Unverstà degl Stud d Parma Facoltà d Economa Corso d PIANIFICAZIONE FINANZIARIA Professor Eugeno Pavaran INTRODUZIONE AL RISCHIO Nota ddattca d Gan Marco Ches Indce ) Premessa ag. ) Gl nvestment fnanzar sngol ag. 3) La moderna teora d ortafoglo: la dversfcazone d Markowtz ag. 6 4) L ntroduzone del tasso rvo d rscho: l teorema della searazone d Tobn ag. 3 5) Il Catal Asset Prcng Model ag. 9 5.) Rscho sstematco e non sstematco ag. 9 5.) Dversfcazone e valore ag. 3 5.3) Il Catal Asset Prcng Model e la Securty Market Lne ag. 4 6) Le alcazon del Catal Asset Prcng Model: l costo oortuntà delle rsorse fnanzare ag. 8 Aendce-A) L otes d normaltà nella dstrbuzone de rendment delle sere fnanzare ag. 8 Aendce-B) Comortamento asntotco della varanza d un ortafoglo d ttol ag. 30 Aendce-C) La dervazone del CAPM: l arocco d Share ag. 3 Bblografa ag. 34 ) Premessa L mresa svolge la rora attvtà n condzon d ncertezza oché manager sono tenut ad effettuare scelte, tra dverse alternatve ossbl, senza oter revedere le conseguenze delle decson assunte: rsultat, nfatt, dendono sa dall azone ntraresa, sa dal verfcars d moltelc crcostanze future ed ncerte. Al momento d decdere se ntrarendere o meno un rogetto d nvestmento, manager sono n ossesso d nformazon legate all uscta monetara mmedata a seguto dell acqusto de
macchnar, ma non sono n grado d stmare adeguatamente la temstca e l enttà delle entrate che saranno generate da quello stesso rogetto nel corso degl ann. Quello roosto è solo un esemo de roblem d scelta n condzone d ncertezza che manager comono quotdanamente. Ch decde uò qund trarre vantaggo da strument che consentano d sceglere razonalmente n un contesto d ncertezza. Scoo della nota ddattca è l ntroduzone a modell fondamental d anals degl nvestment fnanzar e della Teora d Portafoglo er dsorre degl strument teorc er la rsoluzone razonale de roblem d scelta n un contesto d ncertezza. ) Gl nvestment fnanzar sngol La scelta d nvestre n un ttolo moblare avvene n un contesto d ncertezza oché non è ossble revedere quale sarà la futura evoluzone de rezz dello strumento e qund quale sarà l roftto ottenble da un oerazone d acqusto e successva vendta. I modell fnanzar adottano, n sosttuzone del concetto d ncertezza, quello d rscho, benché due termn ossano sembrare snonm. Mentre l ncertezza medsce d attrbure robabltà a dvers ossbl scenar futur, de qual molt non sono not, l rscho fa rfermento al concetto d volatltà, coè d dstrbuzone de ossbl rsultat ntorno ad un rendmento atteso. Questo assaggo consente l adozone d strument statstc e matematc er la descrzone della realtà non utlzzabl nell mossbltà d attrbure una robabltà agl event futur. L acqusto d un valore moblare è effettuato con l asettatva d rcevere n futuro un flusso d cassa maggore rsetto a quello orgnaramente versato. Il dfferenzale fra quanto rcevuto e quanto versato è l rendmento assoluto d un ttolo ed è msurato come somma d due element: RA = P' P + D () La dfferenza tra P (rezzo d vendta del ttolo) e P (rezzo d acqusto del ttolo) raresenta l guadagno n conto catale er l nvesttore (catal gan). D è l nseme d eventual agament (n contant o n altra forma) legat al ossesso del ttolo: nel caso d un azone ossono essere dvdend o drtt d ozone, mentre er un obblgazone ossono concretzzars n cedole o altre forme d remunerazone erodca d natura certa od ncerta. Una msura sntetca d rendmento che consente l confronto con alternatve d nvestmento, ndendentemente dall enttà del catale megato, è l rendmento relatvo, ottenuto raortando al rendmento assoluto l rezzo d acqusto del ttolo: P P + D RR = ' () P Come affermato n recedenza, l nvestmento è effettuato er ottenere un dfferenzale ostvo lungo un certo orzzonte temorale; tuttava, agendo n un contesto d ncertezza, l nvesttore conosce solo una delle varabl che determnano l rendmento, coè l rezzo d acqusto del ttolo, mentre non ha alcuna certezza n merto al rezzo fnale e all enttà (e resenza) delle remunerazon erodche. Gl unc ttol che ossono consentre un rendmento certo sono ttol d Stato con durata ar all orzzonte temorale d nvestmento e senza remunerazon erodche, come gl Zero Couon Bond. Infatt lo Stato, n vrtù del otere d emettere cartamoneta è, almeno teorcamente, semre S rcorda, ad esemo, che Bot (Buon ordnar del Tesoro) sono Zero Couon. Sono ttol caratterzzat da emssone sotto la ar, rmborso al valore nomnale e assenza d cedole erodche.
n grado d rmborsare (quantomeno n termn nomnal) ror debt. Affnché l ttolo sa effettvamente rvo d rscho occorre che la durata dell nvestmento concda con l orzzonte temorale dell nvesttore. Se l holdng erod fosse suerore, l nvesttore s troverebbe nella stuazone d dover renvestre quanto ottenuto ad un tasso futuro ncerto. Dversamente, se la durata del ttolo fosse suerore all holdng erod, l nvesttore sarebbe sottoosto ad un rscho d volatltà oché, a seconda dell andamento de tass del mercato, l ttolo uò subre un ncremento d valore (n resenza d un rbasso generale de tass) o un decremento nel caso nverso. Per tutt gl altr ttol, gl element d ncertezza ossono determnare un rendmento effettvo a scadenza assa dverso da quello atteso al momento della decsone d nvestmento ur n resenza d concdenza tra durata dello strumento ed holdng erod. Tale dverstà uò essere l rsultato sa del rscho legato alla solvbltà dell emttente, coè della caactà futura del debtore d rmborsare quanto ottenuto n restto, sa della secfca forma contrattuale adottata. In carenza d un rendmento certo, gl oerator rendono le rore decson d nvestmento n funzone del rendmento atteso del ttolo, coè del rsultato medo che è ossble attenders da quello stesso strumento fnanzaro. Il concetto d rendmento medo atteso fa rfermento alla robabltà che l nvesttore assoca a ossbl rsultat effettv che otranno essere consegut n vrtù de drtt attrbut dal ttolo. Il rendmento atteso è la meda onderata de ossbl rsultat futur, assegnando ad ognuno d ess una certa robabltà d accadmento. Da questa defnzone emerge la necesstà d suerare l concetto d ncertezza data la necesstà d ndvduare ossbl rsultat futur e d assegnare loro una robabltà. E cò malgrado l ncertezza raresent effettvamente la realtà dell nvesttore e malgrado le dffcoltà d otzzare le ossbl crcostanze future e d assegnare loro una robabltà. Il rendmento atteso del k-esmo ttolo s ndca con la seguente notazone: E n [ Rk ] = = R (3) ove n è l numero d ossbl rsultat futur, R è l sngolo rsultato e è la robabltà ad esso assocata. Esemo Il ttolo Alfa, acqustable ogg ad un rezzo d 00, resenta quattro ossbl rsultat futur: Scenaro Prezzo futuro Dvdendo Rendmento % Probabltà A 35 5 50% 5% B 5 0 5% 35% C 90 5-5% 0% D 80 0-0% 30% Il rendmento atteso del ttolo Alfa è ar a: [ ] = ( 0,5 0, 5) + ( 0,5 0,35) + ( 0,05 0,) + ( 0, 0,3) = 0,095 = 9,5% E R Alfa Per arofondment sul tema s veda Fabrz P.L.: I crter d valutazone e gl ndcator d rscho de ttol obblgazonar n Fabrz P.L., (a cura d), L Economa del Mercato Moblare, 003, Egea 3
L esemo fatto er l ttolo Alfa evdenza un valore atteso dell nvestmento, ar a 9,5% benché questo rsultato non sa ottenble n realtà, oché rsultat revst sono: -0%, -5%, +5%, +50%. La descrzone sntetca d un ttolo basata sul valore atteso è dunque ncomleta e necessta d una msura del grado d dsersone de rsultat. Infatt, mentre 9,5% è l rsultato atteso, l rendmento effettvo uò oscllare tra un mnmo del -0% ed un massmo del +50%. S è affermato n recedenza che la volatltà de rsultat revst ntorno al valore atteso è roro la nozone d rscho adottata nell anals degl nvestment fnanzar. Da questo ndcatore gl nvesttor traggono concluson n merto alla msura d quanto ossono essere dvers rsultat revst rsetto a quello atteso. La msura d dsersone utlzzata è la varanza de rendment oure la sua radce quadrata, coè lo scarto quadratco medo, che, n artcolare, ha l rego d essere esresso nella stessa untà d msura de rendment. Poché la varanza è la meda degl scart, rsetto al valore medo, elevat al quadrato, maggore è l suo valore, maggore è la dsersone de rendment ntorno al rsultato atteso. Le formule con cu calcolare queste msure d volatltà sono le seguent: n = ( R E[ R ]) (4) = ( R E[ R ]) = n (5) = Esemo Rrendendo dat legat al ttolo Alfa, la varanza e lo scarto quadratco medo sono rsettvamente ar a: Alfa = ( 0,5 0,095 ) 0,5 + ( 0,5 0,095 ) 0,35 + ( 0,05 0,095 ) 0, + ( 0, 0,095 ) 0,3 = 0, 0633 Alfa = 0,0633 = 0,56 I rendment del ttolo Alfa hanno uno scarto medo (negatvo o ostvo) rsetto al valore atteso, ar al 5%. L esemo del ttolo Alfa non è raresentatvo della realtà oché un nvestmento azonaro uò generare rendment effettv assa dvers e non solamente quattro come otzzato nell esemo. La letteratura fnanzara otzza, n genere, una dstrbuzone de rendment revst ntorno a quello atteso modellzzata dalla dstrbuzone normale. Un ttolo uò qund assumere rendment nferor o sueror al roro valore atteso con robabltà d accadmento sntetzzate dalla dstrbuzone normale. La fgura raresenta grafcamente la dstrbuzone normale de rendment, rortando n ascssa rendment ottenbl dal ttolo -esmo ed n ordnata la robabltà 3 d accadmento assocata ad ognuno d ess. La normale è una dstrbuzone smmetrca oché la robabltà che l ttolo abba un rendmento nferore o suerore a quello atteso ( E[R ] ) è la medesma. Questa caratterstca s traduce nella smmetra tra le aree a snstra e a destra del valore atteso. 3 In realtà, oché la varable aleatora è contnua, è una funzone d denstà d robabltà. 4
Probabltà -ó E[R ] + ó R Fgura n. : Forma d dstrbuzone normale de rendment d un ttolo fnanzaro Nella normale, la robabltà che un rendmento dffersca (n ostvo o n negatvo) da quello atteso meno del valore assunto dallo scarto quadratco medo è ar al 68,68%, mentre la robabltà che un rendmento dffersca da quello atteso ù d tre volte rsetto al valore dello scarto quadratco medo è ar allo 0,7% 4. Se rendment d un ttolo azonaro sono dstrbut secondo la normale, ogn nvestmento uò essere valutato solo sulla base del rendmento atteso e della varanza (o dello scarto quadratco medo). A fronte d due ttol caratterzzat dallo stesso rendmento atteso, l nvesttore razonale scegle quello con mnor rscho, msurato dallo scarto quadratco medo. Facendo rfermento alla fgura n. è ossble evdenzare l ttolo Alfa e dvdere l ano n quattro quadrant, all nterno de qual sono comres altr ttol, dalle caratterstche dfferent rsetto ad Alfa. La fgura rorta n ascssa l rscho, raresentato dallo scarto quadratco medo, ed n ordnata l rendmento atteso. E (R ) II I E (R Alfa ) Alfa III IV s Alfa s Fgura n. : Rscho e rendmento nel ano cartesano 4 Una maggor robabltà, rsetto a quella esressa dalla normale, d rendment estremamente alt o bass s traduce nel fenomeno delle code esant ed è msurata dall ndce d curtos. 5
Utlzzando un crtero d scelta che consdera solo meda e varanza, è ossble affermare che nel quarto quadrante sono contenut ttol eggor d Alfa oché caratterzzat da mnor rendmento atteso e maggor volatltà. Dversamente, l secondo quadrante contene ttol mglor d Alfa oché resentano un ù elevato rendmento atteso a fronte d una mnor volatltà. Rsetto ad Alfa non è ossble effettuare una scelta, sulla base del crtero meda-varanza, er ttol contenut nel rmo e terzo quadrante oché mentre rm consentono un maggor rendmento atteso a fronte del maggor rscho sostenuto, second fornscono un mnor rendmento a fronte d un mnor rscho. Rsetto a ttol contenut nel rmo e terzo quadrante, non è ossble adottare l crtero meda-varanza er la scelta dell nvestmento mglore, oché la scelta dende dal grado d avversone al rscho del sngolo nvesttore. Soggett roens al rscho sono dsost, er ottenere un guadagno atteso maggore, a soortare rsch maggor. Soggett oco roens al rscho temono le ossbl erdte che ossono subre n vrtù dell andamento aleatoro de ttol e referscono nvestment che, a fronte del mnor rscho, sostenuto consentano un guadagno atteso mnore. La scelta n tal senso non è oggettva come avvene col crtero meda-varanza oché occorre ntrodurre la soggettva roensone al rscho dell nvesttore msurata, nel ano cartesano, dalle curve d ndfferenza. Gl nvesttor avvers al rscho referscono, rsetto ad Alfa, ttol che gaccono nel terzo quadrante mentre ù roens al rscho ad Alfa referscono ttol collocat nel rmo. Il crtero meda-varanza uò essere utlzzato solo resuonendo una dstrbuzone normale de rendment de ttol fnanzar oché, dversamente, gl nvesttor dovrebbero valutare l grado d asmmetra e d curtos. Iotzzando la normaltà della dstrbuzone de rendment 5, le unche caratterstche dello strumento valutate dall nvesttore sono l rendmento atteso e la varanza. 3) La moderna teora d ortafoglo: la dversfcazone d Markowtz Nel aragrafo recedente sono stat ntrodott concett d rscho e rendmento d un attvtà fnanzara. Tuttava la realtà è comosta da nvesttor che detengono ortafogl format da dverse attvtà fnanzare. Questo è un comortamento che anche ntutvamente è ben ù razonale rsetto all nvestmento n un solo ttolo. Markowtz 6 ha dmostrato vantagg ottenbl dall nvestmento della rcchezza non n un solo ttolo, ma n un ortafoglo comosto da dvers ttol, evdenzando l ruolo svolto dalla dversfcazone. In modo seculare a quanto evdenzato er sngol ttol, anche ch ha nvestto la rora rcchezza n un ortafoglo è nteressato ad avere a dsoszone strument che consentano d rendere decson razonal n un contesto d ncertezza. Per fare questo, occorre nuovamente sostture al concetto d ncertezza quello d rscho, coè d volatltà de rsultat effettv ntorno al rendmento atteso. La ortfolo selecton d Markowtz resuone le seguent otes: a. Gl nvesttor rendono le rore decson sulla base d due arametr: l rendmento atteso e l rscho msurato dalla standard devaton o dalla varanza b. Gl nvesttor sono avvers al rscho, coè sono dsost ad accettare untà crescent d rscho soltanto n cambo d untà d rendmento crescent c. L orzzonte temorale d nvestmento è unerodale d. Non esstono cost d transazone ed moste e. I ttol sono erfettamente dvsbl, ossa è ossble comrare e vendere quanttà rdotte de sngol ttol, senza la resenza d lott mnm f. Gl nvesttor sono rce taker e qund non sono n grado d nflure su rezz con l loro comortamento 5 Per un arofondmento sull otes d normaltà della dstrbuzone, s veda l aendce-a alla fne della nota ddattca. 6 Markowtz, H.M., Portfolo Selecton, Journal of Fnance, n.7, ag. 77-9, marzo 95 6
g. Non esstono attvtà rve d rscho h. Non esstono attvtà correlate negatvamente n modo erfetto. Esstono ttol con dverso rendmento atteso Le otes del modello d Markowtz non raresentano n modo erfetto la realtà ma ne consentono una semlfcazone er ottenere utl ndcazon d carattere generale. A fn ddattc, nel corso del aragrafo s otzza l esstenza nel mercato fnanzaro d due sol ttol, A e B, ma le concluson cu s gunge conservano valdtà anche n resenza d N attvtà fnanzare 7. Per quest ttol non è ossble effettuare una scelta secondo l crtero meda-varanza, oché l ttolo A, caratterzzato da mnor rendmento atteso rsetto a B, resenta mnor varanza rsetto al secondo. E(R P ) è l rendmento atteso del ortafoglo P comosto da ttol A e B, resent all nterno del ortafoglo con es a e b (con a+b =) e rendment attes ar E(R A ) ed E(R B ). La formulazone del rendmento atteso è la seguente: E(R ) = a E(R A ) + b E(R B ) (6) Il rendmento atteso d un ortafoglo è qund ar alla meda onderata de rendment attes de ttol che lo comongono esat er le rsettve quanttà. La varanza d un ortafoglo comosto da due ttol è data dalla somma degl element che comongono la matrce raresentata grafcamente dalla fgura 3, formata dalle covaranze che ogn ttolo resenta con gl altr ttol che comongono l ortafoglo. A B A w a w a a a ρ aa w a w b a b ρ ab B w b w a b a ρ ba w a w b a b ρ bb Fgura n. 3: La matrce varanza-covaranza d un ortafoglo formato da due ttol La covaranza tra rendment del ttolo A e quell del ttolo B è data dalla seguente esressone: Cov ( RA RB ) = = E[ ( RA E[ RA ]) ( RB E[ RB ])] = ρab, (7) AB ed esrme l grado con cu due ttol s muovono conguntamente. A B 7 Per una formalzzazone nel caso d N ttol s rmanda a Pomante U.: La teora della selezone d ortafoglo d Markowtz n Fabrz P.L., (a cura d), L Economa del Mercato Moblare, 003, Egea 7
Dalla (7) s evnce che la covaranza è l valore atteso della varable aleatora ottenuta moltlcando gl scart, rsetto a rsettv valor attes, de rendment de ttol che comongono l ortafoglo. Poché è l rsultato del rodotto degl scart de rendment rsetto al roro valore atteso, la covaranza è esressa n termn d rendment al quadrato. Un ndce, comunque dervato dalla covaranza er la msura sntetca del legame tra due ttol è l coeffcente d correlazone, che assume valor tra + e. In artcolare, se l coeffcente d correlazone (ñ AB ) è ar ad uno, ttol s muovono n modo erfettamente sncrono, e qund ad un aumento del ttolo A corrsonde un ncremento del ttolo B. Se l coeffcente d correlazone è ar a, ttol s muovono n modo oosto, nel senso che agl ncrement del rmo corrsondono decrement del secondo e vceversa. La (7) evdenza che la covaranza tra rendment d A e B uò essere esressa come l rodotto tra rsettv scart quadratc med e l coeffcente d correlazone esstente tra due ttol. Data la ostvtà degl scart quadratc med, dalla (7) s evnce che la covaranza è nulla solo n resenza d un coeffcente d correlazone ar a zero, coè quando gl andament de ttol sono svncolat, ossa non è otzzable un andamento comune. La covaranza uò noltre assumere valor negatv, quando ttol sono caratterzzat da coeffcente d correlazone negatvo. Come s è affermato n recedenza la varanza d un ortafoglo è data dalla somma delle covaranze tra un ttolo e gl altr ttol che comongono l ortafoglo, onderate er l rodotto delle ercentual rsettvamente assunte da ttol nel ortafoglo, coè dalla somma degl element che comongono la matrce delle covaranze, raffgurata nella fgura 3. Dalla (7) è ossble notare che la covaranza tra rendment del ttolo A e quell del ttolo B è ar alla covaranza tra rendment del ttolo B rsetto a quell del ttolo A. In vrtù della smmetra rsetto alla dagonale rncale della matrce delle covaranze (evdenzata n gallo nella fgura 3) la sommatora delle covaranze tra A e B e tra B ed A uò essere rdotta alla covaranza doa tra A e B. Inoltre, oché la covaranza tra rendment del ttolo A e quell del ttolo A, altro non è che la varanza 8 de rendment d A, la varanza d un ortafoglo s rduce alla seguente formula: P A B = a + b + a b A B ρ AB (8) La varanza d P è qund data dalla somma, onderata er es al quadrato, delle varanze de sngol ttol e dalla somma delle covaranze doe de ttol onderate er l rodotto de rsettv es all nterno del ortafoglo. Esemo Il ttolo A resenta un rendmento atteso ar al 6%, con standard devaton ar al 7%, l ttolo B ha un rendmento atteso del 0%, con standard devaton ar al 4%. Iotzzando che due ttol abbano coeffcente d correlazone ar ad uno è ossble calcolare l rendmento atteso e la standard devaton d un ortafoglo comosto al 60% dal ttolo A e dal 40% dal ttolo B nel modo seguente: E(R ) = 0,6 0,06+ 0,4 0,0 = 0,6 (contnua) 8 Infatt, l coeffcente d correlazone tra una varable e se stessa è er defnzone ar ad uno, e qund la covaranza tra A ed A è ar alla varanza d A: ρ A A AA = = A A A 8
(contnua) P = 0,6 0,07 + 0,4 0,4 + 0,4 0,6 0,07 0,4 = 0,00764 + 0,0096 + 0,008064 = 0,09044 = 0,38 Il ortafoglo P ha qund un rendmento atteso ar all,6% ed uno scarto quadratco medo de rendment del 3,8%. Ttol con correlazone ostva erfetta Iotzzando una correlazone tra due ttol ar ad uno, è ossble raresentare nel ano cartesano della fgura 4 ttol A e B e gl nfnt ortafogl, dsost lungo l segmento A-B, che è ossble costrure combnando, con es dvers, due ttol data l otes d erfetta dvsbltà. Maggore è l eso assunto, dal ttolo A, tanto ù le caratterstche del ortafoglo s avvcnano a quelle del ttolo A. E mortante sottolneare che l segmento A-B comrende ortafogl er qual non è ossble sceglere secondo l crtero meda-varanza. In artcolare, rsetto alla fgura, è ossble consderare ortafogl comost sorattutto dal ttolo A come all nterno del terzo quadrante, mentre quell comost dal ttolo B, come aartenent al rmo quadrante. Il segmento A-B costtusce la frontera effcente d quel mercato fnanzaro, oché tutt gl nvesttor s collocano, a seconda della soggettva roensone al rscho, su uno de unt del segmento. La frontera è effcente oché non è ossble sceglere combnazon mglor utlzzando l crtero meda-varanza. In artcolare, ortafogl comost sorattutto dal ttolo A sono scelt da soggett avvers al rscho, mentre combnazon con una maggore quanttà del ortafoglo B sono scelt da soggett maggormente roens al rscho. E (R ) E (R B ) B E (R A ) A s A s B s P Fgura n. 4: I ortafogl ossbl combnando due ttol con coeffcente d correlazone ar ad uno 9
Nella fgura n. 5 s è otzzata la resenza d due nvesttor X ed Y. Il rmo è avverso al rscho ed è qund caratterzzato da una curva d ndfferenza molto rda. Il ortafoglo che consente la massmzzazone della sua utltà è quello d tangenza tra la frontera effcente e la curva d ndfferenza. Questo unto, data l avversone al rscho dell nvesttore, s trova su bass lvell d rscho-rendmento. Occorre rlevare che la ossbltà d nvestre l roro atrmono n una combnazone de due ttol consente ad X d raggungere ù elevat lvell d utltà rsetto a quell raggungbl nvestendo n un solo ttolo. In tale stuazone, egl avrebbe ottenuto un lvello d utltà msurato dalla curva d ndfferenza assante dal unto A, arallela, ma stuata ù n basso a quella del caso con due ttol. Anche l nvesttore Y, caratterzzato da maggor roensone al rscho, e qund da una curva d ndfferenza ù atta, resce a raggungere una combnazone rscho rendmento mglore d quella ottenble dall nvestmento n un solo ttolo. Infatt, coerentemente con la maggor roensone al rscho, Y scegle l ortafoglo cu corrsonde la tangenza tra la frontera effcente e la curva d ndfferenza, ortafoglo caratterzzato da una combnazone rscho-rendmento ù elevata rsetto a quella scelta da X. Se non fosse stato ossble l nvestmento n un ortafoglo d ttol, l unto che avrebbe consentto ad Y d raggungere l utltà ù elevata sarebbe stato n corrsondenza del ttolo B, cu avrebbe corrsosto una curva d ndfferenza arallela, ma su lvell nferor d utltà, rsetto a quella conseguble nvestendo n ortafogl comost da due ttol. E (R ) E (R B ) B Y E (R A ) A X s A s B s P Fgura n. 5: La frontera effcente e le scelte soggettve d X, avverso ed Y roenso al rscho Ttol con correlazone merfetta S otzz ora che due ttol abbano, ceters arbus, un andamento non erfettamente sncrono, vale a dre un coeffcente d correlazone mnore d uno. Il coeffcente d correlazone non comare nella (6), coè nella formula del rendmento atteso del ortafoglo: questo, nfatt, dende da es assunt da due ttol e da rsettv rendment attes. L ntroduzone d un coeffcente d correlazone nferore ad uno non muta qund l rendmento atteso de ortafogl costrut combnando, con dverse roorzon, ttol A e B. 0
Il coeffcente comare nvece nell ultmo addendo della (8), essendo uno de fattor che determnano la covaranza tra l ttolo A e B. Poché es e le devazon standard assumono, er defnzone, valore ostvo, la rduzone del coeffcente d correlazone rduce l valore dell ultmo addendo, determnando la dmnuzone della standard devaton er ogn ortafoglo stuato lungo l segmento A-B, ad eccezone d quell caratterzzat dalla resenza d un solo ttolo. Mentre l rendmento atteso non subsce mutament, l rscho del ortafoglo, ceters arbus dmnusce oché s rduce l contrbuto fornto dalla covaranza alla determnazone della varanza del ortafoglo. Esemo Calcolando l rendmento er ttol A e B ed otzzando un coeffcente d correlazone ar a 0,5 l rendmento non muta mentre camba la varanza, nfatt: P = 0,6 0,07 + 0,4 0,4 + 0,4 0,6 0,07 0,4 0,5 = 0,00764 + 0,0096 + 0,00403 = 0,050 = 0,53 La resenza d un coeffcente d correlazone ar a 0,5 rduce lo scarto quadratco medo a artà d rendmento atteso. Questo rsultato vale er ognuno de ortafogl che aartengono alla frontera effcente ad eccezone d quell comost esclusvamente da A o B. Se due ttol s muovono n manera non erfettamente sncrona è ossble rdurre l rscho a artà d rendmento, determnando uno sostamento verso snstra della frontera effcente er ognuno de ortafogl dsost lungo la frontera effcente, come raffgurato dalla fgura 6. Per ogn lvello d rendmento reso ossble dalla combnazone de due ttol, la curva s sosta verso snstra, oché è ossble ottenere l medesmo rendmento sostenendo mnor rscho, oure a artà d rscho avere un maggor rendmento atteso. Analzzando la curva che ora congunge unt A e B e che raresenta le combnazon rschorendmento ossbl, occorre osservare la resenza d alcun ortafogl neffcent secondo l crtero meda-varanza. Ad esemo, nessun nvesttore scegle l ortafoglo comosto dal solo ttolo A oché l ortafoglo C fornsce un rendmento suerore a artà d rscho. La nuova frontera effcente, formata da tutt ortafogl er qual non è ossble stablre un ordnamento d referenza secondo l crtero meda-varanza, è data dal tratto d curva comreso tra l unto B e l unto J che dventa l nuovo ortafoglo d mnma varanza. La fgura 7 evdenza l mutamento nelle scelte oerate da due nvesttor, X ed Y, de qual l rmo è avverso e l secondo roenso al rscho, er effetto dello sostamento della frontera effcente. I soggett ossono ora sceglere combnazon rscho-rendmento che consentono d ottenere una maggore utltà, evdenzata dallo sostamento verso l alto delle rsettve curve d ndfferenza. In artcolare, l ncremento d utltà è coscuo er l soggetto avverso al rscho che assa dal ortafoglo X al ortafoglo X, sceglendo una combnazone meno rschosa ma che consente ugualmente un aumento del rendmento atteso. Anche Y scegle un ortafoglo meno rschoso, assando da Y ad Y, tuttava l nnalzamento della curva d ndfferenza è mnore rsetto a quello regstrato da X, oché, data la maggor referenza verso l rendmento rsetto al rscho, avrebbe avuto un maggor ncremento d utltà avendo la ossbltà d ncrementare l rendmento atteso rsetto alla rduzone del rscho. Se esstessero attvtà correlate n modo erfettamente negatvo sarebbe ossble costrure ortafogl rv d rscho, oché la frontera effcente sarebbe formata anche da ortafogl caratterzzat da scarto quadratco medo nullo. Tuttava, Markowtz otzza l assenza d attvtà erfettamente ncorrelate, roro erché la loro resenza consentrebbe la costruzone d ortafogl rv d rscho. Markowtz ntrodusse la formalzzazone della dversfcazone: combnando ttol tra loro non
erfettamente correlat è ossble rdurre l rscho a artà d rendmento. Maggore è l numero d ttol, maggore è l vantaggo della dversfcazone oché è ossble rdurre la varanza del ortafoglo sfruttando le correlazon non erfette tra ttol che rducono le covaranze 9. E (R ) E (R B ) B E (R C ) C E (R J ) J E (R A ) A s J s A s B s P Fg. 6: Frontera effcente comosta da due ttol con correlazone non erfetto E (R ) E (R B ) Y B X Y E (R J ) J E (R A ) A X s J s A s B s P Fgura 7: Lo sostamento delle frontera effcente e delle curve d ndfferenza 9 All ndrzzo nternet: htt://www.unr.t/ara/facecon/pavaran/easy%0markowtz.xls è ossble scarcare un software, dal nome Easy Markowtz, che consente la vsualzzazone dello sostamento della frontera effcente er effetto dell ntroduzone d coeffcent d correlazone nferor ad uno.
4) L ntroduzone del ttolo rvo d rscho: l teorema della searazone d Tobn Rsetto alle otes della ortfolo selecton d Markowtz, Tobn 0 ntroduce la ossbltà d nvestre n ttol che garantscono rendment rv d rscho. Per un nvesttore è qund ossble combnare un ttolo avente volatltà nulla rsetto al roro valore atteso con un ortafoglo comosto da sol ttol rschos, osto lungo la frontera effcente d Markowtz. Rrendendo la (6), s ottene che l rendmento del ortafoglo P, comosto er una ercentuale ar ad a da un generco ortafoglo rschoso A e er una ercentuale ar ad (-a) dal ttolo rvo d rscho, è ar alla meda onderata de rendment che lo comongono: E(R ) = a E(R A ) + ( a) R f (9) Il ttolo rvo d rscho ha varanza nulla e resenta coeffcente d correlazone nullo rsetto al ortafoglo rschoso. Rrendendo la (8), la varanza del ortafoglo s rduce qund alla seguente esressone: P = a A (0) e qund al seguente scarto quadratco medo: P = a A () La standard devaton del ortafoglo msto P, comosto da un ttolo rsk free e da un ortafoglo d ttol rschos dende solo dalla varanza d quest ultmo, onderata rsetto alla quota assunta dal ortafoglo rschoso. Sosttuendo, nella (9), ad a la sua esressone data dalla (), coè ó P /ó A, s ottene: E(R ) = E(R A ) + ( ) R f () A arrvando, con alcun semlc assagg, alla seguente esressone: E(R ) [ E(R A ) R ] f f + A A = R (3) 0 Tobn, J., Lqudty Preference as Behavor Toward Rsk, n Revew of Economc Studes, 5, ag. 65-86, febbrao 958 Quest assagg er gungere dalla () alla (3): E(R ) = E(R A ) + ( ) R f A A E(R ) = R f R f + E(R A ) A A E(R ) = R f + [ E(R A ) R f ] A 3
La (3) è l equazone che determna l rendmento del ortafoglo msto n funzone del roro lvello d rscho, msurato dalla standard devaton del ortafoglo stesso, la cu esressone, data dalla (), dende dalla quota e dalle caratterstche del ortafoglo comosto da sol ttol rschos. La fgura 8 evdenza, nel ano cartesano, la frontera effcente delneata da Markowtz e, sull asse delle ordnate, l unto Rf, ossa la combnazone rscho-rendmento che caratterzza l ttolo rvo d rscho. Iotzzando che l generco ortafoglo rschoso A nella (3) sa l ortafoglo K resente sulla frontera effcente, è ossble costrure, combnando l ttolo rvo d rscho e l ortafoglo rschoso K, una sere d ortafogl, n recedenza non ottenbl, che s dsongono lungo l segmento Rf-K. Quanto maggore è la quota del ttolo rvo d rscho nel ortafoglo msto, tanto mnore è la sua varanza. Questo anere d ortafogl estende la frontera effcente ochè consente combnazon rscho-rendmento er le qual non è ossble stture un ordne d referenza basato sull utlzzo del crtero meda-varanza. E (R ) M K Rf K s P Fgura n. 8: La modfca della frontera effcente a seguto dell ntroduzone del tasso rvo d rscho Soggett avvers al rscho che n recedenza s oszonavano su unt bass della frontera effcente, ossono n tal modo usufrure d una combnazone rscho rendmento che ncrementa la loro utltà. La nuova frontera effcente è qund data dal segmento Rf-K e dalla frontera effcente d Markowtz a artre dal unto K. Tuttava è ossble combnare l ttolo rvo d rscho anche con l ortafoglo K, ottenendo n tal modo un nuovo segmento che comrende le combnazon tra l ortafoglo rschoso K e l ttolo avente tasso rvo d rscho. I ortafogl aartenent a questo segmento domnano, secondo l crtero meda-varanza, quell del segmento Rf-K oché è ossble ottenere, a artà d rscho, un maggor rendmento. Muovendos lungo la frontera effcente è ossble sceglere ortafogl semre ù rschos da combnare con l ttolo avente tasso rvo d rscho, ottenendo combnazon rscho-rendmento mglor. Il rocesso s arresta al ortafoglo M, oché oltre quel unto non è ossble costrure combnazon rscho-rendmento che domnno l segmento Rf-M. Il ortafoglo M è qund quello che consente le mglor combnazon rscho-rendmento. 4
Mentre ne unt K e K l segmento che ha orgne n Rf nterseca la frontera effcente, nel unto M l segmento è tangente alla frontera effcente che rsulta essere formata dal segmento Rf-M er o contnuare sulla frontera effcente formata da sol ttol rschos. Sosttuendo nella (3) al generco ortafoglo rschoso A, l ortafoglo M, coè quello che consente le combnazon mglor secondo l crtero meda-varanza s ottene: E(R ) [ E(R M ) R ] f f + M = R (4) che raresenta l equazone della frontera effcente fno al unto M. La (4) è l equazone d una retta la cu ntercetta è l tasso rvo d rscho e l cu coeffcente angolare è l sovrarendmento atteso, rsetto al tasso rvo d rscho, del ortafoglo M, raortato allo scarto quadratco medo del ortafoglo M. I soggett che voglono assumere un rscho nferore a quello del ortafoglo M, scelgono ortafogl dervant da combnazon del ttolo rvo d rscho e del ortafoglo M. Maggore è l avversone al rscho, maggore è l eso attrbuto al ttolo avente tasso rvo d rscho. E mortante sottolneare che tutt soggett che scelgono un ortafoglo caratterzzato da rscho nferore ad M, costruscono combnazon ove quest ultmo ortafoglo è resente. La ercentuale con cu l ortafoglo M comare nel ortafoglo msto è nvece funzone del sngolo grado soggettvo d avversone al rscho. La fgura 9 evdenza l ncremento d utltà, ottenuto n vrtù dell ntroduzone dell nvestmento al tasso rvo d rscho, er l soggetto X che assa dalla scelta del ortafoglo X a quello X. E (R ) X Y Rf X Fgura n. 9: L ncremento d utltà d X n vrtù dell ntroduzone del ttolo avente tasso rvo d rscho s P L equazone d una retta è del to: y= a + bx dove, y è la varable dendente ( cu valor sono msurat sull asse delle ordnate), x la varable ndendente ( cu valor sono msurat sull asse delle ascsse), a è l ntercetta, ossa l valore della varable dendente quando l ndendente ha valore ar a zero, b è l coeffcente angolare che msura l nclnazone della retta. Se b è ostvo la retta è crescente, se nferore a zero decrescente. Maggore è, n valore assoluto, l valore d b, maggore è la endenza della retta. 5
Coerentemente con la rora avversone al rscho, X è ora n grado d selezonare una combnazone che gl consente d rdurre notevolmente l rscho rnuncando ad una modesta quota d rendmento atteso. L ntroduzone del ttolo avente tasso rvo d rscho non muta la stuazone d Y oché la massmzzazone della rora utltà avvene sceglendo una combnazone formata da sol ttol rschos osta sulla arte ù elevata della frontera effcente d Markowtz. Mentre n recedenza è stato ntrodotto l nvestmento al tasso rvo d rscho, s otzz ora che sa ossble ndebtars a quel tasso. In tal senso dventa realzzable, una stratega d nvestmento che revede d rcevere denaro n restto agando l tasso rvo d rscho e l successvo nvestmento d quanto ottenuto nell acqusto d quote d ortafogl rschos, salvo restture a scadenza l restto. Per comrendere questa stratega s otzz la seguente stuazone, semlfcata er motv ddattc. In un mercato fnanzaro esste un ortafoglo M che consente, nvestendo 00 Euro, d ottenerne a scadenza 60 oure 60, con la stessa robabltà. E qund un nvestmento che consente un rendmento ostvo del 60% oure una erdta del 40% con robabltà del 50%. Utlzzando la (3) e la (5) è ossble calcolare l rendmento atteso e lo scarto quadratco medo dell nvestmento nel ortafoglo M. E n [ R ] R = 0,5*60% + 0,5*( 40%) = 0% M = = M n = = ( R E[ R ]) = 0,5 ( 60% 0% ) + 0,5 ( 40% 0% ) = 50% S otzz ora che n quel mercato fnanzaro sa ossble rendere a restto ed ndebtars ad un tasso rvo d rscho ar al 4%. Un soggetto, roenso al rscho, che ha a rora dsoszone una somma ar a 00 otrebbe adottare la seguente stratega d nvestmento: Prendere a restto 50 Euro; Investre 00+50 Euro nel ortafoglo d mercato; Restture a scadenza 50 Euro + nteress del 4%. Questa stratega d nvestmento s traduce ne seguent ossbl rsultat: A) 50*(+60%) -50*(+4%) = 88 vale a dre un rendmento ostvo dell 88% B) 50*(-40%)- 50*(+4%) = 38 vale a dre un rendmento negatvo del 6%. Il rendmento atteso e lo scarto quadratco medo d questa stratega sono ar a: E n [ R ] R = 0,5* 88% + 0,5*( 6%) = 3% k = n = = = ( R E[ R ]) = 0,5 ( 88% 3% ) + 0,5 ( 6% 3% ) = 75% Per ottenere un rendmento atteso del 3% è qund necessaro soortare un rscho suerore rsetto a quello dell nvestmento nel ortafoglo M. Infatt, mentre quest ultmo resenta uno scarto quadratco medo del 0%, la stratega che revede l ndebtamento rsulta avere uno scarto quadratco medo ar al 75%. 6
Eslctando nella (4) lo scarto quadratco medo del ortafoglo e rendendolo funzone del rendmento atteso del ortafoglo stesso, s ottene l medesmo rsultato: [ E(R ) R f ] [ E(R M ) ] [ 3% 4% ] [ 0% 4% ] = M = 50% = 75% (5) R f L ntroduzone della ossbltà d ndebtars consente d raggungere lvell molto elevat d rendmento atteso benché questo sa controblancato da un ncremento del rscho. La (5) ha noltre confermato che lvell d rscho e rendmento raggungbl con stratege d questo to sono nuovamente ndvduat dalla (4) coé dalla frontera effcente er nvestment con rscho nferore a quello d mercato. La fgura 9 mostra l rolungamento dalla retta oltre l unto M, su cu s oszonano combnazon rscho rendmento sml a quella llustrata n recedenza. E (R ) M Rf Fgura n. 9: L allungamento della frontera effcente n vrtù della ossbltà d ndebtars al tasso rvo d rscho Poché l unto d tangenza M è quello caratterzzato dalla massma endenza della frontera effcente d Markowtz, le combnazon rscho-rendmento descrtte dalla (4) sono mglor, secondo l crtero meda-varanza, d quelle ottenbl lungo la curva della frontera effcente d Markowtz. Questo determna un ulterore sostamento della frontera effcente che qund è raresentata da tutte le combnazon stuate lungo la retta defnta dalla (4) La fgura 0 mostra, attraverso le curve d ndfferenza, l ncremento d utltà er l soggetto Yche assa dal ortafoglo Y al ortafoglo Y. Quest è ora n grado d ottenere una combnazone mglore oché ne aumenta l rendmento atteso a artà d rscho. L ntroduzone del tasso rvo d rscho consente d arrvare al teorema della searazone d Tobn: l ortafoglo ottmale comosto da sole attvtà rschose uò essere determnato senza alcuna nformazone n merto alle referenze dell nvesttore (vale a dre concernente la conformazone delle funzon d utltà e delle curve d ndfferenza). Introducendo la ossbltà d nvestre o d fars fnanzare ad un tasso rvo d rscho, ogn nvesttore detene nel roro ortafoglo msto, con una ercentuale ù o meno rlevante a seconda della soggettva roensone al rscho, l ortafoglo M, coè quel ortafoglo, comosto da sol ttol rschos, che consente le combnazon ù effcent n termn d rscho-rendmento. s P 7
E (R ) Y X Y X Rf Fgura n. 0: L ncremento d utltà er Y n vrtù dell ntroduzone della ossbltà d fnanzars al tasso rvo d rscho s P Gova sottolneare che M è l ortafoglo cu corrsonde la tangenza tra la semretta che s orgna dall asse delle ordnate n corrsondenza del tasso rvo d rscho e la frontera effcente de ortafogl format da sol ttol rschos. Tutt gl nvesttor effcent, ndendentemente dal soggettvo grado d roensone al rscho nvestono nel ortafoglo M: cò che muta è la ercentuale con cu ogn soggetto rartsce la rora rcchezza tra ttolo rvo d rscho e l ortafoglo rschoso. Come s è vsto nell esemo, soggett ù roens al rscho rendono a restto fond er nvestre una maggor quanttà d denaro nel ortafoglo rschoso. Il teorema d Tobn sottolnea la searazone tra due moment d scelta: l ndvduazone del ortafoglo effcente formato da sol ttol rschos rsetto alla combnazone tra ttolo rvo d rscho e ortafoglo rschoso. La rma scelta è oggettva. Avendo otzzato la razonaltà degl nvesttor, e consderando che l ortafoglo rschoso M consente le combnazon rscho-rendmento ù effcent, tutt gl nvesttor effcent detengono, ne rsettv ortafogl mst, l ortafoglo M. Poché tutt gl nvesttor detengono un ortafoglo formato da ttol rschos con ercentual tal da rsecchare l ortafoglo M, sgnfca che l ntero mercato fnanzaro detene la medesma combnazone. Cò derva dalla consderazone che l mercato è formato dalle comoszon aggregate de sngol nvesttor, che, n quanto razonal, scelgono la combnazone del ortafoglo M, coè quella che consente d raggungere ù elevat lvell d rscho-rendmento n combnazone col tasso rvo d rscho. Ad un certo stante temorale la comoszone del ortafoglo d mercato raresenta qund la comoszone ottmale d tutt ttol oché è data dall aggregazone de sngol ortafogl rschos (tra loro dentc n termn d comoszone ercentuale) detenut dagl nvesttor effcent. Il ortafoglo d mercato, che comrende tutte le attvtà rschose esstent, n una roorzone tale da rseccharne l loro effettvo valore, ha qund la medesma comoszone ercentuale del ortafoglo M che dventa qund la comoszone d equlbro. 8
Occorre noltre sottolneare che n equlbro non esstono valor moblar al d fuor del ortafoglo d mercato. S otzz, n tal senso, che essta un ttolo Gamma rtenuto oco attraente dagl nvesttor oché caratterzzato da un rendmento troo basso rsetto al roro lvello d rscho. In questa stuazone l ttolo Gamma non orta nessun benefco, n termn d covaranze, alla rduzone del rscho d mercato e qund ossessor, che vengono a trovars n una stuazone subottmale rsetto a quella d effcenza, voglono vendere questo ttolo, er oter renvestre quanto rcavato nel ortafoglo M. Tuttava, dato che non fornsce alcun contrbuto alla rduzone del rscho, nessun nvesttore è dsosto a comrare l ttolo a fronte d molt che vorrebbero venderlo a causa della sua neffcenza. Per lberars del ttolo detentor devono trovare degl acqurent dsost a comrarlo. Questo obettvo uò essere realzzato abbassandone l rezzo: dalla () s evnce che un abbassamento del rezzo determna l ncremento del rendmento atteso. L abbassamento del rezzo d vendta del ttolo Gamma determna l rtorno del ttolo all nterno del ortafoglo d mercato oché ora l rendmento atteso è coerente rsetto al lvello d rscho che comorta e al contrbuto fornto alla rduzone del rscho del ortafoglo M a artà d rendmento atteso. In equlbro ogn valore moblare è comreso nel ortafoglo d mercato n vrtù d tale contrbuto. La seconda è scelta è nvece soggettva, oché la combnazone tra l ortafoglo d mercato e l ttolo rsk free dende dal grado d rscho che l nvesttore desdera assumere, coè dalla rora funzone d utltà, rsecchata nella conformazone delle curve d ndfferenza. La (4) mostra che l rendmento atteso del ortafoglo msto, comosto da ttolo rvo d rscho e ortafoglo d mercato, dende dal lvello d rscho del ortafoglo stesso, msurato dato dallo scarto quadratco medo del ortafoglo, moltlcato er l fattore evdenzato dalla (6), vale a dre er l rezzo d mercato del rscho (Market Rsk Premum) Questo fattore è dato dal sovrarendmento, rsetto al tasso rvo d rscho, che è ossble attenders nvestendo nel ortafoglo d mercato, raortato alla standard devaton del mercato. E(R ) [ E(R M ) R ] f f + M = R (4) [ E(R M ) R ] MRP = (6) M f Il MRP ndca quante untà d rendmento è ossble ottenere assumendo un untà addzonale d rscho, msurata dallo scarto quadratco medo del ortafoglo msto. La semretta che ndvdua tutte le combnazon rscho-rendmento effcent, n sosttuzone della frontera delneata da Markowtz, è la Catal Market Lne (CML), raffgurata nella fgura 8 La sua equazone è data dalla (4) che, n modo coerente alle otes del modello, stablsce una relazone lneare e ostva tra rscho e rendmento. 5) Il Catal Asset Prcng Model 5.) Il Rscho Sstematco e l Rscho non sstematco Doo aver evdenzato che n equlbro ogn nvesttore detene l ortafoglo d mercato, er mort dvers n funzone dell effettva rcchezza e con dverse combnazon rsetto al ttolo rsk free a seconda del soggettvo grado d avversone al rscho, nel corso del resente aragrafo s vuole analzzare l contrbuto fornto dal sngolo ttolo al rscho generale del ortafoglo d mercato. 9
S otzz d consderare un ortafoglo d mercato comosto da sol tre ttol, la cu matrce varanza-covaranza è raresentata grafcamente dalla fgura. Come gà evdenzato er l caso d due ttol, la varanza d un ortafoglo è data dalla sommatora delle varanze de tre ttol che comongono l ortafoglo (dsoste lungo la dagonale rncale nella matrce) e la somma delle covaranze tra ttol onderate er l rodotto de es con cu gl stess ttol sono assunt nel ortafoglo. Iotzzando che ttol sano mmess nel ortafoglo con lo stesso eso, è ossble scndere la varanza del ortafoglo n N comonent, delle qual N sono attrbute alle varanze de sngol ttol (le varanze sono dsoste lungo la dagonale rncale, evdenzata n gallo) ed N -N alle covaranze. Nel caso d 3 ttol, la varanza del ortafoglo è scndble n 9 comonent, delle qual 3 sono attrbubl alle varanze e 6 alle covaranze. 3 w w w ρ w w 3 3 ρ3 w w ρ w w w33ρ3 3 w 3w ρ 3 3 w 3w ρ3 w 3 3 Fgura n. : La comoszone della varanza d un ortafoglo formato da tre ttol Il ruolo del ttolo rsetto al rscho comlessvo del ortafoglo s estrnseca nelle comonent lungo la colonna e la rga. E evdente che la varanza del ttolo, otzzando che tre ttol abbano l medesmo eso all nterno del ortafoglo, ncde solo er l % (l eso della varanza d A è ar ad /9 d quella comlessva del ortafoglo), mentre le covaranze d con gl altr ttol ncdono er 4/9. Al crescere del numero d ttol cresce l contrbuto fornto dalla covaranza al ortafoglo d mercato. In artcolare la fgura mostra la comoszone della varanza d un ortafoglo comosto da 8 ttol. Le varanze assumono un eso ar ad 8/56, mentre le covaranze assumono un eso ar a 56/64. Aumentando ulterormente l numero d ttol aumenta semre ù l eso delle covaranze, mentre s rduce l contrbuto fornto dalla varanza del sngolo ttolo, che assume un eso sul totale ar ad / N. Iotzzando che ttol sano stat consderat all nterno del ortafoglo con lo stesso eso, al crescere del numero d ttol, l contrbuto che l sngolo ttolo fornsce alla varanza del ortafoglo è dato sorattutto dalle covaranze rsetto agl altr ttol ù che dalla rora varanza. 0