Circuiti elettrici. Introduzione. (versione del ) Circuiti elettrici

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1 Circuiti elettrici Introduzione (versione del ) Circuiti elettrici Un circuito elettrico è un sistem elettromgnetico costituito dl collegmento di sottosistemi detti componenti circuitli Componenti Conduttori 2

2 Componenti Un componente è un sottosistem idelmente delimitto d un superficie chius (superficie limite) L superficie limite può essere ttrverst d correnti elettriche solo in corrispondenz di un certo numero ( 2) di regioni, dette poli o terminli Superficie limite Terminli Un componente dotto di N terminli è detto N-polo 3 Correnti e tensioni L definizione di componente di bs sulle seguenti ipotesi: Ad ogni terminle di un componente può essere ssocit in modo univoco un grndezz dett corrente Ad ogni coppi di terminli di un componente può essere ssocit in modo univoco un grndezz dett tensione Le interzioni di un componente con il resto del circuito (e in prticolre gli scmbi di energi elettromgnetic) sono completmente determinti dgli ndmenti nel tempo delle correnti e delle tensioni i suoi terminli Il comportmento di un circuito è definito dll ndmento nel tempo delle correnti e delle tensioni dei suoi componenti 4

3 Cric elettric L cric elettric è un proprietà fondmentle dell mteri rppresentbile medinte un grndezz sclre (unità di misur coulomb, C) I fenomeni fisici riconducibili lle criche elettriche sono detti fenomeni elettromgnetici L esperienz mostr che esistono due tipi di criche tr criche dello stesso tipo si esercitno forze repulsive tr criche di tipo diverso si esercitno forze ttrttive Convenzionlmente si ttribuiscono vlori positivi lle criche di un tipo e negtivi lle criche dell ltro tipo 5 Corrente elettric L corrente elettric è costituit d un flusso di criche elettriche E descritt d un grndezz sclre che rppresent l quntità di cric che ttrvers un superficie orientt S (d esempio l sezione di un conduttore o un terminle di un componente) in senso concorde con l normle ll superficie nell unità di tempo In generle si possono vere criche dei due tipi e che si muovono si in senso concorde si in senso discorde con l normle L cric totle che ttrvers l superficie è vlutt medinte un somm lgebric Il segno di vri contributi è ottenuto combinndo il segno dell cric con un segno + o dipendente dl verso del moto 6

4 Definizione dell corrente elettric Si indic con Q l cric che ttrvers l superficie S in senso concorde con l normle nˆ nell intervllo di tempo t Q Q Q Contributo positivo (Q ) criche positive dirette in senso concorde con l normle criche negtive dirette in senso discorde con l normle Contributo negtivo (Q ) criche positive dirette in senso discorde con l normle criche negtive dirette in senso concorde con l normle 7 Definizione dell corrente elettric L corrente, i(t), è definit dll relzione i( t) lim t0 Q t d Q dt L corrente è l derivt dell funzione Q(t) che rppresent l quntità di cric trnsitt ttrverso S prtire d un certo istnte inizile fino ll istnte t Q(t) non si identific necessrimente con l cric presente in qulche regione dello spzio ll istnte t è possibile che le stesse criche (muovendosi lungo percorsi chiusi) forniscno più contributi Q(t) 8

5 Verso di riferimento dell corrente Il verso dell normle ll superficie è detto verso di riferimento dell corrente Il verso di riferimento può essere scelto in modo rbitrrio non h nessun relzione con il verso del moto delle criche L corrente può ssumere si vlori positivi si vlori negtivi i 0 trsferimento di un quntità positiv di cric in senso concorde con il verso di riferimento i 0 trsferimento di un quntità positiv di cric in senso opposto l il verso di riferimento 9 Verso fisico dell corrente Indipendentemente dl tipo di criche effettivmente presenti nel conduttore, è sempre possibile rppresentre un dt corrente come risultto del moto di criche positive dirette tutte nello stesso verso Il verso del moto di queste criche positive è indicto convenzionlmente come verso fisico dell corrente E opportuno notre che In generle, nello studio dei circuiti elettrici, i versi fisici delle correnti non sono noti priori Se le correnti non sono costnti nel tempo nche i loro versi fisici possono vrire 10

6 Verso riferimento e verso fisico Per scrivere le equzioni di un circuito elettrico occorre ssegnre lle correnti dei versi di riferimento fissti priori costnti nel tempo I versi di riferimento vengono scelti in modo rbitrrio e non devono necessrimente coincidere con i versi fisici A posteriori, il segno dell corrente in relzione l verso di riferimento consente di determinre nche il verso fisico Negli istnti in cui i(t) 0 il verso fisico coincide con il verso di riferimento Negli istnti in cui i(t) 0 il verso fisico è opposto l verso di riferimento In seguito, qundo si prlerà di verso dell corrente senz ulteriori specificzioni, si intenderà sempre verso di riferimento (non verso fisico) 11 Unità di misur dell corrente L unità di misur dell corrente elettric è l mpere (A) L mpere è un delle unità di misur fondmentli del Sistem Internzionle: L mpere è l intensità di un corrente costnte che percorrendo due conduttori rettilinei prlleli di lunghezz infinit, di sezione circolre trscurbile e posti ll distnz di 1 metro nel vuoto, produce tr i conduttori un forz pri newton per unità di lunghezz Il coulomb (C) è un unità derivt, definit in termini di mpere: Il coulomb è l quntità di cric trsportt in un secondo d un corrente di un mpere 12

7 Tensione Cmpo elettrico: si dice che un regione dello spzio è sede di un cmpo elettrico E(P) se un cric elettric q post in quiete un generico punto P di tle regione è soggett d un forz F(P) qe(p) Si consider un cric q che si spost d un punto A un punto B lungo un line ll interno di un regione sede di cmpo elettrico Tensione tr il punto A e il punto B lungo lvoro per unità di cric compiuto dlle forze del cmpo elettrico qundo l cric si muove d A B lungo v AB, 1 q F tˆ dl Etˆ dl 13 Potenzile In generle l tensione tr due punti A e B dipende dll line considert In csi prticolri l tensione dipende solo di punti estremi A e B In questi csi, scelto rbitrrimente un punto O (= punto di riferimento), si può definire un funzione sclre dett potenzile O V(P) Etˆ dl P che rppresent il lvoro per unità di cric compiuto dl cmpo elettrico qundo un cric si spost dl generico punto P l punto O (o il lvoro che si deve compiere contrstndo le forze del cmpo elettrico per portre l cric dl punto O l punto P) 14

8 Tensione e differenz di potenzile Se l tensione tr due punti A e B, non dipende dll line, è possibile vlutrl seguendo un percorso pssnte per il punto O v AB B A Etˆ dl O A O A Etˆ dl Etˆ dl O Etˆ dl V(A) V(B) l tensione può essere espress come differenz di potenzile tr il punto A e il punto B B O B Etˆ dl 15 Tensione e differenz di potenzile L differenz di potenzile non dipende dll scelt del punto di riferimento Si considerno i potenzili V(P) e V(P), reltivi i punti di riferimento O e O V(P) O P I potenzili sono legti dll relzione V (P) Quindi si h Etˆ dl O P Etˆ dl O P V (P) Etˆ dl O P O O Etˆ dl Etˆ dl V(P) V(O ) V(A) V (B) V(A) V(O ) V(B) V(O ) V(A) V(B) 16

9 Unità di misur dell tensione L unità di misur dell tensione è il volt (V) Si dice che l tensione tr due punti A e B è di 1 volt se il lvoro compiuto dlle forze del cmpo elettrico qundo un cric di 1 coulomb si spost dl punto A l punto B è pri 1 joule 17 Tensioni dei componenti Per un componente circuitle si ssume che si possibile ssocire in modo univoco un tensione d ogni coppi di terminli L tensione è indipendente del percorso, lmeno fino che si considerno linee che non entrno nell superficie limite del componente esternmente i componenti e sulle superfici limite è possibile esprimere le tensioni come differenze di potenzile Su ciscun terminle il potenzile è costnte si può prlre semplicemente di tensione tr due terminli, senz specificre qule punto si consider ll interno di ciscun terminle l form e le dimensioni dei terminli non sono rilevnti i fini del comportmento del circuito i terminli possono essere considerti prticmente puntiformi 18

10 Verso di riferimento dell tensione Per definire completmente un tensione occorre specificrne il verso di riferimento, cioè ttribuire d uno dei terminli il ruolo di terminle positivo e ll ltro quello di terminle negtivo Queste denominzioni indicno solo quli segni sono ttribuiti i potenzili dei terminli nell vlutzione dell differenz di potenzile, non qule dei terminli si trov effettivmente potenzile mggiore Come vviene per l corrente, nche il verso dell tensione viene fissto priori e può essere scelto in modo rbitrrio L tensione può ssumere si vlori positivi si vlori negtivi v 0 il terminle positivo h potenzile mggiore del terminle negtivo v 0 il terminle positivo h potenzile minore del terminle negtivo 19 Collegmenti I collegmenti tr i componenti sono relizzti unendo i loro terminli medinte conduttori ideli (connessioni ideli) Un conduttore si dice idele se l tensione tr due punti generici del conduttore è null indipendentemente dl vlore dell corrente che scorre nel conduttore stesso Il collegmento tr due o più terminli comport che tli terminli sino llo stesso potenzile Form e lunghezz dei conduttori che relizzno i collegmenti non hnno nessun effetto sul comportmento del circuito 20

11 Definizioni Nodo: insieme di terminli uniti tr loro d connessioni ideli (come cso degenere, un nodo può essere costituito d un solo terminle isolto) Rmo o lto: trtto del circuito che unisce due nodi Mgli: percorso chiuso formto d rmi del circuito che ttrvers un sequenz di nodi senz pssre più di un volt per uno stesso nodo (e per uno stesso rmo) 21 Simboli dei componenti Un componente generico viene indicto con un simbolo costituito d un cerchio o un rettngolo che rppresent l superficie limite dei segmenti che rppresentno i terminli I versi di riferimento delle correnti si indicno medinte frecce poste sui terminli I versi di riferimento delle tensioni si indicno ponendo i simboli + e vicino i terminli, oppure medinte un frecci dirett dl terminle negtivo quello positivo 22

12 Rppresentzione dei versi di riferimento Versi delle correnti Versi delle tensioni 23 Not L tensione tr due terminli o due nodi A e B viene indict con il simbolo v AB il primo indice rppresent il terminle (o il nodo) positivo il secondo indice rppresent il terminle (o il nodo) negtivo Quindi si h nche v AB v BA 24

13 Rppresentzione dei collegmenti I collegmenti sono indicti unendo i terminli dei componenti medinte segmenti o rchi che rppresentno i conduttori ideli Lo scopo dello schem è solo mostrre quli terminli sono collegti tr loro Lo schem non riproduce necessrimente le posizioni reltive dei componenti l form dei conduttori con cui sono relizzte le connessioni dlle quli non dipende il comportmento del circuito Generlmente lo schem di un circuito può essere rppresentto in più modi 25 Rppresentzione dei collegmenti Esempio: 3 rppresentzioni equivlenti dello stesso collegmento I terminli , collegti tr loro, costituiscono un nodo (A) I terminli , collegti tr loro, costituiscono un nodo (B) 26

14 Equzioni di un circuito Le tensioni e le correnti di un circuito elettrico sono soggette due tipi di vincoli, espressi d due gruppi di equzioni Equzioni crtteristiche dei componenti (relzioni costitutive) dipendono dlle proprietà fisiche dei componenti ciscun equzione rigurd le tensioni e le correnti di un solo componente Equzioni dei collegmenti (equzioni topologiche) dipendono solo dll struttur dei collegmenti rigurdno le tensioni e le correnti di componenti diversi derivno dlle leggi di Kirchhoff 27 Legge di Kirchhoff per le correnti (LKI) E null l somm lgebric delle correnti che ttrversno un superficie chius orientt estern lle superfici limite dei componenti Alle correnti v ttribuito segno o segno second che i loro versi di riferimento sino concordi o discordi con il verso dell normle ll superficie considert E rbitrrio scegliere di ttribuire il segno lle correnti uscenti o quelle entrnti In seguito si utilizzerà prevlentemente l prim convenzione Come cso prticolre si può considerre un superficie chius che rcchiude un solo nodo E null l somm lgebric delle correnti fferenti un nodo 28

15 Legge di Kirchhoff per le correnti (LKI) Esempio Superficie S 1 : i 1 i 2 i 3 i 4 0 Superficie S 2 : i 5 i 6 i Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKV) E null l somm lgebric delle tensioni lungo un line chius orientt pssnte per i nodi di un circuito ed estern lle superfici limite dei componenti Alle tensioni v ttribuito segno o segno second di qule terminle (positivo o negtivo) si incontr per primo In seguito si seguirà prevlentemente l convenzione di ttribuire segno qundo il primo terminle è quello positivo e segno qundo il primo terminle è quello negtivo Le equzioni non dipendono dll form delle linee considerte, m solo dll sequenz dei nodi toccti dlle linee stesse 30

16 Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKV) Esempio Line : v BA v BC v CD v AD 0 Line b : v ED v CD v EC 0 31 Bipoli Un componente due terminli è detto bipòlo Applicndo l LKI d un superficie che rcchiude il solo bipolo si ottiene che l corrente entrnte in uno dei terminli del bipolo deve essere ugule quell uscente dll ltro terminle Ad un bipolo sono ssocite un corrente i e un tensione v L corrente e l tensione sono legte d un equzione crtteristic, dipendente dlle proprietà fisiche del bipolo 32

17 Convenzione del genertore e dell utilizztore Per l scelt dei versi di riferimento si hnno 4 possibilità: Csi ) e b): convenzione dell utilizztore (o convenzione normle) l corrente h verso di riferimento entrnte dl terminle positivo (e uscente d quello negtivo) in questo cso i versi di riferimento si dicono nche coordinti Csi c) e d): convenzione del genertore l corrente h verso di riferimento entrnte dl terminle negtivo (e uscente d quello positivo) 33 Convenzione dell utilizztore Cso ) p v AB i AB i AB è l cric che nell unità di tempo ttrvers il bipolo d A verso B v AB è l quntità di energi cedut d un cric unitri nel pssggio dl terminle A l terminle B Il prodotto p v AB i AB rppresent l energi cedut nell unità di tempo dlle criche che ttrversno il bipolo p = potenz ssorbit dl bipolo (unità di misur wtt, W) p può ssumere vlori positivi o negtivi p > 0 indic che il bipolo ssorbe effettivmente energi p < 0 indic che il bipolo erog energi 34

18 Convenzione dell utilizztore Cso b) p v i v i ) BA BA AB ( AB Si possono ripetere le considerzioni ftte nel cso precedente scmbindo i ruoli del terminli A e B p v BA i BA = potenz ssorbit dl bipolo A prità di condizioni, rispetto l cso precedente cmbino si il segno dell tensione si il segno dell corrente, quindi il segno del prodotto non cmbi 35 Convenzione del genertore Cso c) p e v i v ( i ) p AB BA AB AB i BA è l cric che nell unità di tempo ttrvers il bipolo d B verso A v AB è l quntità di energi che occorre fornire un cric unitri nel pssggio dl terminle A l terminle B Il prodotto p e v AB i BA rppresent l energi fornit nell unità di tempo lle criche che ttrversno il bipolo p e = potenz erogt dl bipolo L potenz erogt è l opposto dell potenz ssorbit p e p p e può ssumere vlori positivi o negtivi p e > 0 ( p < 0) indic che il bipolo erog effettivmente energi p e < 0 ( p > 0) indic che il bipolo ssorbe energi 36

19 Convenzione del genertore Cso d) p e v BA i AB v AB i AB p Si possono ripetere le considerzioni ftte nel cso precedente scmbindo i ruoli del terminli A e B p e v BA i AB p = potenz erogt dl bipolo 37 Note L scelt dell convenzione è rbitrri e non deve necessrimente corrispondere ll effettivo comportmento del bipolo In seguito si dotterà prevlentemente l convenzione dell utilizztore Le equzioni crtteristiche dei bipoli srnno formulte ssumendo che l tensione e l corrente sino orientte secondo l convenzione dell utilizztore Nei csi in cui srà necessrio dottre l convenzione del genertore le equzioni dei componenti dovrnno essere modificte cmbindo il segno dell tensione o dell corrente Se sugli schemi viene indicto solo il verso dell corrente o solo quello dell tensione, si sottintende che l ltro verso di riferimento è correlto quello indicto secondo l convenzione dell utilizztore Nei csi in cui si dotterà l convenzione del genertore entrmbi i versi di riferimento srnno indicti esplicitmente 38

20 N-poli Un componente con N terminli è detto N-polo Ad un N-polo si possono ssocire N correnti L LKI richiede che vlg l relzione: N 1 k 0 i k 0 Note N1 correnti è possibile ricvre l ultim corrente Per crtterizzre un N-polo sono sufficienti le correnti di N1 terminli i 0 i1 i2 i3 39 N-poli Ad un N-polo si possono ssocire N(N1)/2 tensioni (un per ogni coppi di terminli) Queste tensioni sono vincolte dll LKV Tutte le tensioni possono essere ricvte prtire dlle tensioni di N1 terminli rispetto un terminle scelto come riferimento Per crtterizzre un N-polo sono sufficienti N1 tensioni v v v v 1 v v 2 3 v 2 v v 3 1 Le N1 tensioni e le N1 correnti di un N-polo sono legte d N1 equzioni crtteristiche, dipendenti dlle proprietà fisiche del componente 40

21 N-poli Convenzione normle Si fiss un terminle di riferimento (0) Si utilizzno per descrivere il comportmento del componente le N1 tensioni degli ltri terminli rispetto l riferimento (che quindi h sempre il ruolo di terminle negtivo) v 1,..., v N1 Le N1 correnti degli ltri terminli prese con verso entrnte i 1,..., i N1 In queste condizioni, con considerzioni simili quelle ftte nel cso dei bipoli, si può ricvre che l potenz ssorbit dll N-polo è p N k 1 1 v k i k 41 N-porte Port: coppi di terminli di un componente tle che l corrente entrnte in uno dei terminli è sempre ugule quell uscente dll ltro I terminli di un bipolo costituiscono un port N-porte (o N-plo bipolo): componente con 2N terminli che costituiscono N porte i i i i 1' i i 2' 3' 42

22 N-porte Se l uguglinz delle correnti i terminli delle porte dipende dll struttur intern del componente l N-porte è detto intrinseco E possibile che un componente con 2N terminli si comporti come un N-porte solo conseguenz del collegmento d ltri componenti (N-porte non intrinseco) Esempio 43 N-porte Il comportmento di un N-porte è crtterizzto medinte le N correnti (i 1,..., i N ) ssocite lle porte le N tensioni (v 1,..., v N ) tr le coppie di terminli di ciscun port Le N correnti e N tensioni lle porte sono vincolte d N equzioni crtteristiche Convenzione dell utilizztore: per ciscun port il verso dell corrente è entrnte nel terminle positivo In queste condizioni si può verificre che l potenz ssorbit d un N-porte è p N k 1 v k i k 44

23 N-poli e N-porte Un generico (N+1)-polo può essere visto come un N-porte vente tutti i terminli negtivi delle porte collegti tr loro Come si vedrà in seguito, questo consente di trttre in modo unificto i due tipi di componente 45 Clssificzione dei componenti in bse lle proprietà delle equzioni crtteristiche Linerità Componenti lineri: le equzioni crtteristiche sono lineri Componenti non lineri: le equzioni crtteristiche sono non lineri Memori Componenti privi di memori (resistivi): le equzioni contengono solo i vlori delle correnti e delle tensioni reltivi llo stesso istnte Componenti dotti di memori (dinmici): le equzioni coinvolgono vlori delle tensioni e delle correnti reltivi istnti diversi Tempo-vrinz Componenti tempo-vrinti: il tempo compre esplicitmente nelle equzioni crtteristiche Componenti tempo-invrinti: il tempo compre solo implicitmente (come rgomento delle tensioni e delle correnti) 46

24 Esempi equzioni crtteristiche di bipoli Equzione Linere Dinmico Tempo-vrinte v( t) Ri( t) Sì No No i( t) I v( t) [ e 1] 0 R R cos( t) i( ) v( t) 1 0 t No No No Sì No Sì i( t) ( t) v( t) b( t) v 3 ( t) No No Sì t i 1 v ( t) ( x) dx C di( t) v( t) L dt K i( t) V v( t) 0 dv( t) dt Sì Sì No Sì Sì Sì No No No 47 Energi L integrle su un intervllo [t 0 t 1 ] dell potenz ssorbit (erogt) d un componente rppresent l energi ssorbit (erogt) nell intervllo stesso (unità di misur joule, J) w( t0, t1) p t t t ( t) dt In prticolre, per t 0 si h we( t0, t1) pe( t) dt w( t0, t1) w ( t 1 ) t1 t 1 t p 0 ( t) dt w e( t1) pe( t) dt w ( t1) Energi ssorbit nell intervllo [t 0 t 1 ] Energi erogt nell intervllo [t 0 t 1 ] Energi ssorbit fino ll istnte t 1 Energi erogt fino ll istnte t 1 48

25 Componenti ttivi e pssivi Componente pssivo: per tutti i possibili ndmenti delle tensioni e delle correnti comptibili con le relzioni costitutive risult w (t) 0 t Componente ttivo: esistono ndmenti delle tensioni e delle correnti comptibili con le relzioni costitutive tli che, per qulche vlore di t, risult w (t) < 0 Un componente ttivo è un componente in grdo di generre energi elettric (cioè convertire energi di ltro tipo in energi elettric) 49 Componenti ttivi e pssivi Dti due istnti t 1 < t 2, l energi ssorbit fino ll istnte t 2 si può esprimere come t 2 w ( t2) p ( t) dt p ( t) dt p ( t) dt w ( t1) w ( t1, t2) Per un componente pssivo deve essere w e (t 1,t 2 ) può essere positiv t 1 w ( t2) 0 w ( t1) w ( t1, t2) 0 w ( t1) w e( t1, t2) il componente può erogre energi nell intervllo [t 1 t 2 ] per un componente pssivo l energi erogt in un intervllo [t 1 t 2 ] non può superre l energi ssorbit fino ll istnte inizile dell intervllo t t

26 Componenti ttivi e pssivi Un componente ttivo può generre energi (introdurre energi nel circuito) Un componente pssivo può ccumulre (lmeno in prte) l energi ssorbit e, in seguito, restituire l energi ccumult un comportmento di questo tipo implic un vincolo tr i vlori delle tensioni e correnti nell intervllo [t 1 t 2 ] d cui dipende w e (t 1,t 2 ) e i vlori nell intervllo [ t 1 ] d cui dipende w (t 1 ) il componente deve essere dotto di memori per un componente pssivo privo di memori deve essere verifict l condizione w (t 1,t 2 ) 0 t 1, t 2 t 1 51 Anlisi di un circuito Dti: crtteristiche dei componenti struttur dei collegmenti Incognite: correnti e tensioni dei componenti (nel cso generle sono funzioni incognite del tempo) Equzioni: equzioni dei collegmenti (lineri lgebriche omogenee) legge di Kirchhoff per le correnti legge di Kirchhoff per le tensioni equzioni dei componenti componenti lineri equzioni lineri componenti non lineri equzioni non lineri componenti privi di memori equzioni lgebriche componenti dotti di memori equzioni differenzili 52

27 Componenti equivlenti Due componenti si dicono equivlenti se impongono gli stessi vincoli lle tensioni e lle correnti i loro terminli, cioè se hnno le stesse equzioni crtteristiche Se un componente viene sostituito con un componente equivlente, le equzioni dei circuito non cmbino nche le tensioni e le correnti non cmbino L equivlenz rigurd esclusivmente il comportmento i terminli, i fenomeni che vvengono ll interno di componenti equivlenti possono essere diversi 53 Sottocircuiti Un blocco formto d componenti collegti tr loro (sottocircuito) che intergisce con l prte restnte del circuito medinte un certo numero di terminli (terminli esterni) può essere considerto su volt un componente Le relzioni costitutive di questo componente possono essere ottenute prtire dlle leggi di Kirchhoff e dlle relzioni costitutive dei componenti d cui è formto, eliminndo le tensioni e le correnti reltive i terminli interni Il concetto di equivlenz può essere esteso nche i sottocircuiti Se un sottocircuito viene sostituito con un sottocircuito equivlente, le tensioni e le correnti ll esterno del sottocircuito non cmbino 54

28 Modello elettromgnetico e modello circuitle Modello elettromgnetico (Equzioni di Mxwell) Vlidità generle Il sistem è descritto medinte grndezze dipendenti dl tempo e dlle coordinte spzili Richiede l risoluzione di equzioni differenzili lle derivte przili Modello circuitle Applicbile solo in csi prticolri Il sistem è descritto medinte grndezze che possono dipendere dl tempo m sono indipendenti dlle coordinte spzili Richiede l risoluzione di sistemi di equzioni differenzili ordinrie o di equzioni lgebriche 55 Equzioni fondmentli dell Elettromgnetismo Equzione di continuità Equzioni di Mxwell Form locle J H t D J t Β E t c S Form integrle d J nˆ ds c dv dt H tˆ dl d dt Etˆ dl S d dt V Dnˆ ds S B nˆ ds S J nˆ ds Equzioni di divergenz D B c 0 S S Dnˆ ds c B nˆ ds V 0 dv 56

29 Limiti di vlidità del modello circuitle Il modello circuitle può essere derivto in termini rigorosi dlle equzioni di Mxwell per sistemi nei quli tutte le grndezze elettromgnetiche sono costnti nel tempo (condizioni di regime stzionrio) In prticolre in regime stzionrio sono nulle in tutto il sistem le derivte rispetto l tempo di E e B Vlgono le leggi di Kirchhoff Nel cso di grndezze elettromgnetiche vribili nel tempo è possibile dedurre modello circuitle dl modello elettromgnetico medinte opportune pprossimzioni se le vrizioni sono sufficientemente lente (condizioni qusi stzionrie) In prticolre le vrizioni devono essere sufficientemente lente d consentire di trscurre le derivte rispetto l tempo di E e B nell regione estern i componenti (mentre si può mmettere che tli derivte ssumno vlori pprezzbilmente diversi d zero ll interno delle superfici limite dei componenti) 57 Limiti di vlidità del modello circuitle Per specificre cos si intende per vrizioni sufficientemente lente si può fre riferimento l criterio del tempo di trnsito Secondo il modello elettromgnetico, l effetto dell vrizione di un grndezz elettromgnetic in un punto del sistem si propg con un velocità finit c (velocità dell luce, vlore nel vuoto: c m/s) L effetto viene vvertito ll interno del sistem con un ritrdo di propgzione dipendente dll distnz dl punto considerto Se l mssim distnz tr due punti del sistem è d mx, il mssimo ritrdo di propgzione (tempo di trnsito) è d mx mx c Il modello circuitle non f riferimento lle coordinte spzili Affinché si utilizzbile occorre che i ritrdi sino trscurbili Le vrizioni devono essere bbstnz lente d permettere di considerre ogni grndezz elettromgnetic costnte nell intervllo mx 58

30 Limiti di vlidità del modello circuitle Ipotesi: le grndezze elettromgnetiche vrino con legge sinusoidle frequenz f periodo T 1/f lunghezz d ond ct c/f L lunghezz d ond rppresent l distnz percors d un ond in un tempo pri un periodo e corrisponde ll distnz tr due punti consecutivi dell ond venti ugule fse 59 Limiti di vlidità del modello circuitle Affinché il modello circuitle si utilizzbile deve vlere l condizione T >> mx Il periodo deve essere molto grnde rispetto l tempo di trnsito L condizione può esser post nche nell form ct >> c mx >> d mx L mssim dimensione del sistem deve essere trscurbile rispetto ll lunghezz d ond Vrizioni di tipo più generle possono essere espresse medinte sovrpposizione di funzioni sinusoidli (serie o integrli di Fourier) Le condizioni precedenti devono essere verificte in corrispondenz dell mssim frequenz che occorre considerre 60

31 Limiti di vlidità del modello circuitle f T c 0 /f 50 Hz 20 ms 6000 km 100 Hz 10 ms 3000 km 1 khz 1 ms 300 km 10 khz 100 s 30 km 20 khz 50 s 15 km 100 khz 10 s 3 km 1 MHz 1 s 300 m 10 MHz 100 ns 30 m 100 MHz 10 ns 3 m 1 GHz 1 ns 300 mm 10 GHz 100 ps 30 mm 61 Circuiti concentrti e distribuiti I circuiti studiti in questo corso sono detti circuiti prmetri concentrti sistemi con dimensione bbstnz piccole d consentire di trscurre i ritrdi di propgzione descritti medinte grndezze che non dipendono dlle coordinte spzili il comportmento non dipende dlle posizioni reltive dei componenti, m solo dl modo in cui sono collegti Esistono nche sistemi che si estendono prevlentemente i un o due dimensioni, lungo le quli i ritrdi di propgzione non sono trscurbili (per esempio le linee di trsmissione) Per questi sistemi è possibile utilizzre modelli di tipo circuitle che fnno uso di grndezze dipendenti d un o due coordinte spzili ( circuiti prmetri distribuiti) 62