Metodi matematici II 9 dicembre 2003

Metodi matematici II 9 dicembre 2003 TEST - PREAPPELLO Cognome Nome Matricola Crocettare la casella che si ritiene corretta nel caso di risposta multipla (una sola risposta è corretta). Si indichi la risposta, ma non il procedimento, in caso di risposta aperta. Nel caso si intenda annullare una risposta, cerchiare la corrispondente casella. Tempo a disposizione: 60 minuti. Risposte corrette 12 11 10 9 8 7 6 < 6 Punteggio 24 23 22 21 20 19 18 INS DOMANDA 1 - Sia A R 3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = b èimpossibile. Allora sul sistema lineare Ax = 0 si può concludere: è possibile ed ha a nulla; b una sola soluzione; ; c è possibile ed ha ; d èimpos.; infinite soluzioni; 0.8 0.2 DOMANDA 2 - Sia P = una matrice di transizione che descrive 0.2 0.8 l evoluzione di un sistema dinamico. Qual è la ripartizione percentuale di equilibrio tra le due componenti del sistema? D =...... T DOMANDA 3 - Un gestore deve decidere quanto investire in due titoli che hanno sensibilità 3 e -2 rispetto al fattore di rischio MIB30. I due titoli hanno prezzo pari a 10 e 6 rispettivamente. Obiettivo del gestore è replicare l indice MIB30 avendo un capitale di 100. Allora la composizione del portafoglio è: n =...... T DOMANDA 4 - Dati i vettori di seguito presentati, stabilire quali siano i coefficienti della combinazione lineare dei vettori x 1 ed x 2 che genera il vettore x 3 : 2 0 2 x 1 = ; x 1 2 = ; x 2 3 = 5 a a 1 =1;a 2 = 3; b a 1 =1;a 2 =0; c a 1 = 1; a 2 =2; d a 1 = 1; a 2 =3; DOMANDA 5 - Il rango della seguente matrice risulta 0 2 k 2k a r (A) 1 k; b r (A) =1 k; c r (A) 1 k; d r (A) =2 k; 3 1 DOMANDA 6 - Gli autovalori della matrice sono: 2 2 λ 1 λ 2 =...... DOMANDA 7 - Determinare il prezzo secco di un obbligazione, a cedola semestrale, indicizzata al tasso di mercato spot a 6 mesi (fissata all inizio del godimento della cedola), scadenza 7 anni, prossima cedola tra 2 mesi. Si prescinda da tasse e commissioni. I dati in possesso sono: cedola in corso corrispondente al 4% (annuo) e P (0) (0, 12 2 )=0, 992. a 100.98; b 99, 85; c 97.98; d 98.97; DOMANDA 8 - Sono noti i seguenti valori: i (0) 0, 3 4 =3%; tasso di cambio $/C= incerto per certo FX (0) (0) = 1.2 tassodicambioforward$/c= incerto per certo FX (0) 3 4 =1, 19 Allora, affinchè vi sia assenza di arbitraggi, il tasso di interesse spot a 9 mesi sul dollaro deve risultare: a 1.86%; b 1.96%; c 1.15%; d 2%; DOMANDA 9 - Sia j 4 =8%, allora su un operazione di durata pari a 6 mesi il tasso di sconto annuo, d, ad esso equivalente è: DOMANDA 10 - Si ammortizza alla francese un debito di 100 con rate trimestrali posticipate. La durata del finanziamento è 3 anni, il tasso (annuo) che si paga è 10%. Qual è l importo della rata? DOMANDA 11 - Indicare il/i tassi interni della seguente operazione finanziaria: flussi 8 50 50 DOMANDA 12 - Un decisore con un costo opportunità del 10% ed un capitale disponibile di 1100 valuta la possibilità di effettuare una tra le seguenti operazioni finanziarie. Quale tra le seguenti decisioni è la più vantaggiosa? a investire in A; b investire in B; tempi 0 1 1.5 2 flussi A 1000 700 600 flussi B 900 1200 c non investire in alcuna di esse; d dipende! 2

Metodi matematici 2 9 dicembre 2003 PARTE B - PREAPPELLO Cognome Nome Matr. Punteggio: 3 punti ad esercizio; tempo a disposizione: 60 minuti ESERCIZIO 1 - Si consideri un sistema dinamico il cui stato odierno è x 0 = 60 30 0 T e la cui evoluzione è descritta dalla seguente matrice di transizione: 0.6 0.1 0 A = 0.4 0.8 0.1 0 0.1 0.9 1. Supponendo non mutevole la numerosità totale delle componenti del sistema, pari appunto a 90, si individui il punto di equilibrio del sistema. 2. Si verifichi che il polinomio caratteristico di A è e si determinino gli autovalori di A (λ 2 1.3λ +0.39) (λ 1) 3. Si valuti se il punto di equilibrio sia o meno attrattore. ESERCIZIO 2 Un decisore ha, su di un orizzonte temporale di 2 anni, una liquidità di 1000, impiegabile sul mercato dei capitali alle condizioni descritte dalla seguente struttura a termine degli zcb: P (0) (0, 1) = 0.96 P (0) (0, 2) = 0.91 Il decisore valuta altresì la possibilità di effettuare un investimento industriale i cui flussi di cassa sono: flussi 1200 800 600 Per sopperire all insufficienza di capitale proprio, vaglia le seguenti possibilità di finanziamento: a-finanziamento di 300 da rimborsarsi in 2 anni con pagamenti annuali posticipati costanti, al tasso dell 8%; b - scoperto di conto corrente al tasso del 10%; c-finanziamento sul mercato del dollaro statunitense per un imporo di 240 dollari, con rimborso in unica soluzione al termine del primo anno, al tasso del 5%. Si tenga conto che il tasso di cambio odierno US$/C=, incerto per certo, è pari a 1.2 e che il tasso a termine (che il decisore deciderebbe di utilizzare, nel caso ricorresse a questo finanziamento, per coprirsi dal rischio di rivalutazione del dollaro) sull orizzonte di 1 anno è pari a 1.19. Si stabilisca la convenienza ad effettuare l operazione investimento-finanziamento, indicando quale sia la fonte di finanziamento da scegliere (nel caso dello scoperto indicare altresì di quanto e per quanto andare in rosso). 3 4

Metodi matematici II Soluzioni Test 9 dicembre 2003 1 c 2 0.5 0.5 3 5.421 7.632 4 d 5 c 6 λ 1 =1,λ 2 =4 7 b 8 a 9 7.766 10 9.7 11 25% 400% 12 b Metodi matematici II SOLUZIONI COMMENTATE DEL TEST 9dicembre2003 DOMANDA 1 - Sia A R 3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = b èimpossibile. Allora sul sistema lineare Ax = 0 si può concludere: è possibile ed ha a nulla; b una sola soluzione; ; c è possibile ed ha ; d èimpos.; infinite soluzioni; c. Il rango di A è sicuramente inferiore a 2 altrimenti Ax = b sarebbe possibile. Dunque, il sistema omogeneo ha sicuramente soluzioni. 0.8 0.2 DOMANDA 2 - Sia P = una matrice di transizione che descrive 0.2 0.8 l evoluzione di un sistema dinamico. Qual è la ripartizione percentuale di equilibrio tra le due componenti del sistema? Il sistema (P I)x = 0 conduce alla soluzione x = T x 1 x 1 con x 1 R.La composizione percentuale di equilibrio sarà dunque D = [50% 50%] T. DOMANDA 3 - Un gestore deve decidere quanto investire in due titoli che hanno sensibilità 3 e -2 rispetto al fattore di rischio MIB30. I due titoli hanno prezzo pari a 10 e 6 rispettivamente. Obiettivo del gestore è replicare l indice MIB30 avendo un capitale di 100. Allora la composizione del portafoglio è: Il sistema con i due vincoli di sensibilità e budget evidenziati dalla domanda è 10 6 n1 100 = 3 2 1 n 2 la cui soluzione è n = 5.421 7.632 T DOMANDA 4 - Dati i vettori di seguito presentati, stabilire quali siano i coefficienti della combinazione lineare dei vettori x 1 ed x 2 che genera il vettore x 3 : 2 0 2 x 1 = ; x 1 2 = ; x 2 3 = 5 a a 1 =1;a 2 = 3; b a 1 =1;a 2 =0; c a 1 = 1; a 2 =2; d a 1 = 1; a 2 =3; d. Per verifica diretta si ottiene x 3 = x 1 +3x 2 DOMANDA 5 - Il rango della seguente matrice risulta 0 2 A = k 2k a r (A) 1 k; b r (A) =1 k; c r (A) 1 k; d r (A) =2 k; c. La componente di ordine 2,2 è non nulla, perciò il r(a) 1. Inoltre, se k =0allora r(a) =1, per cui r(a) non può essere sempre pari a 2. 5 6

DOMANDA 6 - Gli autovalori della matrice sono: Il calcolo diretto degli autovalori conduce all equazione caratteristica λ 2 5λ+4 = 0, le cui radici sono λ 1 λ 2 = 1 4 DOMANDA 7 - Determinare il prezzo secco di un obbligazione, a cedola semestrale, indicizzata al tasso di mercato spot a 6 mesi (fissata all inizio del godimento della cedola), scadenza 7 anni, prossima cedola tra 2 mesi. Si prescinda da tasse e commissioni. I dati in possesso sono: cedola in corso corrispondente al 4% (annuo) e P (0) 0, 12 2 =0, 992. a 100.98; b 99, 85; c 97.98; d 98.97; b. Il prezzo tel quel ed il rateo sono: 0.992 µ 100 + 4 1 2 = 101.18 4 1 4 2 6 =1.3333 per cui il prezzo secco risulta 101.18 1.333 = 99.85 DOMANDA 8 - Sono noti i seguenti valori: i (0) 0, 3 4 =3%; tasso di cambio $/C= incerto per certo FX (0) (0) = 1.2 tassodicambioforward$/c= incerto per certo FX (0) 3 4 =1, 19 Allora, affinchè vi sia assenza di arbitraggi, il tasso di interesse spot a 9 mesi sul dollaro deve risultare: a 1.86%; b 1.96%; c 1.15%; d 2%; a. Per t 1 deve valere l uguaglianza FX (0) (t) =FX (0) (0) 1+i(0) $ (0,t) 1+i (0) (0,t) DOMANDA 10 - Si ammortizza alla francese un debito di 100 con rate trimestrali posticipate. La durata del finanziamento è 3 anni, il tasso (annuo) che si paga è 10%. Qual è l importo della rata? Il tasso trimestrale risulta 1.1 0.25 1=2.4114% ed il numero di trimestri è naturalmente 12. Deve dunque valere 100 = Ra,dacuiR =9.6965. 12 2.41% DOMANDA 11 - Indicare il/i tassi interni della seguente operazione finanziaria: flussi 8 50 50 L equazione del tir è 8+ 1+x 50 50 =0, le cui soluzioni sono: 1 (1+x) 2 4 e 4. DOMANDA 12 - Un decisore con un costo opportunità del 10% ed un capitale disponibile di 1100 valuta la possibilità di effettuare una tra le seguenti operazioni finanziarie. Quale tra le seguenti decisioni è la più vantaggiosa? tempi 0 1 1.5 2 flussi A 1000 700 600 flussi B 900 1200 a investire in A; c non investire in alcuna di esse; b investire in B; d dipende! b. I due VAN sono G A (10%) = 1000 + 700 1.1 + 600 1.1 2 = 132.23 G B(10%) = 900 + 1200 = 140.14 1.11.5 per cui conviene l operazione B. Nel presente caso 1.19 = 1.2 1+i(0) $ 0, 3 34 4 1+0.03 3 4 dacuisiottienei (0) $ 0, 3 4 =0.018639. DOMANDA 9 - Sia j 4 =8%, allora su un operazione di durata pari a 6 mesi il tasso di sconto annuo, d, ad esso equivalente è: j 4 equivale a i 2 =2%. Imponendo l uguaglianza tra i due fattori di sconto in capo a 6mesi: 1.02 2 =1 d 1 2 si ricava la soluzioned =7.7662% 7 8

Metodi matematici II SOLUZIONI COMMENTATE PARTE B 9dicembre2003 ESERCIZIO 1 - Si consideri un sistema dinamico il cui stato odierno è x 0 = 60 30 0 T e la cui evoluzione è descritta dalla seguente matrice di transizione: 0.6 0.1 0 A = 0.4 0.8 0.1 0 0.1 0.9 1. Supponendo non mutevole la numerosità totale delle componenti del sistema, pari appunto a 90, si individui il punto di equilibrio del sistema. 2. Si verifichi che il polinomio caratteristico di A è (λ 2 1.3λ +0.39) (λ 1) e si determinino gli autovalori di A 3. Si valuti se il punto di equilibrio sia o meno attrattore. 1. I punti di equilibrio sono per definizione dei vettori che rispettano la condizione x = Ax. Si individuano risolvendo il sistem (A I)x =0: 0.4 0.1 0 x 1 0 0.4 0.2 0.1 x 2 = 0 0 0.1 0.1 x 3 0 la cui soluzione è: x 1 =0.25x 3,x 2 = x 3,x 3 R. Dunque, dovendo risultare x 1 + x 2 + x 3 =90, si ottiene l unico punto di equilibrio: x = [10 40 40]. 2. La verifica la si ottiene calcolando det(a λi) e gli autovalori sono le soluzioni dell equazione caratteristica (λ 2 1.3λ +0.39) (λ 1) = 0 da cui si ottiene: λ 1 =0.469 72,λ 2 =0.830 28,λ 3 =1. 3. Essendo tutti gli autovalori di valore assoluto inferiore ad uno, ad eccezione di quello unitario, si può concludere che il punto di equilibrio è attrattore, ovvero, qualunque sia lo stato iniziale del sistema, esso convergerà al punto di equilibrio stesso. 9 ESERCIZIO 2 Un decisore ha, su di un orizzonte temporale di 2 anni, una liquidità di 1000, impiegabile sul mercato dei capitali alle condizioni descritte dalla seguente struttura a termine degli zcb: P (0) (0, 1) = 0.96 P (0) (0, 2) = 0.91 Il decisore valuta altresì la possibilità di effettuare un investimento industriale i cui flussi di cassa sono: flussi 1200 800 600 Per sopperire all insufficienza di capitale proprio, vaglia le seguenti possibilità di finanziamento: a-finanziamento di 300 da rimborsarsi in 2 anni con pagamenti annuali posticipati costanti, al tasso dell 8%; b - scoperto di conto corrente al tasso del 10%; c-finanziamento sul mercato del dollaro statunitense per un imporo di 240 dollari, con rimborso in unica soluzione al termine del primo anno, al tasso del 5%. Si tenga conto che il tasso di cambio odierno US$/C=, incerto per certo, è pari a 1.2 e che il tasso a termine (che il decisore deciderebbe di utilizzare, nel caso ricorresse a questo finanziamento, per coprirsi dal rischio di rivalutazione del dollaro) sull orizzonte di 1 anno è pari a 1.19. Si stabilisca la convenienza ad effettuare l operazione investimento-finanziamento, indicando quale sia la fonte di finanziamento da scegliere (nel caso dello scoperto indicare altresì di quanto e per quanto andare in rosso). Calcoliamo i flussi di cassa dei 3 diversi finanziamenti e gli APV corrispondenti alla combinanzione investimento/finanziamento: a) deve risultare 300 = R 1 1 1.08 2 0.08, da cui si ottiene R =168.23 : flussi 300 168.23 168.23 G a = 1000 + 300 + 0.96 (800 168.23) + 0.91 (600 168.23) = 299.41 b) Dai prezzi degli zcb si ottiene la struttura a termine dei tassi che rappresentano appunto il costo opportunità: i (0) (0, 1) = 1 µ 1 1 0.96 1=4.17% 2 i(0) (0, 2) = 1=4.823% 0.91 Essendo entrambi inferiori al costo dello scoperto bancario (10%), non conviene attivare questo finanziamento oltre lo stretto necessario. Sicché si può valutare di andare in rosso di soli 200 e per il solo primo anno, visto che al tempo 1, con l incasso di 800 è possibile ritornare in attivo. Dunque: 10

tempi 0 1 flussi 200 220 G b = 1000 + 200 + 0.96 (800 220) + 0.91 600 = 302.8 c) Indebitarsi di $240 per 1 anno al 5%, comporta il pagamento di $1.05 240 = $252. I due flussi sono entrambi certi se viene fissato il cambio a termine. Il flusso in euro risulta perciò tempi 0 1 240 252 flussi (C=) 1.2 =200 1.19 = 211.76 G c = 1000 + 200 + 0.96 (800 211.76) + 0.91 600 = 310.71 Si può concludere che conviene effettuare l investimento, abbinando il 3 finanziamento. 11