Dinamica reticolare. oscillazioni intorno all equilibrio: longitudinali. trasversali. forza di richiamo elastica (trattazione classica):

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1 oscillazioi itoro all equilibrio: Diamica reticolare logitudiali x - x x + x + x +3 X - X X + X + X +3 a x trasversali x - x x + x + x +3 X - X X + X + X +3 a x forza di richiamo elastica (trattazioe classica): F β ( ξ ξ ) β ( ξ ξ+ ) (b logitudiale oppure b trasversale )

2 Diamica reticolare Sistema di equazioi per descrivere il moto classico di oscillatori accoppiati M d ξ dt β ( ξ + ξ+ ξ ) oda soora defiita solo ei puti X i cui si trovao gli atomi ξ ξ o e i( ωt kx ) ξ o e i( ωt ka ) massima ampiezza umero d oda pulsazioe

3 Soluzioi: Diamica reticolare ik( ) a ik( + ) a ika ka Mω β (e + e e ) 4β se ω ka se sigificato di k: - è u umero d oda - k mi p /L p /Na co Numero totale di atomi - è quatizzato ; valori possibili: k m k mi, co m itero - k max p /a i realtà k può avere tutti i valori fio a ifiito, metre w è periodico i k co periodo pari a p /a fi vettore del reticolo reciproco (foglio EXCEL vibrazioi.xls ) β M

4 Oscillazioi di u reticolo lieare di 4 atomi k k mi.5 - L k k mi m m umero di odi - - k 3 k mi m 3

5 Oscillazioi di u reticolo lieare di 4 atomi.5 k 47 k mi m47, le oscillazioi soo idetiche a quelle co m k 46 k mi m46, le oscillazioi soo idetiche a quelle co m k 45 k mi m45, le oscillazioi soo idetiche a quelle co m3

6 periodicità el reticolo reciproco w mx b /M ω β M ka se k -4p /a -p /a - p /a p /a p /a 4p /a -6,3 prima zoa di Brouilli - w varia fra e w mx (i u oda soora ell aria, o c è limite superiore); - f mx frequeza di taglio o frequeza di Debye ; - il feomeo è periodico i k, co periodo pari a G p /a, vettore del reticolo reciproco; - la velocità di propagazioe, v dw /dk, è massima e circa costate per piccoli k (velocità del suoo el materiale), tede a zero per kfi ± p /a (oda stazioaria)

7 quatizzazioe delle vibrazioi: i fooi è lecito trattare il moto classicamete? NO! Le codizioi soo simili a quelle dei moti vibrazioali delle molecole eergia classica di vibrazioe (oscillatore isolato): E vib / b x fi tutte le ampiezze x di oscillazioe soo permesse co cotiuità; fi tutte le eergie E di oscillazioe soo permesse co cotiuità eergia quatistica di vibrazioe (oscillatore isolato): E v hω( v +/ ) fi soo permesse solo eergie quatizzate

8 eergia classica media di oscillatori accoppiati alla frequeza w (dipede dall ampiezza x o a quella frequeza) : quatizzazioe delle vibrazioi el solido: i fooi ( ) / βξ <E ω > ( ω ) vib o eergia quatistica media alla frequeza w per oscillatori accoppiati: < ( ω) > hω( v + / E vib ) u fooe ha: - eergia E fo hω - quatità di moto p fo hk - viaggia alla velocità v dω /dk umero di fooi (oscillatori eccitati) alla frequeza w è simile a u fotoe, ma, a differeza del fotoe: - ha ua frequeza massima, f Debye - ha bisogo del cristallo per propagarsi - ha oscillazioi sia trasversali sia logitudiali

9 Evideze sperimetali dell esisteza dei fooi evideze dirette: diffrazioe aelastica da eutroi termici Perché i eutroi? E fo hω, ev λ π / k - m per i fotoi: eergia fi ifrarosso λ fi raggi X U eutroe termalizzato : E p λ c 3 m 4 πhc πhc k hc p c k B T c E ev ev 4 evm 9 m 3 ev

10 Evideze sperimetali dell esisteza dei fooi evideze dirette: diffrazioe aelastica da eutroi termici E fo hω, ev λ π / k - m E eutro termico»,4 ev l eutroe termico» - m diffrattometro di eutroi a tre assi E, p E r p E r p ' ' + hω r + hk f f E, p evideze idirette: calori specifici dei solidi