Sruura dei assi per scadenza /45-Unià 7. Definizione del modello ramie gli -coupon bonds preseni sul mercao Ipoesi di parenza Sul mercao sono preseni all isane ZCB che scadono fra,2,,n periodi Periodo: anno, rimesre, mese. 2/45-Unià 7.
Elemeni caraerisici di un conrao di scambio di Zero-Coupon Bond (coninua) scadenza = numero di periodi che inercorrono fra l isane e la daa di rimborso valor nominale = quaniaivo esigibile a scadenza prezzo per unià di nominale, B(, asso di rendimeno a scadenza h () (,(o spo rae o asso zero coupon) = asso di ineresse composo ale che, invesendo all isane una somma a B(,, permea di oenere all isane un monane uniario 3/45-Unià 7. Elemeni caraerisici di un conrao di scambio di Zero-Coupon Bond (segue) 4/45-Unià 7.
Elemeni caraerisici di un conrao di scambio di Zero-Coupon Bond (segue) Operazione finanziaria di acquiso di uno ZCB con scadenza : B(, h () (, 5/45-Unià 7. Elemeni caraerisici di un conrao di scambio di Zero-Coupon Bond (segue) Vale la seguene relazione: Somma impiegaa, prezzo dello ZCB Tasso spo B(, () [ + h (, ] = Monane, Valore Nominale dello ZCB Faore di monane 6/45-Unià 7.
Elemeni caraerisici di un conrao di scambio di Zero-Coupon Bond (segue) Dalla relazione B(, () [ + h (, ] = si possono dedurre: B e h, = + h ), ), [ ] = B, ( [ + h ), ] [ B, ] B, ( Prezzo, noo il asso di rendimeno Tasso di rendimeno, noo il prezzo 7/45-Unià 7. B(, come faore di aualizzazione Φ () (,) (coninua) Si può idenificare B(, con il faore di aualizzazione Φ () (,) della legge finanziaria conseguene alle operazioni finanziarie semplici effeuae dai due conraeni scambiandosi lo ZCB, ossia: Φ [ ] ( ) (,) B, = + h ), 8/45-Unià 7.
B(, come faore di aualizzazione Φ () (,) (segue) La corrispondene legge di capializzazione coniugaa si può indicare con: F = + ( ), = ( ) Φ (,) B, [ h ), ] 9/45-Unià 7. Esempio, definizione del modello ramie gli -coupon bonds preseni sul mercao (coninua) Il mercao, all isane, definisce una sruura dei assi per scadenza, rappresenabile graficamene mediane la curva dei assi, oenua inerpolando i valori corrispondeni ai prezzi degli ZCB preseni sul mercao. Esempio: Dai i prezzi degli ZCB, per =,2,,5: B(, 2 3 4 5,94,8834,83,779,736 la curva dei assi risula /45-Unià 7.
Esempio, curva dei prezzi (segue) Grafico ZCB,2,8 B(,,6,4,2 2 3 4 5 6 I corrispondeni assi di rendimeno a scadenza sono /45-Unià 7. Esempio, assi di rendimeno a scadenza (segue) 2 3 4 5 h () (, 6,383% 6,395% 6,479% 6,4426% 6,4499% La curva dei rendimeni a scadenza, oenua inerpolando la funzione per i valori non ineri del empo, è 2/45-Unià 7.
Esempio, curva dei rendimeni a scadenza (segue) Curva dei assi h(, 6,46% 6,45% 6,44% 6,43% 6,42% 6,4% 6,4% 6,39% 6,38% 6,37% 2 3 4 5 6 Se la funzione h () (, è cosane, la sruura si dice piaa. 3/45-Unià 7. Faori che influiscono sulla curva dei assi Rischio di liquidià Avversione al rischio Andameno della curva dei assi Aspeaiva sull andameno fuuro dei assi di mercao Rischio di asso degli ZCB di fuura emissione Par.6. Anche se i assi sono sosanzialmene sabili la funzione può risulare crescene a causa del rischio di liquidià, dell avversione al rischio e del rischio di asso 4/45-Unià 7.
Conrai proni conro ermine e arbiraggio I conrai proni conro ermine o forward rae agreemens vengono sipulai all isane iniziale con durae predeerminae ed effeo differio, dei s : l isane iniziale di esecuzione del conrao d : la duraa del conrao : l isane finale del conrao = s + d è possibile formalizzare l operazione come un impiego da s a, al asso di ineresse concordao all isane iniziale per il fuuro inervallo di empo [s,]. d Sipulazione del conrao forward s 5/45-Unià 7. Operazioni speculaive Ipoesi: esisono sul mercao due ZCB di durae un anno e due anni, rispeivamene di cui si conoscono i prezzi B(,) e B(,2) nello sesso mercao c è la possibilià di sipulare conrai per impieghi da a 2 al asso di ineresse composo h () (,2) in acquiso o in vendia. A quali condizioni, ovvero a quale asso h () (,2), può essere sipulao ale conrao per non dar luogo a possibili operazioni speculaive dee arbiraggi? L esempio che segue mosra una possibilià di arbiraggio 6/45-Unià 7.
Operazioni speculaive, esempio (coninua) Ipoesi: esisono sul mercao due ZCB di durae un anno e due anni, rispeivamene prezzi per unià di nominale degli ZCB B(,) =.9 e B(,2) =.8 nello sesso mercao c è la possibilià di sipulare conrai per impieghi da a 2 al asso di ineresse composo del 2%, in acquiso o in vendia. 7/45-Unià 7. Operazioni speculaive, esempio (segue) L ipoeico arbiraggisa, al fine di speculare, può decidere di versare all isane, per riscuoere 2 all isane 2 Composizione 5 5-5 Impiego da a 2 al 2% - 2 8/45-Unià 7.
Operazioni speculaive, esempio (segue) finanziare l esborso di in acquisando in uno zero coupon di duraa un anno per un valore di 9 Composizione 5 5-5 Acquiso di ZCB di duraa anno Impiego da a 2 al 2% - 2 9/45-Unià 7. Operazioni speculaive, esempio (segue) e vendere lo ZCB di duraa 2 anni realizzando 2.8 = 96, realizzando la seguene siuazione finale: Composizione 5 5-5 - -5 2 Vendia di ZCB di duraa 2 anni Acquiso di ZCB di duraa anno Impiego da a 2 al 2% 2/45-Unià 7.
Operazioni speculaive, esempio (segue) Riassumendo nella seguene abella la combinazione di operazioni messe in ao dall ipoeico arbiraggisa si oiene: 2 Impiego da a 2 al 2% Acquiso di ZCB di duraa anno Vendia di ZCB di duraa 2 anni Posizione nea - 2-9 96-2 6 Par.6.2 2/45-Unià 7. DEFINIZIONE: Dicesi arbiraggio una combinazione di posizioni di acquiso e di vendia che permea un guadagno immediao privo di rischio e senza alcun impiego di mezzi propri. 22/45-Unià 7.
Tassi forward implicii Se sul mercao non vi sono conrai proni conro ermine esplicii è possibile cosruirne mediane la combinazione di più conrai di acquiso e vendia di ZCB. Se un operaore, apparenene alla sessa classe di rischio di ali ZCB, volesse proporre un conrao esplicio dello sesso ipo, dovrebbe farlo alle sesse condizioni per non essere fuori mercao e permeere così una facile speculazioni agli operaori che si accorgessero dell anomalia. L ipoesi descria va soo il nome di principio di impossibilià di arbiraggio. 23/45-Unià 7. Tasso forward implicio (coninua) Il asso di ineresse praicao fra e 2 deve essere ale per cui, effeuando la combinazione del primo ipo e quella del secondo ipo, la posizione finale nea è sempre. Queso asso di equilibrio si dice asso forward implicio corrispondene all impossibilià di arbiraggio nella sruura dei assi e si indica con h () (,2). Queso equivale a calcolare quano deve valere il monane X all isane 2 di in affinché all isane, con i meccanismi di prima, si oenga? 2 Impiego da a 2 al asso h () (,2) Acquiso di ZCB di duraa anno Vendia di ZCB di duraa 2 anni Posizione nea - X -9 9 -X 24/45-Unià 7.
Tasso forward implicio(segue) X deve essere il monane di 9 derivane da un impiego fra e 2, con faore di monane il reciproco di B(,2) =.8, in formule: X = 9/.8 = 25 Da cui: h () (,2) = 2.5% Avendo poso F () (,2) = [+h () (,2)], ossia il faore di monane forward implicio, si ha: 25= F () (,2) F 25 25.9.8 ) ( ) = = h ) ( ) = = = = 2.5%,2.25,,2.25 25/45-Unià 7. Impossibilià di arbiraggio, formalizzazione In generale (con s<: F ) valendo F ), ), s ) [ ] ) = + h ) h ) si il asso h F = F ) = F ) B = B, s), s deduce mediane B [ ], s) s = B, s s B(,s) B(, F () (s, 26/45-Unià 7.
F () (s, come faore di monane di proseguimeno il faore di monane forward implicio F () (s, risula essere il faore di monane di proseguimeno della legge di capializzazione F () (, ed è dunque scindibile. 27/45-Unià 7. Faore di aualizzazione implicio Φ () (s, Nel caso s> si può definire il faore di aualizzazione forward implicio Φ () (s,: Φ ) valendo Φ ), ), s ) [ ] ) = + h ) h ) si il asso h F = F ) = Φ ) B = B, s), s deduce mediane B [ ], s) s = B, s > s s B(, B(,s) Φ () (s, 28/45-Unià 7.
Faore di scambio implicio L () (s, (coninua) Si può definire il faore di scambio L () (s, di proseguimeno ed il corrispondene asso di ineresse forward h () (s, implicio come segue: h ) L B = B, s), ) = L ) F = Φ ) ) B [ ], s) s = B, s < s = s > s s 29/45-Unià 7. Faore di scambio implicio L () (s, (segue) E così definia una legge finanziaria a re variabili, essendo la erza variabile l isane in cui il mercao valua i faori di scambio e, per comodià, può essere pensao come la daa di quoazione dei prezzi B(, degli ZCB: risula evidene che, cambiando la daa delle quoazioni quese cambiano e, con esse, cambia la legge L () (s, 3/45-Unià 7.
DEFINIZIONE: Sruura dei assi piaa Una sruura di assi per scadenza si dice piaa nell inervallo (s, se ui i assi forward uniperiodali h () (u-,u), u = s+,s+2,, sono eguali fra loro. 3/45-Unià 7. Sruura complea dei assi di ineresse e diverse modalià di definizione La sruura dei assi di ineresse può essere definia in diversi modi: a. parendo dai prezzi degli ZCB b. parendo dai assi a scadenza c. parendo dai assi di ineresse forward uniperiodali 32/45-Unià 7.
a. Definizione della sruura dei assi di ineresse a parire dai prezzi degli zero coupon bond, esempio (coninua) Sia dao il seguene profilo dei prezzi degli zero coupon bond preseni sul mercao: 2 3 4 5 B(,,94,8834,83,779,736 33/45-Unià 7. a. Definizione della sruura dei assi di ineresse a parire dai prezzi degli zero coupon bond, esempio (segue) La abella dei faori di scambio implicii L () (s,=b(,s)/b(, risula: B(,,94,89,83,779,736 s\ s\ 2 3 4 5,638,236,248,2837,3669,94,562,325,267,2849 2,89,94689,723,425,265 3,83,882979,932584,655,345 4,779,828723,87528,938554,648 5,736,778298,82222,88446,93953 34/45-Unià 7.
a. Definizione della sruura dei assi di ineresse a parire dai prezzi degli zero coupon bond, esempio (segue) I corrispondeni assi forward implicii h () (s,=l () (s, /(-s) - sono: Spo raes 35/45-Unià 7. b. Definizione della sruura dei assi di ineresse a parire dai assi a scadenza, esempio (coninua) Siano assegnai i assi a scadenza: 2 3 4 5 h () (, 6% 6,2% 6,35% 6,45% 6,52% 36/45-Unià 7.
b. Definizione della sruura dei assi di ineresse a parire dai assi a scadenza, esempio (segue) h () (, 6% 2 6.2% 3 6.25% 4 6.45% 5 6.52% I valori dei prezzi B(, si calcolano mediane la formula: B(, =[+h(,] - B(,.9434.8866.834.7788.7292 calcolai i prezzi, il procedimeno coninua come prima 37/45-Unià 7. b. Definizione della sruura dei assi di ineresse a parire dai assi a scadenza, esempio (segue) La abella dei faori di scambio implicii L () (s,=b(,s)/b(, risula: s\ 2 3 4 5,6,278,229,284,374,943396,64,348,24,2937 2,886647,939846,665,385,259 3,83357,88238,93764,675,4 4,778785,82552,878348,936763,68 5,72996,772948,82249,8775,936326 38/45-Unià 7.
b. Definizione della sruura dei assi di ineresse a parire dai assi a scadenza, esempio (segue) La sruura complea dei assi h () (s,=l () (s, /(-s) -: s\ 2 3 4 5 6,% 6,2% 6,35% 6,45% 6,52% 6,% 6,44% 6,5254% 6,64% 6,654% 2 6,2% 6,44% 6,656% 6,76% 6,7339% 3 6,35% 6,5254% 6,656% 6,756% 6,7755% 4 6,45% 6,64% 6,76% 6,756% 6,85% 5 6,52% 6,654% 6,7339% 6,7755% 6,85% 39/45-Unià 7. c. Definizione della sruura dei assi di ineresse a parire dai assi di ineresse forward uniperiodali, formalizzazione (coninua) Poiché F () (s, è scindibile si ha: F () (s, =F () (s,s+)f () (s+,s+2) F () (-, la corrispondene relazione fra i assi risula: [+h () (s,] -s =[+h () (s,s+)] [+h () (s+,s+2)] [+h () (-,] Il asso di ineresse composo h () (s,, per impieghi da s a, è una media alla Chisini dei assi di ineresse di periodo h () (s,s+), h () (s+,s+2),, h () (-, e con funzione invariane della media il faore di monane da s a, F () (s,. 4/45-Unià 7.
c. Definizione della sruura dei assi di ineresse a parire dai assi di ineresse forward uniperiodali, formalizzazione (segue) Quindi si ha: + h = s [ ] ) [ + h ( s +, s + 2) ]... [ + h ) (, ] ) s = + h ) s + ) u= s+ [ + h ) ( u, u) ] = Il faore di monane uniario +h () (s, è dunque una media geomerica dei faori di monane uniperiodali calcolai mediane i singoli assi di periodo o forward implicii 4/45-Unià 7. c. Definizione della sruura dei assi di ineresse a parire dai assi di ineresse forward uniperiodali, formalizzazione (segue) Il asso di ineresse fra s e in funzione dei singoli assi periodali è dunque: h [ ] ) = s + h ) ( u, u) u= s+ Se s = si oengono i assi a scadenza o spo raes: h [ ] ), = s + h ) ( u, u) u= 42/45-Unià 7.
c. Definizione della sruura dei assi di ineresse a parire dai assi di ineresse forward uniperiodali, formalizzazione (segue) E possibile quindi definire l inera sruura dei assi di ineresse come segue: ) F L ( s = F Dove F, ), ( ) ( ),, s ( ) ) ( ( ))( ) = + h, + h (,2 ))...( + h ) (, ) ), + h ) ( s, s) = s= Effeuando le opporune sosiuzioni si oiene 43/45-Unià 7. c. Definizione della sruura dei assi di ineresse a parire dai assi di ineresse forward uniperiodali, formalizzazione (segue) ) L faori 64444444 744444444 8 ( ) ( ))( ) ( )) ( ) + h, + h,2... + h (, ) ( ) ( ))( ), (,2 ))...( ) = + h + h + h ( s, s) ) 4444444 244444444 3 s faori ( ) ( )) ) = ( ) 4 + h 444444444 s, s + + h s 2 + 4, s 444444444 + 2 3 s faori = faori 64444444 744444444 8 ( ) ( ))( ) ( )) ( ) + h, + h,2... + h (, ) ( ) ( ))( ), (,2 ))...( ) = (, )) 4 + h 444444 + h 244444444 + h s 3 s s faori = ( ) ( ))( ), (, 2) )...( ) Φ + h + + h + + + h ( s, s) ) 44444444 44 24444444444 3 s faori ( ) )...( + h (, ) F ) ) s < s =, s > Par.6.2. 44/45-Unià 7.