 λ TRSFRMZINE TR SISTEMI DI RIFERIMENT

15 cos 200 c = 1 cos 0 c = 1 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese VLRE DELL NMLI R=1 400 c N 0 c λ arctg 300 c + sen 300 c = sen 100 c = c Quad. I > 0 >0 II > 0 < III < 0 < IV < 0 > = 0 > = 0 < c - > 0 = < 0 = TRSFRMZINE TR SISTEMI DI RIFERIMENT

16 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese b c a La somma degli angoli di un triangolo piano è uguale all angolo piatto + + = 200 c In ogni triangolo, ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza a < c + b a > c b In ogni triangolo, la relazione di uguaglianza o disuguaglianza che intercorre tra due lati vale anche per gli angoli rispettivamente opposti se a < b sarà anche < RRIETÀ DEI TRINGLI

17 R a In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell angolo opposto è costante, ed è uguale al diametro del cerchio circoscritto al triangolo. b a sen b sen c sen 2R c In un triangolo il rapporto tra due lati è uguale al rapporto tra i valori del seno degli angoli opposti. a b sen sen a c sen sen b c sen sen TEREM DEI SENI Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese

18 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese b c a In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto di questi per il coseno dell angolo compreso. a 2 = b 2 + c 2-2bc cos b 2 = a 2 + c 2-2ac cos c 2 = a 2 + b 2-2ab cos cos b 2 2 c a 2bc 2 cosβ a 2 2 c b 2ac 2 cos a 2 2 b c 2ab 2 TEREM DI RNT

19 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese L angolo di direzione () della semiretta orientata è la rotazione oraria che la parallela all asse, del sistema cartesiano totale R[.], passante per il punto, deve compiere per sovrapporsi alla retta. x x () () può essere determinato se si conoscono le coordinate cartesiane dei punti e. onsideriamo un secondo sistema chiamato sistema di coordinate parziale R[.yx]. () () y = - x = - y y y = sen() x = cos() coordinate totali = +sen() = + cos() NGL DI DIREZINE DI UN RETT RIENTT

20 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese x x () 2 2 () () sin() cos() y y () arctg arctg y x () = () se ()< 200 () = () 200 se ()> 200 NGL DI DIREZINE DI UN RETT RIENTT

21 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese onsideriamo nel sistema cartesiano R[.] una spezzata di vertici,,,d,e. x N () E DTI: ; D (),, D, DE,, INGNITE: () (D) (DE) ; ; D ; D E ; E N: gli angoli al vertice [,, ] sono gli angoli di cui si dovrà far ruotare in senso orario ciascun lato per sovrapporsi a quello seguente. TRSRT DEGLI NGLI DI DIREZINE E DELLE RDINTE RTESINE LUNG UN SEZZT

22 ssumiamo, in ciascun vertice, un sistema cartesiano secondario yx e un sistema polare con asse polare coincidente con l asse x del sistema secondario (x = N). Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese () = () (D) = () (DE) = (D) x N E x N x N () = = () () x N =() (D) (D) D (DE) L azimut di un lato è uguale all azimut del lato precedente sommato all angolo al vertice formato tra i due lati, a cui si aggiunge o sottrae 200 c, a seconda che la somma dei primi due angoli sia minore o maggiore di 200 c. LEGGE DI RGZINE DEGLI ZIMUT

23 c 50 c y = sen() y = sen() y D = D sen(d) y E = DE sen(de) x = cos() x = cos() x D = D cos(d) x E = DE cos(de) y = sen y = cos E y E x N -1 x N y x N () x N x E x () x x D (D) y D D (DE) y Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese RDINTE RZILI

24 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese E x N x N () x N () y x x N (D) D (DE) = + y = + x = + y = + x E E x i E E y i D = + y D E = D + y E D = + x D E = D + x E RDINTE TTLI

25 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese apita spesso di dover calcolare le coordinate di un punto incognito. er esempio, per determinare le coordinate planimetriche di un punto, si deve fare stazione in due punti di coordinate note e e si misurano gli angoli e. x N () () NTE: ; MISURTI:, ; INGNITE: ; alcoliamo le coordinate polari di rispetto al sistema polare con origine in [;()] sin sin( ) ()() () arctg = + sin() = + cos() 2 2 INTERSEZINE SEMLIE IN VNTI

26 Topografia _ Esercitazioni _ Ing. h.d. Serena rtese Il calcolo delle coordinate planimetriche di, può essere condotto anche partendo dal punto. x N alcoliamo le coordinate polari di rispetto al sistema polare con origine in [;()] () arctg sin sin( ) = + sin() ()() 2 2 () () = + cos() Le coordinate del punto ottenute conducendo i calcoli sia a partire dal punto che dal punto sono coincidenti. INTERSEZINE SEMLIE IN VNTI