Appunti sulla relazione di dispersione E(k) nei cristalli

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1 M. RUDAN APPUNTI SULLA RELAZIONE DI DISPERSIONE NEI CRISTALLI 1 Apputi sulla relazioe di dispersioe Ek) ei cristalli M. Ruda I. LA FUNZIONE LAGRANGIANA LA legge del moto di u puto materiale di massa m si scrive F = ma, 1) i cui le compoeti dell accelerazioe a sarao idicate el seguito co ẍ i t), i = 1, 2, 3. La forza F dipede, el caso più geerale, dalle compoeti x i t) della posizioe r del puto materiale, dalle compoeti ẋ i t) della velocità u = ṙ di esso, e dal tempo t. Di cosegueza, le tre compoeti scalari della legge del moto 1) hao la forma ẍ i = 1 m F ir, ṙ, t), i = 1, 2, 3. 2) Dal mometo che elle 2) la forma delle F i è assegata, le 2) costituiscoo u sistema di tre equazioi differeziali del secodo ordie el tempo, elle icogite x i. Le tre equazioi soo tra loro accoppiate poiché i secodi membri cotegoo ache le compoeti della posizioe e della velocità co idici diversi da i. Le 2) soo lieari elle derivate secode ẍ i, metre soo lieari o meo elle x i e ẋ i a secoda della forma delle F i. Le 2) possoo riscriversi i ua forma otevole itroducedo la fuzioe lagragiaa L. Essa è ua fuzioe scalare L = Lr, ṙ, t) tale che le tre equazioi differeziali d L = L, i = 1, 2, 3 3) dt ẋ i x i siao ordiatamete idetiche alle 2). Le 3) soo dette equazioi di Lagrage. No è detto che per espressioi delle F i assegate ad arbitrio esista ua lagragiaa. Tuttavia, se le forze derivao da u eergia poteziale V = V r), cioè se F i = F i r) = V x i, 4) si verifica facilmete che la lagragiaa esiste e vale L = T V, T = 1 2 mu2 = 1 2 mẋ2 1 + ẋ ẋ 2 3), 5) essedo T l eergia cietica del puto materiale. Ifatti, osservado che V o dipede dalle compoeti della velocità, si trova L = T = mẋ i, 6) ẋ i ẋ i E. De Castro Advaced Research Ceter o Electroic Systems, e Dipartimeto di Elettroica, Iformatica e Sistemistica, Uiversità di Bologa, Viale Risorgimeto 2, I Bologa. quidi d L = mẍ i. 7) dt ẋ i Poi, osservado che T o dipede dalle compoeti della posizioe, si trova L = V = F i. 8) x i x i Uguagliado la 8) alla 7) si ottiee la 2) per ciascu idice i, il che dimostra che le 3) soo equivaleti alle 2). Si oti che el caso particolare cosiderato come esempio cioè F i = V/ x i ) le compoeti della forza o dipedoo dalla velocità del puto materiale e o hao ua dipedeza esplicita dal tempo. Le 3) soo dette equazioi di Lagrage, e la fuzioe p i = p i t) defiita, per ogi idice i, dalla p i = L ẋ i, 9) è detta mometo coiugato alla coordiata x i. Le due fuzioi x i t) e p i t) soo ache dette variabili caoiche coiugate. Quato detto si geeralizza al caso i cui, aziché u solo puto materiale, si cosidera u sistema di N puti materiali iterageti. Suppoedo per semplicità che il sistema o sia soggetto a vicoli, i gradi di libertà di esso sarao s = 3N. Idicado co r j il vettore posizioe del jmo puto materiale, j = 1,...,N, la compoete della forza e la lagragiaa si scriverao F i = F i r 1, ṙ 1,..., r N, ṙ N, t), 10) L = Lr 1, ṙ 1,...,r N, ṙ N, t), 11) dove l idice i della compoete della forza varia su tutti i gradi di libertà del sistema, cioè i = 1,...,s. La defiizioe del mometo p i coiugato alla coordiata x i è data sempre dalla 9), e le equazioi di Lagrage soo idetiche alle 3) co l uica differeza che la lagragiaa dipede dalla posizioe e dalla velocità di tutti i puti materiali, e l idice i varia su tutti i gradi di libertà: d L = L, i = 1,...,s. 12) dt ẋ i x i Se la forza deriva da u eergia poteziale V r 1,..., r N ), si ha F i = F i r 1,..., r N ) = V, 13) x i e vale acora la 5) co T = N j=1 1 2 m ju 2 j, u j = ṙ j. 14)

2 M. RUDAN APPUNTI SULLA RELAZIONE DI DISPERSIONE NEI CRISTALLI 2 Si può otare che applicado la 9) al caso i cui la forza deriva da u eergia poteziale si ottiee, per il puto materiale di idice j, p j = m j u j, dove p j è il vettore formato dalle tre compoeti mometo del puto materiale cosiderato. I altri termii, il mometo di u puto materiale coicide co la quatità di moto di esso. Questo risultato o è geerale, ma vale solo el caso di forze derivati da u eergia poteziale e se si adotta u sistema di coordiate cartesiae ortogoali. II. COORDINATE GENERALIZZATE Il sistema di coordiate cartesiae ortogoali o è l uico possibile, e spesso è più coveiete usare u sistema diverso. Di cosegueza, è ecessario determiare come si trasformao le relazioi del paragrafo I i seguito a ua trasformazioe di coordiate. Le uove coordiate verrao idicate co q i, i = 1,...,s e sarao chiamate coordiate geeralizzate. Le corrispodeti derivate rispetto al tempo, q i, sarao chiamate velocità geeralizzate. Si oti che le q i o hao ecessariamete le dimesioi di ua lughezza si pesi ad esempio al caso delle coordiate polari), e quidi le q i o hao ecessariamete le dimesioi del rapporto fra ua lughezza e u tempo. Le leggi di trasformazioe dalle coordiate cartesiae ortogoali alle uove coordiate soo relazioi del tipo q i = q i x 1,..., x s, t), i = 1,...,s. 15) Il tempo può apparire esplicitamete elle 15) perché il uovo sistema di riferimeto può essere mobile rispetto al vecchio. Si suppoe che le 15) siao ivertibili, cioè che esistao le x i = x i q 1,...,q s, t), i = 1,...,s. 16) Ua volta assegate le 15), si calcolao le q i = q i x 1, ẋ 1,...,x s, ẋ s, t), i = 1,...,s 17) semplicemete applicado le regole della derivazioe. Nello stesso modo, dalle 16) si calcolao le ẋ i = ẋ i q 1, q 1,..., q s, q s, t), i = 1,...,s. 18) A questo puto si possoo itrodurre le 16) e le 18) ella 12), otteedo le equazioi di Lagrage espresse i fuzioe delle coordiate geeralizzate. Il risultato otevole è che la forma delle equazioi resta idetica: co d L = L, i = 1,...,s, 19) dt q i q i L = Lq 1, q 1,...,q s, q s, t). 20) Per il mometo coiugato a q i si usa lo stesso simbolo itrodotto el caso delle coordiate cartesiae ortogoali: p i = L q i, i = 1,...,s. 21) Combiado la 21) co la 19) si ottiee ṗ i = L q i, i = 1,...,s. 22) Dal mometo che L dipede dalle q i e dalle q i, oltre che dal tempo, le 21,22) esprimoo p i e ṗ i i fuzioe delle q i, delle q i, e del tempo. Ioltre, dalla 19) si trova che [q i ] [p i ] = [L] [t], 23) dove si soo usate le paretesi quadre per idicare le dimesioi. Le dimesioi della lagragiaa el sistema cartesiao ortogoale soo quelle di u eergia si pesi all esempio delle forze derivati da u eergia poteziale). Dal mometo che ua trasformazioe di coordiate o modifica le dimesioi della fuzioe trasformata, dalla 23) segue che il prodotto di due variabili caoiche coiugate ha sempre le dimesioi del prodotto di u eergia per u tempo. Tale prodotto viee chiamato azioe. Nell esempio del paragrafo I si ha p i = mẋ i e la proprietà espressa dalla 23) si verifica immediatamete. III. LA FUNZIONE HAMILTONIANA Come si è detto prima, la 21) esprime p i i fuzioe delle q i, delle q i e del tempo: p i = p i q 1, q 1,...,q s, q s, t), i = 1,...,s. 24) Se il sistema delle 24) è ivertibile, da esso si possoo ricavare le q i i fuzioe delle q i, delle p i e del tempo: q i = q i q 1, p 1,...,q s, p s, t), i = 1,...,s. 25) Si cosideri ora la fuzioe defiita dalla s H = p i q i L, 26) i=1 ella quale, grazie alle 25), le velocità geeralizzate soo espresse i fuzioe delle coordiate geeralizzate q i e dei mometi coiugati p i. Ne risulta H = Hq 1, p 1,...,q s, p s, t). 27) La fuzioe H è detta fuzioe hamiltoiaa del sistema di puti materiali cosiderato. Si può dimostrare che, usado la fuzioe hamiltoiaa, si ottegoo le equazioi di Hamilto q i = H p i, ṗ i = H q i, i = 1,...,s, 28) che soo equivaleti alle equazioi di Lagrage 19) per la descrizioe della diamica del sistema cosiderato. Si può otare che ogi coppia 28) rappreseta due equazioi differeziali del primo ordie el tempo elle icogite q i e p i, metre ogua delle 19) è u equazioe del secodo ordie elle q i che sia del secodo ordie è evidete dal fatto che la lagragiaa cotiee le q i, e quidi la derivazioe rispetto al tempo che appare al primo membro delle 19) produce le derivate secode delle q i ). I altri termii, il sistema di s equazioi del secodo ordie della formulazioe lagragiaa è sostituito da u sistema di 2s equazioi del primo ordie ella formulazioe hamiltoiaa. Le codizioi iiziali ecessarie per risolvere il problema soo 2s sia ella formulazioe lagragiaa che i quella hamiltoiaa. Ifatti, el primo caso le equazioi da risolvere soo s, ma ciascua richiede due codizioi perché è del secodo

3 M. RUDAN APPUNTI SULLA RELAZIONE DI DISPERSIONE NEI CRISTALLI 3 ordie tipicamete q i t = 0) e q i t = 0)). Nel secodo caso le equazioi da risolvere soo 2s, ma ciascua richiede solo ua codizioe perché è del primo ordie q i t = 0) per la prima equazioe della coppia e p i t = 0) per la secoda). Nel caso delle forze derivabili da u eergia poteziale V, e usado le coordiate cartesiae ortogoali, si trova H = T + V, 29) dove el caso del sigolo puto materiale si ha T = 1 2m p2 = 1 2m p2 1 + p2 2 + p2 3 ), V = V r). 30) Ivece, per u sistema di N puti materiali si ha T = N j=1 1 2m j p 2 j, V = V r 1,...,r N ). 31) Per esempio, applicado le equazioi di Hamilto 28) alla 30) si trova, dalla prima, e dalla secoda q i = H p i = T p i = ẋ i, 32) ṗ i = H q i = V q i = F i. 33) D altra parte, come osservato el paragrafo II, i questo caso si ha ache p i = mẋ i. Quidi, iseredo questa relazioe ella prima delle 32) e combiado il risultato co la 33), si trova la legge del moto mẍ i = F i. Lo stesso risultato si trova quado si cosidera u sistema di N puti materiali aziché u sigolo puto materiale. Si oti che, ell esempio della forza derivabile da u eergia poteziale, l espressioe dell eergia cietica T della formulazioe hamiltoiaa i coordiate cartesiae ortogoali, data dalla prima delle 30) el caso del sigolo puto materiale, si ricava da quella della formulazioe lagragiaa, cioè la prima delle 5), semplicemete sostituedo u 2 co p 2 /m 2. Aalogamete, per u sistema di N puti materiali si passa dalla 14) alla 31) sostituedo u 2 j co p2 j /m2 j. U altra proprietà che si dimostra el caso di forze derivabili da u eergia poteziale è che l hamiltoiaa o dipede esplicitamete dal tempo ed è ua costate del moto. Usado le coordiate cartesiae ortogoali, H = Hx 1, p 1,..., x s, p s ) = cost. 34) I altri termii, oostate che tutte le coordiate e tutti i mometi siao i geerale variabili el tempo, essi si combiao ell hamiltoiaa i modo tale che quest ultima resti costate. Prededo ad esempio il caso del sigolo puto materiale, questa proprietà si dimostra facilmete cosiderado il lavoro esercitato dalla forza F durate u itervallo ifiitesimo di tempo dt a partire dall istate t, durate il quale il puto materiale varia la propria posizioe della quatità dr. Osservado che dr = udt, dove u è la velocità del puto materiale all istate t, il lavoro vale F dr = F udt = m u udt, 35) i cui l ultima relazioe si trova dalla legge del moto F = ma esprimedo l accelerazioe come derivata della velocità. D altra parte, l ultimo termie a destra della 35) vale m u udt = m 2 du u) dt dt = 1 2 mdu2 ) = 1 2m dp2 ). 36) Ioltre, ricordado che le compoeti della forza soo le derivate dell eergia poteziale cambiate di sego, il primo termie a siistra della 35) vale F dr = gradv dr = dv, 37) e quidi rappreseta la variazioe dell eergia poteziale del puto materiale dovuta allo spostameto dr. Perciò la 35) implica che ell itervallo di tempo dt sia ulla la variazioe della quatità p 2 /2m) + V. Di cosegueza, la somma p 2 /2m)+V è ua costate del moto. Come oto, tale costate è detta eergia totale e viee di solito idicata col simbolo E. U ultima osservazioe, sempre relativa a ua forza derivabile da u eergia poteziale, è la seguete. Ciò che determia il moto di u puto materiale è la forza, metre l eergia poteziale è ua fuzioe ausiliaria che permette di esprimere le leggi del moto co u formalismo più geerale. Dal mometo che l eergia poteziale, se esiste, è quella fuzioe defiita i modo tale che la forza e sia il gradiete, è evidete che l eergia poteziale V è defiita a meo di ua costate additiva arbitraria. Al cotrario, l eergia cietica T è defiita seza costati arbitrarie. Di cosegueza, sempre el caso i cui la forza deriva da u eergia poteziale, ache l eergia totale H = T + V = E è defiita a meo di ua costate additiva arbitraria. Il valore della costate o ha essu effetto sulla descrizioe del moto. Questa, ifatti, è otteuta co le equazioi di Hamilto 28), elle quali la costate additiva viee comuque elimiata quado si calcolao le derivate parziali. I ogi caso, quado si studia u problema diamico la costate additiva dell eergia poteziale viee automaticamete assegata quado si prescrive la dipedeza fuzioale di V dalle coordiate, e ciò fissa di cosegueza ache il valore dell eergia totale, che come ricordato prima è ua costate del moto. IV. COMMENTI La trattazioe svolta fiora ha itrodotto cocetti, i particolare quello di fuzioe lagragiaa e fuzioe hamiltoiaa, la cui importaza o può essere apprezzata del tutto sulla base del semplice esempio delle forze ricavabili da u eergia poteziale. Ifatti, tale esempio può essere trattato co le teciche della fisica elemetare, e le geeralizzazioi descritte o sembrao apportare vataggi sostaziali. Al cotrario, la formulazioe lagragiaa e hamiltoiaa della meccaica soo estremamete importati, perché si applicao seza modificazioi ache al caso di forze più geerali di quelle esamiate ell esempio, e i qualuque sistema di coordiate. Ioltre, esse cosetoo di ricavare direttamete iformazioi importati sul sistema i esame, ad esempio, sulle costati del moto e sulle proprietà d ivariaza dovute a particolari simmetrie del sistema. Ifie, il formalismo lagragiao e hamiltoiao può essere esteso a sistemi che o soo formati

4 M. RUDAN APPUNTI SULLA RELAZIONE DI DISPERSIONE NEI CRISTALLI 4 da particelle, ad esempio i campi, e allo studio dei problemi quatistici. Quato detto ei precedeti paragrafi si riferisce a ua descrizioe della diamica basata sul cocetto di puto materiale e sull ipotesi che gli effetti relativistici siao trascurabili. Quado si studiao i dispositivi a stato solido, si trova che gli effetti relativistici soo acora trascurabili perché le velocità delle particelle all itero di u materiale soo comuque molto piccole rispetto a quella della luce. Ivece o soo più trascurabili gli effetti quatistici, dal mometo che le particelle devoo essere studiate su scala atomica. Di cosegueza è ecessario geeralizzare la trattazioe dei precedeti paragrafi. Per procedere, è utile cosiderare la fuzioe hamiltoiaa di u sigolo puto materiale, el caso di forze derivabili da u eergia poteziale. Essa è ua costate del moto E che, secodo quato detto alla fie del paragrafo III, può essere cosiderata completamete defiita ua volta che sia assegata la dipedeza dell eergia poteziale V r) dalle coordiate. Si può otare che per il calcolo della costate E è sufficiete assegare le codizioi iiziali del moto. Ifatti, assegado i valori di p 1, p 2 e p 3 all istate iiziale si fissa il valore iiziale dell eergia cietica T, e assegado i valori di x 1, x 2 e x 3 all istate iiziale si fissa il valore iiziale di quella poteziale. A questo puto l eergia totale E = T + V è assegata, e matiee lo stesso valore idipedetemete dall evoluzioe successiva delle variabili diamiche x i e p i. Si fissi ora u geerico istate di tempo, e si cosideri ua posizioe fissa r 0 dello spazio. L eergia poteziale si riduce perciò a ua costate ota V 0 e, di cosegueza, l eergia totale diveta ua fuzioe delle sole compoeti del mometo: E = Ep) = 1 2m p2 1 + p p 2 3) + V 0. 38) Naturalmete questa relazioe o è più utile per descrivere la diamica del puto materiale, dal mometo che il tempo e il puto soo stati fissati. Lo scopo della 38) è quello di mettere i evideza la relazioe fuzioale fra E e p. Per chiarire il sigificato si può pesare che l istate fissato sia quello iiziale, t = 0, e che il puto r 0 sia la posizioe iiziale del puto materiale. Per completare l assegazioe delle codizioi iiziali del moto devoo essere fissate ache le compoeti di p a t = 0. Dal mometo che esse possoo essere assegate ad arbitrio, agl ifiiti valori iiziali possibili delle compoeti di p corrispodoo ifiiti valori iiziali di T e quidi ifiiti valori della costate E. La 38) forisce apputo la relazioe co cui si calcola E. Come si vedrà el paragrafo V, è proprio la relazioe Ep) che viee profodamete modificata quado si passa al caso della diamica di u elettroe i u cristallo. Per questo, è opportuo mettere i evideza alcue proprietà della 38): 1) No ci soo limiti ai possibili valori delle compoeti di p e, di cosegueza, o ci soo limiti ai valori di E maggiori o uguali a V 0. 2) La relazioe Ep) è pari elle compoeti di p, cioè per ogi idice i si ha E p i ) = Ep i ). 3) Le compoeti di p, e di cosegueza E, variao co cotiuità ei rispettivi domii. V. DINAMICA DI UN ELETTRONE IN UN CRISTALLO Per quello che riguarda i cristalli, che soo oggetto di questa trattazioe, si suppogoo oti i segueti cocetti: 1) Co riferimeto al reticolo diretto: odo, vettore caratteristico a i, vettore di traslazioe l, vettore geerico r, cella elemetare, volume τ l = a 1 a 2 a 3 della cella elemetare. 2) Co riferimeto al reticolo reciproco scalato: odo, vettore caratteristico 2πb i co b 1 = a 2 a 3 /τ l ecc.), vettore di traslazioe g, vettore geerico k, cella elemetare, volume τ g = 2π) 3 b 1 b 2 b 3 della cella elemetare, zoe di Brilloui. 3) Relazioi fra le gradezze elecate ei precedeti puti, ad esempio τ l τ g = 2π) 3. Dal mometo che il volume τ l o dipede dalla forma della cella elemetare, si può sempre cosiderare il cristallo come formato dall uioe di celle elemetari di forma prismatica aveti i lati di lughezza uguale ai moduli di a 1, a 2 e a 3 rispettivamete. Idicado co N 1 il umero di celle secodo la direzioe di a 1, co N 2 e N 3 gli aaloghi umeri secodo le altre due direzioi, il umero totale delle celle del cristallo sarà N c = N 1 N 2 N 3, e il volume del cristallo sarà = N c τ l. Quado si descrive la diamica di u elettroe i u cristallo si può acora assumere che su di esso agiscao forze derivabili da u eergia poteziale. A sua volta, questa eergia poteziale è la somma di tre cotributi: il primo è dovuto alla preseza del cristallo, ed è periodico co la stessa periodicità del reticolo diretto; il secodo è dovuto a evetuali perturbazioi estere; il terzo è dovuto alle collisioi. La parte periodica dell eergia poteziale del sigolo elettroe è prodotta pricipalmete dalla preseza dei uclei, che i prima approssimazioe si cosiderao fissi elle posizioi di equilibrio. I realtà i uclei vibrao itoro alle posizioi di equilibrio, e ciò rede più complicata l iterazioe di essi co gli elettroi. Di ciò è possibile teer coto successivamete, e quidi le vibrazioi o verrao per ora cosiderate. U secodo cotributo al poteziale periodico è dovuto alla preseza di tutti gli altri elettroi del cristallo. Grazie al fatto che il umero di tali elettroi è molto grade, è possibile teer coto dell effetto che il campo, da essi prodotto, ha sull elettroe cosiderato, per mezzo di u campo medio che si somma a quello prodotto dai uclei. Questo approccio è di fodametale importaza perché permette di ridurre il calcolo alla soluzioe del problema diamico di ua sigola particella, aziché risolvere simultaeamete il problema di tutti gli elettroi accoppiati fra loro. Il secodo cotributo all eergia poteziale è quello dovuto a evetuali perturbazioi estere, che soo causate da u campo elettrico impresso e quidi soo derivabili da u poteziale. Il calcolo si estede seza difficoltà al caso i cui siao preseti ache forze magetiche. La trattazioe si basa sull ipotesi, sempre verificata i pratica, che le forze estere possao cosiderarsi spazialmete costati ella regioe i cui o è trascurabile la fuzioe d oda della particella a differeza di quelle dovute ai uclei, che variao di molti ordii di gradezza all itero di ua distaza iteratomica). I tal modo si può risolvere prevetivamete il problema della

5 M. RUDAN APPUNTI SULLA RELAZIONE DI DISPERSIONE NEI CRISTALLI 5 diamica i preseza dei soli uclei, aggiugedo poi l effetto delle forze estere co ua trattazioe perturbativa rispetto al caso già risolto. Ua volta coclusa la trattazioe perturbativa, si ottiee la descrizioe della diamica del cosiddetto volo libero della particella, cioè del moto della particella ell itervallo che itercorre tra due collisioi. Per collisioe s itede ua qualuque delle possibili iterazioi che la particella può subire el suo moto attraverso il cristallo, ad esempio: 1) Collisioe co i uclei. Come detto prima, i uclei o soo fissi elle posizioi di equilibrio, ma vibrao itoro a queste. Metre delle iterazioi co i uclei cosiderati fissi si è già teuto coto ei calcoli i cui l eergia poteziale viee cosiderata periodica, deve essere ora aggiuto il calcolo dell effetto delle vibrazioi dei uclei. L esito della collisioe di ua particella, ad esempio u elettroe, co i uclei, è descrivibile come u trasferimeto di eergia e mometo fra l elettroe e l isieme di tutti i uclei del cristallo. 2) Collisioe co u impurezza o u difetto presete el cristallo. 3) Iterazioe co ua radiazioe elettromagetica icidete. Questo effetto è descritto come ua collisioe della particella co u fotoe, e viee trattato i modo simile all iterazioe co i uclei. 4) Iterazioe fra particelle, ad esempio l iterazioe elettroe-elettroe. 5) Altri tipi, ad esempio l iterazioe co u iterfaccia molto importate ei dispositivi a caale superficiale). La trattazioe delle collisioi è alquato complicata o solo perché ci soo diversi tipi di collisioe, ma ache perché le forze coivolte soo molto itese quidi o è applicabile ua soluzioe perturbativa) e o soo periodiche quidi o soo applicabili le proprietà dei sistemi periodici che ivece possoo essere sfruttate ella parte di calcolo i cui i uclei soo cosiderati fissi). D altra parte, la trattazioe delle collisioi è esseziale per descrivere correttamete il trasporto di correte ei cristalli. Tipicamete, il completameto della trattazioe si svolge i due passi: 1) A partire dalla diamica della sigola particella, si applica ua descrizioe statistica basata sulla fuzioe di distribuzioe delle particelle. Il risultato di questo passo è l equazioe che descrive l evoluzioe della fuzioe di distribuzioe i asseza di collisioi. 2) Vegoo aggiuti gli effetti delle collisioi mediate u ulteriore termie, detto termie di collisioe, che descrive la variazioe el tempo della fuzioe di distribuzioe prodotta dalle collisioi. Il calcolo del termie di collisioe è svolto co le teciche proprie della meccaica quatistica, tipicamete usado ua procedura di calcolo della probabilità di trasizioe fra due stati quatici che viee idicata come regola d oro di Fermi. L equazioe complessiva così otteuta descrive l evoluzioe della fuzioe di distribuzioe i preseza di collisioi e viee detta equazioe del trasporto di Boltzma. Si trova che tale equazioe descrive co u ottimo grado di approssimazioe le proprietà del trasporto ei semicoduttori i molti casi di rilevate iteresse applicativo. La trattazioe della parte statistica esula dagli scopi di questi apputi, che ivece si propogoo d illustrare le relazioi che descrivoo il volo libero della sigola particella, mettedo i evideza le differeze rispetto alla trattazioe classica descritta ei paragrafi I, II, III, IV. Per comiciare, ache el caso della particella i u cristallo è defiibile ua fuzioe hamiltoiaa H = T + V, ella quale V = V r) è l eergia poteziale dovuta alle sole forze estere. L effetto del poteziale periodico dei uclei, cosiderati fissi, è ivece iglobato ell eergia cietica T. Come aticipato sopra, l effetto delle collisioi o è qui cosiderato dal mometo che si vuole descrivere la diamica del volo libero. Il vettore r da cui dipede l eergia poteziale o rappreseta più la posizioe istataea della particella, ma il valor medio della posizioe calcolato usado come fuzioe peso il quadrato del modulo della fuzioe d oda della particella all istate cosiderato. Il vettore r appartiee al reticolo diretto. A sua volta, l eergia cietica T risulta essere ua fuzioe del vettore k, detto vettore d oda, che ha le dimesioi dell iverso di ua lughezza e appartiee al reticolo reciproco scalato. Il prodotto hk, dove h = h/2π) è la costate di Plack ridotta e h la costate di Plack, è il valor medio del mometo della particella calcolato ache qui co la fuzioe d oda della particella all istate cosiderato i questo caso, tuttavia, la fuzioe peso o è il quadrato del modulo della fuzioe d oda). Poichè il moto è coservativo, la fuzioe hamiltoiaa è ua costate del moto H = E, dove E è l eergia totale. Come si è fatto el caso classico, si fissi ora u geerico istate di tempo, e si cosideri ua posizioe fissa r 0 del reticolo diretto. L eergia poteziale si riduce perciò a ua costate ota V 0 e, di cosegueza, l eergia totale diveta ua fuzioe delle sole compoeti del vettore d oda: E = Ek) = Tk) + V 0. 39) Naturalmete questa relazioe o è più utile per descrivere la diamica del puto materiale, dal mometo che il tempo e il puto soo stati fissati. Lo scopo della 39) è quello di mettere i evideza la relazioe fuzioale fra E e k. Tale relazioe è profodamete diversa dalla Ep) del caso classico data dalla 38). Si ha ifatti che: 1) La fuzioe Ek) è periodica co u itervallo di periodicità pari alla prima zoa di Brilloui. I altri termii, se k è u vettore apparteete alla prima zoa di Brilloui, allora per qualuque vettore di traslazioe g si ha Ek+g) = Ek). La ragioe di questa proprietà è che Ek) è l autovalore di u equazioe differeziale i cui coefficieti soo periodici el reticolo diretto. 2) La fuzioe Ek) è polidroma. I altri termii, per ogi k esistoo diversi valori possibili dell eergia totale E 1 k), E 2 k),.... La ragioe di questa proprietà è che la particella è cofiata i u volume fiito rappresetato dal reticolo diretto. Il miimo di E è strettamete maggiore del miimo di V. Per u geerico idice r, la fuzioe E r k) è detta ramo della Ek). L isieme

6 M. RUDAN APPUNTI SULLA RELAZIONE DI DISPERSIONE NEI CRISTALLI 6 dei valori coperti da E r al variare di k ella prima zoa di Brilloui è detto bada di eergia. A secoda del tipo di cristallo, possoo esistere parti dell asse delle eergie o coperte da essua bada; tali parti si chiamao gap. Perciò, a differeza del caso classico i cui l eergia totale può assumere tutti i valori compatibili co quello dell eergia poteziale, el caso quatistico esistoo valori di eergia che la particella o può avere, che soo apputo quelli che cadoo ei gap. 3) La relazioe Ek) è pari elle compoeti di k, cioè per ogi idice i si ha E k i ) = Ek i ). Questa proprietà è del tutto idetica a quella già osservata el caso classico. Essa deriva dall ivariaza della fuzioe hamiltoiaa per iversioe del tempo, che vale i tutti i casi. 4) A differeza del caso classico, i cui il mometo p varia co cotiuità el proprio domiio che è ifiito), il vettore d oda k varia per salti discreti el proprio domiio che è la prima zoa di Brilloui). La ragioe è dovuta all ipotesi che, per ciascua direzioe a i, le proprietà fisiche della prima faccia del cristallo che è quella che passa per l origie del sistema di riferimeto r) siao uguali a quella dell ultima faccia che è quella che dista N i a i dalla prima). Questa ipotesi, ragioevole dal puto di vista fisico, viee detta ipotesi delle codizioi al cotoro periodiche. Essa coduce alla quatizzazioe di k, che risulta fuzioe di tre idici iteri 1, 2, 3 secodo la relazioe k = 1 N 1 2π b N 2 2π b N 3 2π b 3, 40) i = 0, 1, 2,..., N i 1. Di cosegueza, o solo la fuzioe Ek) è ripartita i rami E 1 k), E 2 k),... cotati da u idice discreto, ma ache i valori di eergia di ciascua bada E r k) soo quatizzati. I valori quatizzati di eergia di ciascua bada cioè le eergie E r 1, 2, 3 ) che si ottegoo teedo fisso r e variado gl idici i idipedetemete da 0 a N i 1) soo detti livelli eergetici della bada. Dal mometo che ogi idice i ella 40) può idipedetemete assumere N i valori diversi, il umero di vettori k distiti all itero della prima zoa di Brilloui sarà N 1 N 2 N 3 = N c. I vertici di tali vettori formao all itero della prima zoa di Brilloui u isieme di puti che, per ciascua direzioe 2πb i, soo equidistati, dato che si passa da uo qualuque di essi a quelli adiaceti modificado di u uità l idice itero i. Duque, la desità di tali puti si ottiee semplicemete dividedo N c per il volume τ g della prima zoa di Brilloui. Il risultato N c /τ g viee ache pesato come la desità dei vettori k. Col termie stato elettroico s itede l isieme di quattro idici 1, 2, 3, s, dove i primi tre idici soo quelli che defiiscoo il vettore k ella 40), metre s è u idice associato allo spi dell elettroe. Per assegati valori degli altri tre idici, s può assumere solo due valori distiti. Quidi, il umero di possibili stati elettroici distiti ella prima zoa di Brilloui sarà il doppio del umero di vettori k distiti. Aalogamete, la desità degli stati ello spazio del vettore k sarà il doppio della desità dei vettori k: Q k = 2 N c τ g = 2 /τ l τ g = 4π 3. 41) I calcoli che portao alla determiazioe di Ek) soo sempre svolti ell ipotesi che le proprietà fisiche del cristallo o dipedao dal puto. Di cosegueza, data ua geerica quatità estesiva dello spazio r, la corrispodete desità ello stesso spazio si ottiee semplicemete dividedo il valore della quatità estesiva i esame per il volume del cristallo. I particolare, la desità degli stati ello spazio a sei dimesioi r, k) si ottiee dalla 41) come Q = Q k = 1 4π 3. 42) Si potrebbe obiettare che i realtà l adameto del drogate i u semicoduttore o è quasi mai costate, e quidi cade i difetto l ipotesi di cristallo uiforme. I realtà la 42) cotiua a valere ache per u semicoduttore o uiforme, el modo illustrato qui di seguito. Ifatti, dal mometo che la cocetrazioe degli atomi di drogate è comuque piccola rispetto a quella degli atomi del semicoduttore, si trova che gli stati elettroici di u semicoduttore drogato possoo essere espressi come l uioe degli stati del semicoduttore o drogato, che dao luogo alla struttura a bade già discussa quidi idipedete dalla posizioe r e dotata della desità 42)), e di stati aggiutivi itrodotti dal drogate, la cui desità dipede dal puto secodo la distribuzioe spaziale del drogate e la cui eergia si colloca i u gap. I coclusioe, la desità degli stati del semicoduttore drogato è la somma della 42) e di ua fuzioe del puto, ota perché ricavabile dalla distribuzioe del drogate. È opportuo aggiugere che, ache i ua codizioe di equilibrio del semicoduttore, i preseza di ua cocetrazioe o uiforme di drogate le fuzioi di distribuzioe della bada di coduzioe e di valeza divetao ach esse fuzioi del puto. I altri termii, i u caso o uiforme gli stati dispoibili elle bade soo gli stessi del caso uiforme, ma i geerale gli elettroi si distribuiscoo i essi co ua cocetrazioe spaziale o uiforme. Di cosegueza, ache el caso dell equilibrio le gradezze che derivao dalla fuzioe di distribuzioe quali, ad esempio, le cocetrazioi degli elettroi e delle lacue, risultao essere fuzioi del puto. La defiizioe di stato elettroico data sopra può apparire alquato esoterica rispetto a quella classica, dove lo stato di ua particella è defiito come l isieme dei valori delle variabili diamiche che e defiiscoo il moto a u certo istate, cioè le compoeti della posizioe e del mometo all istate cosiderato. I realtà la defiizioe quatistica è aaloga a quella classica. Ifatti, usado ua defiizioe più geerale, lo stato quatistico di ua particella è costituito da ua fuzioe d oda calcolata a u certo istate. Usado le coordiate cartesiae e cosiderado ua particella vicolata i ua regioe fiita dello spazio, questa fuzioe dipede da r e da idici discreti. Se si prescide dallo spi, che o ha u corrispettivo classico, gli altri idici foriscoo k e, come detto i precedeza, hk è il valor medio del mometo della particella calcolato usado la fuzioe d oda.

7 M. RUDAN APPUNTI SULLA RELAZIONE DI DISPERSIONE NEI CRISTALLI 7 VI. MASSA EFFICACE Come si è detto el paragrafo V, ache el caso della particella i u cristallo è defiibile ua fuzioe hamiltoiaa H = T + V, ella quale V = V r) è l eergia poteziale dovuta alle sole forze estere. L effetto del poteziale periodico dei uclei, cosiderati fissi, è ivece iglobato ell eergia cietica Tk). L hamiltoiaa produce relazioi diamiche valide all itero di u volo libero. I coordiate cartesiae la forma di tali relazioi è ẋ i = H = T = u i, 43) hk i hk i h k i = H x i = V x i = F i. 44) La velocità di compoeti u i = ẋ i defiita dalle 43) viee ache detta velocità di gruppo. Aalogamete al caso classico, ache el caso qui cosiderato la coservazioe dell eergia si dimostra calcolado il lavoro esercitato dalla forza F durate u itervallo ifiitesimo di tempo dt a partire dall istate t, durate il quale il valor medio della posizioe della particella varia della quatità dr. Osservado che dr = udt, co u calcolata all istate t, il lavoro vale F dr = F u dt = h k u dt, 45) dove si è usata la 44). D altra parte, h kdt = d hk. Combiado questa relazioe co la 43) si trova F dr = d hk grad hk T = dt, 46) dove l ultimo passaggio è reso possibile dal fatto che T dipede da k e o da r. Ioltre, ricordado che le compoeti della forza soo le derivate dell eergia poteziale cambiate di sego, il primo termie a siistra della 45) vale F dr = gradv dr = dv, 47) e quidi rappreseta la variazioe dell eergia poteziale della particella materiale dovuta alla variazioe dr. Perciò la 45) implica che ell itervallo di tempo dt sia ulla la variazioe della quatità T + V. Di cosegueza, la somma T + V è ua costate del moto, che ache qui è l eergia totale della particella. Coviee otare che la derivazioe che porta a questo risultato o richiede i essu modo che vega prescritta la relazioe fuzioale T = Tk). La stessa osservazioe poteva essere fatta ache el caso classico, i cui il teorema dell eergia si sarebbe potuto dimostrare seza itrodurre la relazioe T = p p2 2 + p2 3 )/2m). Ivece, quello che viee meo el caso qui cosiderato è la relazioe di proporzioalità fra mometo e velocità, che el caso classico si scrive p i = mu i ed è dovuta alla relazioe quadratica fra T e le compoeti di p. Ivece Tk) o è quadratica, ma mostra ua piú complicata relazioe fuzioale fra T e k, che dipede dal tipo di cristallo. Di cosegueza, i due vettori u e hk o soo i geerale proporzioali fra loro: la relazioe u = uk) si calcola caso per caso a partire dalla 43) come u = 1/ h)grad k H. È ache iteressate determiare quale sia la relazioe corrispodete alla F = ma del caso classico che, come si ricorderà, è ricavabile dalle equazioi di Hamilto usado la defiizioe a i = u i e sfruttado la proporzioalità diretta fra p i e u i che qui ivece cade i difetto). Nel caso qui cosiderato, la geerica compoete a i dell accelerazioe si ricava derivado u i rispetto al tempo: a i = u i = u i hk 1 h k 1 + u i hk 2 h k 2 + u i hk 3 h k 3, 48) dove si è moltiplicato e diviso per h ogi termie i modo da mettere i evideza le compoeti della forza. Ricordado la u = 1/ h)grad k H e usado la 44) si trasforma la precedete ella a i = 1 h 2 2 ) H F H F H F 3. 49) k i k 1 k i k 2 k i k 3 Nelle 48,49) i coefficieti delle compoeti della forza hao le dimesioi dell iverso di ua massa. Idicado co ˆζ il tesore 3 3 simmetrico di compoeti ζ ij = 1 h 2 2 H k i k j 50) e ivertedo ˆζ, si trova il tesore massa efficace ˆm = ˆζ 1, ach esso simmetrico. I coclusioe, la relazioe F = ma del caso classico qui diveta F = ˆm a. 51) Naturalmete gli elemeti di ˆm cotiuao a dipedere da k e quidi dal tempo, dato che ell evoluzioe del moto della particella il vettore k dipede dal tempo. Perciò la sostituzioe della 51) alla coppia di equazioi di Hamilto 43,44) o comporta alcua semplificazioe del problema. D altra parte occorre ricordare che le 43,44) soo applicabili solamete durate il volo libero della particella, il che di fatto restrige la validità di tali equazioi a itervalli di tempo estremamete brevi. Ad esempio, a temperatura ambiete il volo libero i u semicoduttore come il silicio ha ua durata dell ordie del ps o meo. Di cosegueza, si può ammettere che la variazioe di k durate u volo libero sia abbastaza piccola da redere accettabile la sostituzioe di H co uo sviluppo i serie di poteze elle compoeti k i trocato al secod ordie, co le derivate calcolate ei valori delle k i all istate iiziale del volo libero. I questo modo, le compoeti del tesore di massa efficace divetao delle costati proprie del volo libero cosiderato. Se per lo sviluppo di H trocato al secod ordie si sceglie u puto di miimo di u ramo di Ek), la situazioe si semplifica ulteriormete dal mometo che la parte al prim ordie dello sviluppo si aulla, e la parte al secod ordie risulta ua forma quadratica defiita positiva. Come oto, ua forma quadratica simmetrica e defiita positiva è sempre diagoalizzabile co autovalori reali e positivi. Di cosegueza, è possibile passare dall attuale sistema di riferimeto ello spazio k a u uovo riferimeto, i cui il tesore massa efficace iverso assume la forma ˆζ = 1/m /m /m 3, 52)

8 M. RUDAN APPUNTI SULLA RELAZIONE DI DISPERSIONE NEI CRISTALLI 8 i cui i termii diagoali m i soo strettamete positivi e hao u valore che dipede dal miimo cosiderato. A sua volta, il tesore di massa assume la forma ˆm = m m ) 0 0 m 3 Dal mometo che l operazioe di diagoalizzazioe comporta la scelta di u uovo sistema di riferimeto ello spazio k, è ecessario scegliere cotemporaeamete u uovo riferimeto ello spazio r. Ifatti, i due gruppi di vettori caratteristici del reticolo diretto e del reticolo reciproco scalato dipedoo l uo dall altro. Idicado co k a il vettore d oda del miimo cosiderato, lo sviluppo trocato al secodo ordie omettedo per semplicità l idice del ramo) ha la forma Ek) E a + h2 δk 2 1 2m a1 + h2 δk 2 2 2m a2 + h2 δk 2 3 2m a3, 54) dove E a = Ek a ), δk i = k i k ai, e l idice a delle masse idica che le derivate secode della 50) soo calcolate per k = k a. Questo risultato viee ache idicato col termie approssimazioe delle bade paraboliche. Cofrotado la 54) co la 39) e osservado che el miimo deve essere T = 0, si trova che si deve idetificare E a co V 0 e la differeza E E a come lo sviluppo itoro a k a dell eergia cietica dell elettroe, trocato al secod ordie. Se la bada cosiderata è quella di coduzioe, allora si usa il simbolo E C al posto di E a per idicare il valore del miimo assoluto o dei miimi assoluti, se e esistoo diversi), e si usa il simbolo E e per idicare l eergia cietica E E C. Si può ache otare l aalogia formale fra la 54) e la 38) del caso classico. Usado la otazioe tesoriale si può riscrivere la 54) come Ek) E a + h2 2 δk ˆζδk, 55) dove ˆζ è dato dalla 52) co m i = m ai. Ioltre, usado la u = 1/ h)grad k H e osservado che grad k H = grad k E si ricava, dalla 55), hδk = ˆm u, 56) dove ˆm è dato dalla 53) co m i = m ai. Combiado questo risultato co le equazioi di Hamilto 43,44) si trova F i = h k i = m ia u i = m iaẍi 57) cioè, i forma tesoriale, F = ˆm a co il tesore di massa costate. Si ricoosce così che ell itoro di u miimo di ua bada la relazioe fra mometo e velocità e quella fra forza e accelerazioe soo lieari, come el caso classico. Tuttavia, a causa del fatto che i termii di ˆm possoo essere diversi fra loro, le 56,57) soo i geerale aisotrope. Ciò implica, i particolare, che u elettroe soggetto a ua forza estera F o è ecessariamete accelerato ella stessa direzioe della forza. Questo risultato o è particolarmete sorpredete se si pesa che ella relazioe Tk) è ascosto l effetto del poteziale periodico, la cui forza agisce sull elettroe simultaeamete a F. Cosiderazioi di carattere statistico mostrao che la maggior parte degli elettroi della bada di coduzioe dei semicoduttori tedoo a occupare stati prossimi ai miimi assoluti di tale bada. Perciò, lo sviluppo trocato al secod ordie ell itoro dei miimi assoluti coduce effettivamete a ua semplificazioe dello studio della diamica di tali elettroi. Ci si può chiedere se uo sviluppo trocato aalogo a quello discusso qui sopra debba essere calcolato ache per la dipedeza di H dal puto r dovuta all eergia poteziale V. Ciò o è i realtà ecessario, dal mometo che la trattazioe delle forze estere si basa, come detto el paragrafo V, su u approccio perturbativo. Tale approccio comporta che le forze estere abbiao ua dipedeza molto debole dal puto, tato da poter essere cosiderate costati all itero del volo libero. Per cocludere, si può osservare che uo sviluppo di Ek) trocato al secod ordie può essere calcolato ache ell itoro di u massimo di ua bada. Questo calcolo viee effettivamete svolto per descrivere la diamica delle lacue, e coduce ache i questo caso a u tesore di massa diagoale. Cosiderazioi che esulao dallo scopo di questi apputi mostrao che ella descrizioe della diamica delle lacue è ecessario itrodurre u sego egativo ella defiizioe degli elemeti del tesore di massa. Ciò compesa il fatto che ell itoro di u massimo le derivate secode di Ek) soo egative. VII. DENSITÀ DEGLI STATI IN ENERGIA Si cosideri u geerico vettore k della prima zoa di Brilloui, e u secodo vettore di compoeti k i +dk i otteute variado di quatità ifiitesime le compoeti di k. I questo modo si defiisce u volumetto d 3 k = dk 1 dk 2 dk 3. Ricordado la 41), il umero di stati el volumetto sarà dn = Q k d 3 k. L uso di ifiitesimi potrebbe essere cosiderato improprio dal mometo che le compoeti di k dipedoo da idici discreti. Tuttavia, si deve osservare che il umero di celle elemetari del reticolo è molto grade: ad esempio, la cocetrazioe del silicio è dell ordie di atomi/cm 3, pari a atomi/µm 3, quidi la cocetrazioe di celle i ua direzioe è dell ordie di 10 3 celle/µm. Di cosegueza è accettabile l uso di quatità ifiitesime e delle derivate che itervegoo elle cosiderazioi che seguoo. Si cosideri ora ua tera di fuzioi α = αk 1, k 2, k 3 ) β = βk 1, k 2, k 3 ) η = ηk 1, k 2, k 3 ), 58) che si suppogoo ivertibili, cioè tali che esistao le k 1 = k 1 α, β, η) k 2 = k 2 α, β, η). 59) k 3 = k 3 α, β, η) Se si cosiderao le 58) come le relazioi di ua trasformazioe di coordiate, vale come oto la d 3 k = J dα dβ dη, 60)

9 M. RUDAN APPUNTI SULLA RELAZIONE DI DISPERSIONE NEI CRISTALLI 9 dove Jα, β, η) è il determiate jacobiao della trasformazioe di coordiate: J = k 1/ α k 1 / β k 1 / η k 2 / α k 2 / β k 2 / η. 61) k 3 / α k 3 / β k 3 / η Dal mometo che Q k = /4π 3 ) è costate rispetto a k e quidi o è ifluezato dalla trasformazioe, si avrà dn = Q k d 3 k = Q k J dα dβ dη. 62) La 62) mostra che il prodotto Q k J è la desità degli stati ello spazio α, β, η). Se ora si itegrao ambo i membri della 62) su α e β, dn = dη Q k J dα dβ, 63) il primo membro della 63) rappreseta, per costruzioe, il umero di stati ell itervallo dη. Di cosegueza, la quatità gη) = Q k Jα, β, η) dα dβ 64) è la desità degli stati ello spazio η. Di particolare rilevaza è il caso i cui si sceglie ηk) = E r k), i cui E r è u ramo di Ek). I questo caso, g = ge) è la desità degli stati i eergia del ramo cosiderato, e γe) = ge)/ è la corrispodete desità degli stati i eergia e volume. Le altre due fuzioi α e β si scelgoo i modo coveiete a secoda della forma di E r. Ad esempio, se il ramo ha simmetria sferica, cioè se E r k) = E r k ), coviee scegliere ua trasformazioe i coordiate polari i cui α e β soo i due agoli. Si oti che la relazioe 54) che si ottiee ell approssimazioe delle bade paraboliche può essere sempre ridotta a ua forma sferica usado le quatità h δk i / 2m ai come variabili ausiliarie. VIII. FUNZIONE D ONDA Nei precedeti paragrafi si è usato il termie fuzioe d oda e si soo descritte qualitativamete le operazioi di media co cui si calcolao alcue gradezze diamiche d iteresse. I questo paragrafo e ei successivi soo esposti gli aspetti formali della teoria. Come i precedeza, si cosidera la diamica di ua sigola particella di massa m, soggetta a ua forza derivabile da u eergia poteziale V che i geerale si suppoe dipedere ache dal tempo. Per evitare coflitti di simboli, le coordiate spaziali sarao idicate qui co ξ ξ 1, ξ 2, ξ 3 ). Sarà perciò V = V ξ, t). Ua volta assegata V, si defiisce l operatore hamiltoiao H. = h2 2m 2 ξ + V, 65) dove il pedice idica che le derivate soo calcolate rispetto alle variabili ξ. La diamica della particella è descritta, el modo che sarà meglio specificato più avati, dalla fuzioe d oda ψ = ψξ, t). Tale fuzioe si determia risolvedo l equazioe di Schrödiger dipedete dal tempo Hψ = j h ψ t, 66) corredata da opportue codizioi al cotoro e iiziali. I particolare, trattadosi di u equazioe del primo ordie el tempo, deve essere prescritta la codizioe iiziale ψ 0 ξ) = ψξ, t = t 0 ), 67) dove t 0 è u geerico istate che può farsi coicidere co l origie del tempo. Per quato riguarda le coordiate spaziali, l equazioe di Schrödiger è del secodo ordie. Le codizioi al cotoro soo prescritte caso per caso a secoda del problema cosiderato. A questo proposito coviee prelimiarmete osservare alcui aspetti dell equazioe: La 66) ha i coefficieti complessi, quidi la soluzioe ψ è complessa. La 66) è omogeea. Dal mometo che le codizioi al cotoro, come risulterà subito, soo ach esse omogeee, la soluzioe è defiita a meo di ua costate moltiplicativa arbitraria. Poiché la 66) è del secodo ordie rispetto alle coordiate spaziali, ψ e le sue derivate prime ψ/ ξ i soo spazialmete cotiue. Ivece, le derivate secode possoo essere discotiue, a secoda della forma di V. La soluzioe della 66) potrebbe coteere dei termii che e fao divergere il modulo. Se ciò avviee, tali termii vao scartati perché soo icompatibili col sigificato fisico di ψ quest ultimo è discusso piú sotto). Date queste premesse, per discutere le codizioi al cotoro è ecessario cosiderare separatamete i possibili casi. 1) Il domiio spaziale della ψ è fiito. I altri termii, è dispoibile u iformazioe sulla atura del problema trattato, che cosete di affermare che ψ è ideticamete ulla al di fuori di u certo domiio. Di cosegueza, a causa della cotiuità, la fuzioe d oda deve aullarsi sul cotoro di. La codizioe al cotoro è perciò omogeea. Ua volta scartati gli evetuali termii divergeti, risulterà fiito, oltre che reale, l itegrale ψ 2 d 2 ξ. 2) Il domiio spaziale della ψ è ifiito, ma la forma di ψ è tale che l itegrale ψ 2 d 2 ξ è fiito. Se ciò avviee, è ecessario che ψ sia evaescete quado il modulo di ξ diveta arbitrariamete grade. Ache i questo caso le codizioi al cotoro soo omogeee asitoticamete). È opportuo otare che, i liea di pricipio, l itegrale ψ 2 d 2 ξ di questo caso e del precedete dipede dal tempo. Di ciò sarà discusso piú sotto. 3) Il domiio spaziale della ψ è ifiito, e la forma di ψ è tale che l itegrale ψ 2 d 2 ξ diverge. Se ciò avviee, o è a causa del fatto che ψ 2 diverga ifatti, come detto prima, evetuali termii divergeti devoo essere scartati a priori). Per far divergere l itegrale è sufficiete che ψ teda asitoticamete a ua costate, o addirittura sia asitoticamete evaescete, ma co u decadimeto troppo debole. Questo caso può presetarsi, e va trattato a parte: tipicamete, l aalisi delle codizioi al cotoro viee svolta usado u domiio fiito, che poi viee fatto crescere idefiitamete. Si

10 M. RUDAN APPUNTI SULLA RELAZIONE DI DISPERSIONE NEI CRISTALLI 10 trova ache i questo caso che ψ è defiita a meo di ua costate moltiplicativa arbitraria. Nel paragrafo IX soo svolte alcue cosiderazioi che permettoo d idetificare il sigificato fisico di ψ. IX. EQUAZIONE DI CONTINUITÀ Dall equazioe di Schrödiger 66) può ricavarsi u equazioe formalmete idetica a u equazioe di cotiuità. Per questo, si cosiderao la 66) e la complessa coiugata. Osservado che H è reale si trova ψ t = 1 j h Hψ, ψ t = 1 j h Hψ. 68) Calcolado la derivata temporale di ψ 2 = ψψ si ricava ψ 2 t = ψ ψ t + ψ ψ = 1 t j h ψ Hψ ψ Hψ ). 69) Sostituedo la 65) ella 69) e cacellado i termii coteeti V si trova ψ 2 = j h ψ 2 ψ ψ 2 ψ ). 70) t 2m D altra parte vale l idetità ψ 2 ψ ψ 2 ψ = div ψ ψ ψ ψ ) 71) da cui, defiedo il vettore J ψ. = j h 2m ψ ψ ψ ψ), 72) si ottiee l equazioe di cotiuità ψ 2 + div J ψ = 0. 73) t Si oti che ella defiizioe 72) di J ψ compare la differeza dei vettori ψ ψ e ψ ψ, che soo l uo il complesso coiugato dell altro. La loro differeza è perciò immagiaria. Di cosegueza, l uità immagiaria j della 72) rede J ψ reale, come deve essere osservado il primo membro della 73). Per discutere il sigificato della 73) coviee ripredere l esame delle codizioi al cotoro. Se si itegra la 73) su u geerico domiio si trova ψ 2 d 3 ξ = d ψ 2 d 3 ξ = J ψ ν dσ, 74) t dt dove Σ è il cotoro di e ν il versore ormale uscete da Σ. Se si cosiderao i due casi di codizioi al cotoro discusse prima, l aullarsi di ψ al cotoro comporta l aullameto di J ψ su Σ. Perciò si aulla l ultimo membro della 74) e si ha ψξ Σ, t) = 0 d ψ 2 d 3 ξ = 0, 75) dt cioè ψ 2 d 3 ξ = cost. A questo puto si può usare la costate moltiplicativa arbitraria per imporre la codizioe ψξ Σ, t) = 0 ψ 2 d 3 ξ = 1, 76) che viee chiamata codizioe di ormalizzazioe. Si oti che, ei due casi cosiderati, è l itero domiio di defiizioe Σ di ψ. Si oti ache che la 76) stabilisce le dimesioi di ψ: ifatti, ψ 2 ha le dimesioi dell iverso di u volume. L esisteza della codizioe di ormalizzazioe permette di ricavare il sigificato fisico di ψ el modo che segue: Si postula che la fuzioe d oda ψ possa veire usata per la descrizioe della diamica della particella. Duque essa deve forire u iformazioe, fra l altro, sulla posizioe istatatea di questa. Alla fuzioe d oda è associata ua quatità reale ψ 2 che, co l eccezioe del possibile caso di o ormalizzabilità, ha la proprietà ψ 2 d 3 ξ = 1. Questa proprietà è aaloga a quella delle distribuzioi di probabilità. Si postula che l itegrado ψξ, t) 2 d 3 ξ, che evidetemete è u umero compreso fra 0 e 1, sia la probabilità ifiitesima che all istate t la particella sia el volume ifiitesimo d 3 ξ. Da ciò segue che ψ 2 è la desità di probabilità. Ioltre, per u geerico volume fiito, l itegrale 0 ψ 2 d 3 ξ 1 77) è la probabilità che all istate t la particella sia el volume. Se si idica co Σ il cotoro di, applicado la 73) si trova ache d dt ψ 2 d 3 ξ = J ψ ν dσ, Σ 78) dove il secodo membro è i geerale o ullo perché è diverso da. Questa relazioe permette di idividuare il sigificato di J ψ. Ifatti, il primo membro della 78) è la variazioe el tempo della probabilità di localizzare la particella i. Per aalogia co l equazioe di cotiuità della diamica macroscopica si pesa allora che la probabilità di localizzazioe della particella fluisca attraverso il cotoro di. Il vettore J ψ viee perciò chiamato desità di flusso di probabilità. Coviee aggiugere che el caso della diamica macroscopica i cocetti statistici si applicao a ua collettività di particelle, metre qui essi si applicao a ua particella sigola. Noostate l aalogia formale, ci soo perciò differeze sostaziali fra i due casi. A coclusioe di questa parte si può osservare che, el caso di ormalizzabilità della fuzioe d oda, l itegrale di ψ 2 su tutto il domiio di defiizioe è idipedete dal tempo. Ciò scioglie la riserva idicata sopra. Ioltre, l iterpretazioe di ψ 2 come desità di probabilità giustifica il fatto che evetuali soluzioi divergeti dell equazioe di Schrödiger debbao essere scartate. Le cosiderazioi fi qui svolte devoo essere modificate el caso i cui la fuzioe d oda o sia ormalizzabile. Se ciò avviee, ifatti, l itegrale di ψ 2 esteso a tutto lo spazio diverge. Tuttavia, covergoo gl itegrali estesi su volumi fiiti, ad esempio e. È perciò possibile calcolare il rapporto di tali itegrali, ψ 2 d 3 ξ = α ψ 2 d 3 ξ. 79)