Gli elettroni nei cristalli

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Dino Cappelli
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1 Gli lttroi i cristalli sio i ua disio: VVa fuzio d oda lttroica: dv risolvr l quazio di Schrödigr i rsza di u otzial riodico co si risolv il robla r il sigolo lttro: fi fuzio d oda ch riscchia la riodicità dl otzial fi bad di rgia rss bad di rgia roibit co si tratta il robla l caso di olti lttroi: fi atisitrizzazio dlla fuzio d oda fi ccaica statistica quatistica fi statistica di Fri Dirac

2 gli lttroi i cristalli sio i ua disio: VVa u g a i u g a i atoo sigolo fl livlli rgtici sigoli du atoi fl livlli rgtici sdoiati olti atoi fl ultiltti di livlli rgtici

3 fuzio d oda lttroica 7 odi 3 odi odo ssu odo

4 livlli rgtici lttroici gli lttroi occuao i livlli rgtici a artir dal iù basso, risttado il riciio di Pauli a i atoico il solido si fora a ua distaza di quilibrio tal da iiizzar l rgia colssiva dgli lttroi ch occuao i livlli distaza di quilibrio

5 bad di rgia 4a olti lttroi r atoo: fi riito fio al livllo 4 fi distaza di quilibrio a 4a 4i fi 4atoico 3a 4i 3a 3atoico 3i a 3i a atoico i i atoico

6 bad di rgia ochi lttroi: fi si riioo solo i rii livlli fi distaza di quilibrio a a a fi 4atoico 3atoico atoico i i atoico

7 oto di u lttro i u otzial riodico: soluzio foral sio i ua disio: VVa Hailtoiaa: H V l hailtoiaa è ivariat r traslazioi di asso a riodica: HHa fuzio d oda: Hy y ach y dv ssr ivariat r traslazioi? No cssariat, a y dv ssrlo y y a

8 il tora di Bloch r soddisfar la codizio y ya la fuzio d oda dv otr ssr scritta co y ik u co u ivariat r traslazioi : u ua y è chiaata oda di Bloch vrifica dl tora di Bloch: co cosguza dll ivariaza traslazioal, y uò diffrir da ya al iù r ua fas: ifatti: ya ia y ya ika ua ika ik u ika y ia y co a ka, ua u

sigificato fisico dll oda di Bloch: è il rodotto di - u oda iaa ik fi lttro libro - ua fuzio u idtica sotto traslazioi di u asso rticolar a u fi fuzio d oda i viciaza dl sigolo atoo fuzio d oda di

9 sigificato fisico dll oda di Bloch: è il rodotto di - u oda iaa ik fi lttro libro - ua fuzio u idtica sotto traslazioi di u asso rticolar a u fi fuzio d oda i viciaza dl sigolo atoo fuzio d oda di Bloch ik h k ik fi costat dl oto fi k buo uro quatico otzial odulator riodico V grad: fi si art dalla fuzio d oda riodica si iclud l fftto dlla fas ik fi arossiazio di lga fort otzial odulator riodico V iccolo: fi si art dall oda di lttro libro si corrgg r l fftto di V fi lttroi di coduzio i talli; fi quatu corral

10 fuzio d oda: ik ik a ψ a ψ a ika otzial riodico: arossiazio di lga fort ik a u a ik a u a a a quival a cabiar - V a rgia V ,- - otziali coulobiai,, z agstro si - atoica 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0,00 - s f - f f z agstro

11 arossiazio di lga fort f -a è soluzio dll quazio di Schrödigr r l lttro ll atoo isolato a a a a H at at Sostitudo ll quazio di Schrödigr r l lttro l rticolo: j ika at a ja H ψ ψ ika j ika a ja a V H ψ j ika ika a ja a a H ψ j ika ika at a ja a H ψ livllo di rgia atoica odifica dovuta all altr buch di otzial dl rticolo

12 rgia dia: arossiazio di lga fort ψ H ψ ika * at a j ja ψ ψ C ika a dov C < y y> at C C ika * a * a j j ja a ja ika a si - atoica rgia V 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0,00 s otziali coulobiai z agstro z agstro j attrazio da art dll buch vici tri di sovraosizio o di risoaza si - atoica 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04-0,0 rgia V 0,00 s otziali coulobiai z agstro j z agstro

13 arossiazio di lga fort { } { } a ik ika a ik ika coul at a a a C a a a C * * liitadosi ai rii vicii : { } ika ika coul at a a a C * coska ov coul at dov: { } ov j coul a a a C a ja a C * *

14 trii di ovrla -a <0 otzial attrattivo fl ovrla ositivo: f -a f --a hao lo stsso sgo fl cotributo gativo all rgia di ovrla k8 k i k4 k i fl ovrla gativo f -a f --a hao sgo oosto fl cotributo gativo all rgia di ovrla k k i kk i

15 a artir da ciascu livllo atoico ria zoa di Brouilli arossiazio di lga fort ovrla at coul -/a 0 /a -G/ G/ k at coul ov coska

16 bad 4atoico 4i 3a 3atoico 3i a atoico i atoico a i

17 bad di rgia rss bad roibit

18 bad di rgia rss bad roibit

19 bad rss roibit lla ria zoa di Brouilli ccitazio radiativa da ua bada alla bada surior s rssa dal riciio di Pauli 3i g 3i - a a i g i - a a sol3-8

20 Hailtoiaa di ua articlla libra: H Il robla dl trasorto fuzio d oda: Hy y ik h k ik 5 0 lttro libro fi costat dl oto fi k buo uro quatico rgia V 5 0 hk vlocità di gruo: rlazio di disrsio arabolica v ω hω hk k h k h k 5 k agstro^ v k

21 vlocità di fas vlocità di gruo 4 od k Å - ; k,05 Å - k 3, Å - ; k 4,5 Å - du od k Å - k,05 Å - aizza,5,0 0,5 0,0-0,5 od sigol 5,0 4,0 3,0 sovraosizio -,0 -, agstro aizza,0,0 0,0 -,0 -,0-3,0-4,0-5,0 D 5,0 4,0 3,0,0,0 0, ,0 60 aizza sovraosizio agstro -,0 D Dk» -3,0-4,0? h?k?? πh h -5, agstro

22 oto dll lttro libro i rsza di ua forza stra v i rsza di ua forza stra, dovuta ad s. a u cao lttrico, il acchtto ch all istat t avva u crto uro d oda k o vlocità v o, all istat tdt ha uro d oda k o dk vlocità v o dv co: F dv dt ; h d dk ; h dk dv d dk dv dk F h dk dt d h dk dv dk h dk h dk r l lttro libro, d /dk costat, quidi costat r F rgia V r l catodo DV l schro lttro libro k agstro^ v dk k

23 oto di u lttro l cristallo i rsza di ua forza stra r F r l DV i rsza di ua forza stra, dovuta ad s. a u cao lttrico, il acchtto di od di Bloch ch all istat t avva u crto uro d oda k o vlocità v o, all istat tdt ha uro d oda k o dk vlocità v o dv co: v h k h d dk r l lttro l cristallo, d /dk o è costat, quidi o è costat fi assa fficac zo di assa fficac gativa l lttro si coorta co s avss carica lttrica ositiva fi buca

24 oto di u lttro l cristallo i rsza di ua forza stra riflssio al bordo di zoa

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all equilibrio: = n diff drift

all equilibrio: = n diff drift ma d q d q diff drift diff drift ε µ ε µ all quilibrio: drift drift diff diff V > ε V bi V diff diff dcrsc dcrsc crsc crsc drift drift ivariata ivariata crsc crsc quidi è crsct co V, dirtta da s vrso V