Il Potenziale elettostatico 3.1 Distibuzione della caica in eccesso sui conduttoi metallici Consideiamo un conduttoe metallico neuto, posto in una egione di spazio dove sia assente qualunque campo elettico esteno. A causa dell agitazione temica, gli ioni positivi, e gli elettoni degli stati atomici più pofondi che costituiscono il eticolo cistallino, oscilleanno attono alle loo posizioni di equilibio. Nel contempo, ciascuno degli elettoni del mae di conduzione, in stato di agitazione temica e quindi animato da velocità con diezioni distibuite in modo del tutto casuale nello spazio, saà sottoposto ai campi geneati dagli ioni del eticolo e dagli alti elettoni. Su di una scala gande ispetto alle dimensioni atomiche, questi campi micoscopici hanno un valoe medio nullo, e sono in gado di podue solo un moto del tutto caotico, da cui isultano oientazioni casuali delle velocità. L assenza di una diezione di spostamento pivilegiata compota che, qualunque supeficie possiamo immaginae intenamente al conduttoe, essa veà attavesata, nello stesso intevallo di tempo, da un uguale numeo di elettoni tanto in un veso quanto nel veso opposto. Sebbene questo movimento caotico su scala atomica, già a tempeatua ambiente, abbia velocità quadatica media dell odine delle centinaia di migliaia di meti al secondo, esso isulta compatibile con uno stato di neutalità del conduttoe in ogni sua egione. Infatti dal punto di vista dell effetto del campo elettico dovuto al mae di elettoni, su di una paticella caica intena al conduttoe, tutto va come se gli elettoni di conduzione fosseo femi. L assenza di moti odinati d insieme, fa sì che non si abbia addensamento di caica in nessuna zona del conduttoe, ed il isultato è una distibuzione omogenea, costante nel tempo, tanto di caica positiva quanto di caica negativa, anche se pe quest ultima l omogeneità e la costanza vanno intese in senso statistico. Quando si veifica una situazione del tipo appena descitto, quando cioè la densità di caica del conduttoe, ento volumi molto più gandi delle dimensioni atomiche, non dipende dal tempo, diemo che il conduttoe si tova in equilibio elettostatico. La condizione di equilibio elettostatico ichiede che sia assente qualsiasi moto odinato d insieme del mae di elettoni e che quindi sia nullo il campo elettico complessivo su scala macoscopica dento al conduttoe. 1
Petanto, quando un conduttoe si pota in equilibio elettostatico, la distibuzione delle sue caiche dovà sempe essee tale da annullae qualunque campo elettico macoscopico al suo inteno.vediamo alcuni esempi. Un conduttoe caico Poniamo che il conduttoe, lontano da alte sogenti di campo elettico, contenga un eccesso di caiche positive o negative: la densità media di caica non saà zeo come nel caso in cui è neuto, tuttavia, dopo una fase tempoanea in cui si assiste ad una loo isistemazione pe effetto della ecipoca inteazione, il conduttoe si poteà in equilibio elettostatico. La configuazione stabile in cui queste caiche in eccesso si dispongono è intuitiva: la epulsione fa si che esse si allontanino quanto più è loo consentito e quindi andanno a posizionasi ento uno stato supeficiale pofondo pochi diameti atomici. Ci ifeiemo ad esso come alla supeficie del conduttoe, e disegneemo le sue caiche a contono del copo stesso. Questa localizzazione delle caiche in eccesso sulla supeficie è, in effetti, l unica compatibile con la condizione di equilibio elettostatico, che come si è visto ichiede che intenamente al conduttoe isulti nullo il campo elettico. Si considei, infatti, una supeficie chiusa come la S in figua, che sia tutta intena al conduttoe: il fatto che ovunque dento debba essee E = 0 compota che il flusso del campo elettico attaveso S sia zeo anch esso. Applicando poi il teoema di Gauss isulta che: Qintene φ S ( E ) = = 0 ε e quindi la somma totale delle caiche dento S deve essee zeo. Ripetendo il agionamento pe qualunque supeficie analoga, se ne icava che non può essevi in alcun punto inteno un addensamento di caica, e quindi quelle in eccesso dovanno localizzasi sulla supeficie estena, lasciando neuto tutto lo spazio occupato dal conduttoe. Un conduttoe metallico caico negativamente pesenta, quindi, uno stato supeficiale dove si accolgono gli elettoni in eccesso ed una zona neuta intena; un conduttoe metallico caico positivamente avà invece la zona neuta intena avvolta da uno stato supeficiale svuotato degli elettoni di conduzione in modo che la caica positiva degli ioni del eticolo isulti esposta. 0 Zona neuta? Ammanco di elettoni Zona neuta Eccesso di elettoni S Un conduttoe caico cavo Poniamo adesso il caso in cui il conduttoe pesenti al suo inteno una cavità che non contenga caiche elettiche. Anche in questo caso potemo 2
immaginae una supeficie chiusa oppotuna, come la S 1 in figua, che avvolga la cavità e concludee che al suo inteno isulta Q i = 0. In questa situazione, tuttavia, potemmo pensae che la condizione di equilibio elettostatico sia soddisfatta anche qualoa sulla supeficie intena della cavità si tovasse un eguale ammontae di caiche positive e negative. Così saebbe ancoa zeo il flusso attaveso qualunque supeficie chiusa che avvolga la cavità, saebbe zeo il campo elettico nella egione occupata dal conduttoe, ma non saebbe ovviamente zeo il campo E all inteno della cavità. E nemmeno saebbe possibile pensae di acchiudee tali caiche con una supeficie chiusa come la S 2, peché in questo caso φ E = essendo S 2 pazialmente non si potebbe concludee che S ( ) 2 0 estena al conduttoe, cioè intena alla cavità: popio dove non sappiamo a pioi se il campo è nullo. Le linee di foza di E saebbeo in tal caso diette dalla egione di localizzazione della caica positiva veso quella di localizzazione della caica negativa. Ma una tale eventualità è da escludee: lo si vede calcolando la cicuitazione del campo E attaveso una cuva chiusa come quella che passa pe i punti A e B in figua. Essa ha la pozione I intena alla cavità (e quindi estena al conduttoe), e la pozione II intena al conduttoe. Poiché sappiamo che la cicuitazione del campo elettostatico deve essee zeo, dovà essee zeo la somma del lavoo svolto da E elativamente allo spostamento che, patendo da A, pota in B lungo il tatto I della cuva, e del lavoo lungo il tatto II che patendo da B ipota in A. Ma essendo E = 0 dento al conduttoe, il lavoo lungo II saà necessaiamente nullo. Di conseguenza, affinché la somma dei due lavoi faccia zeo, dovà isultae zeo anche il lavoo di E lungo il tatto I. Dato che ciò deve valee pe qualunque tatto di cuva avente foma e lunghezza abitaie, puché unisca A con B dento alla cavità, l unico modo in cui ciò sia possibile è che anche intenamente alla cavità sia E = 0. Si può giungee alla stessa conclusione anche con un agionamento meno fomale: immaginiamo un conduttoe caico in equilibio, con dento un talo metallico che vada man mano divoando l inteno del conduttoe stesso. Come si è visto, in condizioni di equilibio, tale egione è neuta e petanto il nosto talo può mangiane a piacimento senza che si violi la legge di consevazione della caica. Ma la sua neutalità compota anche che essa non contibuisce al campo che complessivamente geneano le caiche poste sul conduttoe, e, petanto, la sua imozione non può alteae il valoe di E. Il campo elettico, quindi, continueà ad essee nullo anche i II S 2 A I B S 1 3
nelle egioni vuote che il talo va scavando, così come ea nullo quando esse eano iempite di mateiale metallico. Un conduttoe neuto in un campo elettico Se è pesente un campo elettico esteno, anche se il conduttoe è neuto, duante una pima fase tansitoia le caiche libee di muovesi andanno a disposi sulla supeficie. Quando si saà aggiunto l equilibio elettostatico, il campo da esse geneato annulleà quello esteno sovapponendosi ad esso nella egione occupata dal conduttoe. Affinché ciò accada dovemo peò avee caiche di segno diveso sullo stato supeficiale del conduttoe, come si vede in figua. E E = 0 3.2 Il teoema di Coulomb Si è visto che in un conduttoe metallico in equilibio elettostatico, la caica in eccesso si dispone su di uno stato supeficiale in modo che isulti nullo il campo elettico nella egione neuta intena. Il campo elettico avà? E t E E n invece valoe diveso da zeo sia nello stato di caica che nello spazio cicostante il conduttoe: ci poponiamo oa di calcolane l intensità e la diezione sulla supeficie. In geneale dovemo suppoe che E possa essee oientato in qualunque modo, e che quindi abbia tanto una componente tangenziale E t che una nomale E n ispetto alla supeficie, in modo che isulti E = Et + En. Tuttavia, la condizione di equilibio pota a concludee che la componente E tangenziale alla supeficie deve essee nulla. In caso contaio, infatti, gli elettoni di conduzione saebbeo sottoposti ad un campo elettico con valoe medio non nullo su una scala molto più gande di quella atomica ed in gado, petanto, di podue un moto odinato d insieme. Si avebbe così uno scoimento degli elettoni di conduzione paallelamente alla supeficie, cosa non compatibile con lo stato di equilibio che abbiamo supposto. Il campo elettico sulla supeficie del conduttoe avà petanto diezione nomale: uscente come vedemo - se l eccesso di caica è positivo, entante se tale eccesso è negativo. Pendiamo oa una pozione della supeficie estena del conduttoe, così E piccola da potesi consideae piana. Si immagini una supeficie cilindica che abbia le basi, di aea S, a cavallo del bodo del conduttoe e S paallele alla pozione di supeficie scelta, come si vede in figua. La diezione nomale alla supeficie saà quindi pependicolae al piano contenente S, ed il flusso del vettoe E attaveso il cilindo saà dato soltanto dal podotto dell intensità di E pe l aea della S estena. Infatti, essendo nullo il campo dento al conduttoe, saà nullo il suo flusso 4
attaveso la supeficie di base intena, ed essendo la nomale alla supeficie lateale del cilindo pependicolae al campo elettico, saà nullo anche il flusso attaveso di essa, petanto: φ E = E S Cilindo( ) Applicando oa il teoema di Gauss si ha che φ Cilindo ( E) = Q intena ε 0, dove la caica intena è quella localizzata sulla pozione supeficiale di conduttoe intecettata dal cilindo ed evidenziata in figua. Pe calcolae l ammontae di Q intena è necessaio conoscee la caica σ che si dispone su ogni unità di supeficie del conduttoe. In geneale σ non è un valoe costante su tutta la supeficie del conduttoe, ma anzi, come vedemo, è legata alla sua cuvatua. Avendo peò scelto pe le basi del cilindo un estensione S così piccola da pote consideae piano il conduttoe in quella egione, possiamo itenee costante σ al suo inteno e pai al valoe medio che assume in quella zona, e così sciveemo semplicemente: Qintena da cui: = σ S. Di conseguenza: σ S φ E = E S = Cilindo( ) E σ = ε 0 ε 0 isultato noto come teoema di Coulomb, che fonisce l intensità del campo elettostatico in possimità di un conduttoe caico. Se il conduttoe è caico positivamente avemo σ > 0 e quindi φ Cilindo ( E) > 0: il campo elettico dà luogo ad un flusso positivo attaveso una supeficie chiusa e quindi la sua diezione è uscente da essa e dal conduttoe. Analogamente concludiamo che E enta nel conduttoe se σ < 0. Chiaamente nulla cambia se immaginiamo la base estena del cilindo molto vicina a quella del conduttoe ed al limite appoggiata su di esso. In questo modo possiamo affemae che il teoema di Coulomb fonisce il valoe di E popio sulla supeficie. Se poi, addiittua, facciamo ientae la supeficie estena S nel conduttoe, avemo che la caica acchiusa dal cilindo andà man mano diminuendo, di modo che il campo elettostatico, avente sempe diezione nomale, va diminuendo anch esso in intensità dento allo stato supeficiale occupato dalle caiche, fino ad annullasi ento pochi spessoi atomici. 5
3.3 Il potenziale elettostatico Come abbiamo visto, affemae che la foza elettica è consevativa significa die che, in una egione dello spazio sede di un campo elettico E, fissata una posizione di ifeimento, pe una caica puntifome Q A isulta univocamente deteminato il lavoo che la foza elettica compie qualoa Q A si sposti dalla sua posizione a quella di ifeimento. Tale gandezza pende il nome di enegia potenziale della caica Q A elativamente al campo E. L univocità della definizione isiede nel fatto che il lavoo in esame è del tutto indipendente dalla taiettoia che Q A segue pe potasi nella posizione di ifeimento. Q B Se la sogente che oigina il campo è un alta caica puntifome Q B, e se la posizione di ifeimento viene scelta come quella nella quale le due caiche Q A e Q B si potano l una a distanza infinita dall alta, abbiamo anche visto Q A AB che pe l enegia potenziale si può ottenee l espessione matematica: U = 1 4π ε 0 QQ A AB B dove AB indica la distanza fa le due caiche. In questo caso, tuttavia, dato che vi è completa simmetia fa il uolo svolto dalla caica A e quello della caica B, si pala di enegia potenziale del sistema di caiche. Potando all infinito una delle due caiche, infatti, automaticamente anche l alta si veà a tovae infinitamente distante da essa. Essendo l enegia una gandezza additiva 1, la fomula è facilmente genealizzabile al caso in cui le caiche siano più di due semplicemente sommando le enegie potenziali di tutte le coppie di paticelle coinvolte. Pe te caiche Q A, Q B, Q C l enegia potenziale del sistema si sciveà alloa: 1 QQ A B QQ A C QQ B C U = + + 4πε 0 AB AC BC e nel caso geneale di N caiche assumeà la foma: AB Q B BC Q A U = 1 1 2 4π ε QQ i j 0 ij i j AC Q C 1 Si dice anche gandezza estensiva 6
dove gli indici di sommatoia i e j scoono da 1 fino ad N puché si tengano solo i temini con i j, ed il fattoe ½ compae peché ciascuno degli addendi viene contato due volte all inteno della sommatoia, sia quando figua come ij che quando figua come ji. Lo si vede chiaamente scivendo i pimi temini della sommatoia: 1 1 QQ 1 2 QQ 1 3 QQ 1 4 QQ 2 1 QQ 2 3 U = + + +... + + +... 24πε 0 12 13 14 21 23 dove è stato evidenziato il pimo degli addendi che compae due volte. L enegia potenziale di un sistema appesenta il lavoo che le foze del campo compiebbeo qualoa il sistema stesso venisse smembato potando a distanza infinita una caica alla volta, mente le alte imangono congelate nella loo posizione oiginaia. Se, duante lo smembamento, le foze del campo compiono lavoo motoe, vale a die positivo, e quindi favoiscono il pocesso, il sistema ha enegia potenziale positiva. Vicevesa se compiono lavoo esistente, vale a die negativo, e quindi pe smembae la distibuzione delle caiche occoe lavoae dall esteno, alloa l enegia potenziale è negativa. Quindi un sistema elettico con U < 0 è tenuto insieme dalle sue stesse foze 2 e pe smembalo bisogna faticae: si pensi ad esempio ad un elettone che obita attono ad un nucleo atomico costituito solo da un potone, cioè un atomo di idogeno. Si tatta di un sistema ad enegia potenziale negativa: pe sottae l elettone al nucleo bisogna esecitae una foza estena e duante il pocedimento di estazione ed allontanamento il sistema stesso lavoa in modo esistente. Vicevesa pe tenee accostate due caiche dello stesso segno dobbiamo intevenie con un vincolo conto la epulsione elettica, e, non appena il vincolo viene meno, il sistema si smemba da solo potando le caiche a distanza ecipoca infinita: la sua enegia potenziale elettica è positiva. Un esempio di questo secondo caso può essee il nucleo di un atomo, dove l enegia potenziale elettica è positiva: sono le inteazioni nucleai attattive fa i potoni, la cosiddetta foza fote, a tenee insieme delle paticelle con caica di segno concode: in assenza di queste il nucleo si smembeebbe. Ricodiamo oa che si è definito campo elettico il appoto fa la foza elettica che in un punto dello spazio si esecita su di una caica di pova, e F la caica stessa (in maniea igoosa E = lim ). Ciò allo scopo di ottenee q 0 q enegia potenziale elettostatica < n n n n n n enegia potenziale elettostatica > 0 0 2 Un tale sistema non potà mai essee stabile solo sotto l azione delle foze elettostatiche: pe spiegae la stuttua atomica della mateia si deve infatti fae icoso a modelli dinamici. Il motivo è che un equilibio appesenta un punto di massimo o minimo del potenziale, e questi non possono tovasi nello spazio fa le caiche. 7
una descizione dei fenomeni elettici che non usufuisse del concetto di azione a distanza, ma piuttosto assegnasse delle popietà allo spazio stesso. Ci poponiamo oa di definie una gandezza fisica, il potenziale, che ivesta un uolo analogo ispetto all enegia potenziale. Palae di enegia potenziale associata ad una caica Q A posta fa tante caiche Q i e non, invece, di enegia potenziale associata a tutto il sistema, significa intepetae le caiche imanenti come sogenti di un campo elettico nella egione di spazio dove la caica Q A si tova. Supponiamo ad esempio di avee N caiche Q i vincolate ad occupae delle posizioni nello spazio oppue su di un copo: daanno oigine ad un campo elettico. L enegia potenziale di una caica Q A che si tovasse nella egione sede di tale campo elettico saà, in accodo con le fomule pecedenti e con lo stesso significato dei simboli: N 1 Qi U = Q 4 ε π 0 i= 1 Dato che ci stiamo ifeendo all enegia potenziale della sola Q A, nella sommatoia compaiono adesso unicamente i temini di inteazione fa ciascuna delle Q i e Q A. Se ad esempio le caiche Q i si tovano localizzate su di un copo, e su di esso viene posta anche la caica Q A, questa gandezza appesenta il lavoo che le foze del campo elettico, dovuto a tutte le Q i divese da Q A compiebbeo qualoa Q A venisse pelevata dalla sua posizione e potata a distanza infinita dal copo stesso mente le alte imangono congelate nella loo posizione 3. Consideando le cose da un diffeente punto di vista, possiamo affemae che un copo caico possiede la popietà di confeie enegia potenziale ad ogni nuova caica che viene posta su di esso o nelle sue vicinanze. Pe meglio compendee immaginiamo una collina, ed una pieta che viene potata sulla sua cima. Assumendo come posizione di ifeimento quella in cui la pieta si tova al livello del suolo, le foze del campo gavitazionale compiono, duante lo spostamento, un lavoo esistente. Nel momento in ia A 3 Oppue, che è lo stesso, si può immaginae un copo caico con tutte le Q i distibuite su di esso, congelate nelle loo posizioni e la caica Q A fema a distanza infinita dal copo. Il lavoo che le foze del campo geneato dalle Q i compiono agevolando o contastando lo spostamento di Q A che patendo dall infinito giunge fema sul copo stesso, è alloa pai all enegia potenziale di Q A cambiata di segno. Un tale spostamento è tuttavia possibile solo se assieme alle foze elettiche agisce anche una foza estena, che sposti mateialmente la caica sul copo qualoa le foze elettiche si opponesseo, e che feni la caica pe fala giungee fema qualoa le foze elettiche agevolasseo lo spostamento. Solo se Q A è fema sia all inizio che al temine dello spostamento, il lavoo della foza elettica è uguale e contaio a quello della foza estena. Se la velocità di Q A è nulla (oppue se è la stessa sia all inizio che alla fine), infatti l enegia cinetica non vaia, e si ha : W(elettico)+W(esteno)= vaiazione di enegia cinetica = 0. In queste condizioni l enegia potenziale è pai anche al lavoo svolto dalla foza estena che ende possibile lo spostamento. 8
cui decidessimo di smembae il sistema ipotando la pieta nella posizione di ifeimento, le foze del campo gavitazionale ci agevoleebbeo, e, quindi, secondo la definizione data, la pieta in cima alla collina ha una enegia potenziale gavitazionale positiva. Tuttavia, indipendentemente dal fatto che vi si poti la pieta sopa, la collina si tova già là, ed ogni oggetto che vi viene posto acquisisce una popietà che pima non aveva, popietà a cui si dà il nome di enegia potenziale gavitazionale. Essa, in base alla nosta definizione, isulta positiva ispetto al livello del suolo, e tanto maggioe quanto più alta è la collina. In modo figuato, possiamo identificae con la collina le popietà elettiche di un copo (od una egione dello spazio) dove sono localizzate delle caiche Q i, e la caica Q A che vi viene deposta, con la pieta. Guadiamo di nuovo l espessione matematica dell enegia potenziale di Q A : N 1 Qi U = QA, la cui posizione è individuata dal vettoe A, 4π ε 0 i= 1 ia come in figua. L esempio affigua un copo non conduttoe - dove sono localizzate 3 caiche solamente, ciascuna delle quali è individuata dal popio vettoe i. Il simbolo ia che figua nell espessione di U indica la distanza di 1 Q 1 = 1A 1 A A Q A Q 3 ciascuna delle Q i da Q A, distanza che si ottiene facendo il modulo dei vai Q 2 vettoi che collegano la posizione di ciascuna delle caiche Q i, con Q A : ia = A 1. Come si può vedee, il appoto fa l enegia potenziale che la Q A assume, se posta in A, e la caica stessa, è indipendente da Q A. Esso indica la popietà che ha il copo nel suo punto A di confeie enegia potenziale ad una caica ivi posta. Tale appoto è un po l analogo dell altezza della collina elettica nel punto A e pende il nome di potenziale elettostatico V ( A) in tale punto: N UQ ( A) 1 Qi V ( A) Q = 4 ε A π 0 i= 1 ia Se caichiamo un copo geneico, il valoe del potenziale in un suo punto o in un punto dello spazio ad esso cicostante pemette di sapee subito quale saà l enegia potenziale di una caica Q A posta in quel punto, in quanto, ibaltando la fomula si ha UQ ( ) = QV ( ). Il potenziale è quindi una A A A funzione definita in tutti i punti dello spazio, e consente il calcolo dell enegia potenziale elettostatica analogamente a come il campo elettico consente il calcolo della foza elettica. Si noti, infatti, l analogia: UQ ( ) = QV ( ) F ( ) = QE ( ) A A A A A A con la diffeenza che, mente il campo elettico è un vettoe, il potenziale elettostatico è uno scalae. Pe tale motivo si dice anche che il potenziale elettostatico è un campo scalae, mente il campo elettico è un campo 9
vettoiale: il pimo definisce un numeo in ogni punto dello spazio, il secondo definisce un vettoe in ogni punto dello spazio. Anche il potenziale elettostatico, come del esto l enegia potenziale elettostatica, è elativo ad una posizione di ifeimento. Come pima, la scelta più natuale in caso di distibuzioni di estensione finita, è quella di ifeisi ad una distanza infinita. L unità di misua del potenziale è il Volt [V], vale a die che una caica di 1C posta in un punto dello spazio che si tovi al potenziale di 1V ispetto all infinito, acquista un enegia potenziale di 1J ispetto all infinito: [ J ] [ V ] = [ C] 3.4 Diezione delle linee di foza Se oa, in una egione sede di campo elettico, una caica unitaia si pota da un punto A ad un punto B, sappiamo che E compie un lavoo: W = V V = V A B Nel caso in cui lo spostamento l che congiunge A con B sia elementae, cioè ettilineo e piccolo ispetto alla scala su cui vaiano le gandezze in gioco, alloa W è espimibile anche come: W = E l cos α, dove α è l angolo fa il campo elettico e la diezione di l. Nel caso paticolae in cui ci si stia movendo lungo una linea di foza seguendone il veso, E saà sempe tangente alla taiettoia e quindi isulteà cos α = 1, da cui V = E l l α = α 0 l E V V 1 2 < V1 V3 < V2 Se l lo si misua a patie dalla supeficie di un conduttoe dove fanno capo le linee di foza, (positivo quando ci si sposta concodemente ad esse), possiamo concludee che, seguendo le linee di foza, si ha V < 0, cioè si sta pocedendo veso potenziali decescenti: LE LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTRICO SONO ORIENTATE VERSO VALORI DECRESCENTI DEL POTENZIALE Massimi e minimi del potenziale Ricodando che le linee di foza sgogano dai punti dove sono le caiche positive, e confluiscono in quelli dove si tovano le caiche negative, avemo che i pimi saanno punti di massimo del potenziale ed i secondi punti di 10
minimo. Difatti l unico caso in cui le linee di foza possono uscie da un punto andando in qualunque diezione si ha quando tutt intono il potenziale è minoe. Analogamente se entano tutte in un punto si avà che intono ad esso il potenziale assume sempe valoi maggioi che non nel punto Supefici equipotenziali Movendo una caica lungo una taiettoia sempe pependicolae alle linee di foza, il campo elettico non compie lavoo. In questo modo, essendo WAB = VA VB = 0, isulta costante il potenziale lungo tutto il tagitto. Spostandosi nello spazio, pe ogni fissato valoe di V si individua quindi una supeficie i cui punti sono tutti allo stesso potenziale, che viene detta supeficie equipotenziale. In figua vediamo l esempio di alcune supefici equipotenziali pe un sistema di due caiche uguali ed opposte. 3.5 Il potenziale dei conduttoi In geneale, se caichiamo un copo, il suo potenziale V vaieà da punto a punto. Questo sia sopa di esso che nello spazio cicostante, come indica N 1 Qi nella fomula: V ( A) =, la pesenza delle distanze ia, che 4π ε0 i= 1 ia dipendono, ovviamente, dalla posizione A dove si desidea conoscee V. Tuttavia, se tale copo è un conduttoe metallico, sappiamo del teoema di Gauss che le caiche in eccesso ivi poste si dispoanno in modo da occupae la sola supeficie, lasciando neuta la egione intena. Adducendo motivi di equilibio delle caiche, abbiamo anche mostato che il campo elettico su tale supeficie non può che essee pependicolae ad essa. Oa, se si pone una piccola caica Q A sulla supeficie del conduttoe, e la si sposta ovunque sempe seguendo la supeficie, le foze elettiche non compiono alcun lavoo in elazione a tale spostamento. Infatti, esse in ogni punto sono pependicolai alla taiettoia. Da questa consideazione si deduce che l enegia potenziale di Q A, dovunque la si ponga sulla supeficie, 11
imane la stessa. La supeficie estena di un conduttoe si toveà quindi tutta allo stesso potenziale: è come, si dice, una supeficie equipotenziale. Ha quindi senso palae di potenziale di un conduttoe, intendendo con ciò il valoe che V assume sulla sua supeficie quando sul conduttoe viene disposta una caica di valoe complessivo Q. Anche lo spazio inteno ad un conduttoe metallico in equilibio è equipotenziale: lo si intuisce consideando il isultato pecedente pe cui il campo elettico inteno deve essee nullo. Spostando una caica mantenendola dento al conduttoe, il lavoo di E saà necessaiamente sempe nullo, cioè W = V V = 0. Se oa si considea il valoe del AB A B potenziale inteno dovuto solo alle caiche in eccesso, questo saà esattamente lo stesso della supeficie. Se infatti non fosse così, avei due possibilità: un valoe all inteno più alto di quello sulla supeficie, e cioè un massimo del potenziale, oppue un valoe più basso, e cioè un minimo. Ma come si è visto, massimi e minimi compotano una localizzazione di caica da cui le linee di campo devono sgogae, e ciò all inteno non è possibile. Quindi l inteo spazio occupato dal conduttoe isulta allo stesso potenziale. Tuttavia, si osseva che il valoe del potenziale inteno è in genee di alcuni volt supeioe al potenziale della supeficie, a seconda del tipo di metallo. Questo peché deve esistee un campo elettico dietto sempe dalla supeficie veso l esteno, dovuto al fatto che il eticolo ionico temina, e l azione elettica degli ioni più esteni non è più contobilanciata da quelli limitofi. Questo campo ha un veso tale da confinae gli elettoni di conduzione sul conduttoe impedendogli di fuoiuscie. Il suo valoe è molto più intenso di quello del campo dovuto ad un eccesso di caica elettica eventualmente pesente, tuttavia esso agisce su di uno stato molto meno pofondo, paticamente solo su scala micoscopica. Tale campo non è quindi in gado di podue moti odinati d insieme, e costituisce solo quella che viene detta una baiea di potenziale pe gli elettoni di conduzione. Questa diffeenza di potenziale fa supeficie ed inteno è pesente anche se il conduttoe è neuto, e imane paticamente inalteata pe l effetto del piccolo distubo dovuto all eventuale pesenza di uno stato di caica in eccesso. Nel seguito peò, palando di potenziale di un conduttoe, ci ifeiemo al valoe del potenziale dovuto alle sole caiche in eccesso ivi pesenti. In tale senso diemo che tutto il conduttoe, supeficie ed inteno, si tova allo stesso valoe, costante, del potenziale. V = costante Diezione delle linee di foza in possimità di un conduttoe All inteno del conduttoe il campo elettico è nullo e quindi non vi sono linee di foza. All esteno, invece, il campo saà individuato da linee di 12 Impossibile
foza che si dipatono dalla supeficie, pependicolamente ad essa ed oientate in veso uscente se questa è caica positivamente, entante se negativamente. Una stessa linea di foza non può uscie da un conduttoe pe poi tonavi, peché in tale caso il punto di iento saebbe a potenziale più basso di quello d uscita, cosa non compatibile col fatto che la supeficie deve essee equipotenziale. Pe motivi analoghi, quando si ha un insieme di conduttoi con estensione finita, una linea di foza non può giungee dall infinito, dove si ha V = 0, su di un conduttoe, e poi ipatie da esso veso l infinito. Quello che accade invece è che le linee di foza vanno da un conduttoe ad un alto conduttoe a potenziale infeioe, oppue da un conduttoe all infinito o vicevesa. Se poi il conduttoe si tova immeso in un dielettico ove sono localizzate delle caiche, le linee di campo andanno dalle caiche al conduttoe o vicevesa a seconda del E segno di queste. Pimo esempio: si abbia un conduttoe caico positivamente, isolato nello spazio e di estensione finita. In questo caso, le linee di foza non potanno che patie dal conduttoe pe giungee all infinito (o patie dall infinito pe entavi se il conduttoe fosse caico negativamente). Inolte, le supefici equipotenziali sono, pe così die, paallele alla supeficie del conduttoe, nel senso che ne ipoducono la foma almeno nelle immediate vicinanze. E = 0 Secondo esempio: due conduttoi affacciati caichi dello stesso segno ma a potenziale diveso, V A > V. Il conduttoe a potenziale minoe subisce B un fenomeno di induzione più macato pe la pesenza del pimo, come in figua. Le linee di foza vanno da quello a potenziale maggioe veso quello a potenziale infeioe nella egione di affaccio, mente estenamente andanno veso infinito dove il potenziale è nullo. Va sottolineato veso V = 0 V A V B < V A veso V = 0 che i conduttoi sono entambi equipotenziali, sebbene la densità di caica che si accoglie sulle supefici sia di segno diveso in diffeenti punti, e le linee di foza che fanno capo ad essi in pate escono ed in pate entano. 13
Tezo esempio: poniamo un conduttoe C nella egione di spazio ove abbia sede il campo elettico geneato da alti due conduttoi A e B, questo subià il fenomeno dell induzione elettostatica. Le caiche al suo inteno V A V C = costante V B aggiungeanno pesto una configuazione di equilibio pe cui il potenziale di C sia costante, anche in questo caso con linee di foza che sono sia entanti che uscenti. Il gadiente Come si è visto, movendosi lungo una linea di foza seguendone il veso, si ha V = E l. Possiamo scivee alloa: V E = l Da tale isultato si vede che l intensità del campo elettico, in un dato punto, è pai alla vaiazione di potenziale, cambiata di segno, ( V ) che si ha pe ogni unità di lunghezza di cui ci si sposta lungo la linea di foza che passa pe quel punto. Di conseguenza, olte che N, pe il campo C elettico si ivelano appopiate le unità di misua di Volt al meto: V m. V Questa definizione non pesenta ambiguità solo quando non dipende l da quanto lungo è il tatto l di spostamento, altimenti avemmo, nello stesso punto, un diffeente valoe di E pe ogni diveso l. Un definizione igoosa si ha se al appoto V l misua che non dipende da come si sceglie lo spostamento avviene solo quando si passa al limite pe l 0 : si può sostituie una l, e ciò E V V = lim l 0 = l l V Così l intensità del campo elettico è pai all opposto della deivata del potenziale ispetto alla coodinata l lungo la linea di foza 4. Se invece lo spostamento l segue una diezione qualunque, il agionamento si può ipetee, solo che la deivata lungo la taiettoia non V1 V2 < V1 4 Il simbolo 14 V dv indica la deivata paziale, ed ha lo stesso significato di l dl : si usa quando la funzione dipende da più d una vaiabile. Significa solo che la deivata è effettuata consideando costanti tutte le alte vaiabili pesenti. Es. V = 8xy x ; V = 4x 3y y 2 2 2 3 Vxy (, ) = 4xy y,
dà il campo elettico ma la componente del campo elettico lungo lo V spostamento, cioè E cos α =. l Decomponendo lo spostamento nelle te diezioni x, y e z otteniamo alloa: V V V Ex = Ey = Ez = x y z In questo modo è possibile costuie il vettoe E deivando la funzione Vxyz (,, ) ispetto alle te coodinate e cambiando loo di segno. Il isultato di tale opeazione poduce quindi un vettoe pependicolae alle supeficie equipotenziale, che pende il nome di gadiente della funzione potenziale: V V V E =,, V x y z ed è dietto nel veso in cui il potenziale ha il massimo tasso di decescita. Da questo isultato si icava anche che il vettoe gadiente di un campo scalae Vxyz (,, ) è pependicolae alle supefici equipotenziali, cioè alle egioni dello spazio dove Vxyz (,, ) = costante, ed oientato nel veso in cui V ha il massimo tasso di cescita. Esempio: Calcolae l espessione in coodinate catesiane del campo elettico geneato 1 Q da una caica Q patendo dall espessione del potenziale V ( ) = 4πε0 applicando la definizione E = V. Il vettoe che individua un punto nello spazio si scive: = (,, x y z) da cui: 2 2 2 = = x + y + z e quindi: 1 Q 1 Q V ( ) = = 4πε 2 2 2 0 4πε0 x + y + z Applicando la definizione abbiamo: V 1 Q Q 1 Ex = = = x x 4π 2 2 2 2 2 2 0 x y z 4π 0 x ε + + ε x + y + z 1 Q 2 2 2 Q 1 ( x y z ) 2 2 2 2 = + + = 4πε0 x 4πε ( 0 2 )( ) 3 x + y + z 2 2x = Q x Q x = = 4πε 2 2 2 3 3 0 x + y + z 4πε0 e analogamente: E E y z ( ) V Q y Q y = = = y 4πε 4πε 3 3 0 0 2 2 2 ( x + y + z ) V Q z Q z = = = z 4πε 4πε 3 0 0 2 2 2 ( x + y + z ) Si veificano poi i isultati già noti: 2 2 2 2 2 2 Q x + y + z Q E = Ex + Ey + Ez = = 4πε 2 2 2 3 0 ( x + y + z ) 4πε 3 0 ed anche che in foma vettoiale: 3 Q = 4π ε 2 0 1 2 15
Q x Q y Q z Q 1 E =,, = ( x, y, z) = 4 3 3 3 πε 3 0 4πε0 4πε0 4πε0 Q Q 1 = = 3 2 ˆ 4πε0 4πε0 Dove icodiamo che pe il vesoe la definizione è ˆ = ˆ = 1., in modo che sia Popietà del tubo di foza Seguiamo oa un tubo di foza, cioè l insieme di tutte le linee di foza individuate patendo da un contono chiuso che giace sulla supeficie di un conduttoe, e giunge sulla supeficie di un secondo a delimitae un alto contono chiuso. S 1 Avemo che, all inteno del secondo contono, saà localizzata una caica uguale ed opposta a quella acchiusa dal pimo. Pe convincesene basta applicae il teoema di Gauss alla supeficie chiusa ottenuta completando il tubo di flusso con delle calotte come le S 1 e S 2, tutte intene ai conduttoi. Il flusso del campo elettico attaveso la supeficie complessiva è nullo, peché lungo la supeficie lateale del tubo la nomale è sempe pependicolae al campo elettico, mente su S 1 ed S 2, tutte intene ai conduttoi, il campo vale zeo. Se ne conclude che la somma delle caiche intene fa zeo anch essa e che quindi le egioni acchiuse dai due contoni oiginai, evidenziate in vede in figua, contengono un quantitativo di caica uguale ed opposto. S 2 Lo schemo elettostatico Già sappiamo che il campo elettico nella cavità di un conduttoe A, quando questa è vuota, deve essee nullo indipendentemente dalla caica posta su di esso. Se oa all inteno della cavità si viene a tovae un alto conduttoe B, dotato di caica complessiva pai a Q, sulla supeficie intena della cavità, pe induzione, si localizza una ceta quantità di caica: dimostiamo oa che, nel caso di questa geometia, la caica indotta è Q, cioè esattamente uguale ed opposta a quella inducente. Pendendo una supeficie immaginaia come la S in figua, tutta intena al conduttoe A in modo che essa, a sua volta, contenga la cavità, abbiamo che φ S ( E) = 0, essendo E = 0 nello spazio occupato dal conduttoe. Qindotta + Q Pe il teoema di Gauss, inolte, è φs ( E) = = 0, da cui ε0 necessaiamente segue: Qindotta = Q. Si giunge alla stessa conclusione anche ossevando che tutti i tubi di flusso come quello evidenziato in giallo, contengono una caica complessivamente uguale a zeo. 16 B A S
Poiché l induzione non può alteae la caica complessiva sul conduttoe cavo, avemo poi che sulla supeficie più estena si andà a dispoe una caica uguale ed opposta a Q, e cioè all esteno si ipoduce Q. Questo isultato è noto come fenomeno dell induzione completa e tova applicazione in dispositivi analoghi al pozzo di Faaday utilizzato pe l elettoscopio. Facciamo oa alcune consideazioni. a) Pe la paticolae sovapposizione degli effetti che questa configuazione geometica poduce, la caica intena complessiva, data da Q distibuita su B e da Q indotta sulla paete di A, genea un campo elettico che isulta diveso da zeo solo all inteno della cavità. La loo azione combinata, nello spazio fuoi di A, è nulla: all esteno si pecepisce unicamente la caica Q distibuita sulla supeficie. E se anche si dispede Q estena ad esempio collegando A con la tea, l azione delle caiche intene continua a non essee pecepibile all esteno. Infatti, dovendo essee nullo il loo campo complessivo nella egione metallica, esso dovebbe ipatie impovvisamente fuoi di essa dopo la busca inteuzione. Ma come sappiamo, le linee di campo nascono dove sono localizzate le caiche, e questa ipesa del campo inteno fuoi di A non è quindi possibile. b) Se si sposta B movendolo all inteno della cavità, oppue lo si pota a contatto con essa in modo che si scaichi, la caica Q sull esteno di A non muta il suo valoe, ma anzi si va sempe a distibuie sulla supeficie nell unico modo in cui questa isulta equipotenziale. c) Una caica q, ad esempio positiva, posta in possimità di A, inteagisce con le caiche pesenti sulla supeficie estena e con quelle che vi induce, ma non isente della pesenza e dei movimenti di B. In maniea del tutto simmetica, B non isente degli spostamenti di q. Ciò che accade è che il campo complessivamente geneato da q e dalla caica da essa indotta sulla supeficie estena di A, è diveso da zeo solo all esteno del conduttoe. Nello spazio da esso occupato, il campo è nullo pe le popietà elettostatiche dei conduttoi, e dento alla cavità, come si è già ossevato, non potebbe ipatie dato che non vi sono caiche localizzate legate ad esso. d) Le diffeenze di potenziale nello spazio occupato dal conduttoe ed in quello acchiuso non possono essee alteate da q, la cui pesenza può avee l unico effetto di sommavi o sottavi un valoe costante V 0. Alteae il potenziale in modo più complesso compoteebbe la compasa di nuovi punti di massimo e di minimo. Se q potesse ceae nuovi massimi o nuovi minimi, ed mezzo inteposto è il vuoto, questi potebbeo stae solo dove si tovano i conduttoi, e saebbe come die che nuove caiche si sono ceate su di essi violando la legge di consevazione della caica. 17
POSSIAMO INTERPRETARE QUESTO COMPLESSO DI FENOMENI DICENDO CHE TUTTO VA COME SE IL CONDUTTORE CAVO SCHERMASSE LE AZIONI DELLE CARICHE CHE RACCHIUDE, MA VA RICORDATO CHE CIÒ CHE CHIAMIAMO SCHERMATURA È SOLO L EFFETTO DEL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE NEL CASO DI QUESTA PARTICOLARE GEOMETRIA 3.6 La capacità dei conduttoi Le supefici di conduttoi di mateiale diveso, ed aventi divesa geometia, anche se caicati con la medesima Q, si poteanno, in geneale, a valoi di potenziale molto divesi fa loo. Difatti, sebbene vi sia deposto lo stesso ammontae complessivo di caica, questa saà costituita da un ceto numeo di paticelle elementai, che si distibuianno oppotunamente sulla supeficie in un modo che dipende da quanto è esteso il conduttoe e dalla foma che ha. Volendo calcolae V in un qualunque punto A della supeficie dovemo quindi inseie, nel denominatoe della fomula N 1 Qi V ( A) =, valoi molto divesi pe le distanze ia delle 4π ε0 i= 1 ia caiche da A. Pe motivi analoghi, anche la supeficie del medesimo conduttoe, caico della stessa quantità Q, può potasi a valoi del potenziale molto divesi. Pe effetto dell induzione, infatti, la disposizione delle caiche su di essa può vaiae sensibilmente se, nelle sue vicinanze, vi sono caiche od alti conduttoi, anche neuti. Un conduttoe che, invece, si tovi isolato nello spazio e lontano da influenze estene, è caatteizzato da una gandezza costante, detta capacità. Essa fonisce il appoto fa la caica che si pone sul conduttoe, ed il potenziale a cui la sua supeficie si pota quando è isolato, nel vuoto, e lontano da qualunque alto oggetto: Q C = V 1Coulomb L unità di misua che così ne isulta, il Faad: 1Faad =, è 1Volt alquanto inappopiata pe tattae l odine di gandezza delle capacità dei conduttoi di uso coente. Si pensi che un conduttoe sfeico gande quanto la Tea, avebbe una capacità di meno di un millesimo di Faad. In genee, quindi, si ha a che fae con i suoi sottomultipli: il micofaad -6-9 ( 1µ F = 10 F), il nanofaad ( 1nF = 10 F ) ed il picofaad -12 ( 1pF = 10 F). 18
Come esempio calcoliamo la capacità di un conduttoe sfeico di aggio R. La fomula pe il potenziale non è semplice da applicae se si pende in consideazione un punto A sulla supeficie: dovemmo deteminae i valoi di tutte le distanze ia. Ma sfuttando il fatto che il potenziale dovuto alle caiche in eccesso è costante su tutto lo spazio occupato dal conduttoe, possiamo calcolae V del conduttoe ponendo A nel cento della sfea, sicui di ottenee lo stesso isultato. In questo modo si ha che ogni caica dista da A sempe R, cioè ia = R, da cui: V N N 1 Qi 1 Q Q i i Q = VA = = = = 4πε 4πε R 4πε R 4πε R 0 i= 1 ia 0 i= 1 0 0 dove Q = Q è la caica complessivamente pesente sulla sfea. A i i questo punto, dalla definizione di capacità, si ha immediatamente: Q 4πε0R C = = Q = 4πε 0R V Q Ad esempio, nel caso di cui si è detto in pecedenza, di un conduttoe 6 sfeico gande quanto la Tea ( R = 6.378 10 m ), isulta: T C 2-12 C 6-3 = 12.56 8.854 10 2 ( 6.378 10 m ) = 0.709 10 F Nm Il potee delle punte Nel caso geneico di un conduttoe dal contono supeficiale iegolae, dovemo suppoe che le caiche in eccesso si distibuiscano con una densità σ che vaia da punto a punto. Anche il campo elettico vaieà di σ conseguenza: E = a noma del teoema di Coulomb. Possiamo ε0 ottenee una indicazione quantitativa dell andamento di σ (e quindi di E ), immaginando che la supeficie del conduttoe sia appossimabile con una seie di sfee di diffeente aggio. Esaminiamo il caso semplice di un conduttoe con una punta, come quello in figua, schematizzabile come costituito da due sfee di aggio R 1 ed R 2. Si è soliti palae anche di aggio di cuvatua del conduttoe, intendendo il aggio della sfea che meglio appesenta la sua supeficie in possimità di un dato punto 5. Le due sfee conduttici, essendo a contatto, è come fosseo un unico conduttoe, si poteanno petanto allo stesso potenziale: V1 = V2. Indicando con Q 1 e Q 2 le pozioni di caica totale che si localizzano su R 1 R 2 5 In possimità delle egioni che ivolgono la concavità veso l esteno, avemo un aggio di cuvatua negativo, e la sfea che meglio appossima la supeficie è in tal caso solo una supeficie matematica estena al conduttoe 19
ciascuna di esse ( Q 1 + Q 1 = Q ), dalla fomula che dà il potenziale di una sfea abbiamo: Q1 Q2 = 4πε0 R1 4πε0R2 e cioè la caica si distibuisce popozionalmente ai aggi delle sfee: Q1 R1 Q = 2 R. Dal teoema di Coulomb segue che il appoto fa i campi 2 elettici in possimità delle supefici saà dato da: σ1 E1 ε0 = σ E = σ1 Q1 2 σ = 4 π 2 2 R2 R1 2 2 4πR 2 Q = R 2 R2 = ε 1 2 R 2 2 R 1 R1 0 Ed essendo R2 < R1 saà E2 > E1 : il campo in possimità della supeficie di un conduttoe è quindi più intenso in possimità delle egioni con aggio di cuvatua minoe. Si dimosta poi, con analoghi pocedimenti, che in egioni che ivolgono la concavità veso l esteno, il campo, invece, cesce con il modulo del aggio di cuvatua della sfea, in quel caso, estena. L elevato valoe del campo elettico in possimità delle egioni appuntite, è il pincipio pe cui, un paafulmine, oppue un albeo isolato su di una collina, costituiscono una via pefeenziale veso tea pe le scaiche elettiche che accompagnano un tempoale. Le nubi, che si caicano tamite un pocesso alquanto complesso 6, poducono, pe induzione (oppue polaizzazione), una localizzazione di caica positiva sulla supeficie teeste. Rispetto al suolo, paafulmini o cime di albei possono essee schematizzate come delle punte che si egono sopa ad una egione piatta 7. 6 Nelle nubi si ha sepaazione di caica (positiva in alto e negativa in basso, a 3-4 Km da tea) pe effetto del campo elettico teeste (cica 20 V/m veso il basso) e della diffeente inteazione delle gocce d acqua con gli ioni lenti positivi e negativi, che sono sempe pesenti nell atmosfea. 7 Il fenomeno del fulmine, decisamente vaio e complesso, compota una pima scaica guida in cui le paticelle negative sulla nube, scendendo, vanno costuendo una sota di filo conduttoe nell aia. Attaveso di esso passa la cosiddetta scaica di itono, pe cui, a patie dalle paticelle caiche nella pate più vicina a tea, si ha una violenta discesa veso il basso che, lasciando sopa di essa tatti caichi positivamente auto alimenta il pocesso. L intesa emissione luminosa che accompagna la scaica pate quindi dal basso veso l alto, ed un fulmine scaica a tea mediamente una ventina di Coulomb. 20
Va menzionato anche un alto fenomeno, noto come potee delle punte. Pe effetto dell elevato campo in possimità di una punta caica, le caiche libee di entambi i segni, sempe pesenti in aia, acceleano, causando una sota di effetto valanga pe cui esse utando alte paticelle neute le ionizzano a loo volta. In questo modo gli ioni di segno opposto vengono attatti dal conduttoe e lo vanno pogessivamente scaicando. Contempoaneamente, gli ioni dello stesso segno del conduttoe vanno ceando una sota di vento d aia ionizzata, ben visibile se si pone la punta vicino alla fiamma di una candela, che si piegheà da un lato fino a spegnesi del tutto. 3.7 L enegia potenziale dei conduttoi Dalla definizione di potenziale icaviamo che l enegia potenziale U di una caica Q, in un punto dello spazio dove il potenziale abbia valoe V, si scive: U = QV Se si vuole valutae l espessione dell enegia potenziale di un sistema di caiche, dovemo alloa sommae tutti i temini di inteazione della foma U ij =Q i V ij dove, ancoa una volta V ij indica il potenziale dovuto alla caica j nel punto dove sta la caica i: 1 1 U = Uij = Qi Vij 2 i j¹ i 2 i j¹ i Qui abbiamo esplicitato la sommatoia doppia pe fa vede bene che devo sommae, pe ogni caica, tanti temini di inteazione quante sono le alte caiche. Nella somma devo includee tutti i valoe degli indici tanne il caso in cui i=j visto che una caica non inteagisce con sé stessa. Il fattoe ½, come pima, occoe peché la fomula così scitta include nel conto, ad esempio, sia il temine V 12 Q 1 che V 21 Q 2 che sono uguali. c Poniamo oa che pate delle caiche del sistema, che diemo Q i, si tovino ext su di un conduttoe mente le imanenti alte Q i, fuoi di esso, geneano un campo esteno a cui il conduttoe viene ad essee soggetto: 1 ext c 1 ext 1 c U = ( Q + Q ) V = Q V + Q V 2 2 2 La sommatoia i i ij i ij i ij i j i i j i i j i j i V ij, che appesenta la somma di tutti i potenziali dovuti alle inteazioni di Q i c con le alte caiche, intene ed estene, nel punto dove essa si tova, dà come isultato sempe lo stesso valoe V pe 21
tutte le caiche intene al conduttoe. Infatti, ovunque la caica Q i c sia, sulla supeficie del conduttoe, il potenziale deve essee lo stesso pe le popietà statiche dei conduttoi 8. Indicando con V il valoe del potenziale del conduttoe, cioè V = V abbiamo: j i ij ext 1 ext 1 U = U + V Qi = U + QV 2 2 i avendo indicato con Q = Qi la caica complessivamente pesente sul i conduttoe. La fomula icavata fonisce l enegia potenziale di un conduttoe: 1 U = QV 2 e si noti che il potenziale V che vi figua è dovuto sia alle (eventuali) caiche estene che alla stessa caica intena Q che lo va a moltiplicae. Anche in questo caso, l enegia potenziale elettostatica appesenta il lavoo svolto dalle foze del campo E mente smembiamo il sistema e potiamo le caiche che lo compongono nella posizione di ifeimento - in genee all infinito. Vista la libetà di movimento delle caiche sul conduttoe, effettuae mateialmente lo spostamento di una caica alla volta compota un continuo iaggiustamento, sulla supeficie, delle posizioni di quelle che imangono. Ciò è ascivibile sia all induzione da pate della caica che si allontana, sia alla tendenza a disposi nella nuova configuazione di equilibio con una caica in meno. La consevatività di E ci gaantisce, tuttavia, che sono solo le configuazioni iniziale e finale a giocae un uolo nel valoe dell enegia potenziale. Quindi, il lavoo che E avà svolto al temine di questa pocedua di smontaggio del sistema, è lo stesso che svolgeebbe se congelassimo le caiche, costingendole ad occupae sempe le loo posizioni iniziali duante l inteo smembamento. 8 In un conduttoe contenente N caiche, nei punti non occupati da caiche, tutte ed N contibuiscono a fa si che il potenziale valga V. In un punto dove c è una caica, sono solo i contibuti delle estanti N-1 a fa si che il potenziale valga V 22