0.5 setgray0 0.5 setgray1 Integrazione indefinita di funzioni trascendenti

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1 Esercizi di riepilogo e complemento setgray0 0.5 setgray Integrazione indefinita di funzioni trascendenti Indicheremo con R(x,x,...,x n ) una funzione razionale dipendente dalle variabili x,x,...,x n. Molti integrali di funzioni trascendenti si riconducono, mediante opportune sostituzioni, a integrali di funzioni razionali. Esaminiamo alcuni tipi di integrali fra i più notevoli. a) Integrali del tipo R(a αx+β )dx (a, α, β costanti, a>0, a ). Mediante una delle sostituzioni a αx+β = t, a αx = t, ci si riconduce a un integrale di funzione razionale di t. In particolare, per a = e, si hanno gli integrali R(e αx+β )dx. Per β = 0 si hanno gli integrali R(a αx )dx, R(e αx )dx b) Integrali del tipo R(a rx,a rx,...,a rnx )dx, dove a è una costante positiva e edr,r,...,r n sono numeri razionali che supporremo ridotti ai minimi termini. Detto µ il minimo comune multiplo dei denominatori dei numeri r,r,...,r n, con la sostituzione a x = t µ gli integrali considerati si trasformano in integrali di una funzione razionale di t. Si può eseguire anche la sostituzione a x = t. In particolare si hanno gli integrali R(e rx,e rx,...,e rnx )dx. Gli integrali del tipo R[ a x, ( αa x ) r + β γa x, + δ ( αa x ) r + β γa x,..., + δ ( αa x ) rn ] + β γa x dx + δ dove a è una costante positiva eα, β, γ, δ, r,r,...,r n hanno il significato loro attribuito in [b) - integrazione indefinita di funzioni irrazionali]. Per il calcolo di questi integrali si pone αa x + β γa x + δ = tµ o a x = t. c) Integrali del tipo R(sin x, cos x) dx. Posto tg (x/) = t, da cui x = arctg t, segue dx =[/( + t )]dt, e applicando le formule sin x = tg (x/) +tg (x/) = t +t, cos x = tg (x/) +tg (x/) = t +t, l integrale considerato si trasforma nell integrale di funzione razionale di t ( t R +t, ) t dt +t +t. Più in generale si hanno gli integrali del tipo R[sin(αx + β), cos(αx + β)] dx (con α e β costanti non nulle) che ri riducono al tipo sopra considerato ponendo αx + β = z.

2 Gli integrali di questo tipo si possono calcolare anche nel seguente modo: si sostituiscono alle funzioni sin x, cos x le espressioni fornite dalle formule di Eulero sin x = eix e ix, cos x = eix + e ix i e si esegue la sostituzione e ix = t. Con questo procedimento si entra però nel campo complesso. d) Integrali del tipo R(tg x) dx. Osservato che tg x =sinx/ cos x, si può procedere come per gli integrali del tipo c). In generale risultà però più conveniente eseguire la sostituzione tg x = t. L integrale considerato si trasforma in tal modo in un integrale di funzione razionale di t. Analogamente si procede per il calcolo degli integrali R(cotg x) dx, R(tg x, cotg x) dx. e) Integrali del tipo R(sin x, cos x, sin x, cos x, tg x, cotg x) dx. Poiché sinx = sinx cos x, cos x = cos x sin x, tg x = sinx/ cos x, cotg = cos x/ sin x, si può procedere come negli integrali di tipo c), ma in generale risulta più conveniente effettuare la sostituzione tg x = t (oppure cotg x = t). Osservato che da tg x = t si trae x =arctgt, dx = dt/( + t )eche sin x = t +t, cos x = +t, sin x = t t, cos x = +t +t, cotg x = t, l integrale dato si trasforma in un integrale di funzione razionale di t. f) Integrali del tipo R(sin x)cosx dx. Si può procedere come per gli integrali del tipo c), ma in generale conviene eseguire la sostituzione sin x = t. Osservato che cos xdx= d sin x = dt, l integrale considerato si riduce a un integrale di funzione razionale di t. Analogamente, per il calcolo dell integrale R(cos x)sinx dx conviene fare la sostituzione cos x = t. Per il calcolo degli integrali R(sin x, cos x, tg x, cotg x)cosx dx, R(sin x, cos x, tg x, cotg x)sinx dx, si procede in modo analogo. g) Integrali del tipo sin mx cos nx dx (m, n costanti, m ±n). Mediante la formula sin p +sinq =sin p + q cos p q,

3 risulta sin mx cos nx = [sin(m + n)x +sin(m n)x] e quindi sin mx cos nx dx = sin(m+n)x dx+ sin(m n)x dx = (m + n) cos(m+n)x (m n) cos(m n)x+c. In modo analogo si trova, per m ±n, sin mx sin nx dx = (m n) sin(m n)x sin(m + n)x + c, (m + n) cos mx cos nx dx = (m + n) sin(m + n)x sin(m n)x + c. (m n) I casi in cui m = ±n si risolvono immediatamente per sostituzione. Più in generale si hanno gli h) Integrali del tipo cos(a x + b )cos(a x + b )... cos(a n x + b n )dx, dove a,b,a,b,...,a n,b n sono delle costanti. Applicando ripetutamente la formula cos ω cos ω = [cos(ω + ω )+cos(ω ω )] si può sostituire alla funzione integranda una somma di termini del tipo α cos(βx + γ) (α, β, γ costanti) di integrazione immediata. In modo analogo si procede se la funzione integranda è un prodotto di seni o un prodotto di seni e coseni. i) Integrali del tipo sin m x cos n x dx, dove m ed n sono numeri reali qualunqe. Mediante la sostituzione sin x = t (oppure cos x = t) questi integrali si riducono a integrali di differenziali binomi. Infatti, da sin x = t si trae x =arcsint, dx =( t ) / dt, cos x =( t ) /, sin m x = t m, cos n x =( t ) n/ e pertanto, sostituendo, si ottiene t m ( t ) (n )/ dt. Supposti m, n razionali, l integrale è esprimibile in termini finiti se e solo se è intero almeno uno dei tre numeri n m + n,, + m + = n + m, mentre se m ed n sono reali qualunque l integrale dato è esprimibile in termini finiti se e soltanto se è intero e positivo almeno uno dei tre numeri n, m +, n + m. Si osservi che l integrale di tipo i) è certamente esprimibile in termini finiti se i due numeri m, n sono interi o se almeno uno di esse è positivo e dispari. Se m, n sono interi l integrale rientra in quelli del tipo c), quindi si può calcolare anche con la sostituzione indicata per gli integrali del tipo citato. Se m, n sono interi e pari allora l integrale rientra oltre che fra quelli del tipo c) anche tra quelli del tipo e). In qualche caso, però, può essere conveniente, anzichè eseguire le sostituzioni indicate per i suddetti integrali, ricorrere a particolari artifici. 3

4 l) Integrali del tipo e αx cos mx dx, J = e αx sin mx dx dove m ed n sono costanti non nulle. Integrando per parti, si ottiene m eαx sin mx α m e αx sin mx dx = m eαx sin mx α m J. Analogamente si trova J = m eαx cos mx + α m I. Le due relazioni trovate formano un sistema di due equazioni nelle due incognite I e J. Risolvendo si ottiene: eαx α (α cos mx + m sin mx)+c; + m J = eαx α (α sin mx m cos mx)+c. + m Rientrano in questa categoria anche gli integrali: e αx cos x dx, e αx sin x dx, e x cos mx dx, e x sin mx dx. In modo analogo si calcolano gli integrali a αx cos mx dx, J = a αx sin mx dx, dove a è una costante positiva, diversa da. m) Integrali del tipo x n e αx cos mx dx, J = x n e αx sin mx dx con n, α, m costanti, n intero positivo, α, m non entrambi nulli. Integrando per parti e applicando il risultato ottenuto per l integrale I del tipo l), risulta I n = x n αx α cos mx + m sin mx e α + m nm α + m x n e αx sin mx dx nα α + m x n e αx cos mx dx, ossia I n = x n αx α cos mx + m sin mx e α + m nm α + m J n nα α + m I n. () In modo analogo si trova J n = x n αx α sin mx m cos mx e α + m nα α + m J n + nm α + m I n. () Per n = 0 gli integrali considerati si riducono a quelli del tipo l). Le formule trovate per I n e J n sono esempi di formule ricorrenti, in quanto richiedono la conoscenza di I n e J n. Se α = m =0, allora I n = xn+ n + + c, J n = c. Casi particolari notevoli degli integrali di tipo m) sono i seguenti: I n = x n cos x dx, J n = x n sin x dx, K n = x n e αx dx,. Dalle () e () si deducono le formule ricorrenti I n = x n sin x nj n, 4

5 J n = x n cos x + ni n, K n = xn e αx n α α K n (α 0). Più in generale si hanno gli integrali x n a αx cos mx dx, J = x n a αx sin mx dx con a costante positiva diversa da. Per il loro calcolo si procede così come si è fatto per I n e J n. n) Integrali del tipo e αx P (sin x, cos x) dx, (3) dove P è un polinomio e α una costante. L integrale (3) è una somma di integrali del tipo e αx sin m x cos n x dx (m, n interi non negativi). Osservato che il prodotto sin m x cos n x si può decomporre in una somma di seni e di coseni di multipli dell arco x, si può concludere che il calcolo dell integrale (3) dipende dal calcolo dei seguenti integrali del tipo l) e αx cos px dx, e αx sin qx dx con p, q interi non negativi. In modo analogo si procede per il calcolo dell integrale a αx P (sin x, cos x) dx, (a costante positiva diversa da ). o) Integrali del tipo I m = x α log m a dx, dove m è un intero positivo, α costante diversa da. Si ha la formula ricorrente I m = xα+ m α + logm a x (α + ) log a I m mediante la quale si calcola I m noto I m. Il caso in cui m è intero e negativo rientra negli integrali di tipo s). p) Integrali dei tipi I = I 3 = x m P (log x) dx, I = P (x) arcsinx dx, I 4 = P (arcsin x) dx, P (x)arctg x dx, dove P è un polinomio ed m è una costante. Per l integrale I, posto log x = t, risulta I = e mt P (t) e t dt = e (m+)t P (t) dt. Un termine qualunque di questo integrale è del tipo e αt t n dt. Si ècosì ricondotti all integrale K n del tipo m). 5

6 Si poteva anche osservare che un termine qualunque di I è del tipo x m log n x dx, già considerato negli integrali di tipo o). Gli integrali di tipo I, con la posizione arcsin x = t, si riconducono agli integrali del tipo m). Per il calcolo degli integrali I 3 e I 4 si può procedere in questo modo: si applica dapprima un integrazione per parti assumendo in entrambi i casi P (x) dx come fattore differenziale. Così procedendo, il calcolo di I 3 dipende dal calcolo di integrali di funzioni irrazionali del tipo c), mentre il calcolo di I 4 dipende dal calcolo di integrali di funzioni razionali. q) Integrali del tipo P (x)e αx dx, dove P (x) è un polinomio e α una costante. L integrale si scinde nella somma di integrali del tipo x n e αx dx, già esaminati (integrali del tipo m)). Considerazioni analoghe si possono fare per gli integrali del tipo P (x)a αx dx, dove a è una costante positiva e diversa da. r) Integrali dei tipi P (x, e αx )dx, P (x, log a x)dx, dove P (x) è un polinomio. Un termine generico di questi integrali è rispettivamente del tipo x n e αx dx, x α log m a x dx e questi sono integrali dei tipi m) ed o). Analogamente si procede per il calcolo dell integrale P (x, a αx )dx con a costante positiva e diversa da. s) Integrali del tipo R(x) a αx dx, dove R(x) è una funzione razionale, a una costante positiva e diversa da, αuna costante. Decomposta R(x) nella somma della sua (eventuale) parte intera e di frazioni semplici della forma A/(x b) n, il calcolo dell integrale dato dipende dal calcolo dei seguenti integrali x m a αx a αx dx, (x b) n dx, dove m è un intero non negativo, n un intero positivo, b una costante. Il primo di questi integrali è stato già considerato e rientra nella categoria m). Il secondo integrale, posto x b = t, diviene a a αb αt t n dt. Mediante integrazione per parti, supposto n, si ottiene a αt t n dt = a αt α log a a αt + dt. (n )tn n tn Questa è una formula ricorrente che permette di ricondurre il calcolo dell integrale a primo membro al a αt calcolo dell integrale dt. t 6

7 Quest ultimo integrale, però, non si può esprimere in termini finiti (per il calcolo si ricorre all integrazione per serie). Se n = si ha direttamente a αt a αt dx = aαb dt. x b t Come caso particolare si hanno gli integrali del tipo R(x)e αx dx. Consideriamo l integrale x α log m a x dx, dove m è un intero negativo e a ed α hanno il significato attribuito loro in precedenza. Posto log a x = t, risulta a x α log m (α+)t a x dx = log a t m dt e pertanto si è ricondotti all integrale sopra considerato. t) Integrali del tipo P (x, e αx,e αx,...,e αpx )dx, dove P è un polinomio, α,α,...α p costanti. Questo integrale è la somma di integrali della forma x n e αx dx già considerati nel tipo m). In modo analogo si calcola l integrale P (x, a αx,a αx,...,a αpx )dx, con a costante positiva e diversa da. I. Osservazione Se negli integrali dei tipi da c) an) si sostituiscono alle funzioni goniometriche le funzioni iperboliche, il procedimento per il calcolo degli integrali non cambia. Basta semplicemente scambiare in tutte le sostituzioni indicate la funzione goniometrica con la corrispondente funzione iperbolica. Il calcolo degli integrali da c) ai), se m ed n sono interi, e degli integrali l) edn), dove in luogo delle funzioni goniometriche vi siano le funzioni iperboliche, si può fare rientrare nel calcolo degli integrali del tipo b). Basta allo scopo valersi delle formule sinh x = ex e x, cosh x = ex + e x, tgh x = ex e x e x + e x, cotgh x = ex + e x e x e x. II. Osservazione Gli integrali R(sin x, cos x) dx, R(sinh x, cosh x) dx si possono ricondurre all integrale del tipo R(x, ax + bx + c) dx mediante le sostituzioni sin x = t, sinh x = t. Viceversa, l integrale R(x, ax + bx + c) dx si può ricondurre ad uno dei due integrali R(sin x, cos x) dx, R(sinh x, cosh x) dx. 7

8 A tale scopo si possono usare le sostituzioni b 4ac cos t b x = a b 4ac cosh t b x = a 4ac b sinh t b x = a se se se b 4ac > 0, a<0, b 4ac > 0, a>0, b 4ac < 0, a>0. III. Osservazione Nella trattazione dell integrazione indefinita di funzioni irrazionali e di funzioni trascendenti sono stati elencati vari tipi di integrali che, mediante opportune sostituzioni sulla variabile, si riconducono ad integrali di funzioni razionali. In molti altri casi, questo scopo può essere raggiunto non immediatamente ma in più fasi, vale a dire per mezzo di successivi cambiamenti della variabile d integrazione. Tipico è il caso in cui l integrale f(x) dx può ricondursi, mediante una conveniente posizione x = x(t), ad un integrale ϕ(t) dt di uno dei tipi considerati. Allora, quest ultimo integrale si può trasformare in una funzione razionale per mezzo di una opportuna trasformazione t = t(u). Ad esempio, si voglia calcolare l integrale cos x sin x 3+sin x dx. Pur non rientrando nei tipi trattati I si riconduce, mediante la sostituzione sin x = t, all integrale dt t 3+t e quest ultimo è un integrale di funzione irrazionale del tipo c) o anche del tipo e). Come integrale del tipo e) sipone+3t = z, ottenendo ± z 3 + c e infine, ricordando le posizioni fatte, ± sin x + c. 8

9 Esercizi. Calcolare gli integrali (di tipo a) dx a), b) 4x/3+ dx +e x. 3 a) + c; b) x 4 x/3+ log 4 log(ex +)+c. Calcolare l integrale (di tipo b) e x + e x +3 e x +8 dx e x +log 8 e 3x (e x +8) 59 + c 3. Calcolare l integrale (di tipo b) x/ dx x/3 ( 6 6 log x + log + 6 ) x 6 + c x 4. Calcolare l integrale (riconducibile al tipo b delle funzioni irrazionali) e x e x dx log( e x e x )+c 5. Calcolare l integrale (di tipo c) dx +sinx +tg(x/) + c 6. Calcolare l integrale (di tipo c) + cos x +sinx dx +tg (x/) +log (+tg(x/)) +tg (x/) + c 7. Calcolare l integrale (di tipo c) +cosx sin x(3 cos x) dx tg x log 3 ( ) + c 8 tg x Calcolare l integrale (di tipo d) tg 3 x +tgx tg x +4 dx tg x 4log tg x +4 + c 9. Calcolare l integrale (di tipo d) tg x tg x + dx x +log 4 (tg x + )(tg x +) + c 0. Calcolare l integrale (di tipo e) tg x sin x + dx 4 log( tg x +)+c 9

10 . Calcolare l integrale (di tipo e) sin 4 x +cos 4 x dx arctg tg x tg x + c. Calcolare l integrale (di tipo f ) cos x sin 3 x dx sin x + c 3. Calcolare gli integrali (di tipo g) I = sin 5x cos 3x dx I = I 3 = sin 6x sin 9x dx cos 4x cos 8x dx cos 8x cos x sin 3x sin 5x sin x sin 4x I = + c, I 6 4 = + c, I = + + c Calcolare l integrale (di tipo h) cos(3x + 4) cos(5x + ) cos(7x + 3) cos(4x 4) dx [ 8 9 sin(9x +4) 3 sin( 3x +6)+ sin(x + ) + 5 sin(5x ) + 9 sin(9x +) 3 sin( 3x +4)+sin(x + 0) 5 sin( 5x 4) ] + c 5. Calcolare l integrale (di tipo h) sin x cos x sin πx dx 4(3 π) sin(3 π)x 4(3 + π) sin(3 + π)x 4( π) sin( π)x + sin( + π)x + c 4( + π) 6. Calcolare l integrale (di tipo i, ma anche di tipo c) dx sin x cos x sin x +log +sinx sin x + c 7. Calcolare l integrale (di tipo i, ma anche di tipo c) sin 4 x cos x dx 3 sin3 x sin x +log +sinx sin x + c 8. Calcolare l integrale (di tipo i, ma anche di tipo c ed f ) sin 3 x cos 5 x dx 4 sin4 x 3 sin6 x + 8 sin8 x + c 0

11 9. Calcolare l integrale (di tipo i) cos 4/3 x 3 sin x cos x dx 3 cotg x ( + cotg x) 3 6 log cotg x + 3 cotg 4 x 3 cotg x + 3 arctg 3 cotg x + c 3 0. Calcolare gli integrali (di tipo l) e 3x cos 4x dx, J = e 3x sin 4x dx 5 e3x (3 cos 4x +4sin4x) +c, J = 5 e3x (3 sin 4x 4cos4x) +c. Calcolare l integrale (di tipo m) I 3 = x 3 e x dx I 3 = 8 (4x3 6x +6x 3)e x + c. Calcolare gli integrali (di tipo m) I = xe 3x cos 4x dx, I = xe 3x sin 4x dx I = e3x [x(4 sin 4x +3cos4x) sin 4x + 7 ] 5 cos 4x + c, I = e3x [x(3 sin 4x 4cos4x) ] sin 4x cos 4x + c 3. Calcolare l integrale (di tipo n) e 3x (sin 3 x 4cos 4 x)dx, e 3x( cos 4x sin 4x cos 3x sin 3x cos x sin x cos x sin x ) + c 4. Calcolare l integrale (di tipo o) J 3 = x 3 log 3 x dx, J 3 = x4 4 log3 x 3 6 x4 log x x4 log x 3 8 x4 + c 5. Calcolare l integrale (di tipo p) x m arctg(ax) dx, (m intero ; a costante) x log(x +)+ x3 3 arctg x + c 6. Calcolare gli integrali (di tipo p) arcsin 3 x dx, J = arccos 3 x dx x arcsin 3 x +3 x arcsin x 6x arcsinx 6 x + c, J = x arccos 3 x 3 x arccos x 6x arccosx +6 x + c

12 7. Calcolare l integrale (di tipo r) x /4 (log x 3 log 3 x)dx 5 x5/4 log 3 x x5/4 log x 3 5 x5/4 logx x5/4 + c 8. Calcolare l integrale (di tipo s) e x (x 4) 3 dx ( ) ( e 8 e(x 4) (x 4) e(x 4) e +e 8 t ) dt x 4 t t=x 4 9. Calcolare l integrale (di tipo t) xe x ( e x )dx e x (x ) 4 ex (x ) + c