L acustica architettonica Aspetti fisici

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1 Che cosa è, come fuzioa L acustica architettoica spetti fisici Parte I Leoardo Scopece lberto Cipria*. Itroduzioe Per defiizioe, l acustica architettoica è quella disciplia che tratta della produzioe, propagazioe e ricezioe del suoo all itero di ambieti chiusi. La progettazioe acustica degli ambieti deve, quidi, teere i cosiderazioe ua grade quatità di elemeti come le caratteristiche fisiologiche dell apparato uditivo umao, gli aspetti aturali delle ode, la modalità di propagazioe ell aria, gli aspetti artificiali come le varie tipologie di arredameto e strumetazioe itera. Questo è il primo di tre articoli dove si voglioo aalizzare i vari aspetti atti a valutare quale può essere la progettazioe di u ambiete per l ascolto, partedo da cosiderazioi quali i parametri fisici e le teciche per stimare i comportameti delle ode soore, fio all aalisi delle tipologie di materiale e delle diverse tipologie di compoeti che cotribuiscoo alla correzioe acustica della sala. Sommario L acustica architettoica è il campo di studio che si deve affrotare el mometo i cui c è la ecessità di realizzare u ambiete adatto a u particolare tipo di ascolto come, ad esempio, cocerti e cofereze. Questo è il primo di tre articoli ei quali si cerca di offrire ua paoramica il più completa possibile sul tema della progettazioe acustica degli ambieti chiusi, che va ecessariamete distita da quella degli spazi aperti, ei quali i feomei fisici soo differeti. Nello specifico si vuole trattare l aspetto fisico dell acustica, ripercorredo i più importati pricipi da teere i cosiderazioe el mometo i cui si decide di realizzare u trattameto acustico di u ambiete. Molti ritegoo che per otteere u ascolto perfetto i ua sala basti spedere molto per u sistema di altoparlati, ma questo è proprio uo dei maggiori errori che si può commettere. Tutto ciò perché o si cooscoo i pricipi fodametali dell acustica e o si tegoo i cosiderazioe tutti i feomei che si possoo geerare dall iterazioe di u oda soora co l ambiete e tra le ode stesse. Ci si poe l obiettivo di forire, el modo più chiaro e completo possibile, le basi per compredere i feomei legati all acustica fisica i modo da poter valutare al meglio che tipo di progettazioe soora si deve utilizzare per soddisfare alle proprie ecessità. * L articolo è parte delle attività realizzate per la tesi proposta per la laurea specialistica i igegeria di lberto Cipria: alisi e studio della diffusioe soora multicaale i ambieti chiusi. Studio e realizzazioe di ua staza per l ascolto surroud. Tesi di Laurea Politecico di Torio, 00, sviluppata presso Cetro Ricerche della Rai. Tutor Rai: dott. Leoardo Scopece. Elettroica e Telecomuicazioi N gosto 00 7

2 c u s t i c a r c h i t e t t o i c a. Parametri fisici. Propagazioe dell oda soora Ogi suoo ha origie dalla vibrazioe di u corpo elastico. Questa ha u adameto odulatorio, descrivedo quidi el tempo ua traiettoria che si può rappresetare graficamete, el modo più semplice, come ua siusoide. Esistoo diverse compoeti che caratterizzao u oda, tra cui la più importate è la frequeza. Questo parametro fisico permette di defiire u parametro sesoriale: l altezza del suoo, ossia se aumeta la frequeza u suoo tede a divetare più acuto, metre se dimiuisce diveta più grave. U secodo parametro fisico è l ampiezza dell oscillazioe, che permette di determiare u altro parametro sesoriale: l itesità del suoo. Per capire come avviee la propagazioe è ecessario prima capire come è fatta a livello strutturale l aria. É formata da ua grade quatità di molecole uite tra loro da legami elastici; ad esempio, si può affermare che quado u corpo vibra comuica il suo movimeto alla prima molecola d aria cofiate, la quale, spostadosi, spige la molecola successiva, e così via. U attimo dopo, i legami elastici (che possoo essere immagiati come molle), richiamao idietro la molecola ella sua posizioe iiziale di equilibrio. Per effetto di questi movimeti ci sarao delle zoe di compressioe e rarefazioe dell aria. Queste si ripetoo dalla sorgete el verso di propagazioe dell oda soora. Cosiderado ua geerica sorgete soora, il suoo tede a propagarsi allo stesso modo i tutte le direzioi (cioè secodo froti d oda sferici, figura ). La superficie del frote d oda aumeta i modo proporzioale co il quadrato della distaza dalla sorgete. Di cosegueza, l eergia che possiede il frote d oda si distribuisce su tutta la superficie, per cui su ua sigola uità di superficie si ha che l eergia decresce co il quadrato della distaza. Siccome l eergia è proporzioale all itesità soora, si può affermare che l itesità soora decresce co il quadrato della distaza, quidi: raddoppiado la distaza, l itesità soora decresce di 6 db decuplicado la distaza, l itesità soora decresce di 0 db É, ioltre, da sottolieare il fatto che il suoo si propaga a ua velocità che dipede pricipalmete dalla atura del mezzo elastico i cui si diffode, ma ache dalla temperatura, dalla pressioe e dall umidità. Di seguito vegoo riportati alcui valori della velocità di propagazioe i diversi materiali a 0 C e al livello del mare: Materiale Velocità [m/s] ria 343 cqua 480 Ghiaccio 300 Vetro 5300 Piombo 00 U altra gradezza fodametale legata alla propagazioe del suoo è la lughezza d oda λ, cioè la distaza fra due puti cosecutivi dell oda che vibrao i cocordaza di ampiezza e fase. La lughezza d oda si misura i metri ed è i fuzioe della frequeza e della velocità di propagazioe secodo la seguete relazioe: λ ν / f dove ν è la velocità di propagazioe e f è la frequeza. ig. Propagazioe. Questa gradezza ha u ruolo importate soprattutto quado ha ua misura paragoabile a quella delle 8 Elettroica e Telecomuicazioi N gosto 00

3 c u s t i c a r c h i t e t t o i c a dimesioi dell ambiete di diffusioe, i quato determia il feomeo delle ode stazioarie. La tabella seguete mostra alcui valori di lughezze d oda i fuzioe della frequeza i aria libera: requeza [Hz] ζ ( x, t) x Lughezza d oda [m] Le ode stazioarie Le ode stazioarie soo particolari tipi di perturbazioi periodiche, le cui oscillazioi soo limitate ello spazio. L ampiezza dell oscillazioe è ulla i alcui puti, detti odi, metre è massima i altri, detti vetri; ogi vetre si trova a metà tra due odi. Immagiado ua coppia di ode che si propaga i uo spazio delimitato da due superfici parallele rifletteti, si ota come l oda stazioaria viee geerata dalla somma delle due ode. questo puto risulta ecessario modificare l equazioe dell oda, aggiugedo le codizioi al cotoro che limitao il moto. Detto L lo spazio di propagazioe, l equazioe dell oda diveta: ζ ( x, t) v ζ t alla quale vao aggiute le segueti codizioi: ζ(0, t) e ζ(l, t) B. Si ottiee quidi la soluzioe geerale della formula: ζ(x, t) cos(kx) + B si(kx).3 Riflessioe La riflessioe è uo dei feomei più comui che si maifesta el mometo i cui u oda soora etra i cotatto co ua superficie. Quello che però può apparire meo ovvio è il fatto che la riflessioe si geera soltato el caso i cui la dimesioe della superficie riflettete dell oda soora sia sufficietemete grade rispetto alla lughezza d oda λ. Quidi, i base alla dimesioe dell ostacolo che icotra l oda si possoo avere diversi effetti: se la dimesioe dell ostacolo è miore di /3 di λ o c è riflessioe se la dimesioe è comparabile co λ si ha ua riflessioe solo della metà dell eergia e si passa al feomeo della diffrazioe se la dimesioe è maggiore del triplo di λ allora si ha riflessioe totale.4 Diffrazioe É u feomeo complemetare alla riflessioe che si defiisce come la deviazioe della traiettoria delle ode, quado queste icotrao u ostacolo fisico. I particolare, quado la lughezza d oda è grade e o ci soo riflessioi, o comuque soo molto poche, si può assumere che l oda aggiri l ostacolo. Similmete, quado la lughezza d oda è piccola, c è ua buoa riflessioe, tuttavia parte dell eergia è i grado di aggirare l ostacolo. I questo caso si parla di ombra acustica (figura ); se, ivece, le dimesioi dell ostacolo soo maggiori della lughezza d oda dell oda icidete, si maifestao solo parziali feomei di ombra acustica. ombra acustica Le ode stazioarie si possoo quidi cosiderare come il risultato dell iterfereza di ode progressive e regressive siusoidali aveti la stessa frequeza. λ ig. - Ombra acustica. Elettroica e Telecomuicazioi N gosto 00 9

4 c u s t i c a r c h i t e t t o i c a λ Quado su ua superficie è presete u apertura di dimesioi maggiori di λ, l oda passa attraverso geerado u fascio stretto, metre se λ è grade si produce u fascio diffuso (figura 3)..4. Pricipio di Huyge Il pricipio di Huyge è u metodo di aalisi applicato spesso per lo studio della propagazioe delle ode lumiose. Secodo Huyge:...ciascua particella della materia i cui u oda viaggia comuica il suo moto o solo alla particella vicia che è allieata co la sorgete lumiosa, ma ecessariamete ache alle altre co le quali è a cotatto e che si oppogoo al suo movimeto. Cosicché itoro a ciascua particella si origia u oda di cui essa è il cetro. I sitesi il pricipio afferma che tutti i puti di u frote (t) possoo essere cosiderati sorgeti putiformi di ode sferiche secodarie aveti la stessa frequeza dell oda pricipale. Dopo u tempo Δt la uova posizioe del frote (t + Δt) sarà la superficie di iviluppo di queste ode secodarie. Il campo complessivo è dato dalla sovrapposizioe dell oda primaria co quelle di ordie superiore. Pur essedo ato per studiare i feomei lumiosi, questo pricipio, può essere esteso per la previsioe di tutti i feomei odulatori. a) b) d λ ig. 3 - Diffrazioe: a) λ < d, b) λ > d. d.5 Rifrazioe La rifrazioe è u feomeo per il quale la curvatura del percorso delle ode soore cambia quado passao da u mezzo elastico a u altro, i cui la velocità di propagazioe è diversa. U esempio si può avere quado co ua temperatura calda e u clima umido i suoi distati vegoo percepiti co estrema chiarezza. Questo è giustificabile co ua iversioe di temperatura, ovvero il terreo si raffredda velocemete e gli strati d aria divetao più caldi rispetto a quelli i prossimità del suolo. I altre parole, se la temperatura dell aria è maggiore di quella della superficie, le ode si direzioao all igiù verso la superficie per effetto della rifrazioe. Questo feomeo viee descritto tramite la legge di Sell, secodo cui il rapporto tra il seo dell agolo geerato da u raggio icidete su ua superficie e quello geerato dal raggio rifratto è uguale al rapporto iverso degli idici di rifrazioe dei mezzi attraversati dai raggi: siα siα ic rifr c v siα siα ic rifr L idice di rifrazioe è defiito come: dove c è la velocità della luce e ν è la velocità dell oda attraverso u certo mezzo di propagazioe. Perciò la relazioe precedete può essere riscritta come: v v I realtà, el caso di u oda soora, la rifrazioe è rappresetata sempre dal rapporto dei sei uguale, però, al rapporto tra la velocità el mezzo rifragete e la velocità el primo mezzo: siα v ic siα v rifr Quidi, l oda soora o si avvicia alla ormale al piao di icideza el mezzo, co idice di rifrazioe, ma si allotaa per ritrovarsi parallela a prima del mometo di icideza quado si ripassa al mezzo co idice di rifrazioe >. 0 Elettroica e Telecomuicazioi N gosto 00

5 c u s t i c a r c h i t e t t o i c a.6 Risoaza i tubi e corde La risoaza è u feomeo fisico per il quale u corpo elastico iizia a vibrare a ua certa frequeza propria dopo essere stato eccitato co ua certa eergia. Per aalizzare meglio il feomeo è utile valutare il comportameto di u oda all itero di u tubo, i tre codizioi differeti, e di ua corda..6. Tubi pareti chiuse: questo caso è equivalete allo studio del comportameto delle ode stazioarie (figura 4). seguito di u opportua eccitazioe, il tubo risuoa alla frequeza propria per ua lughezza di λ/ e per frequeze superiori. L ampiezza p che si crea dalla sovrapposizioe delle ode è data dalla relazioe: ig. 4 - Tubo co pareti chiuse. ig. 5 - Tubo co lato aperto. p p max x cosπ λ ( cos πf t) Da otare è la preseza di tre zoe odali Nota i prossimità delle pareti e al cetro. ua parete chiusa: i questo caso è possibile verificare u feomeo meo ovvio di quato si possa pesare, ovvero: dalla parte aperta del tubo è possibile otare ua riflessioe parziale dell oda soora. Questo fatto è spiegabile poiché la velocità del suoo i u grade volume d aria è leggermete differete rispetto al caso i cui l area è limitata a causa dell effetto di attrito delle pareti, così le ode all itero del tubo trovao codizioi di trasmissioe differeti sull apertura a causa della variazioe d impedeza el mezzo. La riflessioe o è mai completa, ma viee riflessa soltato ua parte dell eergia, a secoda delle dimesioi del tubo. Tuttavia, i alcui casi può essere sufficiete per dare origie al feomeo delle ode stazioarie. I figura 5 è possibile vedere la rappresetazioe del tubo aperto da u lato. Nel modo di vibrazioe più semplice la lughezza del tubo si approssima a λ/4. Si approssima i quato la lughezza acustica del tubo o corrispode esattamete alla lughezza fisica. ig. 6 - tubo co pareti aperte. La lughezza acustica è data dalla somma l+a, dove l è la lughezza fisica del tubo, metre a corrispode a u parametro di correzioe Nota. Da questo si deduce come la miima frequeza di risoaza sia: v f ris 4( l + a) dove corrispode al umero dell armoica (,,3,...) diverso da 0. Per quato riguarda la pressioe, è da otare che è ulla i prossimità del lato aperto del tubo, metre è massima i prossimità del lato chiuso. Nota - puti i cui l oda diretta e quella riflessa si itersecao e l ampiezza è pari a 0. Nota - ormalmete equivale a 0,6 r, dove r è il raggio. Elettroica e Telecomuicazioi N gosto 00

6 c u s t i c a r c h i t e t t o i c a pareti aperte: i questo caso (figura 6), il valore l corrispode a metà della lughezza d oda (λ/). Siccome le pareti laterali soo aperte etrambe, è ecessario apportare ua doppia correzioe, quidi la lughezza acustica vale l+a. É da otare, ioltre, che i questo caso, a differeza del primo co le pareti chiuse, i prossimità delle pareti ci siao due vetri Nota 3. La frequeza di risoaza viee quidi descritta dalla seguete relazioe: v f ris ( l + a) Bisoga ifie otare che i tutti e tre i casi, l oda soora trova el tubo, chiuso e aperto, u amplificatore aturale. Il tubo può amplificare fio a 0 db il segale eccitatore..6. Vibrazioi elle corde Per valutare le vibrazioi prodotte elle corde si assume che la loro lughezza sia maggiore del loro spessore e che siao flessibili. La velocità di u oda trasversale corrispode a: T v m dove T è la tesioe della corda, metre m è la massa per uità di lughezza. alogamete a quato descritto per i tubi, si cosidera il modo semplice di vibrazioe come quello del caso i cui alle estremità ci siao due vetri (ad esempio el tubo aperto ad etrambe le estremità), cioè λ l. Di cosegueza, la miima frequeza di vibrazioe è: l T m Le armoiche prodotte i ua corda vibrate dipedoo dalla atura e dalla modalità dell eccitazioe. Le ode logitudiali, ivece, hao ua velocità che corrispode a: y v ρ dove y è il modulo di Youg Nota 4, metre ρ è la desità. Cosiderado ad esempio l acciaio ( y 0 N/m e ρ 8 03 kg), si ha che v 500 m/s. L espressioe per la miima frequeza per le ode logitudiali è: l y ρ Sostituedo dei valori rilevati, si è evideziato come la frequeza per le vibrazioi logitudiali sia maggiore rispetto a quella per le vibrazioi trasversali..7 Riverbero Ogi volta che u oda soora colpisce ua superficie all itero di u ambiete ha origie, come detto, ua riflessioe, che a sua volta darà origie ad altre, e così via. Siccome la velocità di propagazioe del suoo è elevata ( 340 m/s), i pochi cetesimi di secodo dall uscita del suoo dalla sorgete la staza è immersa i riflessioi che si aggiugoo e modificao il suoo diretto. La somma delle riflessioi viee detto riverbero, e, quidi, il campo sooro costituito dall isieme delle ode (ogua caratterizzata da u certo ritardo temporale e da u certo livello di atteuazioe) viee detto campo di riverberazioe..7. Tempo di riverberazioe Uo dei parametri più importati per valutare la qualità acustica di u ambiete è il tempo di riverberazioe o tempo di Sabie, idicato comuemete co la sigla T 60, che idica il tempo ecessario affiché la desità media dell eergia soora dimiuisca di 60 db. Geeralmete per ambieti poco riverberati il valore del T 60 è miore di u secodo, metre per ambieti molto riverberati è maggiore di due secodi. Nota 3 - puti i cui l ampiezza geerata tra la prima e la secoda oda è massima. Nota 4 - è dato dal rapporto tra la forza applicata σ e l allugameto relativo ε. Elettroica e Telecomuicazioi N gosto 00

7 c u s t i c a r c h i t e t t o i c a Il calcolo del T 60 può essere effettuato tramite due equazioi: equazioe di Sabie: forisce risultati accurati el caso i cui il valore medio dei coefficieti di assorbimeto dei materiali cosiderati sia iferiore a 0.. Trascurado gli effetti di assorbimeto dell aria sopra i 4 khz si ottiee la seguete relazioe: T 60 6 V S α dove V è il volume della staza espresso i m 3, S è la superficie -esima dell -esimo materiale che costituisce le pareti della staza espressa i m e α è il coefficiete di assorbimeto dell esimo materiale corrispodete. equazioe di Eyrig: viee utilizzata quado il valore medio dei coefficieti di assorbimeto è maggiore di 0, e per frequeze iferiori a 4 khz. l deomiatore viee aggiuto u termie per cosiderare l assorbimeto dell aria alle alte frequeze: T V S l( α ) Dove S è la superficie totale della staza, metre α è il coefficiete di assorbimeto medio dei materiali preseti ella staza..7. Tempo di riverberazioe ottimale Nello studio della progettazioe acustica di ua sala è ecessario teere coto o solo dell architettura della sala ma ache del suo volume, dell arredameto dell ambiete e dell assorbimeto complessivo, co e seza le persoe all itero. É chiaro che la progettazioe dipede espressamete dal fie di utilizzo della sala e, quidi, ache il tempo Tempo di riverberazioe a 500 Hz [s],5,5 0,5 0 di riverberazioe dovrà essere differete i base all obiettivo. Risulta quidi ecessario cosiderare il cocetto di tempo di riverberazioe ottimale, che caratterizza i vari ambieti. I figura 7 è riportato u grafico che evidezia alcui tempi di riverberazioe tipici i fuzioe del volume. Il colore del suoo tede a essere brillate se la riverberazioe agisce sulle frequeze alte, metre apparirà cupo se vegoo esaltate le basse frequeze. Quidi si può affermare che per u buo ascolto il tempo di riverbero alle basse frequeze deve essere più alto: T 60 (bf) > T 60 (af)..7.3 Distaza di riverberazioe La distaza di riverberazioe è defiita come la distaza dalla sorgete per cui il campo possa essere cosiderato diffuso. Si cosidera u ambiete riverberate co ua sorgete S e u ascoltatore. Il livello di pressioe L t percepito dall ascoltatore è dato dalla somma di due pressioi: la radiazioe diretta L d, che rappreseta il livello di pressioe soora SPL (Soud Pressure Level) che arriva direttamete all ascoltatore, e la radiazioe riflessa L r, che rappreseta il livello di pressioe soora dovuta alle riflessioi. ig. 7 - Tempi di riverberazioe tipici di alcui ambieti. Sala da cocerto Studio radiofoico Chiesa Studio TV Volume della sala [m 3 ] Sala cofereze Elettroica e Telecomuicazioi N gosto 00 3

8 c u s t i c a r c h i t e t t o i c a Per cui: L t L d + L r La distaza di riverberazioe può essere calcolata mediate la relazioe: r r S 0.5 α 0.06 π.7.4 Esempio: effetto del riverbero sul parlato Per spiegare l effetto della riverberazioe, si può cosiderare u esempio i cui l iflueza del riverbero è evidete: si cosidera ua parola di due sillabe, come ad esempio casa. Si suppoe che la sillaba...sa si trovi a 5 db sotto il livello di picco della prima sillaba e che raggiuga il proprio picco 0,3 s dopo la prima. Etrambi i suoi soo trasitori che crescoo e decadoo velocemete. I figura 8 viee raffigurato lo schema dei fattori: la sillaba ca... raggiuge il picco a u livello fissato arbitrariamete a 0 db all istate t 0, successivamete decade a secoda del tempo di riverberazioe della staza (come ipotesi si cosidera che sia di 0,5 s). La secoda sillaba raggiuge il picco, come detto, 0,3 s dopo e decade sempre i 0,5 s. I questa situazioe V T 6 0 la sillaba...sa o viee mascherata dalla prima. Se ivece il tempo di riverberazioe della staza fosse maggiore di 0,5 s, ad esempio,5 s (raffigurato co le liee tratteggiate), la secoda sillaba sarebbe completamete mascherata. L effetto pricipale di u eccessiva riverberazioe è quidi quello di compromettere l itelligibilità del parlato (cosa molto comue i ambieti come chiese e palestre), mascherado i suoi cosoatici di livello iferiore. Da questo esempio si può quidi cocludere come i ambieti come parlatori, o comuque adibiti per l ascolto del parlato, il tempo di riverberazioe deve essere iferiore rispetto ad ambieti come sale da cocerto..8 Criteri Eergetici La fisiologia dell apparato uditivo umao o permette di distiguere i suoi molto ravviciati el tempo (50 ms el caso del parlato e 80 ms el caso della musica) e le riflessioi vegoo spesso iterpretate come parte del suoo diretto. L eergia che arriva prima di 50 ms si chiama eergia utile, perché i cotributi delle riflessioi si sommao al suoo diretto, metre l eergia che arriva dopo si chiama 0,3 s 0 Livello relativo di pressioe [db] db ca......sa T 60 0,5 s T60,5 s ,5,5 Tempo [s] ig. 8 - Effetto della riverberazioe sul parlato. 4 Elettroica e Telecomuicazioi N gosto 00

9 c u s t i c a r c h i t e t t o i c a eergia daosa, perché rischia di daeggiare la percezioe soora. Per valutare il cotributo eergetico, la orma ISO 338 Nota 5 cosidera tre idici: defiizioe, chiarezza e speech trasmissio. Defiizioe Nota 6 : misura la chiarezza co la quale l ascoltatore percepisce il messaggio parlato. È defiito come il rapporto tra l eergia utile e l eergia totale. D C 50 ms 0 m s m s 0 m s 80 p ( t) dt p ( t) dt 0 m s dove t 0 è l istate i cui giuge l impulso diretto. I valori ottimali soo compresi tra 0,3 e 0,7. Chiarezza Nota 7 : misura la possibilità di percepire itidamete ote musicali suoate i rapida successioe. È il rapporto tra l eergia soora ricevuta ei primi 80 ms del suoo diretto e quella che giuge successivamete, espresso i db. p ( t) dt p ( t) dt 80 m s I valori ottimali soo compresi tra - db e + db. STI: è u parametro per valutare l itelligibilità del parlato. È defiito come u rapporto di eergie. 0 0 m s p ( t) dt 0 ms STI 0 m s p ( t) dt 0 m s Nota 5 - stabilisce le procedure da seguire per la determiazioe del tempo di riverbero egli auditori. Nota 6 - Early Eergy ractio. Nota 7 - Early to late Soud Idex..9 Eco L eco è u feomeo fisico prodotto dalla riflessioe delle ode soore cotro u ostacolo, causata dalla discotiuità del mezzo di propagazioe. Le ode riflesse torao all emettitore co ua certa itesità e u certo ritardo i modo da poter essere percepite separatamete da quella diretta. Spesso si tede a cofodere erroeamete l eco co il riverbero. I due feomei si differeziao, ifatti, per due parametri: il ritardo co cui l oda riflessa tora all emettitore e la distaza tra la sorgete e l ostacolo. ffiché si parli di eco, il ritardo o deve essere iferiore a /0 di secodo, metre la distaza miima deve essere pari a 7 m. Il valore di quest ultimo parametro o è casuale: se ifatti si cosidera che la velocità del suoo i aria a 0 C è 340 m/s e che il ritardo è /0 di secodo, allora risulta che, i aria, il percorso totale è 34 m, cioè 7 m dalla sorgete all ostacolo e 7 m per il percorso iverso. 3. Elemeti di progettazioe acustica degli ambieti chiusi La progettazioe acustica di u ambiete rappreseta u problema complesso da aalizzare a causa della grade quatità di fattori che ifluiscoo, e tutto ciò risulta amplificato el caso i cui si cosiderio ambieti chiusi. Restrigedo l attezioe, per il mometo, soltato agli aspetti fisici, esistoo modelli di calcolo che permettoo di fare previsioi quatitative utili ell ambito dell acustica tecica. Spesso, per u ambiete chiuso si distigue il problema della descrizioe a bassa frequeza da quello ad alta frequeza, ovvero è possibile defiire l ambiete di dimesioi piccole o gradi a secoda della frequeza d iteresse. Come parametro di misura si cosidera la lughezza d oda e i particolare il rapporto tra le dimesioi lieari del locale e la lughezza d oda. d esempio, ua dimesioe media dieci volte più grade della lughezza d oda defiisce u ambiete di gradi dimesioi. Elettroica e Telecomuicazioi N gosto 00 5

10 c u s t i c a r c h i t e t t o i c a l z Se si cosidera la gamma di frequeze dell udito umao, la lughezza d oda i aria a 0 Hz è pari a 7 m, metre a 0 khz è,7 cm. 3. Descrizioe modale La teoria modale permette di dare ua descrizioe del suoo egli spazi chiusi molto accurata, i quato è i grado di rappresetare i modo preciso gli aspetti della feomeologia odulatoria che spesso o vegoo cosiderati da altri modelli. Per chiarire il cocetto è opportuo cosiderare la seguete situazioe. Si cosideri u ambiete parallelepipedo (figura 9), i cui gli spigoli, orietati lugo i tre assi, soo di lughezza l x, l y, e l z. ll origie del sistema di assi cartesiai viee collocata ua sorgete putiforme, che pulsa secodo la legge armoica semplice alla frequeza agolare ω co ampiezza P 0. Ioltre, si cosiderao le superfici itere come uiformi e poco assorbeti. La soluzioe dell equazioe delle ode, co il termie dovuto alla sorgete, ota come equazioe di Helmotz o omogeea, forisce il valore della pressioe soora p(x,y,z) come somma di ua serie di fuzioi complesse p (x, y, z). Ciascua fuzioe ig. 9 - Staza parallelepipeda co sorgete putiforme. p (x, y, z) rappreseta u modo aturale dell ambiete: ψ p ( x, y, z) p ( x, y, z) dove l ampiezza del geerico modo è data dall espressioe: πx πy πz x y z ( x, y, z) cos cos l l cos l x y z ρ v ωp 0 0 p ( x, y, z) ψ ( x, y, z) V 4ω k + dove: ( ω ω ) ρ 0 è la desità dell aria ell ambiete espressa i kg/m 3 ; ω è la frequeza agolare della sorgete; ω è la frequeza agolare aturale del modo ; V è il volume dell ambiete; k è la costate di smorzameto del modo ; ψ (x, y, z) è la forma modale per il modo, che esprime la dipedeza dell ampiezza del modo dalle coordiate spaziali: co x, y, z 0,,,3,...; La precedete relazioe evidezia come ogi modo sia idividuato da ua tera di umeri iteri, detti umeri modali, oguo dei quali può assumere qualsiasi valore a partire da 0. La dipedeza spaziale di ciascu modo corrispode a u campo stazioario tridimesioale dovuto a coppie di ode piae di uguale ampiezza e frequeza, che viaggiao i verso cotrario lugo traiettorie rettiliee idividuate dai rapporti x /l x, y /l y, z /l z. z I modi si distiguoo i tre categorie: y l y sorgete putiforme x l x modi assiali: le ode compoeti viaggiao lugo ua direzioe parallela ad u asse coordiato e iteragiscoo co la coppia di superfici cotrapposte e ortogoali all asse cosiderato. Questi modi soo cotraddistiti da u solo 6 Elettroica e Telecomuicazioi N gosto 00

11 c u s t i c a r c h i t e t t o i c a umero modale o ullo, quidi la tera si preseta come ( x, 0, 0), (0, y, 0) o (0, 0, z ). Siccome dipedoo da ua sola coordiata si defiiscoo ache modi moodimesioali. modi tageziali: le ode compoeti viaggiao lugo direzioi apparteeti a piai paralleli ai piai coordiati e iteragiscoo co due coppie di superfici cotrapposte ortogoali al piao coteete le direzioi di propagazioe. I questo caso la tera è caratterizzata da u solo umero ullo, quidi si preseta come ( x, y, 0), ( x, 0, z ) o (0, y, z ). Si defiiscoo ache modi bidimesioali. modi obliqui: le ode compoeti si propagao secodo direzioi oblique rispetto agli assi coordiati e iteragiscoo co tutte le coppie di superfici cotrapposte del parallelepipedo. I umeri modali soo tutti diversi da 0, quidi, i modi ( x, y, z ) soo detti modi tridimesioali. Da ciò si può affermare che: egli otto vertici del parallelepipedo tutti i modi cotribuiscoo alla pressioe soora. al cetro dell ambiete soo ulli tutti i modi per i quali almeo uo dei tre umeri modali è dispari. Quidi solo /8 dei modi dispoibili cotribuisce alla pressioe soora i quel puto. al cetro di ciascua faccia del parallelepipedo maca il cotributo dei modi co due umeri modali dispari. Questo comporta che solo /4 dei modi possibili può cotribuire alla pressioe soora ei puti cosiderati. al cetro di ogi spigolo del parallelepipedo maca il cotributo dei modi co u umero modale dispari. Quidi solo la metà dei modi possibili può cotribuire alla pressioe soora i questi puti. Le frequeze di risoaza dei modi soo date dalla relazioe: f ω c π l x x + l y y z + lz Per quato detto, u ambiete parallelepipedo può ig. 0 - Modo assiale. ig. - Modi tageziali. ig. - Modi obliqui. Le figure 0, e soo tratte da M. riguellio, custica dei piccoli ambieti (semiario al Politecico del 009) Elettroica e Telecomuicazioi N gosto 00 7

12 c u s t i c a r c h i t e t t o i c a essere cosiderato come u sistema multirisoate. Rimae ifie da capire come poter determiare quati modi possoo essere eccitati i risoaza facedo variare la frequeza tra 0 e f e chiarire il cocetto di desità modale. Il umero di modi può essere calcolato tramite la seguete relazioe: 3 4πf V N 3 3c πf S + + 4c f + L 8c Bibliografia L. Scopece: L audio per la televisioe, Roma, Gremese, 009. Everest. lto: Mauale di acustica, Milao, Hoepli, 996. R. Spagolo: Mauale di acustica applicata, Milao, Città degli studi, 008. dove V è il volume dell ambiete, S è l area totale delle superfici, metre L è la somma delle lughezze degli spigoli del parallelepipedo. I realtà, per ambieti relativamete gradi gli ultimi due addedi possoo essere trascurati, quidi la formula precedete si approssima come: 3 4πf V N 3 3c La desità modale rappreseta il umero di frequeze di risoaza all itero di ua bada uitaria itoro alla frequeza f e può essere calcolata cosiderado la derivata della formula precedete rispetto alla frequeza: d N ( f ) d f 4πf V 3 c Dato u certo volume V, la desità modale cresce co il quadrato della frequeza. Questo comporta che alle basse frequeze pochi modi cotribuiscoo i modo efficace alla pressioe soora ell ambiete, per cui il livello di pressioe soora i regime permaete siusoidale fluttua spostadosi da puto a puto ell ambiete. lle alte frequeze, ivece, corrispode u elevata desità di modi e le fluttuazioi di livello si riducoo muovedosi all itero dell ambiete. 8 Elettroica e Telecomuicazioi N gosto 00