Elementi di Geometri Lezione 02
Angoli complementri e supplementri Due ngoli si dicono complementri qundo l loro somm è un ngolo retto. In Figur 15 i due ngoli e sono complementri perché, sommti come descritto sopr, formno un ngolo g l cui mpiezz è 90, cioè è un ngolo retto. Due ngoli si dicono supplementri qundo l loro somm è un ngolo pitto. In Figur 16 i due ngoli e sono supplementri perché, sommti col procedimento descritto sopr, formno un ngolo g l cui mpiezz è 180, cioè è un ngolo pitto. Ricordndo l definizione di ngoli dicenti si può or ffermre che due ngoli dicenti sono supplementri. Angoli opposti l vertice Due ngoli si dicono opposti l vertice qundo ciscuno di essi è formto dl prolungmento delle semirette che formno l ltro. L Figur 17 mostr i due ngoli e in cui l ngolo è formto dl prolungmento delle semirette,, che formno l ngolo 6. Due ngoli opposti l vertice sono uguli. Inftti, come ppre evidente dll figur, i due ngoli e sono supplementri dello stesso ngolo g (o d), cioè l somm di ciscuno di essi con l ngolo g è ugule 180, e pertnto devono essere uguli fr loro. Bisettrice di un ngolo Dto un ngolo formto dlle semirette, con vertice O, si chim isettrice dell ngolo un semirett r che esce dl vertice O, gice nell ngolo e lo divide in due prti uguli (Figur 18). Rette perpendicolri Due rette incidenti sono perpendicolri qundo formno un ngolo retto, cioè un ngolo di 90. È 6 È ovvio che nche l ngolo è formto dl prolungmento delle semirette che formno e che nche gli ltri due ngoli g e d d essi dicenti sono opposti l vertice.
1 O O1 1 1 O g 1 g=+=90 O 1 Figur 15 Angoli complementri 1 O O1 1 g 1 g=+=180 1 O O1 Figur 16 Angoli supplementri
+g=180 +g=180 g O d = g=d Figur 17 Angoli opposti l vertice ½ r O ½ Figur 18 Bisettrice di un ngolo
ovvio tuttvi che se due rette incidenti formno un ngolo retto, tutti gli ltri ngoli che esse formno sono retti. L Figur 19 mostr due rette incidenti, che formno fr loro un ngolo retto. Le due rette sono fr loro perpendicolri, cioè è perpendicolre e è perpendicolre d. È evidente che nche l ngolo deve essere un ngolo retto perché e sono fr loro supplementri, cioè l loro somm è 180. Pertnto misur 180-90 = 90. Lo stesso rgionmento vle nche per gli ltri due ngoli, per cui si può nche dire che due rette perpendicolri formno fr loro quttro ngoli retti. Rette prllele tglite d un trsversle Come imo già visto, due rette sono prllele qundo non hnno nessun punto in comune. Vedimo or lcune proprietà reltive gli ngoli che si formno qundo due rette prllele sono tglite d un ltr rett trsversle d esse e quindi che le intersec entrme (Figur 20). Sino, due rette prllele e si r un rett trsversle che le intersec rispettivmente nei punti A e B. Intorno questi punti si formno 8 ngoli che indicheremo con 1, 2, 3, e 4, quelli che hnno il vertice in A e con 1, 2, 3, e 4, quelli che hnno il vertice in B. Questi 8 ngoli formno due quterne di ngoli uguli e, più precismente: e 1 = 4 = 1 = 4 2 = 3 = 2 = 3 È evidente che 1 è ugule d 4 e che 1 è ugule 4 perché sono ngoli opposti l vertice. L eguglinz fr 1 e 1 (così come fr 4 e 4 ) si dimostr osservndo che se si trsl l rett prllelmente se stess fino sovrpporl ll rett l ngolo 1 si sovrppone esttmente ll ngolo 1 (così come 4 si sovrppone 4 ) e l stess dimostrzione può essere ust per l ltr qutern di ngoli.
g=180 =90 =g-=90 Figur 19 Rette perpendicolri r 1 A 2 3 4 1 B 2 3 4 Figur 20 Due rette tglite d un trsversle
Oltre lle eguglinze ppen descritte si creno nche, fr gli 8 ngoli, quttro coppie di ngoli non dicenti che sono supplementri, cioè che sommti dnno un ngolo pitto. Ciò vviene per le seguenti coppie di ngoli non dicenti: 1 e 3 3 e 1 2 e 4 4 e 2 L dimostrzione di quest relzione per l prim coppi (m ovvimente l dimostrzione è nlog nche per le ltre) è che 1 è supplementre di 3 perché è dicente d esso e, poiché 3 è ugule 3, 1 risult supplementre nche di 3. Nell Figur 21 sono rissunte le relzioni ppen menzionte ed inoltre sono riportte le denominzioni che sono generlmente ttriuite questi ngoli, che sono: ngoli lterni interni uguli ( 3 2 ) e ( 4 1 ) ngoli lterni esterni uguli ( 1 4 ) e ( 2 3 ) ngoli corrispondenti uguli ( 1 1 ), ( 2 2 ), ( 3 3 ) e ( 4 4 ) ngoli coniugti interni supplementri ( 3 1 ) e ( 4 2 ) ngoli coniugti esterni supplementri ( 1 3 ) e ( 2 4 ) Oltre l teorem diretto esiste nche il teorem inverso che dice che se gli ngoli formti d due rette tglite d un trsversle soddisfno un delle proprietà riportte sopr 7, le due rette sono prllele. Come conseguenz del teorem inverso si h che due rette perpendicolri ll stess rett sono prllele fr loro. Inftti (Figur 22), se due rette s, t, sono perpendicolri d un stess rett r, formno con ess otto ngoli retti, come e in figur, che hnno tutti i requisiti sopr riportti. 7 In tl cso soddisf nche tutte le ltre.
Alterni esterni 1 4 2 3 Uguli Supplementri Alterni interni 3 2 4 1 1 1 3 3 Corrispondenti 2 2 4 4 Coniugti esterni 1 3 2 4 Coniugti interni 3 1 4 2 1 2 3 4 1 2 3 4 Figur 21 Relzioni fr gli ngoli s t r =90 =90 Figur 22 Perpendicolri ll stess rett
Cpitolo 2 - I poligoni Spezzte e poligoni Si è visto che un segmento è un prte di rett compres fr due punti che si chimno gli estremi del segmento. Si è nche visto che, essendo entità delimitte, i segmenti sono nche misurili e confrontili. Di due o più segmenti è nche possiile fre l somm e l differenz. Per sommre due segmenti AB e CD (Figur 23) si f coincidere l estremo C del secondo con l estremo B del primo e si f cdere l ltro estremo D sul prolungmento di AB dll prte oppost di A. Il segmento AD è l somm dei due segmenti. Per sottrrre due segmenti, AB e CD, supposto che AB si mggiore di CD, si f coincidere l estremo C con l estremo A e si f cdere il segmento CD sul segmento AB. Il punto D cdrà ovvimente 8 ll interno di AB, e l differenz srà il segmento DB. Qundo due segmenti sono posizionti nel pino in modo d vere un estremo in comune (Figur 24) si chimno consecutivi. Se poi due segmenti, oltre d vere un estremo in comune, sono nche posti l uno sul prolungmento dell ltro si chimno dicenti. Più segmenti consecutivi formno un spezzt che può essere un spezzt pert se ci sono due segmenti dell spezzt che hnno ciscuno un estremo non in comune con un ltro segmento un spezzt chius se ogni segmento dell spezzt h entrmi gli estremi in comune con i due segmenti d esso consecutivi 8 Perché si è supposto AB > CD
A B Misurili A C D B Confrontili A B C D Somm AB+CD=AD A C D B Differenz AB CD=DB Figur 23 Segmenti lto vertice Segmenti consecutivi ii Spezzt pert Spezzt chius Poligono Figur 24 Spezzte
Un spezzt su volt può essere intreccit se due segmenti non consecutivi si intersecno, non intreccit se nessun segmento intersec un ltro. Un spezzt chius non intreccit rcchiude un prte di pino che prende il nome di poligono. Si di ene: il poligono non è l spezzt m l prte di pino rcchius nell spezzt. Inftti l prol poligono signific letterlmente molti ngoli e l prte di pino rcchius dll spezzt è proprio l prte comune di tutti gli ngoli formti di segmenti consecutivi. I segmenti dell spezzt si chimno lti del poligono ed il loro insieme, cioè l spezzt stess si chim perimetro del poligono. Un poligono deve vere un minimo di 3 lti (ltrimenti l spezzt non può essere chius) e h tnti ngoli qunti sono i lti. A second del numero degli ngoli (o dei lti) il poligono si chim tringolo, qudrngolo (o qudriltero), pentgono, esgono ecc. Un poligono si chim convesso se tutti i suoi ngoli sono convessi, si chim invece concvo se uno o più dei suoi ngoli è concvo (Figur 25). In un poligono si chim digonle un segmento che unisce due vertici non pprtenenti llo stesso lto (Figur 26). Ovvimente in un tringolo non può esserci lcun digonle perché non ci sono due vertici non pprtenenti llo stesso lto, mentre in poligono con n l lti il numero n d di digonli si può clcolre con un semplice formul 9 : n d = ½(n l - 3)n l Un poligono che h tutti i lti uguli si chim equiltero o nche regolre ed in un poligono equiltero sono uguli fr loro nche tutti gli ngoli cioè il poligono è nche equingolo 10. In un poligono regolre (Figur 27) esiste un punto interno l poligono che è equidistnte d tutti i 9 L formul si ricv fcilmente considerndo che in un poligono di n lti i vertici sono n e quelli non consecutivi sono (n-3). Quindi le digonli che si possono trccire sono dte dl prodotto n(n-3). M in tl modo le digonli vengono trccite due volte, un in un verso e l ltr nel verso opposto, per cui il prodotto deve essere diviso per 2. 10 Non è sempre vero invece che un poligono equingolo è nche equiltero. Il rettngolo inftti h tutti gli ngoli uguli, m i lti non sono tutti uguli.
Poligono concvo Poligono convesso Figur 25 Poligoni concvi e convessi n d = numero di digonli n l = numero di lti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n n l (n l 3) 6(6 3) 6 3 = = = 2 2 2 d = 9 Figur 26 Digonli
vertici e d tutti i lti che prende il nome di centro del poligono. L su distnz d un lto si chim potem. Perimetro e re Aimo dunque visto che le due crtteristiche principli di un poligono sono l spezzt chius che lo delimit e l prte di pino che viene rcchius ll interno dell spezzt. Aimo già detto che i segmenti che formno l spezzt si chimno lti del poligono e che l inter spezzt si chim perimetro. Aggiungimo or che l prte di pino rcchius nell spezzt e che costituisce il poligono stesso si chim nche re o superficie del poligono. Ricordimo che lo scopo fondmentle dell geometri, contenuto perltro nel nome stesso, è di misurre le grndezze e imo già visto, per esempio, come si misurno gli ngoli. È dunque opportuno questo punto definire come misurre le due nuove grndezze che imo incontrto: un grndezz linere (segmento o lto o perimetro) e un grndezz estensiv cioè l superficie. Qundo si deve misurre qulcos occorre prim di tutto definire l unità di misur. L scelt dell unità di misur è un ftto del tutto ritrrio e inftti nell stori si sono lternti i sistemi di misur più svriti sui quli però non ci dilunghimo. L spetto importnte è che un volt stilito il sistem d dottre questo veng ccettto d tutti. Per le grndezze che ci interessno in quest sede, il sistem più usto l mondo oggi è il sistem metrico decimle. Con questo sistem le grndezze lineri vengono misurte in metri e le ree in metri qudrti. Il metro è un misur di lunghezz convenzionle e si dice che un segmento è lungo un metro qundo l su dimensione è ugule quell di un verg di pltino-iridio custodit nell Ufficio Internzionle di Pesi e Misure di Sevres 11. Nturlmente di questo cmpione esistono copie più ccessiili che permettono di eseguire le misure con sufficiente pprossimzione e riproduciilità. Il metro viene indicto con l letter m. Il metro poi è suddiviso nei suoi sottomultipli decimli (Figur 28): decimetro dm, centimetro cm, millimetro mm, ecc., mentre per le misure più grndi si usno i suoi multipli decimli: decmetro dm, ettometro hm, chilometro Km, ecc. 11 Oggi esistono definizioni più precise e riproduciili ste sull velocità dell luce su cui sorvolimo.
lti uguli C ngoli uguli C centro del poligono potemi uguli Figur 27 Poligoni regolri Apotem Lunghezz Superfici. Chilometro Km Chilometro qudro Km 2 Ettometro hm Ettometro qudro hm 2 Decmetro dm Decmetro qudro dm 2 Metro m Metro qudro m 2 Decimetro dm Decimetro qudro dm 2 Centimetro cm Centimetro qudro cm 2 Millimetro mm Millimetro qudro mm 2 Figur 28 Misur di lunghezze e superfici
Per le ree si us come unità di misur il metro qudrto m 2, cioè l re rcchius in un qudrto 12 i cui lti misurno un metro. I suoi sottomultipli sono il decimetro qudrto dm 2, il centimetro qudrto cm 2, il millimetro qudrto mm 2, ecc. e i suoi multipli il decmetro qudrto dm 2, ettometro qudrto hm 2, il chilometro qudrto Km 2, ecc. È ene sottolinere che, per le rgioni che ppiono evidenti dll Figur 29, nelle misure delle lunghezze, ogni multiplo è dieci volte più grnde del multiplo precedente, mentre, nelle misure delle superfici, ogni multiplo è cento volte più grnde del multiplo precedente. Ciò premesso è evidente che l misur del perimetro di un poligono, un volt not l misur di ciscuno dei suoi lti, si ottiene sommndo le misure di tutti i lti (Figur 30). Per qunto rigurd le ree, vedremo di volt in volt per i vri poligoni, come si procede, m è opportuno nticipre qui l definizione del rettngolo e ricvre l semplice regol di clcolo dell su re. Il rettngolo (Figur 31) è un poligono di 4 lti che h tutti gli ngoli retti e i lti opposti prlleli e uguli due due. Possimo misurre i due lti non uguli,, h, usndo un metro e supponimo che essi sino = 5 metri, l ltro h = 3 metri. Se or voglimo misurre l re doimo usre l unità di misur delle superfici, il metro qudro (m 2 ), cioè un qudrto in cui ognuno dei quttro lti misur 1 metro, e verificre qunti di questi qudrti unitri sono contenuti nel rettngolo. Disponimoli quindi in fil lungo il lto mggiore del rettngolo; evidentemente ne riusciremo disporne 5. Poiché notimo che non imo ncor riempito tutt l superficie del rettngolo, disponimone ltri su un second fil e poi ncor su un terz fil. L re del rettngolo srà ugule l numero di qudrti unitri che riusciremo disporre ed è evidente che questo numero si ottiene o sommndo tutti i qudrti unitri o moltiplicndo quelli contenuti in un fil per il numero delle file. M come imo notto il numero di qudrti di un fil, 5, è ugule ll misur del lto mggiore e il numero delle file, 3, è ugule ll misur del lto minore. Per cui il numero dei qudrti unitri, cioè l re del rettngolo si ottiene moltiplicndo fr loro le misure del lto mggiore per il lto minore. Dopo quest premess che, come vedremo tornerà utile in seguito, pssimo d esminre le crtteristiche dei poligoni più comuni prtendo d quello con il minor numero di lti, il tringolo. 12 Il qudrto è un poligono che srà definito più vnti
1 m 1 dm 2 = 100 m 2 1 dm=10 m 1 m 2 Figur 29 Multipli e sottomultipli = 4 = 2 e = 3 c = 3 P = + + c + d + e = = 4 + 2 + 3 + 3,5 + 3 = = 15,5 d =3,5 Figur 30 Misur del perimetro
1 m h = 3 m 1 m = 5 m A = 15 m 2 = 5 3 = h Figur 31 Misur dell re