INDIE Unità 1 MISUR DELL IRNFERENZ E RE DEL ERHI, 1 Il libo posegue nel D 1.1 MISUR DELL IRNFERENZ, Misua di p, Misua della ciconfeenza, ESERIZI da p. 15 1. MISUR DELL R DI IRNFERENZ, 4 ESERIZI da p. 1 1. RE DEI PLIGNI IRSRITTI UN IRNFERENZ, 5 ESERIZI da p. 5 1.4 RE DEL ERHI, 6 ESERIZI da p. 8 1.5 REE DELL RN, DEL SETTRE E DEL SEGMENT IRLRE, 8 ea della coona cicolae, 8 ea del settoe cicolae, 8 ea del segmento cicolae a una base, 9 1.6 RE DI UN FIGUR URVILINE, 11 Il cammino della matematica: Eatostene e la misua della ciconfeenza teeste, 1 SINTESI, 14 llenamente, 48 MTEMTI N IL P: Misua della ciconfeenza e aea del cechio, 49 ESERIZI da p. 4 ESERIZI da p. 8 pe la VERIFI oale, 1 pe PREPRRSI all esame, 1 PIN RTESIN, 9 UTVERIFI, 40 ESERIZI pe il ecupeo, 41 ESERIZI pe il potenziamento, 46 Unità 1 L SPZI TRIDIMENSINLE, 51 Il libo posegue nel D 1.1 L RELTÀ TRIDIMENSINLE, 5 Le te dimensioni dello spazio, 5 I solidi geometici, 5 Rappesentazione gafica delle figue solide, 5 1. PUNTI, RETTE E PINI NELL SPZI, 54 Punti, ette e piani, 54 Posizione di una etta e un piano nello spazio, 54 Posizione di due ette nello spazio, 55 Posizione di due piani nello spazio, 56 1. DIEDRI E PLIEDRI, 57 Diedi, 57 Poliedi, 58 ESERIZI da p. 70 ESERIZI da p. 71 ESERIZI da p. 75
IV Indice 1.4 SVILUPP IN PIN E RE DELL SUPERFIIE DI UN PLIEDR, 60 Sviluppo in piano di un poliedo, 60 ea della supeficie, 60 LRTRI matematico: ostuzione di poliedi, 61 1.5 SLIDI EQUIVLENTI E MISUR DEL VLUME, 6 Solidi equivalenti e solidi equicomposti, 6 Pincipio di avaliei, 6 Misue di volume, 64 Peso specifico e densità, 64 Il cammino della matematica: Geone, chimede e l oefice, 67 SINTESI, 68 llenamente, 91 MTEMTI N IL P: Lo spazio tidimensionale, 9 ESERIZI da p. 78 ESERIZI da p. 80 Pe la VERIFI oale, 66 Pe PREPRRSI all esame, 66 UTVERIFI, 85 ESERIZI pe il ecupeo, 86 ESERIZI pe il potenziamento, 90 Unità 14 SUPERFIIE E VLUME DEI PLIEDRI, 95 14.1 PRISM E SU SUPERFIIE, 96 ea delle supefici, 96 Pisma etto e pisma egolae, 97 14. PRLLELEPIPED, U E LR SUPERFIIE, 98 Paallelepipedo, 98 ubo, 100 14. PIRMIDE E SU SUPERFIIE, 10 Piamide, 10 Piamide obliqua e piamide etta, 10 Piamide egolae, 10 14.4 VLUME DEL PRLLELEPIPED RETTNGL E DEL U, 105 Paallelepipedo ettangolo, 105 ubo, 106 ESERIZI da p. 118 ESERIZI da p. 15 ESERIZI da p. 14 ESERIZI da p. 19 Il libo posegue nel D 14.5 VLUME DEL PRISM, 107 ESERIZI da p. 147 14.6 VLUME DELL PIRMIDE, 108 ESERIZI da p. 15 14.7 PLIEDRI REGLRI, 109 ea delle supefici, 109 Volume, 110 14.8 MPSIZINE DI PLIEDRI, 111 ee delle supefici, 111 Volume, 11 LRTRI matematico: ostuzione di poliedi, 11 Il cammino della matematica: I cinque solidi platonici, 115 SINTESI, 116 llenamente, 179 MTEMTI N IL P: ostuzione di poliedi, 180 ESERIZI da p. 155 ESERIZI da p. 157 Pe la VERIFI oale, 114 Pe PREPRRSI all esame, 114 UTVERIFI, 161 ESERIZI pe il ecupeo, 16 ESERIZI pe il potenziamento, 168
Indice V Unità 15 SUPERFIIE E VLUME DEI SLIDI DI RTZINE, 18 Il libo posegue nel D 15.1 SLIDI DI RTZINE, 184 ESERIZI da p. 05 15. ILINDR, 185 ea delle supefici del cilindo, 186 Volume del cilindo, 189 15. N, 191 ea delle supefici del cono, 191 Volume del cono, 19 15.4 SFER, 195 Posizioni ecipoche di un piano e una sfea, 195 Pati della sfea, 196 ea della supeficie sfeica, 196 Volume della sfea, 197 15.5 LTRI SLIDI DI RTZINE, 198 Il cammino della matematica: Dalla matematica ellenica alla matematica ellenistica, 0 SINTESI, 04 llenamente, 46 MTEMTI N IL P: ostuzione dei solidi di otazione, 47 ESERIZI da p. 07 ESERIZI da p. 15 ESERIZI da p. 4 ESERIZI da p. 0 Pe la VERIFI oale, 0 Pe PREPRRSI all esame, 0 PIN RTESIN, UTVERIFI, 5 ESERIZI pe il ecupeo, 6 ESERIZI pe il potenziamento, 4 SLUZINI, 49 TELL PESI SPEIFII, 51 TVLE NUMERIHE, 5
LE FIGURE Unità 1 MISUR DELL IRNFERENZ E RE DEL ERHI 1.1 1. 1. 1.4 1.5 1.6 Misua della ciconfeenza Misua dell aco di ciconfeenza ea dei poligoni cicoscitti a una ciconfeenza ea del cechio ee della coona, del settoe e del segmento cicolae ea di una figua cuvilinea SPERE conosceai le fomule e avai acquisito i pocedimenti pe calcolae la lunghezza della ciconfeenza e quella di un suo aco conosceai le fomule e avai acquisito i pocedimenti pe calcolae le aee del cechio, della coona cicolae, del settoe e del segmento cicolae conosceai il pocedimento pe calcolae l aea dei poligoni cicoscitti conosceai il pocedimento pe calcolae l aea di una figua cuvilinea SPER FRE sapai calcolae la lunghezza di una ciconfeenza e di un suo aco sapai calcolae le aee di un cechio, di una coona cicolae, di un settoe e di un segmento cicolae sapai calcolae l aea dei poligoni cicoscitti sapai calcolae con buona appossimazione l aea di una figua cuvilinea sapai isolvee poblemi ineenti a ciconfeenze e cechi
Unità 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio 1.1 MISUR DELL IRNFERENZ Esecizi a p. 15 Misua di p Misuiamo la ciconfeenza e il diameto di alcuni oggetti cicolai di dimensioni divese, come il copechio di una pentola o il tappo cicolae di un baattolo. alcoliamo poi il quoziente ta la misua di ciascuna ciconfeenza e quella del suo diameto. Se le misuazioni sono state fatte con una ceta accuatezza, i quozienti ta la misua della ciconfeenza e quella del ispettivo diameto saanno tutti molto possimi a. Dunque: il appoto ta la lunghezza di una ciconfeenza e la lunghezza del suo diameto è costante. Tale appoto non può tuttavia essee espesso con un numeo azionale, peché è un numeo decimale illimitato non peiodico, cioè un numeo iazionale tascendente, così chiamato pe distinguelo dai numei iazionali algebici. Peciò questo numeo non si appesenta con le cife aabe bensì con la lettea geca p (che si legge pi geco). Utilizzando gli elaboatoi elettonici, è stato calcolato un valoe appossimato del numeo π con più di mille miliadi di cife decimali, ma la iceca di nuove cife continua. Pe cuiosità ipotiamo qui le pime ventuno cife decimali: p=,141596558979846... Salvo divesa indicazione, d oa in poi nei calcoli ne utilizzeemo un valoe appossimato pe difetto a meno di un centesimo: p=,14 Dunque, indicando con la misua della ciconfeenza e con d quella del suo diameto, pe qualsiasi ciconfeenza vale la d elazione: d =p Misua della ciconfeenza Dalla elazione ta la misua della ciconfeenza e la misua del suo diameto si icavano la egola e la fomula pe calcolae la misua della ciconfeenza. La misua della ciconfeenza è uguale al podotto del diameto pe π. =pd =,14 d Esempio La misua della ciconfeenza il cui diameto misua 7 cm è: =πd = (π 7) cm = 7π cm = (7,14) cm = 1,98 cm
LE FIGURE 1.1 Misua della ciconfeenza Poiché il diameto è il doppio del aggio, cioè d =, alloa: la misua della ciconfeenza è uguale al podotto del aggio pe π. = p = 6,8 Esempio La misua della ciconfeenza il cui aggio misua 8 cm è: = π = (π 8) cm = 16π cm = (16,14) cm = 50,4 cm Esempio mio La misua della ciconfeenza il cui aggio misua 5 cm è: Fomule invese Pe calcolae la misua del diameto si divide la misua della ciconfeenza pe π. Pe calcolae la misua del aggio si divide la misua della ciconfeenza pe π e poi pe. d = = p 14, e = = p 6, 8 Esempio Il aggio della ciconfeenza che misua 14 cm è: 14 7 7 = = cm = cm = cm =, cm π π π 14, Esempio mio Il aggio della ciconfeenza che misua 9 cm è: sseva che Risultati esatti e isultati appossimati Quando si calcola la misua di una ciconfeenza e si desidea espimee un isultato esatto si lascia π indicato: = 10π cm ltimenti lo stesso valoe si può espimee come isultato appossimato utilizzando le cife aabe: = 10π cm = 1,4 cm pplica laboatoio nel D 1 Il aggio di una ciconfeenza misua 15 m. alcola la misua della ciconfeenza, espimendola sia come valoe esatto sia come valoe appossimato. [0p m = 94, m] La misua di una ciconfeenza è 40π cm. alcola la misua del diameto. [40 cm] La misua di una ciconfeenza è 60π cm. alcola la misua del aggio. [0 cm] 4 5 La misua di una ciconfeenza è 00 cm. alcola la misua del diameto. [6,69 cm] La misua di una ciconfeenza è 50 cm. alcola la misua del aggio. [55,7 cm]
4 Unità 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio 1. MISUR DELL R DI IRNFERENZ Esecizi a p. 1 onsideiamo il cechio a fianco nel quale si distingue un 14 mm angolo al cento ampio 0 che insiste su un aco lungo 7 mm. L angolo al cento e l aco delimitano un settoe cicolae e l ampiezza dell angolo al cento è anche l ampiezza 40 0 del settoe cicolae. 80 L angolo al cento di ampiezza doppia (40 ) insiste su un aco la cui misua è doppia (14 mm) di quella dell aco pecedente. Raddoppiando ulteiomente l ampiezza dell angolo al cento (80 ), la misua dell aco su cui insiste addoppia a sua volta e diventa 8 mm. Infatti, addoppiando l ampiezza dell angolo al cento addoppia anche la lunghezza dell aco su cui esso insiste: 0 : 7 mm = 40 : 14 mm = 80 : 8 mm L ampiezza degli angoli al cento e la lunghezza degli achi coispondenti sono gandezze diettamente popozionali. 8 mm 7 mm L angolo al cento cui coisponde l intea ciconfeenza è l angolo gio (60 ), peciò anche la ciconfeenza e l angolo gio possono entae come temini nella pecedente popozione. Indicando con l la misua di un aco e con α l ampiezza dell angolo che insiste su di esso, si può scivee: α l a : l = 60 : Esempio alcola l ampiezza α di un settoe cicolae il cui aco l misua 8 cm, in una ciconfeenza lunga 15 cm. Si sostituiscono i valoi noti nella pecedente popozione: α : 8 = 60 : 15 Da cui: α=(60 8 : 15) = pplica 1 Una ciconfeenza misua 160 m e un aco l misua 4 m. alcola l ampiezza α dell angolo al cento coispondente a tale aco. [54 ] alcola la misua di un aco l, sotteso dall angolo al cento α = 40, in una ciconfeenza che misua 648 cm. [7 cm] alcola la misua della ciconfeenza nella quale un angolo al cento di 7 insiste su un aco di 5 cm. [175 cm]
LE FIGURE 1. ea dei poligoni cicoscitti a una ciconfeenza 5 1. RE DEI PLIGNI IRSRITTI UN IRNFERENZ Esecizi a p. 5 Ricodiamo che i poligoni cicoscitti a una ciconfeenza sono quelli i cui lati sono tangenti alla ciconfeenza. Essi sono scomponibili in tanti tiangoli quanti sono i loo lati. Il pentagono DE è scomponibile in cinque tiangoli, in ciascuno dei quali un lato è anche un lato del pentagono e l altezza a esso elativa è un aggio della ciconfeenza, cioè l apotema del pentagono. Quindi i cinque tiangoli hanno altezze conguenti e la somma delle loo aee è uguale all aea di un tiangolo che ha la stessa altezza e pe base la somma delle basi dei tiangoli, cioè il peimeto del pentagono. In geneale, un poligono cicoscitto a una ciconfeenza è equivalente a un tiangolo che ha un lato lungo quanto il peimeto del poligono e in cui l altezza elativa è conguente al aggio della ciconfeenza. Di conseguenza: E D l aea di un poligono cicoscitto a una ciconfeenza si calcola moltiplicando la misua del peimeto del poligono pe quella del aggio della ciconfeenza e dividendo il isultato pe. = p Fomule invese La misua del peimeto di un poligono cicoscitto a una ciconfeenza si calcola dividendo la sua doppia aea pe la misua del aggio della ciconfeenza. La misua del aggio della ciconfeenza inscitta in un poligono si calcola dividendo la doppia aea del poligono pe la misua del peimeto. p = e = p Esempio alcola l aea di un ottagono il cui peimeto misua 0 cm e che è cicoscitto a una ciconfeenza avente il aggio di cm. p = = ( 0 : )cm = 0 cm pplica 1 alcola l aea di un dodecagono il cui peimeto misua 50 cm e che è cicoscitto a una ciconfeenza il cui aggio misua 4 cm. [100 cm ] alcola la misua del peimeto di un poligono cicoscitto a una ciconfeenza il cui aggio misua 8 cm, sapendo che la sua aea è 00 cm. [50 cm]
6 Unità 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio 1.4 RE DEL ERHI Esecizi a p. 8 onsideiamo una ciconfeenza in cui sono inscitti te poligoni egolai, ispettivamente di, 6 e 1 lati e di apotemi a 1, a e a. L aea dei te poligoni si calcola applicando la fomula: = p a a a 1 a on l aumentae del numeo di lati dei poligoni inscitti, la lunghezza dei ispettivi apotemi aumenta e si avvicina sempe più a quella del aggio, così come la misua del peimeto si avvicina sempe più a quella della ciconfeenza. Peciò possiamo agionevolmente pensae che un poligono con un numeo infinito di lati abbia apotema e peimeto ispettivamente uguali a aggio e ciconfeenza e che la sua aea sia uguale a quella del cechio. Dunque, facendo le debite sostituzioni nella fomula pecedente, l aea del cechio isulteà uguale al semipodotto della misua della ciconfeenza pe quella del aggio: = Dalla fomula pecedente se ne può icavae un alta. Poiché abbiamo visto che la fomula pe il calcolo della misua della ciconfeenza, quando è noto il diameto, è =πd, nella fomula pe il calcolo dell aea del cechio possiamo sostituie alla misua della ciconfeenza () il podotto πd: = π d Il al denominatoe significa che possiamo dividee pe uno qualsiasi dei fattoi. Peciò la fomula pecedente si può scivee: d = π Poiché la metà del diameto è il aggio, la pecedente fomula diventa: =π =π L aea del cechio è uguale al podotto di π pe il quadato del aggio. =p
LE FIGURE 1.4 ea del cechio 7 Esempio alcola l aea del cechio il cui aggio è di 5 cm. =π = (π 5 ) cm = 5π cm valoe esatto ppue, sostituendo al posto di π il valoe,14: = (,14 5) cm = 78,5 cm valoe appossimato Fomule invese La misua del aggio del cechio è uguale alla adice quadata del quoziente ta l aea del cechio e π. = p Esempio alcola la misua del aggio di un cechio la cui aea è 54,4 cm. 5, 4 = = cm = 898, cm π 14, pplica 1 Il aggio di un cechio misua 8 cm. alcola l aea del cechio espimendola come: valoe esatto [64p cm ] valoe appossimato a meno di 1 centesimo (π =,14) [00,96 cm ] valoe appossimato a meno di 1 millesimo (π =,141) [01,04 cm ] alcola il valoe esatto e quello appossimato dell aea dei cechi in cui: il aggio misua 7, cm [51,84p cm = 16,78 cm ] il diameto misua 4 cm [144p cm = 45,16 cm ] la ciconfeenza misua 118 cm 481 cm = 1108, 60 cm p ompleta la tabella appossimando i isultati ai centesimi. (m ) d (m) (m) (m),5 4 7,8 5,168 45 84,
8 Unità 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio 1.5 REE DELL RN, DEL SETTRE E DEL SEGMENT IRLRE ea della coona cicolae La coona cicolae è la pate coloata nella figua a fianco e la sua supeficie isulta dalla diffeenza ta l aea del cechio maggioe di aggio R e quella del cechio minoe di aggio. L aea della coona cicolae è uguale alla diffeenza ta l aea del cechio maggioe e quella del cechio minoe. coona =pr -p =p (R - ) Esecizi a p. 4 Esempio alcola l aea della coona cicolae compesa ta due cechi i cui aggi misuano 9 cm e 6 cm. coona =π (R ) = π (81 6) cm = 45π cm isultato esatto = (45,14) cm = 141, cm isultato appossimato ea del settoe cicolae L aea del settoe cicolae si può calcolae con due pocedimenti divesi. Pimo pocedimento Le figue appesentano te settoi cicolai di te cechi che hanno aggio conguente. R 90 180 70 L aea del settoe di 180 è doppia di quella del settoe di 90 e l aea del settoe di 70 è tipla di quella del settoe di 90. Si osseva che addoppiando o tiplicando l ampiezza del settoe, addoppia o tiplica la sua aea. Infatti: l aea del settoe cicolae è diettamente popozionale alla sua ampiezza e il cechio si può consideae il settoe di ampiezza massima, cioè di 60. : 60 = settoe : a La popozione consente di calcolae uno dei temini, noti gli alti te. Esempio alcola l aea del settoe cicolae di 0 di un cechio la cui aea è 70 cm. Si scive la popozione inseendo i dati noti: 70 : 60 = settoe : 0 e si isolve: settoe = (70 0 : 60) cm = 40 cm
LE FIGURE 1.5 ee della coona, del settoe e del segmento cicolae 9 Secondo pocedimento pplichiamo alla pecedente popozione la popietà del pemutae: : settoe = 60 : α Poiché l ampiezza degli angoli al cento e la lunghezza degli achi coispondenti sono diettamente popozionali, si può scivee la popozione: 60 : α = : l Di conseguenza, associando le due pecedenti popozioni, possiamo scivee la catena di appoti: : settoe = 60 : α = : l da cui si icava la popozione: : settoe = : l =π peciò: l l l settoe = = π = π = π l L aea del settoe cicolae è uguale al semipodotto del aggio e dell aco coispondente. l settoe = Fomule invese Pe calcolae l aco e il aggio: l = settoe e Esempio alcola l aea del settoe cicolae il cui aggio misua 1 cm e l aco l coispondente è lungo 0 cm. l settoe = 0 1 = cm = 10 cm = settoe l ea del segmento cicolae a una base Si devono distinguee due casi. Il segmento cicolae non contiene il cento del cechio In figua il segmento cicolae è la pate coloata, quindi: l aea del segmento cicolae che non contiene il cento del cechio è uguale alla diffeenza ta l aea del settoe cicolae che insiste sul suo stesso aco e l aea del tiangolo i cui lati sono due aggi e la coda che sottende l aco. segmento cicolae = settoe -
10 Unità 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio Esempio alcola l aea del segmento cicolae, sapendo che non contiene il cento del cechio, che la sua base è una coda lunga 0 cm, che dista 5 cm dal cento del cechio, e che il settoe cicolae coispondente ha aea di 75 cm. La distanza della coda dal cento coisponde all altezza del tiangolo, peciò l aea del tiangolo è: = h = ( 0 5 : )cm = 50 cm Di conseguenza: segmento cicolae = (75 50) cm = 5 cm Il segmento cicolae contiene il cento del cechio In figua il segmento cicolae è la pate coloata, quindi: l aea del segmento cicolae che contiene il cento del cechio è uguale alla somma dell aea del settoe cicolae che insiste sul suo stesso aco e dell aea del tiangolo i cui lati sono due aggi e la coda che sottende l aco. segmento cicolae = settoe + Esempio alcola l aea del segmento cicolae, sapendo che contiene il cento del cechio, che la sua base è una coda lunga 0 cm, che dista 10 cm dal cento del cechio, e che il settoe cicolae coispondente ha aea di 90 cm. La distanza della coda dal cento coisponde all altezza del tiangolo, peciò l aea del tiangolo è: = h = ( 0 10 : )cm = 150 cm Di conseguenza: segmento cicolae = (90 + 150) cm = 440 cm pplica 1 alcola il valoe esatto e quello appossimato dell aea della coona cicolae podotta da due cechi i cui aggi misuano uno 1 cm e l alto il doppio. [4p cm = 156,48 cm ] alcola l aea del settoe cicolae ampio 48 di un cechio la cui aea è 1440 cm. [19 cm ] alcola l aea del settoe cicolae sapendo che il suo aggio misua 18 cm e l aco coispondente 75 cm. [675 cm ] 4 alcola l aea del segmento cicolae, sapendo che non contiene il cento del cechio, che la sua base è una coda lunga 9 cm, che dista cm dal cento del cechio, e che il settoe cicolae coispondente ha aea di 86 cm. [7,5 cm ] 5 alcola l aea del segmento cicolae, sapendo che contiene il cento del cechio, che la sua base è una coda lunga 6 cm, che dista 4 cm dal cento del cechio, e che il settoe cicolae coispondente ha aea di 690 cm. [74 cm ]
LE FIGURE 1.6 ea di una figua cuvilinea 11 1.6 RE DI UN FIGUR URVILINE Esecizi a p. 8 Pe calcolae appossimativamente l aea di figue cuvilinee iegolai si può fae un agionamento analogo a quello usato pe deteminae l aea del cechio. Supponiamo di vole deteminae l aea della figua cuvilinea. u 1 u Nella figua di sinista, suddividiamo la base in cinque pati uguali e costuiamo tutti i quadati necessai a acchiudee la figua in un eticolo. ssumiamo come unità di misua il quadato u 1. L aea della figua cuvilinea è cetamente maggioe dell aea dei quadati inteamente contenuti nella figua (l unico inteamente aancio), cioè: > l. L aea è, peò, minoe dell aea di tutti i quadati che ne contengono almeno una pate (quelli inteamente o solo in pate aancio): < 8. L aea della figua cuvilinea è dunque compesa ta 1 e 8 unità; peciò, se vogliamo assegnale un valoe numeico (sia pu gossolano), possiamo calcolae la media aitmetica, cioè dividee pe la somma dei due valoi: 1 M = + 8 9 u1 = u1 = 45, u1 Pe deteminae con maggio pecisione l aea della figua, conviene consideae un unità di misua più piccola. Suddividiamo alloa la base in 10 pati uguali e assumiamo come unità di misua il quadato u, come nella figua di desta. In questo caso il numeo di quadati inteamente contenuti nella figua (quelli inteamente aancio) è 15 e quello dei quadati completamente o pazialmente aancio è 9. Quindi: 15 < < 9 e la media aitmetica è: 15 + 9 M = u = u In conclusione, tanto più piccoli sono i quadatini usati come unità di misua, tanto più il valoe calcolato si avvicina all aea effettiva della figua cuvilinea. pplica 1 alcola l aea della figua, appossimando a meno di 1 cm. [11 cm ] u
1 Unità 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio pe la VERIFI oale 1 4 5 Spiega peché non è possibile calcolae con esattezza la misua della ciconfeenza e l aea del cechio. Descivi le pocedue di calcolo della misua della ciconfeenza, dell aea del cechio e delle loo pati, con fomule diette e invese ed esempi esplicativi. Spiega e illusta con esempi come si calcola l aea dei poligoni cicoscitti alla ciconfeenza e l uso delle elative fomule invese. Spiega il concetto su cui si basano i calcoli delle misue di achi di ciconfeenza e di aee di settoi cicolai, illustando con esempi le vaie applicazioni. Spiega come calcolae l aea di una figua cuvilinea. pe PREPRRSI all esame 1 I aggi delle due uote del velocipede misuano 90 cm e 0 cm. Quanti gii ha fatto ciascuna uota dopo avee pecoso 141 m? a 1570 e 4710 b 750 e 750 c 50 e 50 d 50 e 750 soluzioni a p. 49 Il aggio di un cechio è doppio di quello di un secondo cechio. Quanto vale l aea del pimo cechio ispetto al secondo? a la metà b il doppio c il tiplo d il quaduplo Misua il aggio minoe di una coona cicolae, che ha l aea di 68 cm e il aggio maggioe di 15 cm. a 10 cm b 5 cm c cm d 7 cm
Il cammino della MTEMTI 1 Eatostene e la misua della ciconfeenza teeste la stoia posegue nel D Nel III secolo a.., ben 00 anni o sono, usando un semplice goniometo, Eatostene calcolò con sopendente pecisione la misua della ciconfeenza della Tea. ll epoca quasi tutti i filosofi e gli scienziati pensavano che la Tea fosse piatta. Invece Eatostene dava più cedito alla teoia di istaco di Samo, che iteneva che la Tea avesse foma sfeica. Eatostene aveva ossevato che nel giono del solstizio d estate (1 giugno) i aggi del Sole penetavano pependicolamente in un pozzo di Syene, l attuale ssuan, in Egitto. Nello stesso giono, di un alto anno, ad lessandia, città dove egli isiedeva, aveva invece constatato che i aggi del Sole non penetavano pependicolamente nei pozzi, bensì con una ceta inclinazione. 7 1' lessandia 5000 stadi Syene Questo gli fece dedue, pima di tutto, che la Tea non ea piatta peché altimenti anche ad lessandia i aggi del sole saebbeo penetati nel pozzo pependicolamente. Pensò quindi che la teoia di Tolomeo non fosse valida e che invece lo fosse quella di istaco, che affemava appunto che la Tea è sfeica. Misuò alloa l inclinazione dei aggi solai, che isultò di 5000 stadi 7 1 (= 7, ) ispetto alla pependicolae al pozzo. alcolò poi la distanza ta Syene e lessandia, che isultò lessandia Syene di 5000 stadi (unità di misua dell antico Egitto). on questi dati Eatostene calcolò la misua della ciconfeenza 7 1' teeste con una popozione che ti dovebbe essee nota: 7, : 5000 = 60 : da cui si icava: cento della Tea = (5000 60 : 7,) stadi = 50 000 stadi Non è possibile tadue esattamente in chilometi una distanza espessa in stadi, poiché non si conosce un valoe peciso dello stadio. La lunghezza dello stadio geco vaia infatti da 154 a 15 meti. Secondo le opinioni più acceditate, lo stadio usato da Eatostene coispondeva a 185 m, peciò: 50 000 stadi = (50 000 185) m = 46 50 000 m = 46 50 km ggi sappiamo che la ciconfeenza massima teeste misua 40 000 km, valoe assai vicino a quello calcolato da Eatostene, se consideiamo che usò stumenti alquanto udimentali.
14 Unità 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio mappa inteattiva nel D SINTESI MISUR DELL IRNFERENZ Il appoto ta la misua della ciconfeenza e il diameto è espesso con la lettea geca π: il suo valoe appossimato a meno di 0,01 è,14. La misua della ciconfeenza si ottiene moltiplicando la misua del diameto pe π, oppue il aggio pe π. d =p =pd = p d = e = p p d MISUR DELL R DI IRNFERENZ L ampiezza degli angoli al cento e la lunghezza degli achi coispondenti sono gandezze diettamente popozionali. a : l = 60 : α l RE DEI PLIGNI IRSRITTI UN IRNFERENZ L aea di un poligono cicoscitto a una ciconfeenza si calcola moltiplicando la misua del peimeto del poligono pe quella del aggio della ciconfeenza e dividendo il isultato pe. RE DEL ERHI L aea del cechio è uguale al semipodotto della misua della ciconfeenza pe quella del aggio. ppue: l aea del cechio si calcola elevando al quadato la misua del aggio e moltiplicando il isultato pe π. p = p = e = p = =p e = p E D RE DELL RN, DEL SETTRE E DEL SEGMENT IRLRE L aea della coona cicolae è uguale alla diffeenza delle aee dei due cechi concentici che la delimitano. coona =p (R - ) R L aea del settoe cicolae è diettamente popozionale alla sua ampiezza e il cechio si può consideae il settoe di ampiezza massima, cioè di 60. ppue: l aea del settoe cicolae è uguale al semipodotto del aggio e dell aco coispondente. : 60 = settoe : a l settoe = α l = settoe e = l l settoe L aea del segmento cicolae a una base che non contiene (o contiene) il cento del cechio è uguale alla diffeenza (o alla somma) ta l aea del settoe cicolae che insiste sul suo stesso aco e l aea del tiangolo i cui lati sono due aggi e la coda che sottende l aco. segm.ci. = settoe ±
1.1 Misua della ciconfeenza 15 ESERIZI 1.1 MISUR DELL IRNFERENZ Faq nel D Teoia a p. Negli esecizi, quando inteviene p nei calcoli, si usa il valoe di,14, se non è specificato divesamente. 1 Pe veificae e consolidae la compensione del linguaggio specifico Rispondi alle domande. Qual è il simbolo del appoto ta la misua della ciconfeenza e quella del suo diameto? ome si legge? È una lettea dell alfabeto geco: a quale lettea del nosto alfabeto coisponde? Usando i simboli pe ciconfeenza, pe aggio e d pe diameto, taduci in fomule le fasi. La misua della ciconfeenza è uguale al podotto del numeo π pe la misua del diameto. La misua della ciconfeenza è uguale al doppio podotto del numeo π pe la misua del aggio. La misua del diameto è uguale al appoto ta la misua della ciconfeenza e il numeo π. La misua del aggio è uguale al appoto ta la misua della ciconfeenza e il doppio del numeo π. Il diameto è doppio del aggio. Pe veificae e consolidae le conoscenze sulla ciconfeenza Veo o falso? La ciconfeenza è cica il sestuplo del diameto. La ciconfeenza è cica il tiplo del diameto. La ciconfeenza è cica il doppio del diameto. La ciconfeenza è cica il sestuplo del aggio. Il diameto è cica metà della ciconfeenza. 1 Il diameto è cica della ciconfeenza. 1 Il aggio è cica della ciconfeenza. 6 V V V V V V V F F F F F F F 4 Il appoto ta la lunghezza della ciconfeenza e quella del aggio è uguale a π. Due ciconfeenze di uguale diameto hanno anche uguale lunghezza. Due ciconfeenze di uguale aggio hanno lunghezze divese. Pe calcolae la lunghezza di una ciconfeenza devo conoscee la misua di una coda (che non passi pe il cento ). V V V V F F F F 5 6 7 Rispondi alle domande. he tipo di numeo è π? È possibile deteminane il valoe con esattezza assoluta? È possibile deteminane il valoe con gandissima pecisione? Qual è il suo valoe appossimato a meno di 0,01? Scivi la fomula che espime la misua della ciconfeenza quando si conosce quella del diameto. Scivi la fomula che espime la misua della ciconfeenza quando si conosce quella del aggio. Scivi la fomula che espime la misua del diameto quando si conosce quella della ciconfeenza. Scivi la fomula che espime la misua del aggio quando si conosce quella della ciconfeenza. Rispondi alle domande. La misua di una ciconfeenza, il cui aggio misua 5 cm, è 10π cm. Questo valoe è esatto o appossimato? Rifeendosi alla pecedente ciconfeenza, si può die anche che misua 14 cm. Questo valoe è esatto o appossimato?
16 ESERIZI UNITÀ 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio 8 9 Scivi una fomula invesa di = π. Scivi tutte le fomule invese di =πd. Se il aggio di una ciconfeenza è doppio di quello di un alta ciconfeenza, anche le misue delle due ciconfeenze sono una il doppio dell alta? Motiva la tua isposta con un esempio numeico. Pe applicae le egole elative alla misua della ciconfeenza alcola la misua esatta e appossimata delle ciconfeenze. Esempio = p = (p 5) cm = 10p cm isultato esatto 5 cm = (10,14) cm = 1,4 cm isultato appossimato 10 11 4,5 cm,8 cm 0,1 cm 0,8 dm [4,5p cm = 14,1 cm; 5,6p cm = 17,58 cm] [0,1p cm = 0,97 cm; 1,6p cm = 5,0 cm] 1,8 cm 19,4 cm [,8p cm = 11,9 cm; 19,4p cm = 60,9 cm] alcola le misue esatte e appossimate del diameto e del aggio delle ciconfeenze. Esempio 50 d = = m p p isultato esatto d 50 = m= 79, 61 m, 14 isultato appossimato = 50 m = 50 m 15 m p = = p p 50 = m= 9, 81 m 6, 8 isultato esatto isultato appossimato 1 = 15,60 m 14 = 11,6π cm 15, 60 78, m= 497, m; m= 48, m p p 11, 6 58, cm = 68, cm; cm = 185, cm p p
1.1 Misua della ciconfeenza 17 ESERIZI 15 ompleta la tabella, che si ifeisce a misue di ciconfeenze. (m) d (m) (m) valoe esatto (m) valoe appossimato,9 18,4 95,8π 47,1 0,6 74,18π 16 17 18 19 0 alcola la misua di una ciconfeenza di diameto 7,5 cm. Scivi il isultato esatto e quello appossimato. [7,5p cm =,55 cm] alcola la misua di una ciconfeenza di aggio,8 cm. Scivi il isultato esatto e quello appossimato. [7,6p cm =,86 cm] alcola la misua del diameto di una ciconfeenza lunga 0 cm. Scivi il isultato esatto e quello appossimato. 0 p alcola la misua del aggio di una ciconfeenza lunga 6 cm. Scivi il isultato esatto e quello appossimato. 18 p cm = cm = 67, cm 57, cm alcola la misua di una ciconfeenza il cui aggio misua di 8 mm. Scivi il isultato esatto e quello appossimato. [76p mm = 8,64 mm] 1 4 alcola la misua del diameto di una ciconfeenza che misua 18 cm. Scivi il isultato esatto e quello appossimato. 18 p alcola la misua del aggio di una ciconfeenza lunga 48 mm. Scivi il isultato esatto e quello appossimato. 14 p cm = mm = 40, 76 cm 9, 49 mm alcola la misua di una ciconfeenza che ha il diameto lungo 8,7 cm. Scivi il isultato esatto e quello appossimato. [8,7p cm = 7, cm] alcola le misue del diameto e del aggio di una ciconfeenza lunga 58 m. Scivi i isultati esatti e quelli appossimati. 58 m= 18 47 m; 9, m= 9, m p p Poblemi Pe consolidae la capacità di isolvee poblemi elativi alla ciconfeenza 5 alcola la misua di una semiciconfeenza di aggio 4, cm. [1,19 cm] 6 7 alcola la misua del aggio di una semiciconfeenza lunga 8 m. [1,1 m] Poblema guidato alcolae la misua della ciconfeenza noto il aggio Una ciconfeenza misua 15π cm. alcola la misua esatta e quella appossimata di una seconda ciconfeenza il cui aggio è del aggio della pima. 5 Dati Incognita 1 = 15π cm = 1 5 Pocedimento isolutivo alcoliamo, nell odine: la misua del aggio 1 della pima ciconfeenza la misua del aggio della seconda ciconfeenza la lunghezza della seconda ciconfeenza alcolo 1 15π 1 = = = π π cm... cm = 1 5 = 5... cm =... cm = π = (π...) cm = 9π cm = 8,6 cm
18 ESERIZI UNITÀ 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio 8 9 Pe costuie una piscina cicolae il cui contono misua 40 m, quanto dovà misuae il suo aggio, a meno di 0,1 m? [6,4 m] alcola la misua della ciconfeenza sapendo che la coda misua 80 cm e che la sua distanza dal cento è di 0 cm. H [14 cm] 0 1 4 5 6 7 8 alcola la misua di una ciconfeenza, sapendo che una coda è lunga 96 cm e che la sua lunghezza è 8 della sua distanza dal cento. [76,8 cm] alcola la misua di una coda che dista,6 mm dal cento di una ciconfeenza lunga 7,68 mm. [9,6 mm] In una ciconfeenza due code misuano ispettivamente 8 cm e 14 cm. La coda minoe dista dal cento cm. Quanto misua la ciconfeenza? [1,4 cm] Una ciconfeenza di cento misua 44,9 cm e una sua coda è i il peimeto del tiangolo. del aggio. alcola l aea e [540 cm ; 150 cm] Il diameto di una ciconfeenza è la base di un tiangolo isoscele che ha il vetice sulla ciconfeenza stessa. alcola l aea e il peimeto del tiangolo, sapendo che la lunghezza della ciconfeenza è 50,4 cm. [64 cm ; 8,6 cm] In una ciconfeenza che misua 1,5 una coda dista 0 cm dal cento della ciconfeenza. alcola l aea e il peimeto del tapezio D che si ottiene congiungendo gli estemi della coda a quelli del diameto D paallelo alla coda. [1500 cm ; 169,97 cm] Poblema guidato alcolae la misua della ciconfeenza di una uota Le uote di una bicicletta hanno aggi lunghi 0 cm. alcola quanti meti pecoe la bicicletta dopo 100 gii delle uote. Dati =... cm numeo di gii =... Incognita l = lunghezza del tagitto Pocedimento isolutivo ogni gio la bicicletta avanza della lunghezza della ciconfeenza della sua uota. Peciò, calcoliamo: la lunghezza della ciconfeenza della uota la lunghezza del tagitto pecoso alcolo = π = (π...) cm =... cm l = 100 = (100...) cm =... cm = 188,4 m I diameti delle uote di una bicicletta misuano 80 cm. alcola quanti meti pecoe la bicicletta dopo 500 gii delle uote. [156 m] alo pecoe 4 km con un vecchio velocipede. Le due uote effettuano lo stesso numeo di gii? alcola quanti gii compiono le due uote nei 4 km del pecoso, sapendo che le misue dei loo diameti sono 100 cm e 0 cm. [17 gii; 669 gii] 4 1
1.1 Misua della ciconfeenza 19 ESERIZI 9 Lo stumento in figua è un podometo. Esso è fomato da una uota dotata di un dispositivo che egista il numeo di gii pecosi dalla uota, taducendolo nella misua del pecoso totale. Sapendo che il diameto della uota è 19 mm, calcola a quale tagitto coisponde un gio. ppossima il isultato a meno di 1 cm. Se il contagii segna 17, qual è la lunghezza in meti del tagitto misuato? Se una stada è lunga 87 m, misuandola con lo stesso attezzo che numeo segneà il contagii? 44 45 Una caozza ha due coppie di uote con aggi di 4 cm e 0 cm. Pe pecoee un ceto tatto di stada le due uote maggioi fanno 450 gii. Quanti gii fanno le uote minoi? [60 gii] alcola la misua del peimeto della figua, sapendo che il contono è costituito da te semiciconfeenze e che il diameto di quella maggioe misua 56 cm. [175,84 cm] 40 41 4 [100 cm; 17 m; 87] Una bicicletta pecoe km facendo 800 gii di uota. alcola quanto misuano i aggi delle uote. [9,81 cm] Le uote di una caozza hanno il aggio di 65 cm. Quanti gii compiono al minuto se pe pecoee un tatto di 5 m occoono 4 minuti? [15 gii al minuto] Una pista cicolae ha la lunghezza me dia di 14 m ed è laga 4 m. Due ciclisti coono insieme, uno sul bodo esteno e l alto su quello inteno. Il pimo ha una bicicletta con le uote del diameto di 65 cm. Quanti gii dovà fae ciascuna uota pe pecoee l in tea pista? Quale aggio avà la uota della seconda bicicletta, se pe pecoee l intea pista le uote delle due biciclette fanno lo stesso numeo di gii? 46 47 48 49 Il diameto di un tavolo otondo misua 60 cm. Quanto deve misuae il lato di un tavolo quadato affinché abbia lo stesso peimeto? [47,1 cm] La somma dei aggi di due ciconfeenze misua 9,18 m e la loo diffeenza misua,18 m. alcola la misua di ognuna delle due ciconfeenze. [18,84 m; 8,81 m] La somma dei aggi di due ciconfeenze misua 1 150 mm e uno è dell alto. alcola la misua delle due ciconfeenze. [706,5 mm; 5,5 mm] Il peimeto di un ettangolo misua 90 dm e una 4 dimensione è i dell alta. 5 alcola la lunghezza della ciconfeenza che ha il diameto uguale alla dimensione minoe del ettangolo. [0p dm] 50 In un tiangolo isoscele il peimeto misua 116,4 cm e il lato 45, cm. alcola la lunghezza di una ciconfeenza che ha il aggio uguale alla base del tiangolo. [5p cm] 4 [160 gii; 0 cm] Un tattoe ha due coppie di uote con aggi di 40 cm e di 70 cm. Pe pecoee un tatto di stada le uote di dimensioni maggioi fanno 10 gii. Quanti gii completi fanno le uote di dimensioni minoi? [1806 gii] 51 Filippo e lessando hanno misuato, sevendosi di uno spago, la lunghezza di una ciconfeenza di aggio uguale a 0 cm. Filippo ha tovato una lunghezza di 187,9 cm, mente lessando quella di 189,1 cm. Quale dei due si è avvicinato maggiomente al valoe eale? [Filippo]
0 ESERIZI UNITÀ 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio 5 5 54 Il diameto del tonco di un albeo aumenta in media di 1 cm all anno. Quale saà l età dell albeo quando la ciconfeenza del tonco misueà 11,04 cm? [6 anni] Un contadino vuole ecintae con ete metallica un laghetto atificiale di foma cicolae il cui aggio misua 14 m, ponendola a m dal bodo. Di quanti meti di ete avà bisogno? [75,6 m] I cateti di un tiangolo ettangolo inscitto in una semiciconfeenza sono lunghi 10 m e 7,5 m. alcola la lunghezza della ciconfeenza cicoscitta al tiangolo. [1,5p m] 58 59 Un ettangolo, che ha il peimeto che misua 151, cm e la base dell altezza, è inscitto in una 4 ciconfeenza. alcola la lunghezza della ciconfeenza cicoscitta. [54p cm] Qual è la misua appossimata in chilometi del aggio teeste, se consideiamo l equatoe lun - go 40 000 000 m? Un satellite atificiale gia intono alla Tea a un altezza di 800 km dalla supeficie teeste. Quale saà la lunghezza del pecoso in un gio, supposto che l obita sia esattamente cicolae e nel piano equatoiale? [669 km; 45 01 km] 55 I due cateti di un tiangolo ettangolo inscitto in una semiciconfeenza sono uno i dell alto e 4 la loo somma misua 5 cm. alcola la lunghezza della ciconfeenza cicoscitta al tiangolo. [5p cm] 60 La lunghezza della linea cuva disegnata in neo è di 76,8 cm. Essa è fomata da otto semiciconfeenze consecutive aventi il diameto uguale alla metà del lato del ombo. Qual è l aea del ombo, se la diagonale minoe è lunga 7 cm? 56 L aea di un quadato cicoscitto a una ciconfeenza misua 144 m. alcola la lunghezza della ciconfeenza inscitta nel quadato. [1p m] 57 L aea di un ombo cicoscitto a una ciconfeenza misua 04, dm e il lato è lungo,8 dm. alcola la lunghezza della ciconfeenza inscitta nel ombo. [9p dm] 61 [456 cm ] Un quadato di aea 81 cm può essee inscitto in una ciconfeenza che misua 18π cm? Peché? Risolvi i poblemi scitti in foma simbolica. 6 = 176 cm H H = 165 cm =? H 6 K = 90 K = 68 cm = 10 cm d =? d [187 cm] K [170 cm] 64 K K = 40 cm = 57,48 cm =? K [18 cm]
1. Misua dell aco di ciconfeenza 1 ESERIZI 1. MISUR DELL R DI IRNFERENZ Faq nel D Teoia a p. 4 65 Pe veificae e consolidae la conoscenza della elazione ta achi e angoli al cento Se un angolo al cento di una ciconfeenza viene tiplicato, in che misua cambia l aco su cui esso in siste? 66 67 68 Indica che elazione esiste ta l ampiezza degli angoli al cento di una ciconfeenza e la lunghezza degli achi su cui insistono. Indica con una cocetta il completamento coetto. Ta angoli al cento di una ciconfeenza e i ispettivi achi su cui insistono esiste: popozionalità dietta popozionalità invesa nessuna popozionalità Scivi una popozione i cui temini siano la lunghezza l di un aco di ciconfeenza sotteso da un angolo al cento α. 69 Pe applicae la conoscenza della elazione ta achi e angoli al cento Un angolo al cento di 15 insiste su un aco di 00 mm. Se l angolo viene addoppiato, quanto misua l aco coispondente, sulla stessa ciconfeenza? Se l angolo viene dimezzato, quanto misua l aco coispondente, sulla stessa ciconfeenza? Se l angolo diventa di 150, quanto misua l aco coispondente, sulla stessa ciconfeenza? 70 71 7 7 Poblema guidato alcolae la misua dell aco di ciconfeenza note la misua della ciconfeenza e l ampiezza dell angolo al cento coispondente alcola la lunghezza di un aco l di un settoe cicolae ampio 18 di una ciconfeenza lunga 51 cm. Dati α=18 = 51 cm Incognita l Pocedimento isolutivo e calcolo La elazione ta ampiezza α del settoe cicolae, lunghezza l dell aco e misua della ciconfeenza è data dalla popozione: α : l = 60 : Sostituiamo i valoi noti:... : l = 60 :... Risolviamo la popozione: l =...... 60 cm = 5,6 cm alcola la misua di un aco di una ciconfeenza che misua 816 cm, sapendo che sottende un angolo al cento di 7. [61, cm] La lunghezza di una ciconfeenza è 810 cm. alcola la lunghezza di un aco che sottende un angolo di 60. [15 cm] Un aco a cui coisponde un angolo al cento di ampiezza 58 4 è pate di una ciconfeenza lunga 50,4 cm. alcola la lunghezza dell aco. [8,15 cm] α l esecizio guidato nel D 74 alcola l ampiezza di un settoe cicolae, sapendo che la lunghezza dell aco l coispondente è 50 cm e che la ciconfeenza è lunga 450 cm. [40 ] esecizio guidato nel D 75 Un aco lungo 11,04 cm è pate di una ciconfeenza lunga 01,44 cm. alcola l ampiezza dell aco. [15 ]
ESERIZI UNITÀ 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio 76 77 78 79 80 81 8 8 Qual è l ampiezza dell angolo al cento co ispondente a un aco lungo,55 m appatenente a una ciconfeenza lunga 15,6 m? [6 45 ] alcola l ampiezza di un settoe cicolae, sapendo che la lunghezza dell aco l coispondente è 8 cm e la ciconfeenza è lunga 760 cm. [18 ] La lunghezza di un aco di ciconfeenza è cm. alcola l ampiezza del settoe cicolae coispondente, sapendo che la ciconfeenza misua 18 cm. [90 ] alcola la misua di una ciconfeenza, sapendo che la lunghezza di un aco l è 0 cm e l ampiezza del settoe che gli coisponde è 5. [4 cm] esecizio guidato nel D alcola la misua di una ciconfeenza in cui un angolo al cento di 0 insiste su un aco lungo 48 cm. [864 cm] alcola la misua di una ciconfeenza, sapendo che un angolo al cento, la cui ampiezza è 10, insiste su un aco lungo 18 cm. [414 cm] alcola la misua della ciconfeenza a cui appatiene un aco lungo 58 cm coispondente a un angolo al cento di 18. [11,6 m] alcola la misua della ciconfeenza a cui appatiene un aco lungo 1,884 m coispondente a un angolo al cento di 1. [56,5 m] Poblemi Pe consolidae la capacità di isolvee poblemi elativi alla elazione ta achi e angoli al cento 84 Poblema guidato alcolae l ampiezza dell angolo al cento note le misue del aggio e dell aco coispondente alcola l ampiezza di un angolo al cento che insiste su un aco di 4, m sapendo che il aggio della ciconfeenza misua 8 m. Dati l =... m =... m Incognita Pocedimento isolutivo e calcolo Sciviamo la popozione ta gli elementi della ciconfeenza: α : l = 60 : α alcoliamo mediante la fomula: = π = (π...) m =... m Inseiamo i valoi noti nella popozione: α :... = 60 :... Risolviamo la popozione: α = l 60... 60 = = 0... α l 85 86 87 88 alcola l ampiezza di un angolo al cento che insiste su un aco di 5,5 mm, sapendo che il aggio della ciconfeenza misua 150 mm. [90 ] Un aco è lungo 5,495 m e appatiene a una ciconfeenza avente il aggio di 1 m. Qual è l ampiezza dell angolo al cento coispondente? [15 ] Un aco lungo 75,6 m è pate di una ciconfeenza avente il aggio di 48 m. alcola l ampiezza dell aco. [90 ] La lunghezza di un aco è di 84π cm. alcola l ampiezza dell angolo al cento se il diameto della ciconfeenza è di: 108 cm 4 cm 189 cm [80 ; 15 ; 160 ]
1. Misua dell aco di ciconfeenza ESERIZI 89 Poblema guidato alcolae la misua del aggio note la lunghezza dell aco e l ampiezza dell angolo al cento coispondente alcola la misua del aggio di una ciconfeenza, sapendo che un angolo al cento la cui ampiezza è 80 insiste su un aco lungo 1 cm. Dati α=... l =... cm Incognita Pocedimento isolutivo e calcolo Sciviamo la popozione ta gli elementi della ciconfeenza: α : l = 60 : Inseiamo i valoi noti nella popozione:... :... = 60 : α l alcoliamo la misua della ciconfeenza, isolvendo la popozione: Dalla misua della ciconfeenza calcoliamo quella del aggio: 60... = cm =... cm...... = = cm = 15, 05 cm π 14, 90 91 9 9 Un aco lungo 150,7 dm a cui coisponde un angolo al cento di 10 1 è pate di una ciconfeenza. alcola il aggio della ciconfeenza. [71,88 dm] alcola la misua del aggio di una ciconfeenza, sapendo che un angolo al cento ampio 108 insiste su un aco lungo 16 mm. [114,65 mm] Quanto misua il aggio della ciconfeenza a cui appatiene un aco lungo,676 m, coispondente a un angolo al cento di 4? [56 m] Poblema guidato alcolae la misua dell aco note la misua del aggio e l ampiezza dell angolo al cento coispondente alcola la misua dell aco che coisponde a un angolo al cento di 4 e appatiene a una ciconfeenza avente il aggio di 16 cm. Dati α=... =... cm Incognita l α Pocedimento isolutivo e calcolo alcoliamo la misua della ciconfeenza: l = π = (π...) cm =... cm Inseiamo i valoi noti nella popozione:... : l = 60 :... Risolviamo la popozione: l =...... cm = 11, 7 cm 60 94 95 Un aco a cui coisponde un angolo al cento di 70 6 è pate di una ciconfeenza con aggio lungo 4 cm. alcola la lunghezza dell aco. [9,56 cm] alcola la misua di un aco di ciconfeenza, note le misue del aggio e dell angolo al cento, nei seguenti casi: 1 cm e 70 cm e 80 44 4 cm e 44 54 cm e 14 50 8 [14,7 cm; 18,4 cm; 45,1 cm; 14,6 cm]
4 ESERIZI UNITÀ 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio 96 97 98 99 Un aco coisponde a un angolo al cento di 47 4 e appatiene a una ciconfeenza avente il aggio di m. alcola la misua dell aco. [,48 m] Un angolo al cento è di 56 e la misua dell aco che lo limita è 1π cm. alcola la misua del aggio di 4 un alta ciconfeenza la cui lunghezza è di quella della ci confeenza data. [0 cm] 9 Un ciclista pecoe una pista cicolae con il aggio di 96 m. Il aggio della uota della bicicletta è di 0 cm. Quando la uota ha compiuto 10 gii, qual è l ampiezza dell angolo al cento che coisponde all aco di taiettoia pecosa? [15 ] Disegna una ciconfeenza di diameto. Taccia da una secante che inconti la ciconfeenza in e fomi con la tangente in un angolo P di 0. Sapendo che il seg mento di secante P misua 9 cm, calcola la misua dell aco. [1,5p cm] 100 101 Taccia il diameto di una ciconfeenza e due code, D uscenti da e da pati opposte ispetto al diameto, che fomino con il diameto angoli ispettivamente di 0 e 45. alcola l aea e il peimeto del quadilateo D, sapendo che il aggio è di 1 cm. alcola inolte la misua dell aco D. [68,8 cm ; 66,7 cm; 10p cm] alcola la misua di una coda di una ciconfeenza, sapendo che dista dal cento 4 cm e che essa sottende un aco di 15 cm, su cui insiste un angolo al cento di 144. [8,9 cm] Risolvi i poblemi scitti in foma simbolica. 10 = 75,6 cm l =? 0 10 = 900 cm l =? l 0 l [6,8 cm] [75 cm] 104 l = 6 cm = 48 cm α=? 105 l = 8, cm = 9, cm α=? l α α l [45 ] [90 ]
1. ea dei poligoni cicoscitti a una ciconfeenza 5 ESERIZI 1. 106 RE DEI PLIGNI IRSRITTI UN IRNFERENZ Pe veificae e consolidae l uso del linguaggio specifico Faq nel D Taduci in fomule. L aea di un poligono cicoscitto a una ciconfeenza si può calcolae moltiplicando la misua del peimeto pe quella del aggio e dividendo pe due il isultato. La misua del peimeto di un poligono cicoscitto a una ciconfeenza si può calcolae dividendo la sua doppia aea pe la misua del aggio del cechio. La misua del aggio di una ciconfeenza inscitta in un poligono è uguale al appoto ta la doppia aea del poligono e la misua del peimeto. Teoia a p. 5 Pe veificae e consolidae la conoscenza di fomule e egole di calcolo elative ai poligoni cicoscitti 107 Scivi le fomule ichieste. La fomula pe calcolae la misua del aggio della ciconfeenza inscitta in un poligono di cui si conoscono aea e peimeto p. La fomula pe calcolae la misua del peimeto p di un poligono di cui si conosce l aea e che è cicoscitto a una ciconfeenza di cui si conosce la misua del aggio. La fomula pe calcolae l aea di un poligono di cui si conosce il peimeto p e che è cicoscitto a una ciconfeenza di cui si conosce la misua del aggio. Pe applicae le egole di calcolo elative ai poligoni cicoscitti 108 Poblema guidato alcolae l aea di un poligono cicoscitto a una ciconfeenza alcola l aea di un poligono il cui peimeto misua 60 cm, cicoscitto a una ciconfeenza di 8 cm di aggio. Dati Incognita p = 60 cm = 8 cm 109 110 111 11 Pocedimento isolutivo e calcolo p...... = = cm = 40 cm alcola l aea di un poligono il cui peimeto misua 118 cm, cicoscitto a una ciconfeenza di 18 cm di aggio. [106 cm ] Un tiangolo è cicoscitto a una ciconfeenza di aggio,5 cm. alcola l aea del tiangolo, sapendo che i lati misuano 7 cm, 1 cm e 11 cm. [7,5 cm ] Poblema guidato alcolae la misua del peimeto di un poligono cicoscitto a una ciconfeenza alcola la misua del peimeto di un poligono la cui aea è 10 cm, cicoscitto a una ciconfeenza di 5 cm di aggio. Dati Incognita = 10 cm p =... cm Pocedimento isolutivo e calcolo p = =(...:...) cm = 48cm esecizio guidato nel D alcola la misua del peimeto di un poligono la cui aea è 8400 cm, cicoscitto a una ciconfeenza di 5 cm di aggio. [480 cm]
6 ESERIZI UNITÀ 1 Misua della ciconfeenza e aea del cechio 11 Poblema guidato alcolae la misua del aggio della ciconfeenza inscitta in un poligono alcola la misua del aggio della ciconfeenza inscitta in un poligono la cui aea è 1440 cm e il cui peimeto misua 00 cm. esecizio guidato nel D Dati = 1440 cm p =... cm Incognita 114 Pocedimento isolutivo e calcolo p = =( ) cm =...:... 14, 4cm alcola la misua del aggio della ciconfeenza inscitta in un poligono la cui aea è 180 cm e il cui peimeto misua 7 cm. [5 cm] Poblemi Pe consolidae la capacità di isolvee poblemi elativi ai poligoni cicoscitti 115 alcola la misua della ciconfeenza inscitta in un poligono di aea 980 cm e peimeto 80 cm. [4,96 cm] 116 Un tapezio ettangolo è cicoscitto a una ciconfeenza e ha aea di 980 mm. Il suo peimeto misua 196 mm. alcola la misua del aggio della ciconfeenza e la misua del lato obliquo. [10 mm; 78 mm] 117 alcola l aea di un poligono cicoscitto a una ciconfeenza che misua 80 cm, sapendo che il peimeto 9 del poligono è della lunghezza della ciconfeenza. [57,5 cm ] 8 118 119 alcola la misua del peimeto di un poligono cicoscitto a una ciconfeenza che misua 76 mm, sapendo che l aea del poligono è 600 mm. [99,17 mm] Poblema guidato alcolae la misua della ciconfeenza noti l aea e il peimeto del poligono cicoscitto alcola il valoe esatto e quello appossimato della misua della ciconfeenza che ha diameto doppio di un alta ciconfeenza inscitta in un poligono di aea 65 cm e peimeto di 1 cm. Dati Incognita 10 d = d 1 poligono =... cm p poligono =... cm Pocedimento isolutivo e calcolo alcoliamo la misua del aggio 1 della ciconfeenza 1 : 1 = =(...:...) cm =... cm p Poiché d = d 1 anche = 1. alcoliamo la misua del aggio : = 1 = (...) cm =... cm alcoliamo la misua della ciconfeenza : = π = (π...) cm = 40π cm = 15,6 cm Il aggio di un cechio inscitto in un esagono egolae misua 1,65 cm. alcola il peimeto di un ettangolo equivalente all esagono e avente la base di 64,95 cm. [179,9 cm]
1. ea dei poligoni cicoscitti a una ciconfeenza 7 ESERIZI 11 Poblema guidato alcolae l aea dei poligoni cicoscitti Una diagonale di un ombo cicoscitto a una ciconfeenza misua 4 cm ed è del ombo con due pocedimenti divesi. 4 Dati d 1 =... cm d 1 = d 4 Incognita D dell alta. alcola l aea 1 Pocedimento isolutivo e calcolo: pimo metodo alcoliamo la misua della seconda diagonale. Poiché d = 1 di conseguenza, quindi: 4 d d = 4 d 1 4 d = d1 = (...) cm =... cm d1 d alcoliamo l aea del ombo con la fomula = =...... cm = 1176 cm Pocedimento isolutivo e calcolo: secondo metodo alcoliamo la misua del lato del ombo applicando il teoema di Pitagoa al tiangolo D. d d D = + D = + 1 = Quindi il peimeto è: p = D 4 =... cm Pe calcolae la misua del aggio della ciconfeenza inscitta, calcoliamo pima l aea del tiangolo D: Poi calcoliamo la misua del aggio: p...... Peciò l aea del ombo è: = = cm = 1176 cm Un tiangolo ettangolo è cicoscitto a una ciconfeenza che misua 1π cm e la sua aea è 16 cm. alcola la misua del peimeto del tiangolo. [7 cm] cm......... + cm = D D = = = = D... cm = D... 1 cm...... cm =...... cm... cm alcola la misua del lato di un quadato cicoscitto alla stessa ciconfeenza in cui è cicoscitto un esagono il cui peimeto misua 10 cm e la cui aea è 840 cm. [8 cm] Risolvi i poblemi scitti in foma simbolica. 14 p = 16 cm = 5 cm =? 15 = 1 m = 88 m p =? 16 18 p = 100 dm = 750 dm =? = = D = = DE = E = 6,8 cm = 79,9 cm =? E D [15 cm ] [15 dm] [4,7 cm] 17 19 = 4,8 cm = 84 cm = = D = = DE = E =? = = D = = DE = EF = F = 4 m =,5 m =? E F E D D [18 m] [7 cm] [4 m ]