Capitolo 3 ANALISI DI RETI A MICROONDE. 3.1 Impedenze, tensioni e correnti equivalenti

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1 Capitolo 3 ANALISI DI REI A MICROONDE 3. Impedeze, tesioi e correti equivaleti Alle frequeze delle microode la misura di tesioi e correti è difficile (o addirittura impossibile) a meo che o sia dispoibile ua coppia di morsetti chiaramete defiite. ale coppia di morsetti può essere presete el caso delle liee tipo EM (come cavi coassiali, microstrisce o striplie) ma o esiste per le liee o EM (come guide d oda rettagolari, circolari o WG superficiali). I fig. 3. soo riportate le liee di campo elettrico e magetico per ua liea di trasmissioe EM a due coduttori arbitraria. Fig. 3.: Le liee di campo elettrico e magetico per ua liea EM a due coduttori arbitrari. La tesioe del coduttore + rispetto al coduttore può essere calcolata come: Edl (3.) dove il cammio di itegrazioe parte dal coduttore positivo e termia sul coduttore egativo. E importate sottolieare che, a causa della atura elettrostatica dei campi trasversi tra i due coduttori, la tesioe defiita dall equazioe (3.) è uica e o dipede dalla forma del cammio di itegrazioe. La correte totale che fluisce sul coduttore positivo può essere determiata applicado la legge di Ampere:

2 Apputi di microode I Hdl (3.) C dove il cotoro di itegrazioe è u qualsiasi percorso chiuso che racchiude il coduttore positivo (ma o il coduttore egativo). Per le ode viaggiati può essere defiita l impedeza caratteristica 0 come: 0 (3.3) I A questo puto dopo aver defiito e determiato ua tesioe, ua correte e l impedeza caratteristica (e suppoedo di cooscere la costate di propagazioe per la liea) possiamo procedere ad applicare la eoria dei circuiti per le liee di trasmissioe, sviluppata i precedeza, per caratterizzare queste liee come u elemeto circuitale. La situazioe è u po più difficile per le guide d oda. Per vedere perché, cosideriamo il caso della guida d oda rettagolare mostrata i fig. 3.. Fig. 3.: Liee di campo per il modo E i guida rettagolare. 0 Per il modo domiate E 0, i campi trasversi possoo essere scritti ella forma: ja j z j z Ey( x, y, z) Asi xe Aey( x, y) e (3.4a) a j a j z j z Hx( x, y, z) Asi xe Ahx( x, y) e (3.4b) a Applicado la (3.) alla (3.4a) si ha: 4

3 Capitolo 3: Aalisi di reti a microode -ja j z = Asi xe dy a y (3.5) Da questa espressioe si vede che la tesioe dipede dalla posizioe x così come dalla lughezza del cotoro di itegrazioe lugo la direzioe y. Itegrado da y=0 a y=b per x a si ottiee per u valore molto diverso da quello che si ottiee itegrado da y=0 a b per x=0. Allora, qual è il valore corretto della tesioe? La risposta è che o c è u valore corretto di el seso che o c è u valore uico o pertiete per tutte le applicazioi. U problema simile sorge ache co la correte e l impedeza. edremo come defiire tesioi, correti e impedeze utili per liee o- EM. Ci soo molti modi per defiire tesioi e correti equivaleti e impedeze per le guide d oda, poiché queste quatità o soo uiche per le liee o-em ma le cosiderazioi segueti usualmete portao a risultati più utili: La tesioe e la correte soo defiite per u particolare modo della guida d oda e soo defiite i maiera tale che la tesioe sia proporzioale al campo elettrico trasverso e la correte sia proporzioale al campo magetico trasverso. Per poter usare i maiera simile alla teoria dei circuiti il cocetto di tesioe e correte, le tesioi e le correti equivaleti dovrebbero essere defiite cosicché il loro prodotto dia il flusso di poteza del modo. Il rapporto della tesioe alla correte per u oda viaggiate sigola dovrebbe essere uguale all impedeza caratteristica della liea. Questa impedeza può essere scelta arbitrariamete, ma usualmete si poe uguale all impedeza d oda della liea o acora si ormalizza all uità. Per u modo arbitrario della guida d oda co etrambe le ode viaggiati, diretta e riflessa, i campi trasversi soo: e(x, y) + -jz - jz + -jz - jz E t(x, y,z)= e(x, y)(a e + A e )= ( e + e ) C h(x,y) + -jβz - jβz + -jβz - jβz H t(x,y,z)= h(x, y)(a e - A e )= (I e - I e ) C (3.6a) (3.6b) dove e ed h soo le variazioe di campo trasverso del modo ed A + e A - soo le ampiezze del campo delle ode viaggiati. Poiché E e H soo legate all impedeza d oda w, si ha che: t t aˆ z e( x, y) h( x, y) (3.7) w Le equazioi (3.6) defiiscoo ache le ode di tesioi e di correti equivaleti, come: 5

4 Apputi di microode + -jβz - jβz (z)= e + e (3.8a) + -jβz - jβz I(z)= I e - I e (3.8b) co I = = I Questa defiizioe racchiude l idea di redere la tesioe e la correte equivalete proporzioale ai campi elettrici e magetici rispettivamete. Le costati di proporzioalità per queste relazioi soo: C= = + - A A e I I C = = + - A A e possoo essere determiate dalle rimaeti due codizioi per poteza ed impedeza. Il flusso di poteza complesso per l oda icidete è dato da: I P = A e h a ds= e h a ds S z S z CC (3.9) Poiché o vogliamo che questa poteza sia uguale a I deve essere: CC = e h ads z (3.0) S dove la superficie di itegrazioe è la sezioe trasversale del WG. L impedeza caratteristica è: + - C 0 = = = + - I I C (3.) dove + = C A e I + = C A Se si desidera che l'impedeza caratteristica sia uguale all impedeza d oda dei modi E o M, 0 = w, allora deve essere C = w C ( E o M ) (3.a) Alterativamete si può ormalizzare l impedeza caratteristica all uità, 0 =, per cui: 6

5 Capitolo 3: Aalisi di reti a microode C C (3.b) Per u dato modo della guida d oda, le equazioi 3.0 e 3. possoo essere risolte per determiare le costati, le tesioi e correti defiite. I modi di ordie superiore possoo essere trattati ella stessa maiera, sicché u campo geerato da ua guida d oda può essere espresso ella seguete forma: N jz jz Et( xyz,, ) ( e e ) e( xy, ) (3.3a) C C I I Ht( x, y, z) ( e e ) h( x, y) (3.3b) N jz jz C C dove e I soo le tesioi e le correti equivaleti per il modo -esimo e C e C soo le costati di proporzioalità per ciascu modo. 3. Il cocetto di impedeza Abbiamo usato il cocetto di impedeza i parecchie differeti applicazioi. Il termie impedeza fu discusso iizialmete da Oliver Heaviside el 9 secolo per descrivere il rapporto complesso /I i circuiti AC cosisteti di resistori, iduttori e codesatori. Il cocetto di impedeza divee velocemete idispesabile ell aalisi dei circuiti AC. Esso fu applicato a liee di trasmissioe i termii di circuiti equivaleti, parametri cocetrati, impedeze serie distribuite e ammetteze i derivazioe della liea. Nel 930, Schelkoff stabilì che il cocetto di impedeza doveva essere visto sia come caratteristica del tipo di campo sia come caratteristica del mezzo. Ioltre, i relazioe all aalogia tra liee di trasmissioe e propagazioe delle ode piae, l impedeza può ache essere idipedete dalla direzioe. Il cocetto di impedeza crea u importate legame tra teoria dei campi, teoria dei circuiti e liee di trasmissioe. Riassumiamo i diversi tipi di impedeza che abbiamo fiora usato: impedeza itriseca del mezzo. Questa impedeza è dipedete solo dai parametri del materiale del mezzo ma è uguale all impedeza d oda per le ode piae. Et w H t Y impedeza d oda. Questa impedeza è ua caratteristica del w particolare tipo di oda. Le ode EM, M e E hao impedeza d oda differete ( EM, E e M ) che può dipedere dal tipo di liea o guida, dal materiale e dalla frequeza di lavoro. 7

6 Apputi di microode 0 L Y C impedeza caratteristica data dal rapporto tra tesioe e correte di 0 u oda viaggiate. Poiché tesioe e correte soo defiite uivocamete per le ode EM, l impedeza caratteristica di u modo EM è uica. Ivece le ode E e M o hao ua tesioe e ua correte uivocamete defiite, sicché l impedeza caratteristica per tali ode può essere defiita i vari modi. Cosideriamo ora la rete ad ua porta arbitraria mostrata i fig. 3.3 e deriviamo ua relazioe geerale tra le sue proprietà i termii di impedeza, l eergia elettromagetica immagazziata e la poteza dissipata ella rete. La poteza complessa forita a questa rete è data da: ( ) (3.4) P EH ds P S l j Wm We dove P l è reale e rappreseta la poteza media dissipata dalla rete, W m e W e rappresetao l eergia magetica e quella elettrica immagazziata. Fig. 3.3: Ua rete ad ua porta arbitraria Dalla figura otiamo che la ormale puta el volume racchiuso da S. Se defiiamo i campi modali trasversi reali e ed h el piao termiale della rete come j z Et ( xyz,, ) zexye ( ) (, ) (3.5a) j z H ( x, y, z) I( z) h( x, y) e (3.5b) t co ua ormalizzazioe tale che e h ds= S allora la poteza complessa può essere espressa i termii di tesioe e correte ai morsetti: 8

7 Capitolo 3: Aalisi di reti a microode P = I e h ds = I (3.6) S allora l impedeza igresso è: I P P+jω(W l m -W e ) z i =R+ jx = = = = I I I I (3.7) Da questa relazioe si vede che la parte reale R dell impedeza d igresso è legata alla poteza dissipata metre la parte immagiaria X è legata all eergia etta immagazziata ella rete. Se la rete è seza perdite allora P l = 0 ed R = 0. Allora i è puramete immagiaria co ua reattaza: 4ω(Wm -W e ) X= I (3.8) che è positiva per u carico iduttivo (W m >W e ), e egativa per u carico capacitivo (W m <W e ). 3.5 Matrici impedeza e ammetteza Nel precedete paragrafo abbiamo visto come possoo essere defiite tesioi e correti equivaleti per le ode EM e o EM. Ua volta che tali tesioi e correti siao state defiite ei diversi puti di ua rete a microode, si può far uso delle matrici impedeza e/o ammetteza della teoria dei circuiti per legare l u l altro queste quatità alle porte e quidi arrivare essezialmete ad ua descrizioe matriciale della rete. Questo tipo di rappresetazioe porta allo sviluppo di circuiti equivaleti di reti arbitrarie che risulterao abbastaza utili quado discuteremo il progetto di compoeti passivi come accoppiatori e filtri. Comiciamo co il cosiderare ua rete arbitraria ad N porte come rappresetata i fig

8 Apputi di microode Fig. 3.6: Rete a microode arbitraria ad N porte Le porte possoo essere u qualsiasi tipo di liea di trasmissioe o ua liea di trasmissioe equivalete per u sigolo modo di propagazioe (il termie porta fu itrodotto H.A.Wheeler el 950 per sostituire il meo descrittivo e più complicato termie di coppia a due termiali ). Se ua delle porte fisiche della rete è ua guida d oda che cosete la propagazioe di più modi, devoo essere aggiute porte elettriche addizioali per teer coto di questi modi. I u puto specifico della porta -esima u piao termiale t è defiito co le tesioi e correti equivaleti per le ode icideti e riflesse. I piai termiali soo importati perché foriscoo u riferimeto di fase per i fasori tesioe e correte. Ora al piao termiale -esimo, la tesioe e la correte totale è data da: + = + + I = I - I (3.4a) (3.4b) La matrice impedeza [] della rete a microode lega quidi queste tesioi e correti: 0

9 Capitolo 3: Aalisi di reti a microode... I.... I I N N N N NN N o i forma matriciale: [ ] [ ][ I] (3.5) Similmete possiamo defiire ua matrice ammetteza [Y] come: I Y Y... Y I Y I Y.... Y N N N NN N o i forma matriciale: [ I] [ Y][ ] (3.6) Naturalmete le matrici [] e [Y] soo le iverse l ua dell altra [Y] = [] - (3.7) Notiamo che etrambe le matrici e Y legao le tesioi e correti totali alle porte. Dalla (3.5) vediamo che l'elemeto ij può essere calcolato come: i ij (3.8) I j Ik 0, k j I altre parole la (3.8) stabilisce che ij può essere calcolata alimetado la porta j co la correte I j lasciado aperte tutte le altre porte (I k = 0, k j) e misurado la tesioe a circuito aperto alla porta i.

10 Apputi di microode Allora ii è l impedeza d igresso vista guardado ella porta i quado tutte le altre porte soo a circuito aperto e ij è l impedeza di trasferimeto tra la porta i e la porta j quado tutte le altre porte soo a circuito aperto. Similmete dalla (3.6) Y ij può essere calcolato come: Y I i ij (3.9) j k 0, k j che stabilisce che l'elemeto Y ij può essere determiato alimetado la porta j co la tesioe j cortocircuitado tutte le altre porte, sicché k = 0 per k j, e misurado la correte di cortocircuito alla porta i. I geerale, ogi ij e Y ij può essere complessa. Per ua rete a N porte, le matrici impedeza e ammetteza hao dimesioe NxN, cosicché ci soo N quatità idipedeti o gradi di libertà per ua rete arbitraria ad N porte. I pratica, comuque, molte reti soo o reciproche o seza perdite, o i etrambe le codizioi. Se la rete è reciproca (o cotiee mezzi o reciproci, come ferriti o plasmi o dispositivi attivi) le metrici impedeza e ammetteza soo simmetriche sicché ij = ji e Y ij = Y ji. Se la rete è seza perdite mostreremo che tutti gli elemeti ij o Y ij soo puramete immagiari. Questi casi speciali riducoo il umero di quatità idipedeti o gradi di libertà che ua rete ad N porte può avere. 3.9 La matrice di scatterig Si è gia detto della difficoltà el defiire tesioe e correte per liee di tesioe o-em. Ioltre u problema pratico isorge quado si cerca di misurare tesioi e correti alle frequeze delle microode poiché le misure dirette geeralmete richiedoo la coosceza dell ampiezza (derivata della poteza) e della fase di u oda viaggiate i ua data direzioe o di u oda stazioaria. Pertato tesioi e correti equivaleti e le matrici impedeza e ammetteza ad esse associate, divetao i u certo qual modo u astrazioe quado si lavora co reti ad alta frequeza. Ua rappresetazioe maggiormete i accordo co le misure dirette e co l idea di ode icideti, riflesse e trasmesse, è data dalla matrice di scatterig. Come le matrici impedeza e ammetteza per ua rete ad N porte, la matrice di scatterig forisce ua descrizioe completa della rete ad N porte. Metre le matrici impedeza e ammetteza legao le tesioi e le correti alle porte, la matrice di scatterig lega le ode di tesioe icideti a quelle riflesse alle porte. Per alcui compoeti e circuiti i parametri di scatterig possoo essere misurati direttamete co u aalizzatore di reti vettoriale. Noti i parametri di scatterig della rete la coversioe agli altri parametri matriciali è facilmete effettuabile se ecessaria.

11 Capitolo 3: Aalisi di reti a microode Cosideriamo la rete ad N porte mostrata i fig. 3.7 dove + è l ampiezza dell oda di tesioe icidete alla porta e - è l ampiezza dell oda di tesioe riflessa alla porta. Fig.3.7: Schema di ua rete ad N porte. La matrice di scatterig o matrice di diffusioe o matrice [S] è defiita i relazioe alle ode di tesioe e correte, icideti e riflesse: S S... SN S S... S N N N NN N ovvero: S (3.40) U elemeto specifico della matrice S può essere determiato come: S ij i J k 0, k j (3.4) La (3.4) stabilisce che S ij si calcola alimetado la porta j co u oda di tesioe icidete j + misurado l oda riflessa i - che viee fuori dalla porta i. Le ode di tesioe icideti su tutte le porte eccetto la j-esima soo poste a zero, il che sigifica che tutte le porte dovrebbero essere chiuse su carichi adattati per evitare riflessioi. S ii è il coefficiete di riflessioe visto alla porta i quado tutte le porte soo chiuse su carichi adattati e S ij è il coefficiete di trasmissioe tra la porta j e la porta i quado tutte le altre porte soo chiuse 3

12 Apputi di microode su carichi adattati. ediamo ora come la matrice [S] può essere derivata dalla matrice [] (o [Y]) e viceversa. Iazitutto dobbiamo assumere che le impedeze caratteristiche o di tutte le porte siao idetiche (questa restrizioe sarà rimossa quado discuteremo i parametri di scatterig geeralizzati). Per coveieza poiamo o =. Dalla (3.4) la tesioe totale e la correte alla porta -esima risulta: (3.4a) I I I (3.4b) dalla (3.5) e dalla (3.4) risulta che: I [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] che possiamo riscrivere come: U [ ] [ ] [ U] [ ] (3.43) dove [U] è la matrice uità defiita come: U Cofrotado la (3.43) co la (3.40) si ha: S U U (3.44) che è la matrice di scatterig i termii di matrice impedeza. Per ua rete ad ua porta la (3.44) si riduce a: S i accordo co il valore del coefficiete di riflessioe visto guardado verso u carico co impedeza ormalizzata i igresso pari a. Per ricavare [] da [S] riscriviamo la (3.44) come: 4

13 Capitolo 3: Aalisi di reti a microode SUS U che diveta: U S U S ( ) (3.45) 3.0 Reti reciproche e reti seza perdite Come abbiamo visto le matrici impedeza e ammetteza soo simmetriche per reti reciproche e puramete immagiarie per reti seza perdite. Similmete le matrici di scatterig per questi tipi di reti hao proprietà speciali. Mostreremo che la matrice [S] per ua rete reciproca è simmetrica ed è uitaria per ua rete seza perdite. Sommado le relazioi (3.4a) e (3.4b) si ha: I ovvero UI (3.46a) sottraedo la (3.4a) alla (3.4b) si ha: I ovvero UI (3.46b) Ricavado la [I] dalla (3.46a) e sostituedo ella (3.46b) risulta: U [ U] [ ] e quidi: S U U (3.47) Cosiderado la trasposta: 5

14 Apputi di microode S U U poiché [U] è ua matrice diagoale, allora [U] = [U], ioltre se la rete è reciproca [] è simmetrica per cui [] = []. L equazioe precedete si riduce a: S U U che è equivalete alla (3.44), abbiamo così dimostrato che per reti reciproche risulta: S S (3.48) Se la rete è seza perdite, allora o può ad essa essere forita poteza reale. Se le impedeze caratteristiche di tutte le porte soo uguali e pari all uità, la poteza media forita alla rete è: Re Pav Re I Re 0 (3.49) ifatti i termii soo del tipo A-A e quidi puramete immagiari. Dei rimaeti termii della (3.49), rappreseta la poteza totale icidete, metre rappreseta la poteza totale riflessa. Così per ua giuzioe seza perdite, otteiamo il risultato ituitivo che le poteze icideti e quelle riflesse soo uguali: (3.50) Usado [ ] [ S][ ] ella (3.50) si ha: 6

15 Capitolo 3: Aalisi di reti a microode S S quidi per tesioi [ ] diverse da zero risulta: S S U [ ] [ ] [ ] cioè [ S ] [ S ] (3.5) Ua matrice che soddisfa la (3.5) è detta matrice uitaria. L equazioe matriciale (3.5) può essere scritta come: N SkiSkj ij (3.5) k dove ij = se i = j ed è uguale a zero se i j. Quidi se i = j la (3.5) diveta: N SkiSkj (3.53a) k metre se i j abbiamo: N SkiSkj 0 (3.53b) k La (3.53a) stabilisce che il prodotto tra ciascua coloa di [S] co il coiugato della stessa coloa è pari all'uita, metre la (3.53b) stabilisce che il prodotto di ogi coloa co il coiugato di ua coloa differete è pari a zero (ortogoali). Se la rete è reciproca allora [S] è simmetrica e le stesse regole soo valide se si cosiderao le righe della matrice di diffusioe. U importate puto da capire circa i parametri [S] è che il coefficiete di riflessioe guardado ella porta o è uguale ad S, a meo che tutte le altre porte o siao adattate. Similmete il coefficiete di trasmissioe dalla porta m alla porta, o è uguale ad S m, a meo che tutte le altre porte o siao adattate. I parametri S di ua rete soo ua proprietà solo della rete stessa (assumedo la rete lieare) e soo defiiti sotto la codizioe che tutte le porte siao adattate. Cambiado i carichi o le eccitazioi di ua porta o variao i suoi parametri S ma può variare il coefficiete di riflessioe visto a quella porta o il coefficiete di trasmissioe tra due porte. 7

16 Apputi di microode 3. Spostameto dal piao di riferimeto Poiché i parametri S legao le ampiezze (i modulo e fase) di ode viaggiati icideti e riflesse ad ua rete a microode, i piai di riferimeto di fase devoo essere specificati per ciascua porta della rete. Mostreremo come i parametri S devoo essere trasformati quado i piai di riferimeto vegoo spostati rispetto alle loro posizioi origiarie. Cosideriamo la rete a microode ad N porte mostrata i fig. 3.8, i cui i piai termiali origiari soo assuti i = 0 per la -esima porta e dove è ua coordiata arbitraria misurata lugo la liea di trasmissioe che alimeta la porta -esima. La matrice di scatterig per la rete co questo set di piai termiali è deotata co [S]. Ora cosideriamo u uovo set di piai di riferimeto defiito i = l e sia [S ] la uova matrice di scatterig Fig.3.8: Piai di riferimeto di traslazioe per ua rete ad N porte. Allora i termii di tesioi icideti e riflesse alle porte si ha che: [ ] [ S][ ] (3.54a) S (3.54b) ' ' ' [ ] [ ][ ] Dalla teoria delle ode viaggiati su liee di trasmissioe seza perdite possiamo relazioare le uove ampiezze delle ode co quelle origiarie scrivedo: ' ' j e (3.55a) j e (3.55b) 8

17 Capitolo 3: Aalisi di reti a microode dove l è la lughezza elettrica della liea uscete dal piao di riferimeto della porta. Scrivedo le (3.55) i forma matriciale e sostituedo ella (3.54a) si ha: j j e e j j 0 e 0. 0 e '... '... S jn jn e e Moltiplicado per l iversa della prima matrice a siistra si ha: j j e e j j 0 e 0. 0 e 0. ' ' S jn jn e e Cofrotado co la (3.54b) si ha: j j e e j j 0 e 0. 0 e S ' S jn jn e e (3.56) che è il risultato desiderato. ' j Notiamo che S e S, cioè la fase di S è spostata di ua quatità pari a due volte la lughezza elettrica della fase el piao termiale, poiché l oda viaggia due volte i questa lughezza per icideza e riflessioe. 9

18 Apputi di microode 3. Parametri di scatterig geeralizzati Fiora abbiamo cosiderato i parametri di scatterig per reti co la stessa impedeza caratteristica a tutte le porte. Questo è il caso che si preseta i molte situazioi i cui l impedeza caratteristica è di 50Ω. I altri casi le impedeze caratteristiche di ua rete multiporte possoo essere diverse il che richiede ua geeralizzazioe dei parametri di scatterig defiiti fiora. Cosideriamo la rete ad N porte mostrata i fig. 3.9 dove caratteristica (reale) della porta -esima metre ode di tesioe icideti e riflesse alla porta. e o è l impedeza rappresetao, rispettivamete, le Fig. 3.9 : Rete ad N porte co impedeze caratteristiche diverse Per otteere relazioi di poteze fisicamete utili i termii di ampiezze delle ode dobbiamo defiire u uovo set di ampiezze dato da: a (3.57a) o b (3.57b) o dove a rappreseta u oda icidete alla porta -esima metre b rappreseta u oda riflessa dalla stessa porta. Allora dalle (3.4) si ha che: ( a b ) (3.58a) o 30

19 Capitolo 3: Aalisi di reti a microode I ( ) ( a b) (3.58b) o o La poteza media forita alla porta -esima è: P Re I a b ba ba a b (3.59) Re dato che la quatità ba ba è puramete immagiaria. Questo è u risultato fisicamete soddisfacete, perché ci dice che la poteza media forita attraverso la porta è uguale alla poteza dell oda icidete meo la poteza dell oda riflessa. Se espresso i termii di e, il risultato corrispodete sarebbe dipedete dall impedeza caratteristica della porta -esima. Ua matrice di scatterig geeralizzata può allora essere usata per legare le ode icideti a quelle riflesse defiite ella (3.57): [ b] [ S][ a] (3.60) dove l elemeto ij della matrice di scatterig è dato da: S b i ij (3.6) a j ak 0, k j espressioe aaloga alla (3.4) per reti co impedeza caratteristica idetica a tutte le porte. Usado la (3.57) ella (3.6) si ha la relazioe: S ij i oj (3.6) i oi k 0, k j che mostra come i parametri S di ua rete co impedeza caratteristica uguale ( i j co k 0 per k j) possoo essere covertiti i quelli di ua rete coessa a liee di trasmissioe co impedeze caratteristiche differeti. 3.3 Codizioi di passività per la matrice S Ache la codizioe di passività della matrice S è di ua certa importaza, i quato cosete di ricavare varie proprietà cui deve soddisfare S e quidi varie proprietà delle reti a microode. La codizioe di passività si eucia dicedo che la matrice [Q] = [U] [S ] [S] (che è hermitiaa) è defiita positiva. 3

20 Apputi di microode Ache essa (come la corrispodete codizioe di passività per o Y) si ricava assumedo che la poteza reale P R, etrate ella rete, sia positiva se la rete è passiva: PR aa i i bb i i a ab b a as a b a a a S Sa a ( U S S) a a q qi Q[ a] 0 Da tale codizioe si ricava che: ciò vuol dire che se etra poteza ella bocca i-esima, la somma delle poteze riflesse e di quelle trasmesse alle altre bocche è iferiore a quella etrate. Se la giuzioe è priva di perdite, la matrice S deve essere uitaria: S S U 3.4 Matrice di trasmissioe per ua giuzioe a due porte Le rappresetazioi i termii di parametri, Y, S si usao per caratterizzare ua rete a microode co u umero arbitrario di porte ma i pratica molte reti a microode soo costituite da ua coessioe i cascata di due o più reti a due porte. I questo caso è coveiete defiire ua matrice di trasmissioe, o matrice ABCD, per ciascua rete a due porte. La matrice di trasmissioe di ua coessioe i cascata di due o più reti a due porte può essere facilmete trovata moltiplicado le matrici di trasmissioe delle porte idividuali. I termii di tesioe e correte totali, come mostrato i fig. 3.0, la matrice di trasmissioe di ua rete a due porte, detta ache matrice ABCD, è data da: A BI 3

21 Capitolo 3: Aalisi di reti a microode I C DI o i forma matriciale: I A B C D I (3.63) E importate otare ella fig. 3.0 che è stato fatto u cambio ella covezioe di sego di I, spetto alle precedeti defiizioi che vedoo I come correte che fluisce detro la porta. Fig. 3.0: a) Ree ad due porte; b) Coessioe di reti a due porte La covezioe che I sia uscete dalla porta è usata quado si cosiderao le matrici ABCD. I questo modo, i ua rete i cascata, I sarà la stessa correte che fluisce ella rete adiacete come mostrato i fig. 3.0b. Allora il primo membro della (3.39) rappreseta la tesioe e la correte alla porta della rete, metre il secodo membro rappreseta la tesioe e la correte alla porta. Nella coessioe i cascata delle reti a due porte si ha che: A B (3.64a) I C D I A B 3 (3.64b) I C D I 3 Sostituedo la (3.40b) ella (3.40a) si ha che: 33

22 Apputi di microode A B A B 3 (3.65) I C D C D I 3 La matrice ABCD della coessioe i cascata dei dispositivi a due porte è uguale al prodotto delle matrici ABCD che rappresetao i dispositivi sempre a due porte idividuali. Notiamo che l ordie di moltiplicazioe delle matrici deve essere lo stesso dell ordie i cui le reti soo disposte poiché la moltiplicazioe tra matrici o è i geerale commutativa. L utilità della rappresetazioe i matrice ABCD sta el fatto che soo già ote le matrici ABCD per reti a due porte elemetari: tali risultati possoo essere utilizzati come puto di parteza per aalisi di reti a microode più complicate costituite da ua cascata di queste reti più semplici. La tab. 3. riporta u umero utile di reti a due porte e le loro matrici ABCD. 34

23 Capitolo 3: Aalisi di reti a microode ab. 3.: Parametri ABCD di alcui circuiti a due porte Nel caso di più giuzioi, la matrice di trasmissioe espressa i termii di ode icideti e riflesse i ua giuzioe a due porte è la seguete: a b [ ] b a I questo caso (vedi fig. 3.) l oda icidete e l oda riflessa alla porta di si ivertoo. 35

24 Apputi di microode Fig. 3.: Ua coessioe i cascata di due reti a due porte 3.5 Relazioi tra matrici ABCD e Noti i parametri di ua rete si possoo determiare i parametri ABCD. Per ua rete a due porte, assuta la I uscete dalla porta, dalla (3.63) e dalla (3.5) risulta: I I (3.66a) I I (3.66b) e quidi: A I 0 I - I I - I B= = = I I I (3.67a) =0 =0 che diveta =0 B (3.67b) I I (3.67c) C I 0 I I0 I I (3.67d) D I I 0 0 Se la rete è reciproca, allora = e le (3.43) possoo essere usate per dimostrare che AD-BC=. 36

25 Capitolo 3: Aalisi di reti a microode 3.6 Circuiti equivaleti per reti a due porte Il caso speciale di ua rete a microode a due porte si preseta così frequetemete ella pratica, che merita ulteriore attezioe. I questo paragrafo discuteremo l uso di circuiti equivaleti per rappresetare ua rete a due porte arbitraria. I tab. soo riassute le coversioi utili tra i parametri di reti a due porte. I fig. 3.a è mostrata ua trasizioe tra ua liea coassiale ed ua a microstriscia come esempio di rete a due porte. I piai termiali possoo essere defiiti i puti arbitrari sulle due liee di trasmissioe; ua scelta coveiete potrebbe essere quella mostrata i fig. 3.a. A causa della discotiuità fisica ella trasizioe da ua liea coassiale ad ua liea a microstriscia, l eergia elettrica o magetica può essere immagazziata elle viciaze della giuzioe, suscitado effetti reattivi. La caratterizzazioe di tali effetti può essere otteuta da misure o da aalisi teoriche (sebbee tali aalisi risultio abbastaza complicate) e rappresetate da ua black-box a due porte come mostrato i fig. 3.b. Fig. 3.: Rappresetazioe della trasizioe da coassiale a microstriscia e suo circuito equivalete. a) Geometria della trasizioe. b) La rappresetazioe della trasizioe tramite ua black box. c) U possibile circuito equivalete della trasizioe. Le proprietà della trasizioe possoo essere rappresetate i termii di parametri,y,s o ABCD della rete a due porte. Questo tipo di trattazioe può essere applicato ad ua molteplicità di reti a due porte, come trasizioi da u tipo di liea di trasmissioe ad u altro, discotiuità tra liee di trasmissioe (gradii i larghezza, curve) ecc 37

26 Apputi di microode Quado si modellizza ua giuzioe a microode i questa maiera, è spesso utile sostituire la black-box a due porte co u circuito equivalete che cotiee alcui compoeti ideali come mostrato i fig. 3.c (questo è particolarmete utile se i valori del compoete possoo essere legati ad alcui aspetti fisici della giuzioe reale). Si possoo defiire diversi circuiti equivaleti: el seguito discuteremo alcui tra i più comui ed utili. Come visto elle sezioi precedeti, ua rete arbitraria a due porte può essere descritta i termii di parametri impedeza come: = I + I = I + I (3.68a) oppure i termii di parametri ammetteza: I = Y + Y I = Y + Y (3.68b) Se la rete è reciproca, allora = e Y = Y. Queste rappresetazioi portao aturalmete a circuiti equivaleti di tipo e di tipo π, mostrati i fig. 3.3a e 3.3b. Altri circuiti equivaleti possoo essere usati per rappresetare la rete a due porte. Se la rete è reciproca ci soo sei gradi di libertà (le parti reali ed immagiarie dei tre elemeti della matrice) sicché il circuito equivalete dovrebbe avere sei parametri idipedeti. Ua rete o reciproca o può essere rappresetata da u circuito equivalete passivo usado elemeti reciproci. Se la rete è seza perdite,che è ua buoa approssimazioe di molte giuzioi a due porte, si possoo fare alcue semplificazioi el circuito equivalete. Come mostrato i precedeza, la matrice impedeza/ammetteza ha elemeti puramete immagiari per ua rete seza perdite. Questo riduce i gradi di libertà di tale rete a tre, ciò implica che i circuiti equivaleti a e a π possoo essere costituiti da elemeti puramete reattivi. Fig..3: Circuiti equivaleti per ua rete reciproca a due porte: a) equivalete; b) equivalete 38