5 DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE: Lavoro ed energia.

5 DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE: Lavoo ed enegia. 5.1 Intoduzione Il poblema fondamentale della dinamica del punto mateiale consiste nel deteminae la legge oaia del moto di un copo, una volta note le foze agenti su di esso. Se si iesce a espimee la isultante delle foze agenti sul punto mateiale in funzione della sua posizione e delle sue popietà (massa, caica elettica, ecc.), della posizione e delle popietà dei copi pesenti nell'ambiente cicostante (massa, caica elettica, ecc.), ed eventualmente in funzione del tempo, se si iesce, cioè, a deteminae la legge della foza, la descizione del moto si ottiene isolvendo il seguente sistema di equazioni diffeenziali. d 2 x dt 2 = F x m d 2 dt = F 2 m d 2 y dt 2 d 2 z dt 2 = F y m = F z m Noi abbiamo tovato delle soluzioni di queste equazioni in alcuni casi paticolai: quando la foza è costante (moto unifomemente acceleato), quando la foza è popozionale all'opposto della posizione (moto amonico) quando la foza è popozionale all'opposto della velocità (moto smozato) Quando la foza ha una dipendenza complicata, non è semplice isolvee il sistema di equazioni diffeenziali. La situazione è ancoa più complessa in quei casi in cui la foza non è nota: basti pensae alla foza che si esplica ta una acchetta e una pallina da tennis, oppue ta una stecca e una palla da biliado. In queste cicostanze l'espessione della foza non è nota. Ciononostante, è possibile fae delle accuate pevisioni sul moto della palla da biliado dopo l'applicazione della foza, tanto è veo che i bavi giocatoi di biliado iescono a fae la caambola e a buttae giù i biilli sbagliando pochissimi tii. Queste pevisioni sul moto della pallina di biliado si possono ottenee anche senza conoscee l'espessione esatta della foza, ma utilizzando le leggi di consevazione. E' possibile tovae, infatti, delle classi di inteazioni in cui paticolai gandezze fisiche si consevano, non vengono cioè modificate dall'inteazione. Utilizzando queste popietà, si possono valutae complessivamente gli effetti delle inteazioni senza dove studiae in dettaglio l'intevallo di tempo in cui l'inteazione avviene, e quindi senza la necessità di una descizione accuata dell'inteazione stessa. Petanto il nosto pogamma di lavoo poseguià nel seguente modo: 1) useemo le te leggi di Newton, che pe noi appesentano i postulati fondamentali, 2) pe deteminae in quali condizioni qualcuna delle gandezze fisiche in gioco si conseva 3) e classificheemo le inteazioni sulla base delle gandezze fisiche che si consevano. 133

5.2 Definizione del Lavoo di una foza. 5.2.1 Il caso del moto ettilineo unifomemente acceleato Consideiamo un punto mateiale di massa m che si muove sull asse delle x asoggetto ad una foza costante anch essa dietta lungo l asse x. O Sappiamo che in questo caso l acceleazione è costante. a x = F x m Il moto è unifomemente acceleato e quindi valgono le seguenti elazioni: x = x o + v ox t + 1 2 a xt 2 v x = v ox + a x t v 2 x = v 2 ox + 2a x ( x x o ) Utilizzando la teza elazione con pochi oassaggi si ottiene: Moltiplicando entambi i membi pe m si ottiene: 1 2 mv 2 x 1 2 mv 2 ox = ma x =F x =F F 1 2 v 2 x 1 2 v 2 ox = a x ( x x o ) ( ) 1 2 mv2 1 2 mv 2 o = F ( x x o ) x x o Infatti poiché la velocità ha solo la componente x, il suo modulo quado è uguale alla componente x al quadato ( v x 2 = v 2 ) e, pe come abbiamo peso la foza, nel nosto caso anche la componente x della foza è uguale al suo modulo ( F x = F ). x La gandezza 1 2 mv2 si chiama enegia cinetica E k = 1 2 mv2. Invece il podotto della foza pe lo spostamento si chiama lavoo: W = F ( x x o ). Nel caso del moto ettilineo unifomemente acceleato abbiamo ottenuto che la vaiazione dell enegia cinetica è uguale al lavoo compiuto dalla foza F (che essendo l unica foza agente è anche uguale alla isultatante delle foze agenti). ΔE k = W 1 2 mv2 1 2 mv 2 o = F ( x x o ) Questo isultato si chiama teoema dell enegia cinetica o anche teoema delle foze vive. In questo paagafo la validità del teoema delle foze vive è stato veificato in un caso molto paticolae (moto ettilineo con acceleazione costante). Si può peò dimostae la validità del teoema in tutti i casi. Pe fae questo dobbiamo peò dae una definizione del lavoo che valga in tutti i casi, in paticolae quando la foza non è paallela allo spostamento e quando la foza non è costante. 134

5.2.2 Il lavoo di una foza costante nel caso di un moto ettilineo con la foza non paallela allo spostamento. Sia F una foza costante in modulo, diezione e veso. Supponiamo che il punto mateiale P a cui è applicata, si muova dalla posizione A alla posizione B pecoendo il segmento AB. Indichiamo con d il segmento oientato AB. Abbiamo già studiato che solo la compomente tangente dell acceleazione poduce una vaiazione del modulo della velocità e quindi dell enegia cinetica posseduta dal punto mateale. Questo vule die che solo il lavoo fatto dalla componente tangente (paallela allo spostamento) della foza contibuisce alla vaiazione della enegia cinetica della paticella: è quindi logico attendesi che il lavoo dipenda solo dalla componente tangente della foza. Con ifeimento alla figua avemo: F t = F cosθ dove θ è l angolo ta la foza e lo spostamento. Si definisce lavoo eseguito dalla foza F sul punto mateiale P che pecoe lo spostamento d, il podotto scalae ta la foza e lo spostamento: W = F d Ricodiamo che il podotto scalae di due vettoi ha come isultato uno scalae uguale al podotto del modulo del pimo vettoe pe il modulo del secondo vettoe pe il coseno dell angolo, minoe di 180, compeso ta i due vettoi. Tadotto in fomula: W = F d = Fd cosθ = F t d A F P θ d B Il lavoo può essee anche inteso come il podotto del modulo dello spostamento, d, pe la poiezione della foza sullo spostamento, F d =Fcosθ, o, equivalentemente, come il podotto del modulo della foza, F, pe la poiezione dello spostamento sulla foza, d F =dcosθ, W = F d d = (Fcosθ)d = Fdcosθ A F θ Fd d B W = Fd F = F(d cosθ) = Fdcosθ Se la foza e lo spostamento sono paalleli W = Fd antipaalleli W = - Fd otogonali W = 0 F Il lavoo è una gandezza scalae, che può essee positiva o negativa a seconda che la poiezione dello spostamento sulla foza sia concode con la foza o opposta a questa. Nel SI di unità di misue il lavoo è una gandezza deivata. L'equazione dimensionale è data da: d F A θ d B [Lavoo] = [F][L] = [MLT -2 ][L] = [ML 2 T -2 ] Nel sistema SI l'unità di misua è il joule (J). Un joule è il lavoo fatto da una foza di 1 N che agisce lungo un pecoso ad essa paallelo di 1 m. Nel sistema CGS il lavoo si misua in eg = 1 dina x 1 cm. Nel sistema patico degli ingegnei si misua in Kg pe m (Kgm) o kilogammeti. 135

Se sia la foza F che lo spostamento d sono noti attaveso le ispettive componenti catesiane, cioè: F = F x ux + F y uy + F z uz d = d x ux + d y uy + d z uz Il lavoo fatto dalla foza costante F sullo spostamento d si può scivee come: Abbiamo già visto che tenendo conto che: W = F d = ( F x ux + F y uy + F z uz ) ( d x ux + d y uy + d z uz ) si ottiene: u x u x =1 u x u y = 0 u y u y =1 u z u z =1 u x u z = 0 u y u z = 0 W = F d = ( F x ux + F y uy + F z uz ) ( d x ux + d y uy + d z uz ) = F x ux d x ux + F x ux d y uy + F x ux d z uz + F y uy d x ux + F y uy d y uy + +F y uy d z uz + F z uz d x ux + F z uz d y uy + F z uz d z uz = = F x d x + F y d y + F z d z 5.2.3 Lavoo di una Foza di intensità e diezione vaiabile e taiettoia qualsiasi. Definizione geneale di lavoo di una foza. Possiamo oa passae alla definizione più geneale del lavoo. Supponiamo che sul punto mateiale P agisca una qualsiasi foza F che, in geneale, mente il punto mateiale P si sposta sulla sua taiettoia da P 1 a, vaia in modulo e diezione. F Possiamo sempe pensae di suddividee lo spostamento complessivo ta da P 1 a in una successione di spostamenti molto piccoli, in maniea tale che ciascuno spostamento possa essee consideato ettilineo e che la foza possa essee consideata costante su ciascuno degli spostamenti. Sicuamente questo saà veo se suddividiamo la taiettoia in una successione di infiniti spostamenti infinitesimi d. P1 d P2 s Una volta che ci siamo messi in queste condizioni, possiamo applicae la definizione di lavoo data pe foze costanti e pe spostamenti ettilinei al paagafo pecedente, e quindi calcolae il lavoo (infinitesimo) fatto dalla foza in ciascuno degli spostamenti infinitesimi: dw = F d in cui F è la foza che agisce sul punto mateiale mente subisce lo spostamento infinitesimo d. Dato che d è infinitesimo la foza F può essee consideata costante su tutto lo spostamento d. 136

Pe tovae il lavoo complessivo fatto dalla foza mente il punto mateiale P si sposta sulla sua taiettoia da P 1 a basteà sommae gli infiniti lavoi infinitesimi elativi ai vai spostamenti infinitesimi d in cui è stato suddiviso il tatto ta P 1 e della taiettoia γ: il lavoo complessivo saà cioè dato dall'integale eseguito sulla taiettoia γ ta P 1 e del lavoo infinitesimo dw = F d : W = dw = F d γ,p 1 Si ossevi che lo spostamento d = t + dt Ricodiamo altesì che pe indicae il modulo dello spostamento infinitesimo d stiamo usando il simbolo ds, ovveo l aco infinitesimo pesoso sulla taiettoia nell intevallo di tempo dt e coispondente allo spostamento d. Questo è consenguenza del fatto che noi abbiamo usato il simbolo Δs pe indicae il pecoso effettuato sulla taiettoia (ds saa il pecoso infinitesimo effettuato sulla taiettoia). Non si usa d peché con questo simbolo si indica la vaiazione del modulo del vettoe, cioè la componente di d lungo il vettoe, o equivalentemente, lungo vesoe u nella appesentazione polae. Ricodando infine che le componenti catesiane del vettoe posizione sono popio le coodinate x,y, z del punto P che si muove sulla taiettoia γ ( = x u x + y u y + z u z ), le componenti catesiane dello spostamento infinitesimo d saanno popio gli spostamenti infinitesimi dei punti poiezione sui ispettivi assi, dx, dy, dz coispondenti allo spostamento vettoiale d. Cioè: γ,p 1 ( ) ( t) è sempe tangente alla taiettoia. d = dx u x + dy u y + dz u z Tenendo pesenti le ossevazioni pecedenti e la definizione di podotto scalae ta due vettoi, il lavoo fatto dalla foza su tutto il pecoso da P 1 e si può anche scivee come: W = Fcosθds = F t ds W = F x dx + F y dy + F z dz γ,p 1 γ,p 1 in cui l'integale è valutato sulla taiettoia γ ta i punti P 1 a, θ è l angolo ta la foza F e lo spostamento infinitesimo d, F t è la componente della foza lungo lo spostamento, ossia la componente della foza tangente alla taiettoia. Se sul punto mateiale agiscano più foze, il lavoo effettuato dalla isultante è uguale alla somma dei lavoi effettuati da ciascuna delle foze qualoa agisseo da sole. Infatti sia: R = F1 + F2 +... + Fn P 2 W = R d = ( F 1 + F 2 +... + F ) d = ( F n 1 d + F 2 d +... + F n d ) = γ,p 1 γ,p 1 P 2 P = F d 2 + F d +... + 1 2 γ,p 1 γ,p 1 γ,p 1 γ,p 1 F n d = W 1 + W 2 +... + W n Utilizzando le popietà del podotto scalae e quella dell'integale. γ,p 1 137

5.3 Esempi di calcolo del lavoo 5.3.1 Foza elastica Calcolae il lavoo fatto dalla foza elastica quando quando il copo attaccato all estemo libeo della molla viene spostato dalla posizione x 1 alla posizione x 2 (vedi figua). In questo caso la foza è paallela allo spostamento ma non è costante. Infatti la foza elastica dipende dalla posizione. F el,x = -kx Il lavoo W della foza elastica saà dato in accodo con la definizione geneale di lavoo di una foza: W = F el d La foza elastica ha solo la componente lungo l asse x: F el,x = -kx γ,p 1 x 1 x 2 Mente d = dx u x + dy u y + dz u z. Il lavoo della foza elastica diventa dunque: W el = x x 2 x 2 # & 2 F elx dx = kx dx x 1 = k x2 x 1 % ( = 1 $ 2 ' 2 kx 2 1 1 2 kx 2 2 x 1 Il lavoo fatto dalla foza elastica quando il copo attaccato alla molla viene spostato dalla posizione x 1 alla posizione x 2 è dato da: W el = 1 2 kx 2 1 1 2 kx 2 2 Nel caso paticolae che x 1 = 0 e x 2 = x, il lavoo W è dato da: W = 1 2 kx2 Poiché la defomazione della molla compae al quadato segue che si compie lo stesso lavoo sia pe allungae la molla di un tatto x che pe compimela di un ugual tatto. 138

5.4 Potenza. Al concetto di lavoo di una foza si associa immediatamente il concetto di potenza. La potenza di una foza misua la apidità con cui essa è in gado di compiee un lavoo: la potenza è dunque il lavoo effettuato nell'unità di tempo. Quindi, se W è il lavoo effettuato dalla foza F nell'intevallo di tempo Δt, si definisce potenza media sviluppata dalla foza F nell'intevallo di tempo Δt, la quantità: P media = W Δt Al solito, facendo il limite pe Δt che tende a zeo, si giunge alla definizione della potenza istantanea, che appesenta la potenza sviluppata dalla foza F al geneico istante di tempo t: P istantanea = lim Δt 0 W Δt = dw dt t Dove dw è il lavoo effettuato dalla foza nell'intevallo dt, o meglio il lavoo effettuato dalla foza sullo spostamento d subito nell'intevallo dt. dw si può dunque scivee come e la potenza P: dw = F d = F v dt P = dw dt = F v A paità di foza, la potenza è tanto più gande quanto più gande è la velocità con cui il punto mateiale pecoe la taiettoia. La potenza è una gandezza scalae, le cui unità di misua sono quelle di un lavoo diviso un tempo. L'equazione dimensionale della potenza è data infatti da: [P] = [ML 2 T -2 ][T -1 ] = [ML 2 T -3 ] Nel sistema S.I., la potenza si misua in watt (W). Ovviamente si usano spesso anche i suoi multipli, il kilowatt (KW), il megawatt (MW), il gigawatt (GW). Un watt coisponde al lavoo di un joule fatto in un secondo. Alte unità di misua utilizzate pe la potenza sono: HP hose powe (potenza del cavallo). Questa unità di misua della fu intodotta da Watt in seguito alla invenzione della macchina a vapoe, pe confontane la potenza con quella del cavallo, che ea stato usato fino ad alloa pe podue del lavoo. Essa coisponde alla potenza media fonita da un cavallo. La convesione in watt si ottiene icodando che 1 HP = 746 W. eg/s è l'unità di misua della potenza nel sistema CGS. Kg m/s nel sistema patico degli ingegnei. CV = cavallo vapoe è un'alta unità di misua usata comunemente. 1 CV = 75 Kg m/s. La convesione nel sistema SI si ottiene icodando che 1 Kg-foza = 9.8 N, pe cui: 1 CV = 75. 9.8 Nm/s = 735.5 W quindi 1 CV è cica uguale a 1HP. Se P è la potenza fonita da una foza, il lavoo effettuato dalla foza F nell'intevallo Δt è dato da: W = P Δt 139

Da questa elazione si può deivae una nuova unità di misua del lavoo: il chilowattoa. Un chilowattoa coisponde al lavoo effettuato da una foza avente una potenza di un KW (kilowatt) in un intevallo di tempo di un oa. La tasfomazione in joule si ottiene utilizzando la elazione: 1 chilowattoa = 1000 W 3600 s = 3.6 10 6 W s = 3.6 MJ 5.5 Genealizzazione del teoema delle foze vive. Abbiamo dimostato il teoema delle foze vive nel caso paticolae di una foza costante applicata ad un punto mateiale che si muove di moto ettilineo unifomemente acceleato. Pe una paticella che si muove su di una taiettoia qualsiasi soggetta ad alcune foze, il lavoo compiuto dalla isultante R è dato da: W = γ,p 1 R d Il lavoo infinitesimo dw = R d, tenendo conto che in base alla seconda legge di Newton la isultante delle foze applicate ad un punto mateiale è uguale alla massa pe l'acceleazione del punto mateiale R = m a, è dato da: dw = R d = m a vdt = m d v dt vdt = md v v Ma d v v = 1 2 d(v 2 ) infatti d(v 2 ) = d( v v ) = d v v + v d v = 2d v v dw = 1 md v2 2 ( ) = d # 1 2 mv2 mente il lavoo totale effettuato dalla foza F saà dato da: " $ & = de k % W = γ,p 1 de k Tale integale può essee intepetato come l'integale della funzione costante unitaia, cioè: W = γ,p 1 1dE k con E k = 1 2 mv2 Calcolando l'integale come l'aea compesa ta la funzione, l'asse delle ascisse e l'intevallo di integazione, si ottiene: W = γ,p 1 de k P = [ E k ] 2 P1 = E k ( ) E k (P 1 ) = E kf E ki = ΔE k che appunto espime il teoema dell'enegia cinetica o delle foze vive: Il lavoo effettuato dalla isultante delle foze applicate al punto mateiale ta la posizione iniziale e quella finale lungo la taiettoia γ è uguale alla vaiazione della sua enegia cinetica. 140

5.6 L enegia cinetica. Il temine enegia espime la capacità di un copo a compiee un lavoo, cinetica peché l'enegia è legata al moto del copo. Il teoema delle foze vive affema che il lavoo effettuato dalla foza F è uguale alla vaiazione dell'enegia cinetica: W = E kf E ki = ΔE k Se W > 0 anche ΔE k è maggioe di zeo, il lavoo è stato effettuato dalla foza sul punto mateiale ed è stato accumulato come aumento dell'enegia cinetica del punto mateiale. Se W < 0 anche Δ E k è minoe di zeo, il lavoo è stato effettuato dal punto mateiale sulla foza, quindi sull'ambiente cicostante, a spese dell'enegia cinetica posseduta inizialmente, la quale infatti si è idotta. L enegia cinetica può quindi essee utilizzata pe compiee del lavoo sull ambiente esteno. Consideiamo l acqua di un fiume che scoe con una ceta velocità veso il mae. Se si immege nell acqua una uota munita di palette, il moto della coente, tascinando le palette, mette in otazione la uota che poi a sua volta può tasmettee il moto alle macine del mulino. Consideiamo una pate di acqua del fiume che inteagisce con la paletta della uota immesa nella coente. Indichiamo con m la massa di questa pozione di acqua e sia v la sua velocità. La sua enegia cinetica è data da E k = 1 2 mv2. Vogliamo mostae che E k appesenta la capacità di quella pozione di acqua a compiee del lavoo. Infatti nell inteazione con la paletta, la massa di acqua in consideazione subisce una foza esistente, opposta alla velocità della massa di acqua. Questa inteazione ta la pozione di acqua in consideazione e la paletta dua un ceto intevallo di tempo duante il quale la massa di acqua subisce uno spostamento nella diezione della coente e coispondentemente la uota con la paletta uota di un ceto angolo fino a che la paletta non fuoiesce dall acqua. Il lavoo fatto dalla foza esistente esecitata dalla paletta sulla massa di acqua è negativo peché lo spostamento e la foza hanno veso opposto: W F < 0 Il che vuol die che del lavoo è stato eseguito sull ambiente cicostante, infatti la uota con le palette è stata messa in otazione, il movimento della uota è stato poi tasmesso alle macine pe la molitua dei chicchi di gano. Sulla base del teoema delle foze vive, il lavoo fatto dalla foza esistente, nell'ipotesi che essa sia l'unica foza agente sulla massa di acqua è uguale alla vaiazione di enegia cinetica subita dalla massa di acqua: W F = E k f E k i Risulta peciò che anche la vaiazione dell enegia cinetica è minoe di zeo: E k f E k i < 0 Il che significa, stante la definizione di enegia cinetica, che il modulo della velocità finale della massa di acqua isulta essee più piccolo del modulo della velocità iniziale. In conclusione la molitua dei chicchi di gano è avvenuta a spese dell enegia cinetica dell acqua. L enegia cinetica della massa di acqua è stata usata pe fae del lavoo sull ambiente cicostante. 141

5.7 Foze consevative. Si dicono consevative quelle foze che si compotano in accodo alla seguente definizione: La foza F si dice consevativa se il lavoo eseguito dalla foza F sul punto mateiale P mente si sposta dalla posizione P 1 alla posizione dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale e non dal pecoso effettuato, dalla taiettoia seguita pe andae da P 1 a, ne da alcun alto paameto come la velocità, il tempo impiegato, ecc. Esempi di foze consevative: Foze costanti: Foza peso P = m g Foze centali: Qualunque sia la posizione del punto mateiale nello spazio la foza subita è sempe dietta veso, o si dipate da, un paticolae punto dello spazio, caatteistico della foza, detto cento della foza. Inolte l'intensità della foza dipende dalla distanza del punto mateiale dal cento della foza. Foza elastica Foza gavitazionale Foza di Coulomb F x = -kx F = G m m 1 2 u 2 F = 1 q 1 q 2 u 4πε o 2 5.7.1 Foza peso. Pe povae che la foza peso è una foza consevativa dobbiamo mostae che il lavoo fatto dalla foza peso quando un copo di massa m si sposta nelle vicinanze della supeficie della tea dipende esclusivamente dalla posizione del punto iniziale e da quella del punto finale e non dalla taiettoia pecosa pe spostasi ta le due posizioni. Sia P 1 il punto iniziale e quello finale. Si ossevi che dati due punti è sempe possibile tovae un piano veticale che li contiene. Intoduciamo un sistema di ifeimento avente il piano xy coincidente con il piano veticale contente i due punti P 1 e. Indichiamo con (x 1,y 1,0) le coodinate del punto P 1 e con (x 2,y 2,0) quelle del punto. Possiamo immaginae una seie di pecosi lungo i quali il punto P può aggiungee la posizione finale patendo da P 1. Cominciamo dal pecoso P 1 A mostato in figua. y Il lavoo fatto lungo tutto il pecoso può essee immaginato come la somma del lavoo fatto sul pecoso P 1 A più il lavoo fatto sul pecoso A. P B 1 W P1 A = W P1 A + W AP2 Il lavoo fatto sul tatto A è nullo peché la foza peso (veticale) è pependicolae allo spostamento (oizzontale): W AP2 = P d = mgl AP2 cos π 2 = 0 A 142 x

Risulta che: W P1 A = W P1 A Valutando W P1 A otteniamo: W P1 A = P d = mgl P1 A cos0 = mgl P 1 A l P1 A = y 1 y 2 W P1 A = mg( y 1 y 2 ) = mgy 1 mgy 2 Consideiamo oa il pecoso P 1 B. Anche in questo caso il lavoo complessivo lo possiamo ottenee come somma del lavoo effettuato sul tatto P 1 B e quello effettuato sul tatto B. W P1 B = W + W P1 B B Il lavoo fatto sul tatto P 1 B è nullo peché la foza peso (veticale) è pependicolae allo spostamento (oizzontale): W P1 B = P d = mgl P1 B cos π 2 = 0 Risulta che: W P1 B = W BP2 Valutando W BP2 otteniamo: W BP2 = P d = mgl BP2 cos0 = mgl BP2 l BP2 = y 1 y 2 W BP2 = mg( y 1 y 2 ) = mgy 1 mgy 2 Infine possiamo immaginae un pecoso fatto mediante una spezzata come quello mostato in figua. Anche in questo caso il lavoo fatto sui tatti oizzontali saà nullo mente quello fatto sui tatti veticali saà popozionale all altezza del gadino. Pe il geneico gadino (l i-esimo) si avà: W i = P d i = mgh i in cui h i appesenta l altezza del gadino. Quando poi sommiamo su tutti i gadini si ottiene che il lavoo è popozionale al dislivello complessivo. Cioè ancoa una volta y P 1 A B W = mg( y 1 y 2 ) = mgy 1 mgy 2 Poiché qualunque taiettoia possiamo immaginae ta P 1 e potà essee sempe appossimata con una x spezzata, vuol die che il lavoo fatto dalla foza peso mente il punto mateiale si sposta da P 1 a non dipende dalla taiettoia utilizzata ma solo dalla posizione iniziale e da quella finale. La foza peso è dunque una foza consevativa. Del esto anche dall'esame dell'espessione del lavoo compiuto dalla foza peso si nota che esso dipende soltanto dalle coodinate y 1 ed y 2 ispettivamente del punto iniziale e di quello finale: non c'è nessun temine che tiene conto della paticolae taiettoia seguita pe andae da P 1 a. Resta petanto veificato che la foza peso è una foza consevativa (Pe comodità di disegno abbiamo utilizzato solo taiettoie contenute nel piano xy, ma la dimostazione si può estendee facilmente a taiettoie che non giacciono nel piano veticale contenete P 1 e ). 143

5.8 Funzione enegia potenziale. Se il lavoo fatto da una foza consevativa dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale, alloa: esiste una funzione E p della posizione del punto mateiale P, E p (P), oppue E p (x,y,z), tale che il lavoo fatto dalla foza consevativa quando il punto mateiale si sposta ta due punti qualsiasi, P 1 e, è dato dalla diffeenza ta i valoi che la funzione E p assume nel punto iniziale P 1 meno quello che assume nel punto finale. Cioè W= γ P F 2 d = E p (P 1 ) - E p ( ) = - (E p ( ) - E p (P 1 )) = - ΔE p P 1 La funzione E p così intodotta descive la capacità della foza consevativa a compiee lavoo. Come capacità a compiee lavoo la funzione E p appesenta un'enegia; in paticolae la capacità a compiee lavoo questa volta è legata alla posizione del punto mateiale, pe questo E p è detta enegia potenziale. La sua unità di misua è quella del lavoo. Il lavoo fatto dalla foza consevativa è uguale all opposto della vaiazione dell enegia potenziale. W = - ΔE p Infatti, se lo spostamento è concode con la foza consevativa, il lavoo fatto dalla foza consevativa è positivo, di conseguenza ΔE p è negativo: l'enegia potenziale passa da un valoe più alto ad uno più basso, pate dell'enegia potenziale iniziale è stata spesa pe compiee il lavoo. Se vicevesa lo spostamento è opposto alla foza, il lavoo fatto dalla foza consevativa è negativo. In questo caso il lavoo viene compiuto dalle alte foze che agiscono sul punto mateiale e subito dalla foza consevativa. ΔE p è positivo: la funzione enegia potenziale passa da un valoe più piccolo ad un valoe più gande; il lavoo fatto dalle alte foze viene accumulato sotto foma di enegia potenziale, nel senso che ci può essee estituito quando il punto mateiale itona nella posizione di patenza. 5.9 Deteminazione della funzione enegia potenziale. Pe deteminae l espessione della funzione enegia potenziale elativa ad una foza consevativa, si segue la seguente pocedua: si indica con P, di coodinate x,y e z, il geneico punto dello spazio in cui si vuole calcolae l enegia potenziale e con P o, di coodinate x o,y o e z o, un alto punto qualsiasi scelto in maniea abitaia. Si pate dalla definizione di enegia potenziale: il lavoo fatto dalla foza consevativa pe spostae il punto mateiale dalla posizione iniziale P o alla posizione finale P lungo una qualsiasi taiettoia che connette P o con P vale: W = ΔE = E P Po P p p ( o) E p ( P) o anche: W = E Po P p ( x o, y o, z o ) E p ( x, y, z) Da questa si icava che il valoe della funzione E p nel punto P, di coodinate x,y e z, vale: x, y, z E p ( ) = E p ( x o, y o, z o ) W Po P Ripetendo questo calcolo pe ogni punto P dello spazio otteniamo il valoe della funzione E p (x,y,z) in tutti i punti dello spazio. L ultimo passo che esta pe completae la definizione è quello di fissae, 144

abitaiamente, il valoe dell enegia potenziale nel punto P o. Con questo la definizione di E p è completa. L enegia potenziale è quindi nota a meno di una costante abitaia, l enegia potenziale del punto P o, natualmente questo non ci deve peoccupae peché in tutti i nosti calcoli avemo sempe a che fae con diffeenze di enegia potenziale e quindi il valoe abitaio di enegia assegnato al punto P o è ininfluente. Applichiamo quindi la pocedua ad alcune delle foze consevative anche al fine di chiaila meglio. 5.9.1 Enegia potenziale della foza peso. Nel caso della foza peso abbiamo visto che il lavoo fatto dalla foza pe spostae un copo dalla posizione P 1 di coodinate (x 1, y 1, z 1 ) alla posizione di coodinate (x 2, y 2, z 2 ) è uguale a W = mg y 1 - mg y 2 Identifichiamo il punto P 1 con il punto P o intodotto pecedentemente e con il geneico punto P. W Po P = mgy o mgy La funzione enegia potenziale della foza peso saà data: E p ( x, y, z) = E p x o, y o, z o ( ) W Po P = = E p ( x o, y o, z o ) mgy o + mgy Scegliamo abitaiamente il punto P o nel piano xz (quindi y o =0) e, sempe abitaiamente, gli assegniamo enegia potenziale nulla. Con queste scelte l espessione dell enegia potenziale della foza peso nel geneico punto P dello spazio, e quindi in tutti i punti dello spazio, diventa: E p ( x, y, z) = mgy Dove y appesenta la quota del punto P a patie dal piano di ifeimento, quello che contiene P o, a quota 0 a cui abbiamo assegnato enegia potenziale uguale a zeo. 5.9.2 Enegia potenziale della foza elastica. Nel caso della foza elastica abbiamo visto che il lavoo fatto dalla foza pe spostae un copo dalla posizione P 1 di coodinata x 1, alla posizione di coodinata x 2, è uguale a W el = 1 2 kx 2 1 1 2 kx 2 2 Identifichiamo il punto P 1 con il punto P o intodotto pecedentemente e con il geneico punto P sull asse x. W = 1 el, P o P 2 kx 2 o 1 2 kx2 La funzione enegia potenziale della foza elastica saà data: E p ( x) = E p x o ( ) W el,po P = = E p ( x o ) 1 2 kx 2 o + 1 2 kx2 145

Scegliamo il punto P o coincidente con la posizione del punto mateiale quando la molla non è defomata (quindi x o =0) e, sempe abitaiamente, gli assegniamo enegia potenziale nulla. Con queste scelte l espessione dell enegia potenziale della foza peso nel geneico punto P dello spazio, e quindi in tutti i punti dell asse x, diventa: E p ( x) = 1 2 kx2 Dove x appesenta la posizione del punto P sull asse x coincidente con l asse della molla, avente l oigine nel punto P o a cui abbiamo assegnato enegia potenziale uguale a zeo (quando la molla non è defomata abbiamo assegnato enegia potenziale nulla). 5.9.3 Enegia potenziale della foza di gavitazione univesale. Ricodiamo l espessione della foza di gavitazione univesale che agisce sul copo di massa m ed è geneata dal copo di massa M posto nell oigine del sistema di ifeimento F = G mm u 2 = G mm 2 dove G è la costante di gavitazione univesale, è la distanza ta le due masse o, in alti temini, il modulo del vettoe posizione, il cui vesoe è indicato con u. L espessione dell enegia potenziale pe la foza di gavitazione univesale è data da E p () = G mm da cui si vede che l enegia potenziale dipende dalla distanza ta le due paticelle. Pe aivae a questo isultato il punto di ifeimento P o è peso a distanza infinita dalla massa M ed ad esso è stata assegnata enegia potenziale nulla. Un'espessione simile vale anche pe la foza elettostatica. Calcolo del lavoo fatto da una foza centale, gavitazionale o elettostatica, pe spostae il punto mateiale dalla posizione P 1, a distanza 1 dal cento della foza, al punto posto a distanza 2. Consideiamo una foza centale del tipo: F = k 2 u k = GmM pe la foza di gavitazione univesale k = 1 4πε o q 1 q 2 pe la foza elettostatica in cui stiamo supponendo che il cento della foza sia nell oigine e, il modulo del vettoe posizione, appesenta la distanza del punto mateiale dal cento della foza. Calcoliamo il lavoo W fatto dalla foza centale pe spostae il punto mateiale dalla posizione iniziale P 1 alla posizione finale. Utilizzando la definizione più geneale pe il lavoo, la foza F non è né costante in modulo né in diezione, si ha: W = F d = P 1,γ P 1,γ k u 2 d A Il podotto scalae di u d fonisce popio la vaiazione d della distanza coispondente allo spostamento infinitesimo d. L integale diventa dunque: P 1 F d B 146

Risolvendo l integale si ottiene: W = k d = 2 P 1,γ W = " k # 2 1, γ k 2 d 2 $ k = + k % 1 2 1 Nel caso della foza di inteazione gavitazionale questo diventa: W = GmM GmM 2 1 Seguendo la solita pocedua pe individuae la funzione E p (x,y,z) pe la foza di gavitazione univesale, identifichiamo P o con P 1 e il geneico punto P con. W PoP = GmM GmM o L enegia potenziale saà quindi data da: E p ( x, y, z) = E p x o, y o, z o ( ) W Po P = = E p ( x o, y o, z o ) GmM + GmM o Che diventa E p ( x, y, z) = GmM scegliendo il punto P o a distanza infinita dal cento della foza, o =infinito, e assegnando enegia nulla a tale punto. 5.10 Popietà delle foze consevative. Le foze consevative godono delle seguente popietà: Il lavoo eseguito da una foza consevativa su di un pecoso chiuso è nullo. Consideiamo infatti un pecoso chiuso. Individuiamo sul pecoso due punti qualsiasi A e B che lo dividono nei tatti γ 1 e γ 2. Il lavoo effettuato dalla foza F sul pecoso chiuso si può espimee come somma dei lavoi eseguiti sui tatti γ 1 e γ 2 : W = F d = F d + P 1, γ 1 P 1,γ 2 F d Oa osseviamo che, consideando il secondo integale, quello su γ 2, si ottiene: P 1,γ 2 F d = P 1, γ 2 F d Infatti cambiae il veso di pecoenza significa cambiae il veso a d in ogni punto della taiettoia. La foza, invece, imane invaiata. Questo coisponde a cambiae il segno a tutti gli elementi di lavoo infinitesimo, dw = F d. L'integale da P 1 a coisponde alla somma di tutti i lavoi infinitesimi, dw, pesi con il popio segno, cosicché quando si invete il veso di pecoenza della cuva γ 2 si sommano gli stessi lavoi infinitesimi ma con il segno cambiato. Il lavoo complessivo sul pecoso chiuso è dato da: 147

W = F d = P 1, γ 1 F d P 1,γ 2 F d = 0 Infatti, poiché la foza F è consevativa, i due integali ta i punti P 1 e sui pecosi γ 1 e γ 2 sono uguali peché connettono gli stessi due punti P 1 e, cosicché la loo diffeenza è nulla. Il vicevesa è anche veo. Cioè se una foza compie lavoo nullo su un qualunque pecoso chiuso è una foza consevativa. La dimostazione segue le stesse linee utilizzate pe la dimostazione pecedente. Una volta stabilita questa popietà è molto facile fae un esempio di una foza non consevativa. Pe fa vedee che una foza non è consevativa è sufficiente tovae un pecoso su cui la foza compie un lavoo diveso da zeo. Una foza non consevativa è la foza di attito dinamico. Essa infatti è sempe opposta al moto, cioè opposta a d. Il lavoo infinitesimo compiuto dalla foza di attito dinamico in ogni punto della taiettoia dw = F d, è peciò sempe negativo. Il lavoo eseguito dalla foza di attito dinamico su un pecoso chiuso è la somma di tanti lavoi infinitesimi tutti negativi: cosicché anche il lavoo totale isulta negativo e quindi non nullo. La foza di attito dinamico quindi non è consevativa. Facciamo un esempio. Supponiamo di lanciae su pe un piano inclinato un punto mateiale con una ceta velocità iniziale v o. Chiamiamo P 1 il punto di patenza. Il copo salendo sul piano inclinato aggiunge il punto e poi idiscende itonando dopo un ceto tempo nel punto P 1. Si tatta quindi di un pecoso chiuso. Sappiamo che la foza peso compie lavoo nullo in questo ciclo. Il lavoo fatto dalla foza peso è popozionale alla diffeenza di quota ta il punto finale e quello iniziale, che in questo caso coincidono. Se il piano inclinato è scabo, sul copo agisce duante il moto anche la foza di attito dinamico pai a µ d N=µ d mg cos θ. Se indichiamo con s la distanza ta P 1 e lungo il piano inclinato, il lavoo fatto dalla foza di attito nel pecoso da P 1 a è dato da: W(P 1 ) = - s µ d mg cos θ mente quello fatto sul pecoso pe tonae da a P 1 è dato da: W( P 1 ) = - s µ d mg cos θ Il lavoo eseguito sul pecoso chiuso isulta petanto uguale a: W(P 1 P 1 ) = - 2s µ d mg cos θ che è diveso da zeo. La foza di attito non è una foza consevativa. 148

5.11 Enegia potenziale di un punto mateiale soggetto a più foze consevative. Qualoa un punto mateiale sia soggetto a più foze consevative la funzione enegia potenziale si ottiene sommando le funzioni enegia potenziale elative a ciascuna delle foze agenti: W = R d = F 1 + F 2 +... + F n d = F 1 d + F 2 d +... + F P n d 2 = γ,p 1 γ,p 1 ( ) γ,p 1 ( ) = F 1 d P + F 2 d 2 P +... + F n d 2 = W 1 +W 2 +... +W n = γ,p 1 γ,p 1 γ,p 1 ( ) + ( E p2 (P 1 ) E p2 ( )) +... + ( E pn (P 1 ) E pn ( )) = $ % E p1 (P 1 ) E p1 ( ) ( ) ( E p1 ( )+ E p2 ( )+... + E pn ( )) = $ % E p1 (P 1 )+ E p2 (P 1 )+... + E pn (P 1 ) & ' = & ' = dove E p (P) = E p1 (P)+ E p2 (P)+... + E pn (P). = E p (P 1 ) E p ( ) Consevazione dell'enegia meccanica. Consideiamo un punto mateiale su cui agisce una sola foza. Il teoema delle foze vive ci ha consentito di stabilie che, indipendentemenete dalla natua della foza agente sul punto mateiale, ossia indipendentente dal fatto che essa sia consevativa o non consevativa, il lavoo fatto dalla foza lungo il pecoso da P 1 a è uguale alla vaiazione di enegia cinetica subita dal punto mateiale. Cioè: W = ΔE k = E k ( ) - E k (P 1 ) Nel caso in cui la foza agente sul punto mateiale fosse anche consevativa, applicando la definizione di enegia potenziale, icaviamo che il lavoo fatto dalla foza lungo il pecoso da P 1 a è dato da: W = E p (P 1 ) - E p ( ) = - (E p ( ) - E p (P 1 )) = - ΔE p. Confontando queste due elazioni, nel caso di una foza consevativa, possiamo scivee che: Da questa si ottiene: ΔE k = - ΔE p E k ( ) - E k (P 1 ) = - (E p ( ) - E p (P 1 )) E k ( ) + E p ( ) = E k (P 1 ) + E p (P 1 ) E m ( ) = E m (P 1 ) Indichiamo con E m (P) la quantità E k (P) + E p (P). E m è la somma dell'enegia cinetica e dell'enegia potenziale posseduta dal punto mateiale nel geneico punto P e pende il nome di enegia 149

meccanica totale. La elazione pecedente affema che, sotto l'azione di una foza consevativa, l'enegia meccanica totale del punto mateiale è la stessa all'inizio e alla fine del moto. Ma data l'abitaietà dei punti P 1 e possiamo affemae che in pesenza di sole foze consevative l'enegia meccanica totale è una costante del moto. Se indichiamo con P il geneico punto sulla taiettoia possiamo scivee: E m (P) = E k (P) + E p (P) = cost = E k (P 1 ) + E p (P 1 ) Questo isultato vale anche quando sul punto mateiale agiscono più foze, puché esse siano tutte consevative e come enegia potenziale si usi la somma delle enegie potenziali elative a ciascuna delle foze agenti. 5.11.1 Relazione Enegia-Lavoo in pesenza di foze non consevative. Se alcune delle foze agenti sul punto mateiale non sono consevative, alloa si può vedee che la vaiazione dell'enegia meccanica totale, ΔE, a seguito dello spostamento del punto mateiale ta P 1 e è popio uguale al lavoo fatto dalle foze non consevative, W nc. Infatti il lavoo, W, effettuato dalla isultante delle foze agenti sul punto mateiale nello spostamento del punto mateiale ta P 1 e può essee ottenuto come somma del lavoo effettuato dalle foze consevative, W c, e di quello effettuato dalle foze non consevative, W nc : W=W c +W nc Utilizzando il teoema delle foze vive e la definizione dell'enegia potenziale si ottiene: ΔE k = W totale =W c +W nc = ΔE p +W nc ΔE k +ΔE p = W nc Quindi: (E k2 - E k1 )+( E p2 - E p1 ) = (E k2 + E p2 )- (E k1 + E p1 )= E m2 -E m1 = ΔE m = W nc ΔE m = W nc In Temodinamica si potà vedee che la vaiazione dell'enegia meccanica totale, dovuta al lavoo delle foze non consevative, coisponde ad una vaiazione dell'enegia intena dei copi coinvolti nel moto del punto mateiale in consideazione. Quindi nel caso di una diminuzione dell'enegia meccanica, che coisponde ad un lavoo negativo delle foze non consevative, come pe esempio nel caso delle foze di attito o delle esistenze passive, l'enegia intena dei copi aumenta: si osseva infatti un aumento della tempeatua dei copi a contatto ta cui sono pesenti delle foze di attito; mente nel caso di un aumento dell'enegia meccanica totale, che coisponde ad un lavoo positivo fatto dalle foze non consevative, cosa che pe esempio può succedee nelle esplosioni, si osseva un cambiamento della composizione chimica dei copi coinvolti (pe esempio espolosivo) che coisponde ad una diminuzione dell'enegia intena del sistema. In conclusione, in pesenza di foze non consevative, si osseva una vaiazione dell'enegia meccanica totale: se peò si include nel conto anche l'enegia intena dei copi, si osseva che complessivamente l'enegia si conseva. 150

5.12 Deteminazione della foza dall enegia potenziale Nei paagafi pecedenti abbiamo fatto vedee che, conoscendo l espessione della foza in tutti i punti dello spazio, si può individuae l espessione della funzione enegia potenziale. Enegia potenziale Foza Peso P = m g E p x, y, z Foza Elastica F x = -kx E p ( ) = mgy ( x) = 1 2 kx2 Foza di Gavitazione univesale F = G m 1m 2 u 2 E p ( x, y, z) = GmM Si può peò anche fae il contaio: se si conosce l espessione della funzione enegia potenziale si può isalie alla foza consevativa. Vediamo come. Si pate dalla definizione di supefici equipotenziali: Una supeficie equipotenziale è il luogo dei punti aventi tutto lo stesso valoe di enegia potenziale. Enegia potenziale Supefici equipotenziali Foza Peso E p ( x, y, z) = mgy I piani oizzontali di equazione y=costante Foza Elastica E p ( x) = 1 I piani pependicolai all asse 2 kx2 x caatteizzati dall equazione x=costante Foza di Gavitazione univesale E p ( x, y, z) = GmM Le supefici sfeiche con cento in O (dove è una delle due masse) e aggio A patie da un punto P peso su una supeficie equipotenziale, si considei uno spostamento infinitesimo d eseguito a patie da P sulla supeficie equipotenziale. Se le supefici equipotenziali sono dei piani, non è difficile immaginae uno spostamento effettuato sulla supeficie equipotenziale; se le supefici equipotenziali non sono dei piani, si eseguià uno spostamento infinitesimo sul piano tangente in P alla supeficie equipotenziale. Poiché il punto iniziale e finale sono sulla supeficie equipotenziale, isulta che de p =0. Petanto avemo che dw = F d = de p = 0 Il lavoo infinitesimo dw è nullo pe qualunque spostamento infinitesimo eseguito sulla supeficie equipotenziale a patie dal punto P. Questo significa che F è pependicolae a tutti i d, ovveo F è pependicolae alla supeficie equipotenziale. Supeficie equipotenziale P d 151

Abbiamo così messo in evidenza che la foza consevativa ha solo una componente nomale alla supeficie equipotenziale. Consideiamo peciò uno spostamento infinitesimo pependicolae alla supeficie equipotenziale dn. Indichiamo con F n la componente nomale della foza consevativa. Poiché la foza consevativa ha solo la componente nomale, questa saà uguale a più o meno il modulo della foza consevativa nel punto P (F n =± F, ovveo F= F n ). Il lavoo dw effettuato sullo spostamento dn saà dunque: dw = F n dn = de p F n = de p dn da cui si vede che la componente nomale della foza consevativa può essee ottenuto eseguendo al deivata diezionale (nella diezione della nomale alla supeficie equipotenziale) della funzione enegia potenziale. Più in geneale se d è uno spostamento effettuato nella diezione dell asse x dw = F d = F x dx = de p F x = de p dx In maniea analoga se d è uno spostamento effettuato nella diezione dell asse y, si avà dw = F d = F y dy = de p F y = de p dy Così se d è uno spostamento effettuato nella diezione dell asse z, si avà dw = F d = F z dz = de p F z = de p dz Possiamo cioè calcolae le componenti x, y e z della foza consevativa facendo le deivate paziali dell enegia potenziale ispetto alla vaiabile x, y e z e poi cambiando di segno. In conclusione abbiamo mostato che possiamo descivee una foza consevativa o attaveso le sue componenti oppue attaveso l enegia potenziale. Le due descizioni sono del tutto equivalenti (se si conoscono le componenti della foza si può tovae l espessione dell enegia potenziale, se vicevesa si conosce l espessione dell enegia potenziale si possono deteminae le componenti della foza consevativa). Ovviamente la descizione attaveso l enegia potenziale è più semplice peché è necessaio conoscee un solo numeo pe ogni punto delle spazio (il valoe della enegia potenziale) anziché te come è necessaio se si vuole descivee la foza attaveso le sue componenti. 5.13 Diagamma dell enegia È utile studiae il moto di un punto mateiale studiando il diagamma dell enegia. In questo paagafo ci limiteemo a consideae un punto mateiale soggetto ad una foza consevativa la cui enegia potenziale sia funzione di una sola coodinata pe esempio la x (in queste ipotesi il moto saà lungo l asse x e la foza avà solo la componente x). Possiamo consideae pe esempio l oscillatoe amonico. asse y O F el x N P asse x In questo caso sia la foza peso che la nomale N fanno lavoo nullo duante il moto dell oscillatoe (le foze sono pependicolai allo spostamento), non contibuiscono cioè alle vaiazione della sua enegia cinetica e/o potenziale. L unica foza che contibuisce a fa vaiale l enegia cinetica e l enegia potenziale dell oscillatoe amonico è la foza elastica, che è una foza consevativa e la sua funzione enegia potenziale vale: E p (x) = 1 2 kx2 x Questa funzione può essee appesentata in un 152

gafico, che pende il nome di diagamma dell enegia. Sull asse delle ascisse si ipota la coodinata x, cioè la posizione del punto mateiale. Sull asse delle odinate si ipota l enegia. La funzione enegia potenziale saà appesentata da una paabola (cuva vede) con vetice nell oigine, simmetica ispetto all asse delle odinate (l enegia potenziale assume lo stesso valoe sia in x che in meno x (-x)) ed è sempe positiva. L enegia meccanica totale duante il moto dell oscillatoe amonico si conseva, essendo la foza elastica consevativa ed essendo nullo il lavoo fatto dalle alte foze pesenti. Essa saà appesentata da una etta paallela all asse delle ascisse (E m =costante). Questa etta inteseca la cuva che appesenta l enegia potenziale in due punti di ascisse ispettivamente x m e x m. Questi due punti si chiamano punti di invesione del moto. Vediamo peché. Fissata una geneica posizione x dell oscillatoe amonico, alloa la lunghezza del segmento pependicolae all asse delle ascisse delimitato dall asse delle ascisse e dalla cuva dell enegia potenziale (segmento vede scuo della figua) appesenta l enegia potenziale del punto mateiale quando si tova nella posizione x, mente la lunghezza del segmento pependicolae all asse delle ascisse delimitato dalla cuva dell enegia potenziale e dalla etta che appesenta l enegia meccanica totale (segmento viola in figua) appesenta l enegia cinetica posseduta dal punto mateiale in quella posizione. Infatti: pe definizione E m =E k +E p E k =E m -E p Anche l enegia cinetica così calcolata può essee ipotata nel gafico: si ottiene la cuva viola. Si vede che l enegia cinetica è massima pe x=0, quando cioè l enegia potenziale è uguale a zeo, ed è nulla nei punti di invesione del moto, x=x m e x=-x m. Palando in temini di velocità, il modulo della velocità assume il valoe massimo in x=0 e si annulla nei punti di invesione del moto. Dal diagamma dell enegia capiamo dunque che il punto mateiale può spostasi ta x m ed x m, infatti in questo tatto essendo l enegia meccanica totale maggioe dell enegia potenziale, l enegia cinetica saà positiva o al massimo nulla come deve essee ( E k = 1 2 mv2 ). Pe valoi della x esteni a questo intevallo, l enegia cinetica dovebbe assumee valoi negativi (l enegia meccanica totale è più piccola di quella potenziale), quindi non fisici, vuol die che non potemo mai tovae il punto mateiale al di là dei punti di invesione del moto. Ecco spiegato anche il motivo del loo nome: quando il punto mateiale si avvicina ad un punto di invesione del moto allenta fino ad aestasi (v=0) pe poi tonae indieto invetendo il moto. Dal digamma dell enegia possiamo anche icavae infomazioni sulla foza agente sul punto mateiale in una data posizione. Dalla definizione di enegia potenziale sappiamo che il lavoo fatto dalla foza pe un fissato spostamento del punto mateiale Δx saà uguale all opposto della vaiazione di enegia potenziale: W = E pi E pf = ΔE p Se lo spostamento è infinitesimo, dx, l espessione pecedente diventa: dw = de p Nella ipotesi che la foza abbia solo la componente x, avemo: dw = de p dw = F x dx F x = de p dx 153

La componente x della foza si ottiene facendo la deivata della funzione enegia potenziale ispetto ad x e cambiando il segno. Geometicamente: occoe costuie la etta tangente al gafico nell ascissa consideata, valutae la pendenza e poi cambiae di segno pe ottenee la foza. Nell oigine la pendenza della tangente al gafico è nulla, la tangente al gafico coincide popio con l asse delle x. Petanto nell oigine, che è anche la posizione di minimo elativo del gafico della funzione, la foza è nulla. Possiamo affemae che i punti di minimo della funzione enegia potenziale sono punti di equilibio. Essi sono anche di equilibo stabile, infatti non appena il punto mateiale viene spostato dalla posizione di equilibio, si genea una foza (si ossevino le pendenze delle ette tangenti al gafico) che tende a ipotalo nella posizione di equilibio (foza di ichiamo). Genealizziamo il discoso. Supponiamo di avee un copo soggetto ad una foza la cui cuva dell enegia potenziale sia quella appesentata in figua: essa ha due minimi elativi in x 2 e x 4 ed un massimo elativo in x 3. Possiamo fae ifeimento ad un caello su un otto voltante pivo di attito avente la stessa sagoma del gafico della funzione. Il caello ha un'enegia potenziale, dovuta alla foza peso, deteminata popio dalla sua quota. L'andamento dell'enegia potenziale del caello in funzione della coodinata oizzontale è del tutto simile alla foma della guida. Una volta fatte queste pemesse, consideiamo il moto del punto poizione del caello sull'asse delle x ed associamo a questo punto l'enegia potenziale dell'inteo caello: ne consegue che l'andamento dell'enegia potenziale in funzione della coodinata x del punto poiezione sull'asse delle x coincide popio con la sagoma dell'otto volante. Se l enegia meccanica totale è pai a zeo J (zeo joule). Alloa potemo tovae il punto mateiale nella posizione x 2 femo. Esso esta in quella posizione pe sempe. Se l enegia meccanica totale è minoe di 1 J (1 joule), alloa la etta paallela all'asse delle ascisse, che appesenta l enegia meccanica totale costante, inteseca la cuva dell enegia potenziale in due punti (i punti di invesione del moto): il punto mateiale oscilla ta queste due posizioni esteme intono al punto di coodinata x 2. Se l enegia meccanica totale è pai a 1 J (1 joule) (il valoe dell enegia potenziale in x 4 ), alloa potemo avee due casi: o il punto mateiale oscilla intono a x 2 o si tova femo nella posizione x 4. Tutto dipende dalla posizione iniziale: se all istante di tempo t=0 il copo ea vicino a x 2 continueà ad oscillae intono a x 2, se al contaio ea femo in x 4, continueà a estae in quella posizione. Pe enegia meccanica totale ancoa maggioi ma comunque più piccole di 3 J (3 joule) (il valoe dell enegia potenziale in x 3, ci saanno 4 intesezioni ta la etta dell enegia meccanica totale e la cuva dell enegia potenziale. Il punto mateiale oscilleà intono a x 2 o intono a x 4 sulla base delle condizioni iniziali. Non potà mai passae da una pate all alta, supeae la cosiddetta baiea di potenziale in x 3. x Retta tangente al gafico Pendenza positiva = Foza negativa 154

Pe enegie meccaniche totali compese ta 3 J e 4 J, ci saanno due sole intesezioni ta la etta che appesenta l enegia meccanica totale e la cuva dell enegia potenziale: il punto mateiale oscilleà ta queste due posizioni passando sia pe x 2 che pe x 4, ha enegia sufficiente pe supeae la baiea di potenziale in x 3. Pe valoi dell enegia meccanica totale ancoa maggioi (più gandi di 4 J e minoi di 6J), ci saà un solo punto di intesezione ta la etta che appesenta l enegia meccanica totale e la cuva dell enegia potenziale, quindi un solo punto di invesione del moto. Il punto mateiale può povenie da x = +, aggiungee il punto di invesione e tonae a x = +. Se l enegia meccanica totale è maggioe di 6J, non ci saanno punti di invesione del moto. La cuva b) appesenta la componente x della foza ottenuta utilizzando la elazione F x = de p dx si noti che nelle posizioni di minimo elativo x 2 e x 4, in quelle di massimo x 3 e sui pianeottoli pe x<x 1 e x>x 5, la foza è nulla. C è peò una diffeenza: i punti di minimo elativo sono punti di equilibio stabile: non appena si sposta il punto mateiale dalla posizione di equilibio si manifestano delle foze che tendono a ipotae il punto nella posizione di equilibio (si ossevino le pendenze delle ette tangenti al gafico dell enegia potenziale subito pima e subito dopo il minimo). I punti di massimo elativo sono punti di equilibio instabile: se si sposta il punto dalla posizione di equilibio, le foze che si manifestano tendono ad allontanalo ancoa di più dalla posizione di equilibio. I pianeottoli sono punti di equilibio indiffeente: se si sposta il punto mateiale dalla posizione di equilibio non si manifesta alcuna foza. 5.14 Regole da utilizzae nella soluzione di poblemi con l appoccio enegetico Utilizzae l appoccio enegetico ogni volta che è possibile. L appoccio enegetico è più semplice della seconda legge della dinamica: la consevazione dell enegia è un equazione scalae mente le seconda legge di Newton è vettoiale coispondente a ben te equazioni scalai la seconda legge di Newton è un equazione diffeenziale del secondo odine, la consevazione dell enegia è solo del pimo odine. Non è possibile usae l appoccio enegetico quando viene chiesto di calcolae la legge oaia o l acceleazione. Negli alti casi bisogneebbe cecae di utilizzae l appoccio enegetico, anche se viene chiesto di calcolae qualche foza, in molti casi è possibile utilizzae l appoccio enegetico, sopattutto se la foza fa lavoo non nullo. Individuae il punto mateiale di cui si vuole deteminae il moto. In qualche poblema è pesente più di un punto mateiale: le opeazioni descitte ai successivi punti dal 2 al 6 vanno ipetute pe ogni punto mateiale pesente nel poblema. Stabilie il sistema di ifeimento ineziale che si intende utilizzae pe lo studio del moto In molti poblemi si faà uso del sistema del laboatoio, ma in qualche alto caso come nei 155