Affinità rte rim Pgin di 7 esy mtemtic di Adolfo Scimone TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Generlità sulle ffinità Chimsi ffinità o trsformzione linere un corrisondenz biunivoc tr due ini o tr unti dello stesso ino che trsform rette in rette conservndo il rllelismo. Dti due unti del ino : P(x, y) e P'(x',y'), dicimo che essi si corrisondono in un'ffinità ϕ se le loro coordinte sono esresse linermente d euzioni del tio : = x+ = x+ ( ) dove,,,,, sono numeri reli e det A = = 0 ( ) Se det A, l ( ) si dice ffinità degenere e non è iù un biiezione. Definizione - Un biiezione ϕ che d ogni unto P R ssoci un unto P' = ϕ ( P) ϕ : R R :( xy, ) ( x', y ') si dice ffinità e le ( ) con det A 0 si dicono euzioni dell'ffinità. Risolvendo il sistem linere ( ) nelle incognite x, y ottenimo x = A x + y + d det y = + + det A ( ' ' ) ( x' y' e) ( 3 ) dove d = d = Definizione - Si dice ffinità invers dell ( ) l funzione ϕ unto P'( x', y') il unto P= ϕ ( P). che ssoci un
Affinità rte rim Pgin di 7 esy mtemtic di Adolfo Scimone Le euzioni ( 3 ) si dicono le euzioni dell'ffinità invers dell ( ). Definizione 3 - Un unto P R si dice unito o fisso er un trsformzione ϕ, se ϕ ( P) = P, se il trsformto di P è P stesso. In rticolre se le euzioni del sistem si riducono delle identità, llor tutti i unti del ino R sono uniti. Il unto fisso delle ( ), mmesso che l'ffinità ne ossiede, si ottiene onendo x' = x y' = y L soluzione (x, y) si dice centro dell'ffinità e le ( ) si dicono le euzioni di un ffinità centrle. Teorem - Un ffinità viene univocmente determint d tre coie (A, A'), (B, B'), (C,C') di unti corrisondenti tli che né i unti A, B, C né i loro corrisondenti A', B', C' stino su un medesim rett. Inftti, imonendo lle ( ) di contenere i unti A, B, C ed i loro corrisondenti, si ottiene un sistem linere di 6 euzioni nelle 6 incognite,,,,, che er le iotesi ftte mmette un sol soluzione. Le ffinità godono di rticolri rorietà : trsformno rette in rette trsformno rette incidenti in rette incidenti trsformno rette rllele in rette rllele trsformno il unto medio M di un segmento nel unto M' del segmento corrisondente conservno costnte il rorto delle ree di figure corrisondenti ; tle rorto costnte è chimto rorto di ffinità ed è ugule k = det A trsformno cerchi o ellissi in cerchi o ellissi trsformno rbole in rbole, ierboli in ierboli. Euzione di un ffinità con un unto unito nell'origine Si dt l'ffinità di euzione = x+ = x+ con det A 0 ffinché l'origine O(0, 0) si un unto unito, deve essere 0+ 0+ 0+ 0+ d cui segue che
Affinità rte rim Pgin 3 di 7 esy mtemtic di Adolfo Scimone Per cui, le euzioni di un generic ffinità vente come unto unito l'origine sono = x+ y = x+ y con det A 0 Diltzioni Le rticolri ffinità che hnno gli ssi coordinti e l'origine uniti, sono le diltzioni. Definizione - Si dice diltzione un'ffinità di euzioni = x = y con, R -{0} ( ) Quest terminologi è dovut l ftto che tli trsformzioni non mntengono invrite le distnze, er cui se P e P', Q e Q' sono coie di unti corrisondenti, si h d( P, Q) < d( P', Q') o d( P, Q) > d( P', Q') Nel rimo cso l diltzione determin un llungmento o un diltzione di PQ, nel secondo cso rovoc un rimicciolimento o un contrzione di PQ. Se nell () è = e si h un diltzione orizzontle, iù recismente, se > si h un diltzione concorde o discorde secondo che risulti > o <. Se < si h un contrzione concorde o discorde secondo che > ] 0, [ o > ] 0, [ Se nell () > un contrzione se <. = e si h un diltzione verticle, si h un diltzione se Un trsformzione di euzioni x+ y' b = D k coneb non entrmbi nulli
Affinità rte rim Pgin 4 di 7 esy mtemtic di Adolfo Scimone rresent un diltzione in cui l'unico unto unito è C b, che è il centro k k dell diltzione. In rticolre, se k = si h = x+ D = y' = b che rresent un trslzione di vettore ( i + bj). Quest ort l'origine nel unto O' (, b), con i e j versori degli ssi. Se o b l trslzione è risettivmente verticle o orizzontle. y Y b O' X O x Similitudine Definizione - Si chim similitudine in un biiezione ϕ di R in se stesso che moltilic er k le distnze, dp ( ', Q') dpq (, ) PQ, R () con P' = ϕ ( P), Q' = ϕ ( Q) e dove k è un numero rele ositivo, er cui : In un similitudine il rorto fr le misure di segmenti corrisondenti è costnte. L costnte k > 0 rende il nome di rorto o costnte di similitudine. Per determinre le condizioni nlitiche cui devono soddisfre i coefficienti dell'ffinità = x+ = x+ () ffinché PQ, R si verifichi l (), considerimo due unti Px (, y); Qx (, y ) e i loro corrisondenti P'( x', y'); Q'( x', y'), che er l'ffinità () hnno coordinte
Affinità rte rim Pgin 5 di 7 esy mtemtic di Adolfo Scimone P'( x', y') = ( x + y +, x + y + ) Q'( x', y' ) = ( x + y +, x + y + ) Essendo d( P, Q) = ( x x ) + ( y y ) d( P', Q') = ( x' x' ) + ( y' y' ) vremo [ ] [ ] d( P', Q') = ( x x ) + ( y y ) + ( x x ) + ( y y ) = = ( x x ) + ( x x )( y y ) + ( y y ) + ( x x ) + + ( x x )( y y ) + ( y y ) = = ( + )( x x) + ( + )( x x)( y y) + ( + )( y y) Affinché si vlid l () deve essere k ( x x) + ( y y) = ( x' x') + ( y' y') e uindi k ( x x ) + ( y y ) = = ( + )( x x) + ( + )( x x)( y y) + ( + )( y y) si dovrà vere + + + () 3 ( 4) () 5 Ricvndo dll second euzione del sistem e sostituendo nell terz si h = e uindi + + ( ) k + = Per l rim euzione, essendo + vremo k e uindi
Affinità rte rim Pgin 6 di 7 esy mtemtic di Adolfo Scimone = = oure = Tenendo conto delle relzioni trovte, l second euzione del sistem diviene + ( + ) oure ( ) Essendo 0 si h = oure = Avremo ertnto ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) Se = e = le euzioni dell trsformzione () divengono = x+ = x (6) dove det A= ( + ) = k Se = e = le euzioni dell trsformzione () divengono = x = x+ (7) dove det A= + e il rorto di similitudine k = + è ugule ll rdice udrt del rorto di ffinità k = det A Il unto unito dell trsformzione si dice centro di similitudine. Definizione - Si dice che un similitudine è concorde se trsform un figur F in un'ltr F', i cui vertici si susseguono nello stesso senso con cui si succedono in F ; ltrimenti l similitudine si dice invers o discorde.
Affinità rte rim Pgin 7 di 7 esy mtemtic di Adolfo Scimone Per cui un similitudine concorde h euzioni dell form = = x x + y + y + invece un similitudine discorde h euzioni dell form = x+ = x Si dimostr inoltre che un similitudine trsform unti susseguentisi in unti susseguentisi rette in rette segmenti in segmenti semiini in semiini ngoli in ngoli di egule miezz ree in ree di rorto k (ossi S' S) cerchi in cerchi ellissi in ellissi Inoltre in un similitudine è costnte il rorto fr segmenti corrisondenti. In rticolre l similitudine mut rette erendicolri in rette erendicolri.