4 Differenziazione ed integrazione numerica

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1 4 Differenzizione ed integrzione numeric In questo cpitolo proponimo metodi per l pprossimzione numeric di derivte ed integrli di funzioni. Per qunto rigurd l integrzione, non sempre si riesce trovre in form esplicit l primitiv di un funzione. Anche nel cso in cui l si conosc, potrebbe essere complicto vlutrl. Ad esempio nel cso in cui f(x) =cos(4x)cos(3sin(x)), si h π 0 f(x) dx = π ( ) 4 3 ( 9/4) k 2 k!(k +4)! ; il problem del clcolo di un integrle si è trsformto in quello (ltrettnto problemtico) dell somm di un serie. Tlvolt inoltre l funzione che si vuole integrre o derivre potrebbe essere not solo per punti (rppresentnti d esempio il risultto di un misur sperimentle), esttmente come vviene nel cso dell pprossimzione di funzioni discuss nel Cpitolo 3. In tutte queste situzioni è dunque necessrio pprontre metodi numerici in grdo di restituire un vlore pprossimto dell quntità di interesse, indipendentemente d qunto compless si l funzione d integrre o d differenzire. Problem 4.1 (Idrulic) Ad intervlli di 5 secondi è stt misurt in metri l quot q(t) rggiunt d un fluido ll interno di un cilindro retto di rggio R = 1 m, che present sul fondo un foro circolre di rggio r =0.1m, ottenendo i seguenti vlori: t q(t) Si vuole fornire un stim dell velocità di svuotmento q (t) del cilindro, d confrontre con quell ttes dll legge di Torricelli: q (t) = γ(r/r) 2p 2gq(t), dove g è il modulo dell ccelerzione di grvità eγ =0.6 k=0

2 100 4 Differenzizione ed integrzione numeric è un fttore correttivo che tiene conto dell cosiddett strozztur di ven, cioè del ftto che il flusso dell cqu che fuoriesce dll pertur h un sezione che è minore di quell dell pertur stess. Per l risoluzione di questo problem si ved l Esempio 4.1. Problem 4.2 (Ottic) Per il progetto di un cmer rggi infrrossi si è interessti clcolre l energi emess d un corpo nero (cioè un oggetto cpce di irrdire in tutto lo spettro ll tempertur mbiente) nello spettro (infrrosso) compreso tr le lunghezz d ond 3μm e14μm. L risoluzione di questo problem si ottiene clcolndo il seguente integrle E(T )= Z dx x 5 (e 1.432/(Tx) 1), (4.1) che è l equzione di Plnck per l energi E, dovex è l lunghezz d ond (in cm) e T l tempertur (in grdi Kelvin) del corpo nero. Per il clcolo dell integrle che compre nell (4.1) si ved l Esercizio Problem 4.3 (Elettromgnetismo) Considerimo un sfer conduttrice di rggio indefinito r e di conducibilità σ ssegnt. Sivuoldeterminre l ndmento dell densità di corrente j in funzione di r edit (il tempo), conoscendo l distribuzione inizile dell densità di corrente ρ(r). Il problem si risolve utilizzndo le relzioni che legno l densità di corrente, il cmpo elettrico e l densità di cric ed osservndo che, per l simmetri del problem, j(r, t) = j(r, t)r/ r, dovej = j. Sitrov j(r, t) =γ(r)e σt/ε 0,γ(r) = σ ε 0r 2 Z r 0 ρ(ξ)ξ 2 dξ, (4.2) dove ε 0 = frd/m è l costnte dielettric del vuoto. Per il clcolo di j(r) si ved l Esercizio Problem 4.4 (Demogrfi) Considerimo un popolzione formt d un numero M grnde di individui. L distribuzione N(h) dell loro ltezz può essere rppresentt d un funzione cmpn crtterizzt dl vlor medio h dell ltezz e d un devizione stndrd σ, N(h) = M σ e (h h) 2 /(2σ 2 ). 2π Allor h+δh Z N = N(s) ds (4.3) h rppresent il numero di individui l cui ltezz ècompresfrh e h + Δh (per un Δh > 0). Riportimo in Figur 4.1 un esempio che corrisponde d ver preso M = 200 individui con h =1.7 m,σ =0.1 m. L re dell regione ombreggit fornisce il numero di individui l cui ltezz è compres fr 1.8 e1.9m.

3 4.1 Approssimzione delle derivte N(h) h 1.8 h Figur 4.1. Distribuzione dell ltezz per un popolzione formt d M = 200 individui h 4.1 Approssimzione delle derivte Considerimo un funzione f :[, b] R che si derivbile con continuità in[, b]. Voglimo pprossimrne l derivt prim in un generico punto x di (, b). Grzie ll definizione (1.9), si può ritenere che, per h sufficientemente piccolo e positivo, l quntità (δ + f)( x) = f( x + h) f( x) h (4.4) che viene dett differenz finit in vnti, rppresenti un pprossimzione di f ( x). Per quntificre l errore commesso, se f C 2 (, b), è sufficiente sviluppre f in serie di Tylor, ottenendo f( x + h) =f( x)+hf ( x)+ h2 2 f (ξ), (4.5) dove ξ è un punto opportuno in ( x, x + h). Pertnto (δ + f)( x) =f ( x)+ h 2 f (ξ), (4.6) e quindi, (δ + f)( x) pprossim f ( x) meno di un errore che tende 0 come h (cioè l pprossimnte è ccurto l prim ordine) purché f C 2 (, b). In mnier del tutto nlog, dl seguente sviluppo f( x h) =f( x) hf ( x)+ h2 2 f (η) (4.7)

4 102 4 Differenzizione ed integrzione numeric m 2 =(δ + f)( x) m 1 =(δ f)( x) m 3 =(δf)( x) f x h x x + h Figur 4.2. Approssimzione lle differenze finite di f ( x): ll indietro (line continu), in vnti (line punteggit) e centrt (line trtteggit). m 1, m 2 e m 3 sono le pendenze delle rette indicte con η ( x h, x), possimo ottenere l seguente formul, dett differenz finit ll indietro (δ f)( x) = f( x) f( x h) h (4.8) sempre ccurt di ordine 1, purché f C 2 (, b). Si noti che le formule (4.4) e (4.8) si possono nche ottenere derivndo il polinomio interpoltore linere di f, clcoltosuinodi{ x, x+h} o { x h, x}, rispettivmente. In effetti, le formule introdotte pprossimno f ( x) conil coefficiente ngolre dell rett che pss per i punti ( x, f( x)) e ( x + h, f( x + h)), o ( x h, f( x h)) e ( x, f( x)), rispettivmente (si ved l Figur 4.2). Introducimo infine l formul dell differenz finit centrt (δf)( x) = f( x + h) f( x h) 2h (4.9) che è un pprossimzione del second ordine di f ( x) rispetto h se f C 3 (, b). Inftti, sviluppndo f( x + h) ef( x h) in serie di Tylor fino ll ordine 3 in un intorno di x e sommndo le due espressioni trovte, bbimo f ( x) (δf)( x) = h2 12 [f (ξ)+f (η)], (4.10) dove η e ξ sono punti opportuni negli intervlli ( x h, x) e( x, x + h), rispettivmente (si ved l Esercizio 4.1). Qundo si us l (4.9), di ftto f ( x) viene pprossimt dl coefficiente ngolre dell rett pssnte per i punti ( x h, f( x h)) e ( x + h, f( x + h)).

5 4.2 Integrzione numeric 103 Esempio 4.1 (Idrulic) Risolvimo il Problem 4.1, utilizzndo le formule (4.4), (4.8) e (4.9) con h = 5 per pprossimre q (t) in 5 punti diversi. Ottenimo t q (t) δ +q δ q δq Come si vede l ccordo fr l derivt estt e quell clcolt con le formule lle differenze finite con h =5èpiù soddisfcente qundo si usi l (4.9) rispetto lle (4.8) o (4.4). In generle possimo supporre che sino disponibili le vlutzioni di un cert funzione f in n + 1 punti equispziti x i = x 0 + ih, per i =0,...,n con h>0. Nell derivzione numeric sostituiremo f (x i ) un qulunque delle sue pprossimzioni (4.4), (4.8) o (4.9) con x = x i. V osservto che l formul centrt (4.9) è pplicbile nei soli punti x 1,...,x n 1 e non nei punti estremi x 0 e x n.inquestiultimipuntisi possono usre le formule modificte 1 2h [ 3f(x 0)+4f(x 1 ) f(x 2 )] in x 0, (4.11) 1 2h [3f(x n) 4f(x n 1 )+f(x n 2 )] in x n, ncor del second ordine rispetto h. Esse sono stte ottenute clcolndo nel punto x 0 (rispettivmente, x n ) l derivt prim del polinomio interpoltore di f di grdo 2 reltivo i nodi x 0,x 1,x 2 (rispettivmente, x n 2,x n 1,x n ). Si vedno gli Esercizi Integrzione numeric In questo prgrfo introducimo metodi numerici dtti per pprossimre l integrle I(f) = b f(x) dx, essendo f un rbitrri funzione continu in [, b]. Ricveremo prim lcune semplici formule, per poi osservre che esse sono prte dell più mpi fmigli delle cosiddette formule di Newton-Cotes. Successivmente introdurremo le cosiddette formule Gussine che grntiscono il mssimo grdo di esttezz per un dto numero di vlutzioni dell funzione f.

6 104 4 Differenzizione ed integrzione numeric f f x x x 0 x k x M ( + b)/2 b Figur 4.3. Formule del punto medio composito ( sinistr) e del punto medio ( destr) L formul del punto medio Un semplice procedur per pprossimre I(f) consiste nel suddividere l intervllo [, b] in sottointervlli I k =[x k 1,x k ], k =1,...,M,con x k = + kh, k =0,...,M, H =(b )/M.Poiché I(f) = M k=1 I k f(x) dx, (4.12) su ogni sotto-intervllo I k si sostituisce l integrle di f con l integrle di un polinomio f che pprossimi f su I k. L soluzione più semplice consiste nello scegliere f come il polinomio costnte che interpol f nel punto medio dell intervllo I k x k = x k 1 + x k. 2 In tl modo si ottiene l formul di qudrtur composit del punto medio M Ipm c (f) =H f( x k ) (4.13) Il pedice pm st per punto medio, mentre l pice c st per composit. Ess è ccurt l second ordine rispetto H, più precismente se f è derivbile con continuità in [, b] fino l second ordine, si h k=1 I(f) I c pm (f) = b 24 H2 f (ξ), (4.14) dove ξ è un opportuno punto in [, b] (si ved l Esercizio 4.6). L formul (4.13) è nche not come formul di qudrtur composit del rettngolo per l su interpretzione geometric, che è evidente in Figur 4.3. L formul del punto medio clssic (not nche come formul del rettngolo) si ottiene prendendo M = 1 nell (4.13), ovvero usndo l formul del punto medio direttmente sull intervllo (, b)

7 L errore or èdtod 4.2 Integrzione numeric 105 I pm (f) =(b )f[( + b)/2] (4.15) (b )3 I(f) I pm (f) = f (ξ), (4.16) 24 dove ξ è un opportuno punto in (, b). L (4.16) segue come cso prticolre dell (4.14), m può nche essere dimostrt direttmente osservndo che, posto x =( + b)/2, si h I(f) I pm (f) = = b b [f(x) f( x)] dx f ( x)(x x) dx b f (η(x))(x x) 2 dx, essendo η(x) un punto opportuno compreso fr x e x. L (4.16) segue in qunto b (x x) dx = 0 ed inoltre, per il teorem dell medi integrle, ξ [, b] tleche 1 2 b f (η(x))(x x) 2 dx = 1 2 f (ξ) b (x x) 2 dx = (b )3 f (ξ). 24 Il grdo di esttezz di un formul di qudrtur èilpiù grnde intero r 0 per il qule l integrle pprossimto (prodotto dll formul di qudrtur) di un polinomio generico di grdo r è ugule ll integrle estto. Come si deduce dlle (4.14) e (4.16), le formule del punto medio hnno grdo di esttezz 1 in qunto integrno esttmente tutti i polinomi di grdo minore od ugule 1 (m non tutti quelli di grdo 2). L formul composit del punto medio è stt implementt nel Progrmm 8. I prmetri d ingresso sono gli estremi dell intervllo di integrzione e b, il numero di sottointervlli M elfunction f che contiene l espressione dell funzione integrnd f. Progrmm 8 - midpointc : formul composit del punto medio function Imp=midpointc(,b,M,f,vrrgin) %MIDPOINTC Formul composit del punto medio. % IMP = MIDPOINTC(A,B,M,FUN) clcol un pprossimzione dell integrle % dell funzione FUN trmite l formul composit del punto medio (su M % intervlli equispziti). FUN e un function che riceve in ingresso un vettore x % e restituisce un vettore rele. FUN puo essere un inline function. % IMP = MIDPOINT(A,B,M,FUN,P1,P2,...) pss ll function FUN i prmetri

8 106 4 Differenzizione ed integrzione numeric f f x x x 0 = x k x M = b x 0 = x 1 = b Figur 4.4. Formule del trpezio composit ( sinistr) e del trpezio ( destr) % opzionli P1,P2,... come FUN(X,P1,P2,...). H=(b-)/M; x = linspce(+h/2,b-h/2,m); fmp=fevl(f,x,vrrgin{:}).*ones(1,m); Imp=H*sum(fmp); return Si vedno gli Esercizi L formul del trpezio Si può ottenere un ltr formul di qudrtur sostituendo su ogni I k f con il suo interpoltore linere composito nei nodi x k 1 e x k (equivlentemente, sostituendo in [, b] f con l interpoltore linere composito Π1 H f, si ved il prgrfo 3.2). Si perviene ll formul seguente, dett formul del trpezio composit I c t (f) = H 2 M [f(x k 1 )+f(x k )] k=1 = H M 1 2 [f()+f(b)] + H f(x k ) k=1 (4.17) Ess è ccurt l second ordine rispetto H, più precismente I(f) It c (f) = b 12 H2 f (ξ) (4.18) per un opportuno ξ [, b], purché f C 2 ([, b]). Utilizzndo (4.17) con M = 1, si trov l formul I t (f) = b [f()+f(b)] (4.19) 2

9 4.2 Integrzione numeric 107 dett formul del trpezio per vi dell su interpretzione geometric (si ved l Figur 4.4). L errore che si commette vle (b )3 I(f) I t (f) = f (ξ), (4.20) 12 con ξ opportuno in [, b]. Si deduce che (4.19) h grdo di esttezz ugule d 1, come l formul del punto medio. L formul composit del trpezio (4.17) è implementt nei progrmmi MATLAB trpz e cumtrpz. In prticolre, se indichimo con x il vettore con componenti gli x k econy il vettore delle f(x k ), z=cumtrpz(x,y) restituisce un vettore z che h come componenti i vlori z k = x k f(x) dx, pprossimti con l formul composit del trpezio. Di conseguenz, il vlore dell integrle tr e b è contenuto nell ultim componente di z. trpz cumtrpz Si vedno gli Esercizi L formul di Simpson L formul di Simpson si ottiene sostituendo su ogni I k l integrle di f con quello del polinomio interpoltore di grdo 2 di f reltivo i nodi x k 1, x k =(x k 1 + x k )/2 ex k Π 2 f(x) = 2(x x k)(x x k ) H 2 f(x k 1 ) + 4(x k 1 x)(x x k ) H 2 f( x k )+ 2(x x k)(x x k 1 ) H 2 f(x k ). L formul risultnte è not come l formul di qudrtur composit di Simpson, edèdtd I c s(f) = H 6 M [f(x k 1 )+4f( x k )+f(x k )] (4.21) k=1 Si può dimostrre che ess introduce un errore pri I(f) Is(f) c = b H f (4) (ξ), (4.22) dove ξ è un punto opportuno in [, b], purché f C 4 ([, b]). Si trtt quindi di un formul ccurt di ordine 4 rispetto H. Qundo (4.21) viene pplict d un solo intervllo (, b), ottenimo l formul di qudrtur di Simpson

10 108 4 Differenzizione ed integrzione numeric I s (f) = b 6 [f()+4f(( + b)/2) + f(b)] (4.23) L errore or vle I(f) I s (f) = 1 (b ) 5 f (4) (ξ), (4.24) per un opportuno ξ [, b]. Il grdo di esttezz è quindi ugule 3. L formul composit di Simpson è implementt nel Progrmm 9. Progrmm 9 - simpsonc : formul composit di Simpson function [Isic]=simpsonc(,b,M,f,vrrgin) %SIMPSONC Formul composit di Simpson % ISIC = SIMPSONC(A,B,M,FUN) clcol un pprossimzione dell integrle % dell funzione FUN trmite l formul composit di Simpson (su M % intervlli equispziti). FUN e un function che riceve in ingresso un vettore x % e restituisce un vettore rele. FUN puo essere un inline function. % ISIC = SIMPSONC(A,B,M,FUN,P1,P2,...) pss ll function FUN i prmetri % opzionli P1,P2,... come FUN(X,P1,P2,...). H=(b-)/M; x=linspce(,b,m+1); fpm=fevl(f,x,vrrgin{:}).*ones(1,m+1); fpm(2:end-1) = 2*fpm(2:end-1); Isic=H*sum(fpm)/6; x=linspce(+h/2,b-h/2,m); fpm=fevl(f,x,vrrgin{:}).*ones(1,m); Isic = Isic+2*H*sum(fpm)/3; return Esempio 4.2 (Demogrfi) Considerimo il Problem 4.4. Per determinre il numero di individui l cui ltezz è compres fr 1.8 e 1.9 m, dobbimo clcolre l integrle (4.3) per h = 1.8 e Δh = 0.1. Usimo l formul composit di Simpson con 100 sotto-intervlli: >> N = inline( M/(sigm * sqrt(2*pi)) * exp(-(h - hbr).ˆ2./(2*sigmˆ2)),... h, M, hbr, sigm ); >> M = 200; hbr = 1.7; sigm = 0.1; >> int = simpsonc(1.8, 1.9, 100, N, M, hbr, sigm) ns = Si stim quindi che il numero di individui con ltezz nell intervllo indicto è , corrispondente l % dell popolzione. Esempio 4.3 Voglimo confrontre le pprossimzioni dell integrle I(f) = R 2π 0 xe x cos(2x) dx = 1/25(10π 3+3e 2π )/e 2π ottenute usndo le formule composite del punto medio, del trpezio e di Simpson. In Figur 4.5 riportimo in scl logritmic l ndmento degli errori in funzione di H.

11 4.3 Formule di qudrtur interpoltorie Figur 4.5. Rppresentzione in scl logritmic degli errori (rispetto H) per le formule composite di Simpson (line pien con cerchietti), del punto medio (line pien) e del trpezio (line trtteggit) Come osservto nel prgrfo 1.5, in questo tipo di grfici rette di pendenz mggiore corrispondono metodi di ordine più elevto. Come previsto dll teori le formule composite del punto medio e del trpezio sono ccurte di ordine 2, mentre quell di Simpson èdiordine Formule di qudrtur interpoltorie Tutte le formule di qudrtur che bbimo precedentemente introdotto sono esempi notevoli dell form generle I ppr (f) = n α j f(y j ) (4.25) I numeri reli {α j } sono detti pesi, mentre i punti {y j } sono detti nodi. Limitimoci l cso di formule non composite, ovvero corrispondenti ll scelt M = 1, come d esempio nelle formule (4.15), (4.19) e (4.23). In generle, si richiede che l formul (4.25) integri esttmente lmeno le funzioni costnti: quest proprietà è grntit se n j=0 α j = b. Avremo invece sicurmente un grdo di esttezz (lmeno) pri n se I ppr (f) = b j=0 Π n f(x)dx, dove Π n f P n è il polinomio interpoltore di Lgrnge di un funzione f nei nodi y i,i=0,...,n, dto nell (3.4). I pesi vrnno di conseguenz l seguente espressione b α i = ϕ i (x)dx, i =0,...,n,

12 110 4 Differenzizione ed integrzione numeric dove ϕ i P n èl i-esimo polinomio crtteristico di Lgrnge tle che ϕ i (y j )=δ ij,peri, j =0,...,n, definito nell (3.3). Esempio 4.4 Per l formul del trpezio (4.19) bbimo n =1,y 0 =, y 1 = b e α 0 = α 1 = Z b Z b ϕ 0(x)dx = ϕ 1(x)dx = Z b Z b x b b dx = b 2, x b dx = b 2. L domnd che ci ponimo or è se si possibile determinre un formul di qudrtur interpoltori che, grzie d un opportun scelt dei nodi, bbi un grdo di esttezz mggiore di n, precismente pri r = n + m per un opportuno m>0. Per semplicità restringimo l nostr discussione ll intervllo di riferimento ( 1, 1). Un volt determinto un insieme di nodi di qudrtur {ȳ j } (e, conseguentemente di pesi {ᾱ j }) sull intervllo ( 1, 1), utilizzndo il cmbio di vribile (3.8) troveremo immeditmente i corrispondenti nodi e pesi su un intervllo (, b) generico, y j = + b 2 + b ȳ j, 2 α j = b ᾱ j. 2 L rispost l nostro quesito è contenut nel risultto che segue (per l cui dimostrzione rimndimo [QSS04, Cpitolo 10]): Proposizione 4.1 Per un dto m>0, l formul di qudrtur n j=0 ᾱjf(ȳ j ) h grdo di esttezz n + m se e soltnto se è di tipo interpoltorio e se il polinomio nodle ω n+1 (x) =Π n i=0 (x ȳ i) ssocito i nodi {ȳ i } ètleche 1 1 ω n+1 (x)p(x)dx =0, p P m 1. (4.26) Si può dimostrre che il vlore mssimo che m può ssumere è n+1 e viene rggiunto qundo ω n+1 è proporzionle l cosiddetto polinomio di Legendre di grdo n+1, L n+1 (x). I polinomi di Legendre sono clcolbili ricorsivmente trmite l seguente relzione tre termini L 0 (x) =1, L k+1 (x) = L 1 (x) =x, 2k +1 k +1 xl k(x) k k +1 L k 1(x), k =1, 2,...,

13 4.3 Formule di qudrtur interpoltorie 111 n {ȳ j} {ᾱ j} 1 ±1/ 3 1 {1} 1 2 ± n 15/5, 0 1 {5/9, 8/9} p 1 3 ±(1/35) , (1/36)( ), 1 p ±(1/35) o 1 30 (1/36)(18 30) n 1 4 0, ±(1/21) p /225, (1/900)( ) p 1 ±(1/21) o 1 70 (1/900)( ) 1 Tbell 4.1. Nodi e pesi di lcune formule di qudrtur di Guss-Legendre sull intervllo ( 1, 1). I pesi corrispondenti coppie di nodi simmetrici rispetto llo 0 vengono riportti un volt sol e si può dimostrre che un qulsisi polinomio di grdo minore od ugule n può essere scritto come un combinzione linere dei polinomi di Legendre L 0,L 1,...,L n. Si può inoltre verificre che L n+1 èortogonle tutti i polinomi di grdo minore od ugule n nel senso che 1 1 L n+1(x)l j (x) dx =0perj =0,...,ne, di conseguenz, l (4.26) risult verifict. Il mssimo grdo di esttezz conseguibile è quindi pri 2n + 1, e si ottiene con l cosiddett formul di Guss-Legendre (in breve I GL )icuinodiepesisono: ȳ j zero di L n+1 (x), 2 ᾱ j = (1 ȳj 2)[L n+1 (ȳ j)] 2,j=0,...,n. (4.27) I pesi ᾱ j sono tutti positivi ed i nodi sono tutti interni ll intervllo ( 1, 1). In Tbell 4.1 riportimo i nodi ed i pesi delle formule di qudrtur di Guss-Legendre per n =1, 2, 3, 4. Se f C (2n+2) ([ 1, 1]), l errore corrispondente èdtod I(f) I GL (f) = 22n+3 ((n +1)!) 4 (2n + 3)((2n +2)!) 3 f (2n+2) (ξ), dove ξ è un opportuno punto in [ 1, 1]. Spesso è utile includere tr i nodi di qudrtur i punti estremi dell intervllo di integrzione. In tl cso, l formul con il mssimo grdo di esttezz (pri 2n 1) è quell che us i cosiddetti nodi di Guss-Legendre-Lobtto (in breve GLL): per n 1 y 0 = 1, y n =1, y j zero di L n(x), j=1,...,n 1, (4.28) α j = 2 1 n(n +1) [L n (ȳ j )] 2, j =0,...,n.

14 112 4 Differenzizione ed integrzione numeric n {ȳ j} {ᾱ j} 1 {±1} {1} 2 {±1, 0} {1/3, 4/3} 3 {±1, ± 5/5} {1/6, 5/6} 4 {±1, ± 21/7, 0} {1/10, 49/90, 32/45} Tbell 4.2. Nodi e pesi di lcune formule di qudrtur di Guss-Legendre- Lobtto sull intervllo [ 1, 1]. I pesi corrispondenti coppie di nodi simmetrici rispetto llo 0 vengono riportti un volt sol Se f C (2n) ([ 1, 1]), l errore corrispondente èpri I(f) I GLL (f) = (n +1)n3 2 2n+1 ((n 1)!) 4 (2n + 1)((2n)!) 3 f (2n) (ξ), per un opportuno ξ [ 1, 1]. In Tbell 4.2 riportimo i vlori dei nodi e dei pesi delle formule di Guss-Legendre-Lobtto sull intervllo di riferimento [ 1, 1] per n =1, 2, 3, 4(pern =1sitrovlformuldel trpezio). Usndo il comndo MATLAB qudl(fun,,b) è possibile ppros- simre un integrle con un formul di qudrtur composit di Guss- Lobtto. L funzione d integrre deve essere precist in input in un function (che può essere nche un inline function). Ad esempio, per integrre f(x) =1/x in [1, 2], definimo prim l seguente function fun fun=inline( 1./x, x ); per poi eseguire qudl(fun,1,2). Si noti che nell definizione di fun bbimo ftto uso di un operzione elemento per elemento: in effetti qudl vluterà l espressione specifict in fun su di un vettore di nodi di qudrtur. Come si vede, nel richimre qudl non bbimo specificto il numero di intervlli di qudrtur d utilizzre nell formul composit, nè, conseguentemente, l loro mpiezz H. Tle decomposizione viene utomticmente clcolt in modo che l errore di qudrtur si mnteng l di sotto di un tollernz prefisst (pri di defult 10 3 ). Con il comndo qudl(fun,,b,tol) si può precisre un tollernz tol divers. Nel prgrfo 4.4 introdurremo un metodo per stimre l errore di qudrtur e, conseguentemente, per cmbire H in modo dttivo. qudl Rissumendo 1. Un formul di qudrtur clcol in modo pprossimto l integrle di un funzione continu f su un intervllo [, b]; 2. ess è generlmente costituit dll combinzione linere dei vlori di f in determinti punti (detti nodi di qudrtur) moltiplicti per opportuni coefficienti (detti pesi di qudrtur);

15 4.4 L formul di Simpson dttiv il grdo di esttezz di un formul di qudrtur è il grdo più lto dei polinomi che vengono integrti esttmente dll formul stess. Tle grdo è pri 1 per le formule del punto medio e del trpezio, 3perlformuldiSimpson,2n + 1 per l formul di Guss- Legendre con n + 1 nodi di qudrtur e 2n 1perlformuldi Guss-Legendre-Lobtto con n + 1 nodi di qudrtur; 4. un formul di qudrtur composit h ordine di ccurtezz p se l errore tende zero per H che tende zero come H p,doveh è l mpiezz dei sotto-intervlli. L ordine di ccurtezz è pri 2 per le formule composite del punto medio e del trpezio, 4 per l formul composit di Simpson. Si risolvno gli Esercizi L formul di Simpson dttiv Il psso di integrzione H di un formul di qudrtur composit può essere scelto in modo d grntire che l errore si inferiore d un tollernz ε>0 prestbilit. A tl fine se usssimo d esempio l formul di Simpson composit (4.21), grzie ll (4.22) bsterebbe richiedere che b 180 H 4 16 mx x [,b] f (4) (x) <ε, (4.29) dove f (4) denot l solito l derivt qurt di f. D ltr prte, se f (4) è in vlore ssoluto grnde solo in un piccol porzione dell intervllo di integrzione, il più grnde vlore di H per il qule l (4.29) è soddisftt srà presumibilmente troppo piccolo. L obiettivo dell formul di Simpson dttiv è quello di clcolre un pprossimzione di I(f) meno di un tollernz ε fisst fcendo uso di un distribuzione non uniforme dei sotto-intervlli nell intervllo [, b]. In tl modo si grntisce l stess ccurtezz dell formul composit con nodi equispziti, m con un numero inferiore di intervlli (e, quindi, di vlutzioni di f). Per implementre un lgoritmo dttivo servirnno uno stimtore dell errore di qudrtur ed un procedur che modifichi, conseguentemente l soddisfcimento dell tollernz richiest, il psso di integrzione H. Anlizzimo dpprim il secondo punto, che è indipendente dll formul di qudrtur ust. Al primo psso dell procedur dttiv, clcolimo un pprossimzione I s (f) dii(f) = b f(x) dx. PonimoH = b e cerchimo di stimrel errorediqudrtur. Se l erroreè minore dell tollernz richiest, l procedur dttiv si rrest, in cso contrrio si dimezz il psso di integrzione H finché non si clcol l integrle +H f(x) dx con l ccurtezz desidert. A questo punto si consider l intervllo ( + H, b)

16 114 4 Differenzizione ed integrzione numeric e si ripete l procedur, scegliendo come primo psso di integrzione l lunghezz b ( + H) dell intervllo di integrzione. Introducimo le seguenti notzioni: 1. A: l intervllo di integrzione ttivo cioè quell intervllo sul qule stimo effettivmente pprossimndo l integrle; 2. S: l intervllo di integrzione già esmintonel qule sppimo che l errore commesso st l di sotto dell tollernz richiest; 3. N: l intervllo di integrzione ncor d esminre. All inizio del processo di integrzione bbimo N =[, b], A = N e S =, mentre d un psso intermedio vremo un situzione nlog quell descritt nell Figur 4.6. Indichimo con J S (f) l pprossimzione clcolt di α f(x) dx (vendo posto J S(f) = 0 ll inizio del processo). Se l lgoritmo termin con successo J S (f) fornirà l pprossimzione cerct di I(f). Indichimo inoltre con J (α,β) (f) l integrle pprossimto di f sull intervllo ttivo [α, β], in binco in Figur 4.6. Il generico psso del metodo di integrzione dttivo viene relizzto come segue: 1. se l stim dell errore grntisce che esso si inferiore ll tollernz richiest, llor: (i) J S (f) viene incrementto di J (α,β) (f), ossi J S (f) J S (f) + J (α,β) (f); (ii) ponimo S S A, A = N (corrispondente l cmmino (I) in Figur 4.6) e α β, β b; 2. se l stim dell errore non h l ccurtezz richiest, llor: (j) A viene dimezzto ed il nuovo intervllo ttivo viene posto pri A =[α, α ]conα =(α+β)/2 (corrispondente l cmmino (II) in Figur 4.6); (jj) ponimo N N [α,β], β α ; (jjj) si stim nuovmente l errore. Nturlmente, per evitre che l lgoritmo proposto generi pssi di integrzione troppo piccoli, conviene controllre l lunghezz di A ed vvertire l utilizztore qulor tle grndezz scend l di sotto di un vlore di sogli (questo potrebbe ccdere d esempio in un intorno di un singolrità dell funzione integrnd). Rest or d scegliere un opportuno stimtore dell errore. A tl fine, ponimoci su un generico sotto-intervllo di integrzione [α, β] eclco- limo I s (f) su [α, β] [, b]: evidentemente, se su tle generico intervllo l errore srà minorediε(β α)/(b ), llor l errore su tutto [, b] srà minore dell tollernz ssegnt ε. Poiché dll (4.24) segue che E s (f; α, β) = β α f(x) dx I s (f) = (β α) f (4) (ξ),

17 4.4 L formul di Simpson dttiv 115 S α A β N b (I) S α A b (II) S α A α N b Figur 4.6. Distribuzione degli intervlli di integrzione d un psso intermedio del processo di integrzione dttiv per ssicurrsi il rggiungimento dell ccurtezz desidert bsterà richiedere che E s (f; α, β) si minore di ε(β α)/(b ). In prtic quest richiest non è semplice d soddisfre perché il punto ξ di [α, β] è sconosciuto. Per stimre l errore E s (f; α, β) senz ricorrere esplicitmente l vlore di f (4) (ξ), usimo or l formul di qudrtur composit di Simpson per clcolre β f(x) dx, m con psso H =(β α)/2. Per l (4.22) con α = α e b = β, trovimoche β α f(x) dx Is(f) c (β α)5 = f (4) (η), (4.30) per un opportuno η diverso d ξ. Sottrendo membro membro le due ultime equzioni, si trov llor ΔI = Is c (f) I (β α)5 s(f) = 2880 f (4) (β α)5 (ξ) f (4) (η). (4.31) Assumimo or che f (4) (x) si pprossimtivmente costnte sull intervllo [α, β]. In tl cso, f (4) (ξ) f (4) (η). Ricvndo f (4) (η) dll (4.31) e sostituendolo nell (4.30), si trov l seguente stim dell errore: β α f(x) dx I c s(f) 1 15 ΔI. Il psso di integrzione (β α)/2 (quello impiegto per il clcolo di I c s(f)) verrà llor ccettto se ΔI /15 <ε(β α)/[2(b )] (l divisione per 2 è ftt per vi cuteltiv). L formul che combin questo criterio

18 116 4 Differenzizione ed integrzione numeric sul psso con il processo dttivo descritto in precedenz, prende il nome di formul di Simpson dttiv. Ess è stt implementt nel Progrmm 10 nel qule f èlfunction che precis l funzione integrnd, e b sono gli estremi dell intervllo di integrzione, tol l tollernz richiest sull errore e hmin il minimo psso di integrzione consentito (per evitre che il processo di dimezzmento del psso continui indefinitmente). Progrmm 10 - simpdpt : formul di Simpson dttiv function [JSf,nodes]=simpdpt(f,,b,tol,hmin,vrrgin) %SIMPADPT Formul dttiv di Simpson. % JSF = SIMPADPT(FUN,A,B,TOL,HMIN) pprossim l integrle di FUN % nell intervllo (A,B) grntendo che il vlore ssoluto dell errore si % inferiore TOL. FUN e un function che riceve in ingresso un vettore x % e restituisce un vettore rele. FUN puo essere un inline function. % JSF = SIMPADPT(FUN,A,B,TOL,HMIN,P1,P2,...) pss ll function FUN % i prmetri opzionli P1,P2,... come FUN(X,P1,P2,...). % [JSF,NODES] = SIMPADPT(...) restituisce l distribuzione di nodi % usti nel processo di qudrtur. A=[,b]; N=[]; S=[]; JSf = 0; b = b - ; nodes=[]; while isempty(a), [delti,isc]=cldelti(a,f,vrrgin{:}); if bs(delti) <= 15*tol*(A(2)-A(1))/b; JSf = JSf + ISc; S = union(s,a); nodes = [nodes, A(1) (A(1)+A(2))*0.5 A(2)]; S = [S(1), S(end)]; A = N; N = []; elseif A(2)-A(1) < hmin JSf=JSf+ISc; S = union(s,a); S = [S(1), S(end)]; A=N; N=[]; wrning( Psso di integrzione troppo piccolo ); else Am = (A(1)+A(2))*0.5; A = [A(1) Am]; N = [Am, b]; end end nodes=unique(nodes); return function [delti,isc]=cldelti(a,f,vrrgin) L=A(2)-A(1); t=[0; 0.25; 0.5; 0.5; 0.75; 1]; x=l*t+a(1); L=L/6; w=[1; 4; 1]; fx=fevl(f,x,vrrgin{:}).*ones(6,1); IS=L*sum(fx([1 3 6]).*w); ISc=0.5*L*sum(fx.*[w;w]); delti=is-isc; return

19 4.6 Esercizi 117 Esempio 4.5 Clcolimo I(f) = R 1 di Simpson. Eseguendo il Progrmm 10 con 1 e 10(x 1)2 dx con l formul dttiv >> fun=inline( exp(-10*(x-1).ˆ2) ); tol = 1.e-04; hmin = 1.e-03; trovimo il vlore pprossimto IS A = , mentre il vlore estto è Il risultto ottenuto soddisf l tollernz richiest, in qunto I(f) IS A Si noti che per ottenere questo risultto bstno soltnto 10 sotto-intervlli non uniformi. L formul di Simpson composit con psso uniforme vrebbe richiesto circ 22 sotto-intervlli per ottenere l stess ccurtezz. 4.5 Cos non vi bbimo detto Le formule del punto medio, del trpezio e di Simpson sono csi prticolri di un mpi fmigli di formule di qudrtur, note come formule di Newton-Côtes. Per un loro presentzione rimndimo [QSS04, Cpitolo 9]. In mnier del tutto nlog, le formule di Guss-Legendre e di Guss-Legendre-Lobtto sono solo esempi dell importnte fmigli di formule di qudrtur Gussine: esse hnno l peculirità di rggiungere il mssimo grdo di esttezz, un volt fissto il numero di nodi. Rimndimo [QSS04, Cpitolo 10] o [RR85] per l loro trttzione. Per ulteriori pprofondimenti sull integrzione numeric citimo nche [DR75] e [PdDKÜK83]. L integrzione numeric può essere relizzt nche per integrli su intervlli illimitti, come d esempio per clcolre 0 f(x) dx. Unpossibilità consiste nel trovre un punto α tle che il vlore di α f(x)dx poss essere trscurto rispetto quello di α f(x)dx; ci si limit poi 0 clcolre quest ultimo con un formul di qudrtur. Alterntivmente si può ricorrere formule di qudrtur di Guss per intervlli illimitti (si ved [QSS04], cpitolo 10). Infine, l integrzione numeric può essere estes d integrli su domini multidimensionli. Il comndo MATLAB dblqud( f,xmin,xmx, ymin,ymx) consente d esempio di pprossimre l integrle di un dt funzione, precist ttrverso un vribile f, sul dominio rettngolre [xmin,xmx] [ymin,ymx]. f è un function che deve vere come prmetri d ingresso lmeno le due vribili rispetto lle quli si clcol l integrle doppio, x e y. dblqud 4.6 Esercizi Esercizio 4.1 Si verifichi che se f C 3 formul (4.9) è dto dll (4.10). in un intorno di x l errore dell

20 118 4 Differenzizione ed integrzione numeric Esercizio 4.2 Si verifichi che, se f C 3 in un intorno I 0 di x 0 (rispettivmente, I n di x n) l errore nell formul (4.11) èpri 1 f (ξ 3 0)h 2 (rispettivmente, 1 f (ξ 3 n)h 2 ), dove ξ 0 e ξ n sono due punti opportuni in I 0 e I n, rispettivmente. Esercizio 4.3 Si ricvi l ordine di ccurtezz rispetto h delle seguenti formule di differenzizione numeric per l pprossimzione di f (x i):. b. c. 11f(x i)+18f(x i+1) 9f(x i+2)+2f(x i+3), 6h f(x i 2) 6f(x i 1)+3f(x i)+2f(x i+1), 6h f(x i 2) 12f(x i)+16f(x i+1) 3f(x i+2). 12h Esercizio 4.4 I vlori seguenti rppresentno l evoluzione l vrire del tempo t del numero di individui n(t) di un cert popolzione crtterizzt d un tsso di ntlità costnteb = 2 e d un tsso di mortlità d(t) =0.01n(t): t (mesi) n Si usino questi dti per determinre il più ccurtmente possibile il tsso di vrizione dell popolzione. Si confrontino i risultti ottenuti con l velocità teoric dt d n (t) =2n(t) 0.01n 2 (t). Esercizio 4.5 Si clcoli il minimo numero M di intervlli necessri per pprossimre, meno di un errore di 10 4, l integrle delle seguenti funzioni negli intervlli indicti: 1 f 1(x) = 1+(x π) 2 in [0, 5], f 2(x) =e x cos(x) in [0,π], f 3(x) = p x(1 x) in [0, 1], utilizzndo l formul composit del punto medio. Si verifichino sperimentlmente i risultti ottenuti trmite il Progrmm 8. Esercizio 4.6 Si dimostri l (4.14) prtire dll (4.16). Esercizio 4.7 Si giustifichi l perdit di un ordine di convergenz che si h pssndo dll formul del punto medio quell del punto medio composit. Esercizio 4.8 Si verifichi che se f è un polinomio di grdo minore od ugule 1, llor I pm(f) =I(f) cioè che l formul del punto medio h grdo di esttezz ugule d 1.

21 4.6 Esercizi 119 Esercizio 4.9 Per l funzione f 1 dell Esercizio 4.5, si vlutino numericmente i vlori di M che grntiscono un errore di qudrtur inferiore 10 4 nel cso in cui si usino le formule composite del trpezio e di Guss. Esercizio 4.10 Sino I 1 e I 2 due pprossimzioni, ottenute utilizzndo l formul composit del trpezio con due pssi di qudrtur diversi, H 1 e H 2, di I(f) = R b f(x)dx. Se f (2) non vri molto in (, b), il seguente vlore I R = I 1 +(I 1 I 2)/(H 2 2 /H 2 1 1) (4.32) costituisce un pprossimzione di I(f) migliore di quelle dte d I 1 e I 2. Questo metodo è noto come metodo di estrpolzione di Richrdson. Usndo l (4.18) si ricvi l (4.32). Esercizio 4.11 Si verifichi che tr le formule del tipo I pprox(f) =αf( x) + βf( z) dove x, z [, b] sono nodi incogniti e α e β coefficienti d determinre, l formul con n = 1 dell Tbell 4.1 è quell con grdo di esttezz mssimo. Esercizio 4.12 Per le prime due funzioni dell Esercizio 4.5, si vluti il minimo numero di intervlli necessri per ottenere un integrle pprossimto con l formul di Simpson composit meno di un errore di Esercizio 4.13 Si clcoli R 2 0 e x2 /2 dx con l formul di Simpson (4.23) e con l formul di Guss-Legendre di Tbell 4.1 per n =1e si confrontino i risultti ottenuti. Esercizio 4.14 Per il clcolo degli integrli I k = R 1 0 xk e x 1 dx per k = 1, 2,..., si può utilizzre l seguente formul ricorsiv: I k =1 ki k 1 con I 1 =1/e. SiclcoliI 20 con l formul di Simpson composit in modo d grntire un errore inferiore Si confronti il risultto ottenuto con quello fornito dll uso dell formul ricorsiv suddett. Esercizio 4.15 Si pplichi l formul di estrpolzione di Richrdson (4.32) per l pprossimzione dell integrle R 2 0 e x2 /2 dx con H 1 = 1 e H 2 = 0.5 usndo prim l formul di Simpson (4.23) e quindi l formul di Guss- Legendre per n = 1 di Tbell 4.1. Si verifichi che in entrmbi i csi I R è sempre più ccurto di I 1 e I 2. Esercizio 4.16 (Elettromgnetismo) Si pprossimi con l formul composit di Simpson l funzione j(r, 0) definit nell (4.2) per r = k/10 m con k = 1,...,10, ρ(r) = exp(r) e σ = 0.36 W/(mK). Si grntisc che l errore commesso si inferiore (ricordimo che m=metri, W=wtts, K=grdi Kelvin). Esercizio 4.17 (Ottic) Si clcoli l funzione E(T ) definit nell (4.1) per T pri 213 K (cioè 60 grdi Celsius) con lmeno 10 cifre significtive estte utilizzndo le formule composite di Simpson e di Guss-Legendre con n =1.

22 120 4 Differenzizione ed integrzione numeric Esercizio 4.18 Si propong un strtegi per il clcolo di I(f) = R 1 0 x dx con l formul di Simpson composit tle d grntire che l errore si complessivmente inferiore 10 2.