Rotismi ordinari ed epicicloidali

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1 ROTISMI ORDINARI ED EPICICLOIDALI 8 Capitolo 0 Rotismi ordinari ed epicicloidali.- Rotismi. Prende il nome generico di rotismo un sistema costituito da ruote dentate, qualunque sia il loro tipo, ingrananti fra loro e disposte in modo tale che la rotazione di una di esse ponga in rotazione tutte le altre. I rotismi appartengono alla categoria delle macchine trasmettitrici ed la loro funzione è quella di assicurare un determinato rapporto di trasmissione fra due o più alberi: si avrà quindi almeno un albero motore o d ingresso, su cui è calettata (connessa rigidamente) la prima delle ruote (movente) che costituiscono il rotismo, ed almeno un albero condotto o di uscita, su cui è calettata l ultima ruota (cedente). Fa parte del sistema almeno un ulteriore albero intermedio su cui può essere calettata o una sola ruota che ingrana contemporaneamente sia con la movente che con la cedente, oppure una coppia di ruote solidali fra loro di cui la prima ingrana con la movente e la seconda con la cedente. I rotismi si distinguono fondamentalmente in due categorie: i rotismi ordinari, quelli in cui gli assi di rotazione delle ruote siano tutti fissi, ed i rotismi epicicloidali, quelli in cui almeno un asse di rotazione è mobile. Sia gli uni che gli altri trovano la loro principale applicazione, anche se non l unica, nella realizzazione di cambi di velocità, ossia di quei dispositivi in cui, potendosi in qualche modo modificare la sequenza delle ruote che ingranano fra loro, posso-

2 8 CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE no realizzare alternativamente rapporti di trasmissione diversi fra albero motore ed albero di uscita. Gli assi delle ruote saranno fra loro tutti paralleli oppure no a seconda del tipo di ruote (piane o coniche) che sono calettate su di essi..- Rotismi ordinari. Uno schema di rotismo ordinario è quello (fig.); è costituito da 6 ruote dentate piane, z...z 6, calettate su alberi: tra l albero della prima ruota (movente o conduttrice), z, e quello dell'ultima ruota (cedente o condotta), z 6, sono interposti due alberi intermedi su ciascuno dei quali è calettata una coppia di ruote, solidali fra loro: z e z sul primo, z e z 5 sul secondo. Guardando ai singoli imbocchi, allora, diremo che le ruote z, z e z 5 sono tutte moventi, mentre z, z e z 6 sono le corrispondenti cedenti. Consideriamo ora un rotismo ordinario costituito da n ruote dentate, disposte secondo lo schema di fig., ciascuna delle quali abbia z i denti; in esso si avranno n/ imbocchi per ciascuno dei quali è definibile un rapporto di trasmissione τ i. Con riferimento allo schema, avremo cioè (in valore assoluto): τ ω = = z ω ; τ = = ω z ω ω 5 τ = = z ;... ω z Il rapporto di trasmissione del rotismo nel suo complesso sarà dato z z ; Figura ()

3 ROTISMI ORDINARI ED EPICICLOIDALI 85 dal prodotto dei rapporti di trasmissione che si hanno nei singoli imbocchi. E' infatti: e quindi è anche: ω τ = ω ω ω ω = ω ω ω = τττ ω z τ = = ω z () Si può allora concludere che il rapporto di trasmissione di un rotismo ordinario è dato dal rapporto fra il prodotto del numero dei denti delle ruote conduttrici ed il prodotto del numero dei denti delle ruote condotte. Dalla () si può trarre anche un altra considerazione che riguarda i versi di rotazione delle ruote. Volendo tener conto del segno, per un imbocco esterno si ha τ<0, mentre 5 per un imbocco del tipo rocchetto corona dentata (imbocco interno) si ha τ >0: pertanto si deduce dalla () che se nel rotismo si hanno, tra albero di ingresso ed albero di uscita, un numero dispari di imbocchi esterni i loro versi di rotazione saranno discordi, mentre saranno concordi se il numero degli imbocchi esterni è pari; non fa giuoco ovviamente, da questo punto di vista la presenza o meno di imbocchi interni. Tuttavia, quando si abbia a che fare con rotismi conici, è necessario tener conto del fatto che gli assi dei coni, passando da una ruota alla successiva, subiscono una rotazione e ciò è evidentemente rilevante al fine di stabilire la concordanza o la discordanza delle velocità angolari della prima movente e dell'ultima cedente. Se su un asse intermedio è calettata un unica ruota che imbocca contemporaneamente con la precedente e con la successiva, questa prende il nome di intermedia oziosa (fig.). Una ruota così disposta, infatti, è ininfluente ai fini del rapporto di trasmissione dell intero rotismo: esso sarà determinato solamente dalle altre z z z z 5 6 () Figura

4 86 CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE ruote. Infatti, se applichiamo la () al caso dello schema di fig., poiché la quarta ruota è contemporaneamente cedente per la terza e movente per la quinta (intermedia oziosa), avremo: ω z z z z z τ = = = () ω z z z z z ossia il rapporto di trasmissione risulta indipendente dalla presenza o meno della intermedia oziosa; la sua interposizione nel rotismo ha solo lo scopo di invertire il verso di rotazione dell'ultima cedente. Un rotismo si dice riduttore se per esso è τ<; si dice moltiplicatore se risulta τ>. La sua condizione di equilibrio dinamico, in assenza di perdite, è espressa dalla relazione: e quindi possiamo pure scrivere: 5 rω 5 C ω = C (5) m ω C n m τ = = (6) ω Cr Si vede allora che un rotismo riduttore è un moltiplicatore di coppia (C r >C m ), mentre un rotismo moltiplicatore è un riduttore di coppia (C r <C m )..- Cambi di velocità. Possiamo definire come cambio di velocità un qualsiasi dispositivo atto a fornire alternativamente almeno due diversi rapporti di trasmissione fra un albero di ingresso ed un albero di uscita. In generale la sua realizzazione pratica è ottenuta per mezzo di ruote dentate, quasi sempre piane, oppure con ruote di frizione, con cinghie e coni di pulegge, con cinghie e pulegge a diametro variabile (variatori continui), o anche con gruppi idraulici. Nel campo delle ruote dentate piane la realizzazione più semplice si potrebbe avere con uno schema come quello di fig. in cui le ruote z e z sono calettate sull albero motore e le ruote

5 ROTISMI ORDINARI ED EPICICLOIDALI 87 z e z sono montate sull albero condotto. Quest ultimo è però un albero scanalato e ciò costi- tuisce, per le ruote montate su di esso, un vincolo alla rotazione ma non alla traslazione: si comprende che spostando la coppia di ruote z e z verso sinistra ( come in figura) si ottiene l im-bocco fra z e z, mentre spostandolo verso destra si ottiene l imbocco fra z e z. Si realizzano così i due Figura rapporti di trasmissione τ =z z e τ' = z' z'. Con tale disposizione, tuttavia, non può aversi la coassialità fra l albero di ingresso e l albero di uscita, cosa che invece è spesso auspicabile per motivi di geometria complessiva della macchina. Quando si voglia ottenere la coassialità degli alberi si può ricorrere ad uno schema come quello di fig. che rappresenta un cambio con contralbero (o albero secondario) ed una coppia sempre in presa; in tale disposizione i diversi rapporti di trasmissione vengono forniti sempre dall imbocco fra quattro ruote di cui due, z e z nello schema di figura, ingranano costantemente fra loro mentre è possibile cambiare l imbocco delle altre due. Nello schema, il gruppo di ruote indicate con z e z può essere spostato sull albero scanalato o verso sinistra ottenendo l imbocco fra la z e la z, oppure verso destra ottenendo l imbocco fra la z e la z. I rapporti di trasmissione che alternativamente si ottengono sono quindi τ=zz zz e τ' = zz ' zz '. Sia lo schema di fig. Figura

6 88 CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE che quello di fig., tuttavia, non soddisfano ad un altra esigenza connessa all utilizzo di un cambio di velocità, in particolare se questo è destinato alla trasmissione di un autoveicolo: quella di poter cambiare il rapporto di trasmissione utilizzato mentre gli alberi, movente e cedente sono in rotazione. E chiaro che il problema sta nel fatto che, poiché a diversi rapporti di trasmissione corrispondono velocità angolari diverse dell albero di uscita, le velocità periferiche delle ruote montate su di esso saranno pure diverse essendo diverso il loro raggio di primitiva: sarà quindi abbastanza improbabile che, nel cambio da un imbocco all altro, i denti della ruota movente trovino il loro posto nei vani della cedente e ciò, inevitabilmente, dà luogo ad urti fra i denti (grattata) con conseguente usura, più o meno importante, degli stessi. La fig. 5 mostra lo schema di funzionamento di un cambio sincronizzato che si prefigge appunto lo scopo di evitare tale inconveniente. In esso, si vede, le ruote che devono realizzare i diversi rapporti di trasmissione sono tutte sempre in presa: quelle che sono montate sull albero di uscita sono però montate folli sullo stesso, di modo che esse, di per sé, non sono in grado di porlo in rotazione. D altra parte un tratto dell albero di uscita è realizzato come albero scanalato e su questo può scorrere l anello del sincronizzatore il quale, spostato a destra o a sinistra realizza il collegamento fra l albero ed una delle due ruote folli. Il collegamento fra la ruota folle e l anello del sincronizzatore avviene per mezzo di particolari risalti, ricavati su una faccia della ruota, che trovano sulla faccia dell anello i corrispondenti vani e che sono sagomati in modo tale che la rotazione stessa favorisca la presa. Tale tipo di collegamento ha subito ovviamente nel tempo la sua evoluzione per cui esistono anche modi diversi per ottenere Figura 5

7 ROTISMI ORDINARI ED EPICICLOIDALI 89 il medesimo risultato..- Rotismi epicicloidali. Come si è già detto, un rotismo viene detto epicicloidale quando almeno uno degli alberi su cui sono calettate le ruote sia in moto durante il funzionamento. Tale albero prende il nome di portatreno e satelliti vengono dette le ruote calettate su di esso. Un siffatto meccanismo, allora, non avrà più un solo grado di libertà, ma avrà un grado di libertà in più per ognuno degli assi che sono mobili. Uno dei modi più semplici in cui può essere realizzato un rotismo epicicloidale è rappresentato in fig. 6, in cui i satelliti sono quelli a cui si fa riferimento con i pedici e, mentre le ruote indicate con i pedici e prendono il nome, in modo generico, di prima ed ultima ruota del rotismo epicicloidale; se una delle ruote che imboccano con i satelliti è a den- tatura interna (fig. 7), ad essa si dà il nome di corona, diversamente Figura 6 prende il nome di solare. Le velocità angolari caratteristiche sono quelle dei tre membri principali: quella della prima ruota, ω, quella dell'ultima ruota, ω, e quella del braccio portatreno, Ω. Si comprende che tale meccanismo ha due gradi di libertà, e che pertanto potrà essere utilizzato come sommatore se fatto funzionare con due moventi ed un cedente, o come differenziale se sarà fatto funzionare con un movente e due cedenti. In ogni caso, dal punto di vista cinematico, il suo moto non potrà essere univocamente definito, e quindi non si potrà stabilire quale sia il suo rapporto di trasmissione, se non imponendo il va-

8 90 CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE lore della velocità angolare di uno dei tre membri principali, oltre a stabilire la funzione di ciascun degli altri due (se movente o cedente). Si può ancora osservare che qualo- Figura 7 ra venga imposto proprio il valore Ω=0, il rotismo tornerebbe ad essere un rotismo ordinario. Lo studio cinematico di un rotismo epicicloidale, ossia la determinazione del suo rapporto di trasmissione, diventa semplice se si pone mente al fatto che il suo modo di funzionare non può essere alterato da un cambiamento di riferimento, ossia se la misura delle velocità in gioco viene fatta in un riferimento mobile anziché in quello fisso. Se si sceglie, quindi, come nuovo riferimento proprio il braccio portatreno, le nuove velocità angolari saranno (ω -Ω) per la prima ruota, (ω -Ω) per l'ultima ruota, (Ω-Ω)=0 per il portatreno che risulterà fermo. Si ottiene così quello che prende il nome di rotismo ordinario corrispondente. Per esso è lecito allora scrivere il rapporto: ω Ω k = = z z ± ω Ω z z che viene chiamato rapporto costruttivo (o rapporto di Willis) e che consente di legare il numero dei denti delle ruote che compongono il rotismo alle velocità angolari in gioco. E' importante notare, nella (7), la presenza del doppio segno: sta ad indicare che il valore di k potrà essere positivo o negativo. Il cambio di riferimento, che si ottiene, come visto, sovrapponendo a tutto il sistema una velocità eguale e contraria a quella del braccio portatreno, potrebbe avere come effetto, a seconda dei casi, una inversione del segno di una delle ω, e di ciò deve tenersi conto con il segno da attribuire al parametro k. In altre parole, nel passaggio dal rotismo epicicloidale al rotismo ordinario corrispondente se una delle due differenze che compaiono nella (7) diventa negativa, k sarà negativo. (7)

9 ROTISMI ORDINARI ED EPICICLOIDALI 9 La valutazione del segno di k è semplice: basterà immaginare fermo il braccio portatreno e valutare se, assegnando ad arbitrio un verso di rotazione alla prima ruota, risulta per l'ultima ruota un verso concorde o discorde con la prima; se i versi sono concordi il segno sarà positivo, sarà negativo nel caso opposto. Più rapidamente, per quanto visto nel precedente, basterà contare il numero degli imbocchi esterni presenti lungo il percorso dalla prima all ultima ruota. Definito il valore di k, e definiti quali siano gli alberi moventi e quali i cedenti, è possibile ricavare dalla (7) l'espressione del rapporto di trasmissione che il rotismo epicicloidale realizza. Sviluppando questa si ha: k Ω= ω k ω k (8) da cui si può ricavare una delle tre espressioni: ω Ω τ = = k (k ) ω ω Ω k ω τ = = ω k ω k Ω ω k τ = = ω ω k k oppure una delle tre inverse, se si scambiano ingresso ed uscita. Le (9) rappresentano i possibili rapporti di trasmissione per un rotismo epicicloidale a due vie, ossia nel caso generale in cui le velocità angolari dei tre membri principali siano tutte diverse da zero. Se, viceversa, uno dei tre membri principali risulta immobilizzato (solidale al telaio), il rotismo prende il nome di rotismo e- picicloidale ad una via (un solo ingresso, una sola uscita) ed i rapporti di trasmissione possibili si otterranno semplicemente dalle (9) ponendo nulla la ω di pertinenza del membro immobilizzato. Escludendo il caso banale in cui sia Ω=0, si può avere: (9)

10 9 CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE [ ] τ ' [ ] τ ' ω = 0 ω= 0 Ω k = = ω k - Ω = = ω k oppure una delle due inverse, se si scambiano ingresso ed uscita. Da quanto esposto appare evidente la grande versatilità offerta dai rotismi epicicloidali: lo stesso gruppo di ruote potrà dar luogo a diversi rapporti di trasmissione se solo si sceglie in modo opportuno quale debba essere l albero movente, quale il cedente e quale velocità angolare assegnare al terzo albero. In fig. 8, per esempio, si vede come è possibile scambiare l elemento di uscita del rotismo epicicloidale, collegando l albero condotto alternativamente al portatreno o alla corona (z ), ferma restando la prima ruota (z ) come elemento motore. Ovviamente per avere un meccanismo ad una grado di libertà, un dispositivo aggiuntivo dovrà provvedere o ad immobilizzare (freno a nastro o di altro genere) rispettivamente o la corona o il portatreno, oppure a imporre loro (sempre alternativamente) una prefissata velocità angolare. Di più: se, come è possibile, attraverso dispositivi ausiliari diversi, quest ultima velocità angolare viene resa variabile, variabile sarà anche, conseguentemente, il rapporto di trasmissione del rotismo. Un vantaggio ulteriore è rappresentato dal fatto che gli alberi di ingresso e di uscita, poiché il loro interasse rispetto al portatreno deve essere il medesimo, saranno necessariamente coassiali e ciò rende più semplice il loro inserimento come parte di una macchina evitando quindi di dover predisporre alberi di rinvio del moto. L uguaglianza dei due interassi implica poi che, se le diverse cop- (9 ) Figura 8

11 ROTISMI ORDINARI ED EPICICLOIDALI 9 pie di ruote che costituiscono il rotismo hanno lo stesso modulo - come di norma accade - la somma dei numeri di denti delle ruote di ciascuna coppia deve essere sempre la stessa. Tale circostanza, ovviamente, non riguarda solamente il caso dei rotismi epicicloidali, ma vale anche per i rotismi ordinari quando si hanno più coppie di ruote calettate su due alberi paralleli. 5.- Applicazioni. Consideriamo il rotismo di fig. 9 (rotismo per contagiri) costituito dalle quattro ruote con numeri di denti z, z, z, z, in cui la ruota è solidale al telaio, mentre la e la, solidali fra loro, sono i satelliti calettati sul braccio portatreno. Calcoliamo il rapporto di trasmissione nella ipotesi in cui sia movente il braccio portatreno e cedente la ruota, ossia il valore di τ=ω /Ω. Il rapporto costruttivo vale: ω -Ω zz k = = (0) ω -Ω zz ed è positivo in quanto, a portatreno fermo, ad una rotazione della ruota, corrisponde una rotazione dello stesso verso della ruota ; fra la ruota e la ruota intercorrono, infatti, due imbocchi esterni. Ora, con le ipotesi fatte sulla funzione degli alberi, e tenendo conto che in questo caso è ω =0, il rapporto di trasmissione sarà dato dalla stessa (0), di cui il Figura 9 valore di k è stato già calcolato, ed in cui dobbiamo porre, appunto, ω =0. Avremo allora:

12 9 CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE e quindi: ω = Ω ω = k Ω z z = k = z z z z = z z z z () τ () Si può subito osservare che è facile che la differenza a numeratore risulti molto piccola a fronte del denominatore: il rotismo risulterà quindi fortemente riduttore. Se si avesse z =65, z =85, z =80, e z =70, si avrebbe k=50/595 e τ=75/595=5/9=0.6 ossia τ /8. Lo schema di fig. 0 rappresenta il riduttore Farmann, costituito da tre ruote coniche, in cui la ruota è solidale al telaio, è movente la ruota, cedente il portatreno. In questo caso sarà: ω - Ω z k = = () ω - Ω z Non compare il numero di denti della ruota perché nel rotismo ordinario corrispondente essa è una intermedia oziosa, ed il rapporto è negativo in quanto, in quella condizione, risultano di verso Figura 0 opposto le rotazioni della ruota e della ruota. Il rapporto di trasmissione sarà dato da: z Ω k = z = = ω k z + z z = z+ z τ () Con z =60 e z =60 si avrà k=-,67 e sarà τ=8/ 0,7. Per la forma che la struttura globale di questo rotismo assume, il riduttore Farmann, in questa versione o anche in versioni più complesse veniva utilizzato in campo aeronautico. Il differenziale per autoveicoli, fig., è costituito da quattro ruote coniche, a due a due uguali. Due di esse, la e la, fungono

13 ROTISMI ORDINARI ED EPICICLOIDALI 95 da satelliti e come tali sono montate folli sull asse portatreno che s è, l'elemento motore del meccanismo; le altre due, la e la, sono m calettate agli alberi (i semiassi) su cui, all'altra estremità, sono poi d calettati i mozzi delle Figura ruote. L'uguaglianza delle ruote e implica che il rapporto costruttivo del differenziale è: ω Ω k = = z ω Ω z = Ne discende che poiché la (60) può essere scritta come: Ω k ω ω k k (5) = (6) la relazione che lega le tre velocità angolari (per k=-) è: ω+ ω = ω+ ω = Ω (7) il che significa che la velocità angolare del portatreno è sempre la media delle velocità angolari degli alberi di uscita. Il meccanismo ha di per sé due gradi di libertà: la condizione che ne fissa il funzionamento in modo univoco è il rapporto definito fra ω ed ω ; nella marcia su rettilineo tale rapporto vale, mentre se 0 il veicolo percorre una traiettoria in curva tale c e rapporto rimane fissato dalla differente velocità dei mozzi delle ruote. i Si può pure osservare che quando ω =ω, con versi concordi, non vi sarà alcuna rotazione dei Figura

14 96 CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE satelliti intorno al proprio asse di calettamento: i punti simmetrici, a contatto con le ruote adiacenti, avranno, infatti, la medesima velocità. Consideriamo ora, (fig. ), un veicolo la cui carreggiata sia d, le cui ruote abbiano un raggio sotto carico pari ad r c, e che stia percorrendo con velocità V 0 una traiettoria di cui sia R il raggio di curvatura. I centri delle ruote percorreranno le loro traiettorie con velocità, rispettivamente per la ruota interna e per l'esterna: V V 0e V 0 = (R d) R V 0 = (R + d) R 0i (8) per cui le velocità angolari delle stesse ruote, ipotizzando che rotolino senza strisciare, saranno: La (7) si scriverà allora: ω V i = r 0i c ω V e = r 0e c V 0 = (R d) r R c V 0 = (R + d) r R ω i + ω e V 0 = = (R d + R + d)= V 0 Ω rc R rc c (9) (0) e ciò mostra che la larghezza della carreggiata del veicolo non ha gioco nel funzionamento del differenziale, sia per il fatto che essa non compare esplicitamente nella (0), sia perché, nella stessa, figura solamente la velocità, V 0, del punto medio dell'assale. Consideriamo ancora che, dal punto di vista dinamico, in assenza di perdite, deve valere il sistema di equazioni: ω i + ω e Ω= Ciω i +Ceω e +C Ci +Ce +C m = 0 m Ω = 0 () in cui compaiono le coppie C i, C e, C m, agenti rispettivamente sul semiasse interno, sul semiasse esterno e sul portatreno; la seconda equazione rappresenta l'equilibrio delle potenze, la terza l'equilibrio delle coppie.

15 ROTISMI ORDINARI ED EPICICLOIDALI 97 Risolvendo il sistema () si ottiene dapprima: Ciω i + Ceω e +C m( ω i + ω e ) = 0 C m = Ci Ce e poi: da cui: ( )( + ) 0 Ciω i + Ceω e Ci + Ce ω i ω e = () () ( )( ) = 0 C i () C e ω i ω e Si vede allora che, quando le velocità angolari delle ruote sono eguali, il meccanismo sarà in equilibrio anche se le coppie resistenti ad esse applicate non sono le stesse, mentre, se le velocità angolari sono diseguali (veicolo in curva), dovendo essere verificata la (), dovranno essere eguali, per l'equilibrio, le coppie alle ruote; se così non accade, sarà ω = ω. i e 6. - Rotismi epicicloidali in serie. Dati due rotismi epicicloidali, identificati dai loro rapporti costruttivi k e k essi si diranno collegati in serie se due elementi qualsiasi del primo rotismo (prima ruota, ultima ruota, portatreno) sono rigidamente collegati a due elementi qualsiasi del secondo e se un elemento qualsiasi di uno di essi (libero o collegato che sia) abbia una velocità angolare assegnata (per es. nulla, e tale la immagineremo). B La possibilità di scegliere due fra nove tipi di collegamenti diversi e distinti A dà luogo a 8 differenti situazioni, per ciascuna delle quali si potrà scegliere fra elementi da bloccare e scegliere ancora la funzione, movente o cedente, di A due fra i tre elementi rimasti A B B liberi. Figura

16 98 CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Per esempio potrà farsi (fig.) un collegamento fra la prima ruota del primo rotismo e la prima ruota del secondo (z A z B ), un secondo collegamento fra i due portatreni (p A p B ), e bloccare l ultima ruota del primo rotismo, z A, utilizzando poi l ultima ruota del secondo rotismo, z B, ed il portatreno comune, p A p B, come movente e cedente. A A B B A A A B B A B B Figura Figura 5 In fig., invece, mantenendo i medesimi collegamenti, è bloccata l ultima ruota del secondo rotismo, z B, e ingresso ed uscita sono assegnati alla z A ed al collegamento z A z B. O ancora si può scegliere di bloccare il collegamento (z A z B ) ed utilizzare come alberi di ingresso e uscita quelli di z A e di z B (fig. 5). Alla luce delle scelte possibili due rotismi epicicloidali collegati in serie potrebbero quindi dar luogo, in linea teorica, a 6 meccanismi diversi che diventerebbero considerando di poter scambiare le funzioni di movente e cedente. In effetti non è esattamente così, perché la metà di questi meccanismi risulteranno labili: ciò accade quando si scelgono come movente e cedente gli alberi di collegamento (fig. 6), oppure quando, avendo scelto di bloccare uno degli alberi di collegamento si sceglie l altro come movente o come cedente (fig. 7). Sarà quin- Si faccia attenzione alla circostanza che in un dato meccanismo lo scambio fra due elementi delle funzioni di ingresso e uscita non dà luogo al meccanismo simmetrico: questo si avrebbe solo scambiando anche k con k ossia invertendo anche la posizione relativa dei rotismi componenti. In entrambi i casi rappresentati il secondo rotismo risulta labile essen-

17 ROTISMI ORDINARI ED EPICICLOIDALI 99 A B B A A A A B B A B B di possibile avere meccanismi ad un grado di libertà solamente in 6 casi. C è ancora da aggiungere tuttavia che i corrispondenti rapporti di trasmissione, ottenibili a parità di k e k, risultano diversi solo nella metà dei casi: 08, quindi, i rapporti di trasmissione diversi che si possono ottenere collegando in serie due soli rotismi epicicloidali. Il calcolo del rapporto di trasmissione nel caso di un rotismo epicicloidale in serie può essere semplicemente fatto seguendo i medesimi criteri esposti per un rotismo epicicloidale singolo. Consideriamo, a titolo di esempio, il meccanismo di fig. 8 in cui risultano collegati di nuovo, come in quello di fig., le due prime ruote e i due portatreni. Diversamente da quello, è ora bloccato il collegamento fra i portatreni. Se ipotizziamo anche che sia movente l ultima ruota del primo Figura 6 Figura 7 A A A B B B Figura 8 r.e. (z A ) e cedente l ultima ruota del secondo r.e., continuando sempre a indicare con k e k i rispettivi rapporti costruttivi, posdo indefinita la rotazione della z B.

18 00 CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE siamo cercare il rapporto di trasmissione del meccanismoτ = ω" ω'. Avremo per i due rotismi epicicloidali: ω' Ω' ω" Ω" k = ; k = ; (5) ω' Ω' ω" Ω" e ad essi saranno da applicare le condizioni relative agli elementi collegati ed all elemento bloccato, ossia: ω' = ω" = ω Ω' = Ω" = Ω Ω = 0 Le (5) allora si potranno scrivere come: da cui: k ω' ω" = ; k = ; (5 ) ω ω ω τ = " ω' = k k Con analogo procedimento si ottengono i rapporti di trasmissione di tutti gli altri possibili meccanismi. Da quanto sopra si comprende come la scelta di opportuni rotismi, ossia di opportuni valori di k i, e la possibilità di scegliere fra diversi tipi di collegamenti e di elementi da bloccare rendono questi meccanismi estremamente versatili nell impiego come cambi di velocità. Con pochi rotismi (due o tre), cioè, sarà possibile ottenere un gran numero di rapporti di trasmissione diversi; i- noltre le singole ruote saranno sempre in presa e non si porranno problemi di coassialità fra gli alberi di ingresso e di uscita del cambio. Non è da poco il fatto, d altra parte, che il rendimento complessivo del meccanismo può risultare anche migliore del rendimento del rotismo ordinario di uguale rapporto di trasmissione.