Integrle definito (p.4) Trttimo dei cenni sull teori dell integrzione nel cso di funzioni continue (integrle di Cuchy). Gli integrli si estendono l cso di funzioni limitte (integrle di Riemnn). Nel clcolo delle probbilità si ffront lo studio dell integrle di Stiltjes e nel clcolo stocstico dell integrle di Ito. 1
Integrle definito (p.4) L integrle definito è l re dell figur pin delimitt dl grfico dell funzione, dll sse delle scisse e dlle due ordinte dell funzione dei due punti e b.
Costruzione dell integrle (Appendice del cp.4) f(x) b 3
y f(x) b x 4
Costruzione dell integrle medinte pprossimzioni successive Approssimzione per eccesso f(x) Approssimzione per difetto b 5
Clcolo dell re M = m= mx f( x) x [ b, ] min f( x) x [ b, ] Approssimzione per eccesso re=m(b-) f(x) Approssimzione per difetto re=m(b-) b 6
Si miglior l pprossimzione per eccesso Approssimzione per eccesso: re=m1(c-)+m(b-c) M M 1 = = mx f( x) x [ c, ] mx f( x) x [ cb, ] f(x) c b 7
Si miglior l pprossimzione per difetto Approssimzione per difetto m m 1 = = min f( x) x [ c, ] min f( x) x [ cb, ] Are=m1(c-)+m(b-c) f(x) c b 8
Si continu miglior l pprossimzione per eccesso 1 M = mx f( x) x [ c, ] Approssimzione per eccesso: re=m1(x1-x)+m(x-x1) M = mx f( x) x [ cb, ] f(x) =x c=x1 b=x 9
Si continu miglior l pprossimzione per eccesso x x x1 Approssimzione per eccesso: somme przili per eccesso Sp =M(x1-x)+M1(x-x1)+M(x3-x)= S = Σ M ( x x ) p i i+ 1 i i= 1, n 1 M M M 1 = = = mx f( x) [, ] mx f( x) x [ x, x ] 1 mx f( x) x [ x, x ] 3 f(x) =x x1 x b=x3 1
Si continu miglior l pprossimzione per eccesso x x x1 Approssimzione per eccesso: somme przili per eccesso Sp =M(x1-x)+M1(x-x1)+M(x3-x) + = S = Σ M ( x x ) p i i+ 1 i i= 1, n 1 M M M 1 = = = mx f( x) [, ] mx f( x) x [ x, x ] 1 mx f( x) x [ x, x ] 3 f(x) N.B.: gli intervlli non sono equispziti =x x1 x b=xn 11
Si miglior l pprossimzione per difetto Approssimzione per difetto Are=m(x1-x)+m1(x-x1)+ m1(x3-x)= s = Σ m ( x x ) p i i+ 1 i i= 1, n 1 m m 1 m = = min f( x) x [ x, x ] 1 min f( x) x [ x, x ] = 1 min f( x) x [ x, x ] 3 f(x) =x x1 x b=x3 1
Si miglior l pprossimzione per difetto Approssimzione per difetto somme przili per difetto Are=m(x1-x)+m1(x-x1)+ m1(x3-x)+ = s = Σ m ( x x ) p i i+ 1 i i= 1, n 1 m m 1 m = = min f( x) x [ x, x ] 1 min f( x) x [ x, x ] = 1 min f( x) x [ x, x ] 3 f(x) N.B.: gli intervlli non sono equispziti =x x1 x b=x3 13
Osservzione: le somme per difetto sono più piccole delle somme per eccesso s = Σ m ( x x ) Σ M ( x x ) = S p i i+ 1 i i i+ 1 i p i= 1, n 1 i= 1, n 1 f(x) N.B.: gli intervlli non sono equispziti =x x1 x b=x3 14
Osservzione: le somme per difetto sono più piccole delle somme per eccesso e sono minori dell re del rettngolo M(b-) s S Mb ( ) p p f(x) N.B.: gli intervlli non sono equispziti =x x1 x b=xn 15
Osservzione: le somme per difetto sono più piccole delle somme per eccesso e sono minori dell re del rettngolo M(b-) s S Mb ( ) p p f(x) N.B.: gli intervlli non sono equispziti =x x1 x b=xn 16
Osservzione: le somme per difetto sono più piccole delle somme per eccesso e sono minori dell re del rettngolo M(b-) s S Mb ( ) p p f(x) N.B.: gli intervlli non sono equispziti =x x1 x b=xn 17
In simboli { x } i i =, n si chim prtizione Si infittisce l prtizione in modo che l distnz tr due elementi consecutivi vd zero s = Σ m ( x x ) f ( x) dx p i i+ 1 i i= 1, n 1 b f(x) =x x1 x b=x3 18
Fine dell Appendice 19
Integrle definito (p. 4) L integrle definito di un funzione continu è l re dell figur pin delimitt dl grfico dell funzione, dll sse delle scisse e dlle due ordinte dell funzione dei due punti e b. Si indic con y f(x) b f ( x) dx b x
Proprietà dell integrle definito L re si può clcolre dividendol in due metà: (, c) e (c, b) b c b f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx c y f(x) c b x 1
Integrle definito (p. 4) f ( x) dx = y f(x) b x
re negtiv b f ( x) dx = f ( x) dx y b f(x) Il segno tiene conto del verso di percorrenz. b x 3
re negtiv Il segno tiene conto dei vlori di f(x) y f(x)> f(x)< b x 4
Ulteriori proprietà dell integrle b Si ottiene lo stesso risultto se clcolo l re e poi l moltiplico per un numero c1 oppure se moltiplico l funzione per c1 e poi clcolo l re c f ( x) dx = c f ( x) dx 1 1 y b b x 5
Ulteriori proprietà dell integrle b b b ( f ( x) + g( x)) dx = f ( x) dx + g( x) dx y b x 6
Ulteriori proprietà dell integrle b b b ( c f ( x) + c g( x)) dx = c f ( x) dx + c g( x) dx 1 1 y b x 7
b f ( x) dx = f ( c)( b ) c (, b) y f(x) f(c ) f(c ) c b- b x 8
Funzione integrle: re d d x I ( x) = f () t dt x y f(x) x b x 9
Derivt lim x x f( x) f( x ) x x 3
Derivt dell funzione integrle I (x) I (x ) f( x) f( x ) I ( ) ( ) lim lim x I x = x x x x x x x x 31
lim Bisogn quindi clcolre I ( ) ( ) lim x I x x x x x Imposto il clcolo sostituendo l espressione di x x x x f () t dt f () t dt I( x) I( x ) = lim x x x x Uso l proprietà b x f ( x) dx = f ( x) dx b x I ( x) = f () t dt x 3
Si h quindi I ( x) I ( x ) x f () t dt f () t dt x lim = lim = lim x x x x x x x x x x x x x x f () t dt + f () t dt b f ( x) dx = f ( x) dx b Scmbio gli ddendi: lim x x f () t dt + f () t dt f () t dt + f () t dt x x = lim x x x x x x x x 33
lim Or uso l proprietà Si h quindi b c b f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx c x x f () t dt + f () t dt f () t dt x x = lim x x x x x x x x Or uso l proprietà x x f () t dt b f ( x) dx = f ( c)( b ) f( c)( x x ) lim = lim = lim f( c) = f( x ) x x x x x x x x x x 34
Rissumendo: Derivt dell funzione integrle I ( x) I ( x ) ' ( ) lim ( ) I x = = f x x x x x L derivt dell funzione integrle è l funzione integrnd (in (,b)) Teorem fondmentle del clcolo integrle (Torricelli-Brrow) 35
Osservzione L funzione integrle h l proprietà che l su derivt è l funzione integrnd. Se ci sono due funzioni, F(x) ed f(x) tli che F (x)=f(x) llor f(x) si dice derivt di F(x) ed F(x) si dice PRIMITIVA di f(x) 36
Osservzione Considero G(x)=F(x)+c Allor G (x)=f (x)+ Quindi se due funzioni differiscono di un costnte llor hnno l stess derivt. 37
Osservzione Considero due funzioni, F(x) e G(x) che hnno l stess derivt. Quindi F (x)=g (x) Quindi F (x)-g (x) = Ricordo che l derivt di un somm è l somm delle derivte, quindi =F (x)-g (x)= (F(x)-G(x) ) Ricordo che un qulsisi funzione con derivt null è costnte. Quindi F(x)-G(x) =k Conclusione: se due funzioni hnno l stess derivt, llor differiscono per un costnte. 38
In definitiv Due funzioni, F(x) e G(x) hnno l stess derivt se e solo se differiscono di un costnte. L funzione I(x) h come derivt f(x). Considerimo un ltr F(x) primitiv di f(x) Differisce d I(x) per un costnte, quindi I(x)=F(x)+c 39
Ricordo che I()= Quindi d I(x)=F(x)+c ho che =I()=F()+c Quindi c=-f() Quindi I(x)=F(x)-F() Se clcolo l integrle per x=b, ottengo I(b)=F(b)-F() IMPORTANTE: il vlore dell integrle è dto dll incremento di un qulsisi primitiv nel pssre d b Quindi per clcolre gli integrli bst trovre un qulsisi primitiv. Per comodità di notzione l insieme di tutte le primitive di f(x) si indic con f ( x) dx 4
Osservzione: il metodo di clcolo delle ree (integrle definito) si riconduce i metodi di clcolo delle primitive (integrle indefinito) Considerimo due metodi per il clcolo delle primitive: Il metodo di integrzione per prti Il metodo di integrzione per sostituzione 41
Il metodo di integrzione per prti Us l regol di derivzione del prodotto di funzioni D( f( xgx ) ( )) = f'( xgx ) ( ) + f( xg ) '( x) D( f( xgx ) ( )) dx= f'( xgx ) ( ) + f( xg ) '( x) dx ( ) f ( x) g( x) = f '( x) g( x) dx + f ( x) g'( x) dx f ( x) g'( x) dx ( ) ( ) = f x g x f '( x) g( x) dx 4
x xe dx Esempio f ( x) g'( x) dx = f ( x) g( x) f '( x) g( x) dx xe x dx = xe x 1 e x dx = xe x e x = e x ( x 1) 43
Metodo di integrzione per sostituzione Us l regol di derivzione delle funzioni composte Esempio: Df [ ( gx ( ))] = f'( gx ( )) g'( x) L funzione (5x + 1) Si ottiene dll composizione delle funzioni f( x) = x gx ( ) = 5x+ 1 Inftti clcolre f(x) su g(x) signific clcolre f non su x m su g(x), quindi bisogn sostituire l inter espressione di g(x) nell funzione f ( x ) f( gx ( )) = 5 + 1 44
Uso l regol di derivzione delle funzioni composte Df [ ( gx ( ))] = f'( gx ( )) g'( x) Quindi devo preprre, seprtmente f e g f ( x) = x, quindi f '( x) = x g( x) = 5x + 1, quindi g '( x) = 5 ( x) = 1x Li inserisco nell formul: ( ) ( ) Df [ ( gx ( ))] = 5x + 1 (1 x) = 5x + 1 x Corrisponde ll derivt di f clcolt su g(x), cioè f (g(x)) 45
Metodo di integrzione per sostituzione Us l regol di derivzione delle funzioni composte Df [ ( gx ( ))] = f'( gx ( )) g'( x) Se due funzioni sono uguli llor le primitive differiscono di un costnte, quindi D[ f ( g( x))] dx + c = f '( g( x)) g '( x) dx Usndo l definizione di primitiv si h f( gx ( )) + c= f'( gx ( )) g'( xdx ) ovvero f'( gx ( )) g'( xdx ) = f( gx ( )) + c 46
Ricordo che Esempio ( ) ( ) Df [ ( gx ( ))] = 5x + 1 (1 x) = 5x + 1 x ( ) ( ) ( ) 5x + 1 xdx = 5x + 1 (1 x) dx = 5x + 1 + c f'( gx ( )) g'( xdx ) = f( gx ( )) + c 47
Quindi il punto più importnte del metodo di integrzione per sostituzione è nell individuzione dell funzione g(x). Come fccio per individurl? Devo cpire se nell integrle ppre g(x) e, moltiplicre, g (x). 48
Esempi: dll tbell delle derivte delle funzioni composte n n n 1 ( ( )) ( ) [ ( ) ] ( ) '( ) f gx = gx Dgx = ngx g x g( x) g( x) g( x) ( ( )) [ ] '( ) f g x = e De = e g x g'( x) f( gx ( )) = log( gx ( )) D[log( gx ( ))] = gx ( ) 49
Osservzione: dll tbell delle derivte delle funzioni composte n n n 1 ( ( )) ( ) [ ( ) ] ( ) '( ) f gx = gx Dgx = ngx g x quindi 1 [ ( ) n ] ( ) n 1 '( ) Dgx = gx g x n per le proprietà dell derivt 1 D gx = gx g x n n n 1 [ ( ) ] ( ) '( ) : 5
Esempio ( 5x + 1) x dx Differisce dll esempio precedente per il numero moltiplicre Provo d individure ( ) 5 1, '( ) 5 ( ) 1 g x = x + quindi g x = x = x Quindi nell funzione integrnd non posso individure g perché mnc un fttore moltiplictivo. Posso introdurlo nel seguente modo: ( ) 1 ( ) 1 ( 5x + 1 x dx = 5x + 1 x dx = 1 5x + 1) x dx = 1 1 1 ( ) 1 = 5x + 1 (1 x) dx = g( x) g '( x) dx 1 1 51
Continuo l esercizio prtendo d Ricordo che voglio pplicre lo schem Or che è individut g devo individure f ( ) f'( gx ( )) g'( xdx ) = f( gx ( )) + c non vedo funzioni pplicte su g. Questo signific che posso considerre f (x)=x. Quindi f(x)=x / ( ) 5x + 1 x dx = g( x) g '( x) dx 1 1 1 1 1 5x + 1 x dx = g( x) g '( x) dx = f '( g( x)) g '( x) dx = f ( g( x)) + c 1 1 1 1 ( 5 1 ) = x + + c 5
Perché il metodo di integrzione si chim per sostituzione? Perché, per semplificre le notzioni, posso sostituire g(x) con un ltro simbolo, per esempio t 53
Riprendo l esercizio prtendo d ( ) 5x + 1 x dx = g( x) g '( x) dx 1 1 Per semplificre l notzione SOSTITUISCO t=g(x). L derivt di t è d t g '( x ) dx = dt = g '( x) dx D cui formlmente posso scrivere Quindi SOSTITUISCO g(x) con t e g (x)dx con dt ( ) 1 1 5x + 1 x dx = g( x) g '( x) dx = t dt 1 1 54
Continuo l esercizio prtendo d ( ) 1 1 5x + 1 x dx = g( x) g '( x) dx = t dt 1 1 Quest ultimo integrle è fcile d clcolre ( ) 5x + 1 xdx = tdt = t + c 1 1 Devo completre l integrzione sostituendo nuovmente 1 ( ) t= gx ( ) = 5x 1 1 1 E quindi 1 ( 5 1) ( 5 1) x + x dx = x + + c 55