ECONOMETRIA APPLICATA Prof. Rocco Mosconi Prova scritta del 13/5/2005

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1 Prova scritta del 13/5/2005 Disponiamo di dati cross-section relativi al 1982 per 595 lavoratori americani, tratti dal data base PSID (Panel Study of Income Dynamics, Cornwell-Rupert, 1988). Le variabili disponibili sono le seguenti: (1) XP = anni di esperienza. (2) XP2 = quadrato di XP. (3) WKS = settimane lavorate. (4) OCC = dummy (1=operaio). (5) IND = dummy (1=lavoratore nel settore manifatturiero). (6) SOUTH = dummy (1=individuo residente in stati del sud). (7) SMSA = dummy (1=individuo residente in grande città). (8) MS = dummy (1=individuo sposato). (9) FEM = dummy (1=donna). (10) UNION = dummy (1=iscritto a un sindacato). (11) ED = anni di educazione. (12) BLK = dummy (1=individuo nero). (13) LWAGE = logaritmo del salario. (14) M = dummy (1=uomo). (15) F_EDC = anni di educazione per le donne (0 per gli uomini). Si consideri la seguente regressione: Linear Regression - Estimation by Least Squares Dependent Variable LWAGE Usable Observations 595 Degrees of Freedom 582 Centered R** R Bar ** Uncentered R** T x R** Mean of Dependent Variable Std Error of Dependent Variable Standard Error of Estimate Sum of Squared Residuals Regression F(12,582) Significance Level of F Durbin-Watson Statistic Variable Coeff Std Error T-Stat Signif ******************************************************************************* 1. Constant WKS SOUTH SMSA MS XP XP OCC IND UNION FEM BLK ED La matrice di varianze e covarianze delle stime, moltiplicata per 1000 per ridurre l approssimazione, è data da

2 a. Si commenti brevemente il modello, illustrando quali analisi potrebbero essere appropriate per verificarne la bontà b. Qual è la vostra stima della variazione percentuale del salario per un individuo sposato rispetto a uno non sposato? c. Il modello consente di rappresentare la situazione in cui l essere iscritto al sindacato ha un impatto diverso per gli uomini e le donne? Se no come potreste modificarlo? d. Si testino separatamente le restrizioni che i salari attesi siano i medesimi indipendentemente dal fatto che l individuo sia sposato o no, appartenente ad un sindacato o no e. Si verifichi congiuntamente l ipotesi che i salari sono uguali, a parità di altre condizioni, indipendentemente dall sesso e dalla razza. Si definisca con c t il logaritmo dell ammontare complessivo dei consumi nella Rebubblica di Bananas nel trimestre t, e con y t il logaritmo del corrispondente reddito disponibile. Si supponga che la relazione dinamica tra queste due variabili sia adeguatamente descritta dal modello c t = c t y t - 0.2y t-1 + ε t Si illustrino le proprietà del modello.

3 Prova scritta del 1/7/2005 PRIMA PARTE (Moduli A e B) Nel seguente modello di regressione lineare: y t = β 0 + β 1 x 1,t + β 2 x 2,t + β 3 x 3,t + β 4 x 4,t + β 5 x 5,t + ε t t = 1, 2,..., T Siamo interessati a verificare la seguente ipotesi: 5 H 0 : β = 0 j= 1 j Spiegare come può essere verificata la validità di tale vincoli utilizzando un test statistico. Il test da voi proposto ha qualche relazione con l usuale test F del modello di regressione? Utilizzando una serie storica di 100 osservazione, si stima un modello ARMA(1, 1). I parametri stimati sono i seguenti: Parametro Stima St. Dev. t-ratio AR MA Constant Vengono quindi calcolati il fit e i residui. Si riportano di seguito le ultime 3 osservazioni: Num Osservato Fit Residuo Si illustrino brevemente le procedure atte a verificare se il modello si adatta bene ai dati, e si calcolino le previsioni per le successive 3 osservazioni. ESERCIZIO 3 Le due serie stazionarie {Xt} e {Yt} sono ottenute partendo dallo stesso processo White Noise {et}, di valore atteso nullo e varianza σ 2, mediante le equazioni: X t µ x = e t + β 1 e t-1 Y t µ y = α(y t-1 µ y ) + e t Si calcolino Var(X t ), Var(Y t ), Cov(X t,y t+k ), per k = -3,-2,-1,0,1,2,3.

4 Prova scritta del 1/7/2005 SEDONDA PARTE (Moduli C, D e E) Un associazione a tutela dei consumatori intende analizzare le difficoltà di accesso al credito dei suoi associati. Estrae quindi dai suoi archivi un campione casuale di 2000 soci, che vengono intervistati telefonicamente su tale problema. Di questi, 212 hanno richiesto un prestito per un ammontare superiore ai Euro negli ultimi due anni. Basandosi sui dati di questi 212 individui, viene stimato il seguente modello Probit: Variabile Coefficiente SE t-stat const P/I ratio tempjob dove la variabile dipendente DENY assume valore 1 se la domanda di mutuo è rifiutata e 0 se accolta, P/I ratio è il rapporto pagamenti per prestiti/reddito, e tempjob è una dummy che assume valore 1 se l individuo è lavoratore a tempo determinato, 0 altrimenti (dipendente a tempo indeterminato, autonomo). (a) Commentate brevemente il modello (b) Un richiedente lavoratore a tempo determinato ha un P/I ratio pari a Qual è la probabilità che la domanda venga respinta? (c) Supponete che il richiedente riesca a ridurre il P/I ratio a Che effetto ha questa riduzione sulla probabilità di rifiuto della domanda? (d) Ripetete i due punti precedenti per un lavoratore a tempo indeterminato o autonomo. (e) L effetto marginale del P/I ratio sulla probabilità di rifiuto della domanda dipende dal fatto che il lavoratore sia a tempo determinato? Una società che eroga finanziamenti vuole analizzare le determinanti del buon esito dei crediti erogati. Estrae quindi dai suoi archivi i dati relativi a 300 operazioni, di cui 150 estratte casualmente tra quelle concluse negativamente (perdita parziale o totale per la società erogatrice), e 150 estratti casualmente tra quelle concluse positivamente. In particolare, si vuole studiare se l esito del finanziamento è prevedibile sulla base del P/Iratio (il rapporto pagamenti per prestiti/reddito ) del beneficiario, e dal fatto che il beneficiario sia lavoratore a tempo determinato o altro (dipendente a tempo indeterminato, autonomo). (a) Illustrate brevemente come l analisi discriminante potrebbe essere utilizzata in questo caso e di quale interesse possa essere (b) Pensate che un modello probit possa essere utile in questo caso?

5 Prova scritta del 26/7/2005 PRIMA PARTE (Moduli A e B) Si considerino i seguenti 3 modelli di regressione: (1) yt = β 0 + β1x1, t + β 2x2, t + β 3x3, t + β 4 x4, t + ε t t = 1,..., T (2) y = γ + γ ( x + x ) + γ ( x x ) + η t 1 T t 0 1 1, t 5 2, t 2 3, t 4, t t =,..., (3) ( y x ) = δ + δ ( x x ) + δ ( x + x ) + δ x + δ x + ν t 1,..., T t 1, t 0 1 1, t 2, t 2 1, t 2, t 3 3, t 4 4, t t = dove sui termini d errore si assume che valgano le usuali ipotesi. Illustrare quali sono le relazioni tra i tre modelli. In particolare, immaginando di disporre di dati, si precisi se e come è possibile verificare mediante test statistici quale di essi è preferibile. Si consideri il modello: yt = yt 1 0.5xt + 0.2ut 1 + ut t = 1,..., T con ut white noise gaussiano con varianza 4. Si illustrino le proprietà del modello e si calcoli la previsione puntuale e per intervallo (95%) uno e due passi in avanti quando: y T = + 15, xt + 1 = xt 2 = 4, ut = 0.9

6 Prova scritta del 26/7/2005 SEDONDA PARTE (Moduli C, D e E) Il responsabile della produzione di una piccola impresa di calzature vuole utilizzare un modello statistico per prevedere il numero di guasti che si verificano nel suo impianto, al fine di razionalizzare gli interventi di manutenzione riducendone in tal modo i costi. Il numero di guasti è mediamente pari a poco più di due, con punte che arrivano anche a una decina. Il responsabile della produzione è convinto che il numero di guasti dipenda essenzialmente dal numero di pezzi che vengono prodotti nella giornata, e che ci sia una certa inerzia, per cui anche il numero di guasti verificatosi nei due o tre giorni precedenti potrebbe dare un contributo alla previsione. Si suggerisca al responsabile un opportuno modello statistico, dandogli indicazioni sul tipo di dati necessari per stimarlo e sulla tecnica di stima. Si descriva infine come il modello proposto possa essere impiegato per prevedere il numero di guasti nei due giorni successivi. Si supponga di voler costruire un portafoglio costituito da una attività rischiosa ed una attività priva di rischio. L attività risk free ha rendimento pari a 2 (ovvero 2%), mentre l attività rischiosa ha rendimento atteso pari a 4 e varianza data da σ 2 t = σ + t 1 0.8rt 1 dove r t rappresenta l extrarendimento dell attività rischiosa. Si descrivano brevemente le proprietà del modello per la varianza dell attività rischiosa. Si calcoli la varianza non condizionale, e si indichi in base a tale varianza quale deve essere la composizione del portafoglio per ottenere una deviazione standard pari a 1. Quale sarà il rendimento atteso del portafoglio così ottenuto? Supponendo che σ 2 T = 9 e r T2 = 16, rispondete alle domande del punto precedente utilizzando la varianza condizionale. Commentate

7 Prova scritta del 16/5/2006 Un ricercatore dispone dei seguenti dati relative ad un campione di 1498 donne, tratto dallo United States National Longitudinal Survey of Youth : peso in Kg, altezza in cm, anni di scolarizzazione, età, stato civile (variabile dummy MARRIED uguale a 1 se l intervistata è sposata, 0 altrimenti), gruppo etnico (variabile dummy BLACK uguale a 1 se l intervistata è nera, 0 altrimenti). Si dispone di dati per le stesse donne nel 1985 e nel Le intervistate avevano età compresa tra I 20 e I 27 anni nel Le donne divorziate nel 1985 o nel 2000 sono state escluse dal campione. Il ricercatore stima due modelli di regressione: (1) nel primo, utilizzando sia i dati del 1985 sia quelli del 2000, si regredisce la variabile peso contro anni di scolarizzazione, MARRIED, statura, età, e BLACK. (2) nel secondo, si regrediscono le variazioni di peso tra il 1985 e il 2000 contro la variazione negli anni di scolarizzazione, variazione nella variabile MARRIED, e la variazione di età (15 anni per tutte le intervistate), senza la costante. I risultati sono in tabella (test t tra parentesi). Modello (1) Modello (2) Anni di scolarizzazione 0.88 ( 7.41) Married 3.27 ( 5.28) Statura 0.37 (11.51) Età 0.82 (22.06) Black 6.12 (7.43) Costante 5.52 ( 1.03) 0.06 ( 0.25) 0.01 (0.02) 0.72 (28.26) R N 2,996 1,498 (a) Interpretare i due modelli e spiegare il motivo dell eliminazione di alcune variabili nel modello (2). (b) quali analisi consigliereste per verificare la corretta specificazione dei modelli? (c) Il coefficiente della variabile married è negativa e molto significativo nel modello (1), positiva e poco significativo nel modello (2): date una interpretazione intuitiva del risultato (d) L R 2 è molto più alto nel modello (2). Questo implica che il modello (2) è migliore? (e) In generale, ha senso che un modello in cui le variabili sono espresse in termini di variazione dia risultati diversi da un modello in livelli? Ritenete che la possibile omissione di variabili tempo invarianti correlate con i regressori del modello (1) possa essere tra le spiegazioni?

8 Un ricercatore dispone di dati annuali dal 1973 al 2002 relativi a consumi C e reddito, Y, per un certo paese. E interessato a studiare le relazioni tra C e Y, e stima I seguenti modelli di t t regressione: (1) C contro Y, C, and Y, t t t 1 t 1 (2) C contro Y, t t (3) C contro Y con errori AR(1). t t La tabella mostra i risultati (tre parentesi gli errori standard, RSS è la soma dei residui al quadrato. d è il test Durbin Watson. ρˆ è la stima del parametro del modello AR(1)). Y 0.23 t (0.03) C 0.48 t 1 (0.12) Y 0.19 t 1 (0.04) constant Modello (1) Modello (2) Modello (3) (18.27) 0.72 (0.07) (42.15) 0.67 (0.12) (30.33) ρˆ 0.34 (0.13) D RSS Commentare i tre modelli e le loro relazioni, indicando se c è evidenza che uno dei tre sia il migliore. In particolare, discurete l effetto di Y su C nei tre modelli.

9 Prova scritta del 28/6/2006 PRIMA PARTE La prima colonna della seguente figura mostra tre serie storiche (dall alto in basso A, B e C), mentre la seconda colonna mostra tre funzioni di autocovarianza (dall alto in basso α, β e γ): a) Associare le serie storiche alle funzioni di autocovarianza, spiegando il motivo dell associazione.

10 b) Uno dei processi è un AR(1) e uno è un MA(1): dire quali sono e calcolarne i parametri partendo dalle autocovarianze (la varianza del white noise in ingresso è pari a 1) Supponete che la domanda di tè cinese in Italia sia determinata dall equazione lnq t = β 0 + β 0 lnpc t + β 0 lnpi t + β 0 lnpb t + β 0 lny t + u t dove Q sta per le importazioni di tè cinese in Italia, PC sta per il prezzo medio al dettaglio del tè cinese sul mercato italiano, PI sta per il prezzo medio al dettaglio del tè indiano sul mercato italiano, PB sta per il prezzo medio al dettaglio del caffè sul mercato italiano e Y sta per il reddito disponibile. Avendo a disposizione un campione di 22 osservazioni trimestrali, è stata effettuata una prima regressione OLS i cui risultati sono: lnq t = lnpc t lnpi t lnpb t lny t, 22 t= 1 u ˆ 2 t = (2.000) (0.987) (0.690) (0.134) (0.370) e una seconda regressione OLS (vincolata) che ha fornito le seguenti stime lnq + lnpc = lnpb lny, u ˆ 2 = (0.820) (0.155) (0.370) dove tra parentesi sono riportati i relativi errori standard. a) Supponendo l omoschedasticità, formulate l ipotesi nulla che conduce alla seconda regressione. b) Indicate se è possibile rigettate o meno l ipotesi nulla. c) Quali sono le implicazioni economiche dell ipotesi nulla? 22 t= 1 t

11 Prova scritta del 28/6/2006 SECONDA PARTE La Organic Food Inc. commissiona alla PolyEconometrics una ricerca sulle determinanti dell acquisto di prodotti biologici. I dati forniti alla PolyEconometrics provengono da interviste telefoniche. Ad ognuno dei 660 intervistati viene richiesta la quantità di mele biologiche e normali che acquisterebbe per dati livelli di prezzo delle mele biologiche e normali. I prezzi sono espressi in dollari per libbra. Le quantità dichiarate, denominate QBIO e QNORM sono entrambe espresse in libbre. Si rilevano inoltre le seguenti variabili: PRBIO: prezzo delle mele biologiche PRNORM: prezzo delle mele normali REDDFAM: reddito familiare in migliaia di dollari EDUC: educazione del capo famiglia in anni di studio compiuti NUM5_17: numero di familiari di età compresa tra 5 e 17 anni La quantità media di mele biologiche è 1.47, con deviazione standard degli intervistati dichiarano che non acquisterebbero mele biologiche. Stimando con i minimi quadrati una regressione lineare di QBIO contro costante, ln(prbio), ln(prnorm), ln(reddfam), EDUC, NUM5_17 si ottengono i seguenti risultati: Variable Coeff Std Error T-Stat Signif ******************************************************************************* 1. Constant ln(prbio) ln(prnorm) ln(reddfam) EDUC NUM5_ Con deviazione standard del residuo pari a Se invece si stima il modello tobit sulle medesime variabili si ottiene quanto segue: Variable Coeff Std Error T-Stat Signif ******************************************************************************* 1. Constant ln(prbio) ln(prnorm) ln(reddfam) EDUC NUM5_ ******************************************************************************* 7. SIGMA a) Spiegate quale tra i due modelli vi pare più appropriato e perchè. b) Come mai i parametri stimati nel modello Tobit sono più grandi? c) Utilizzando il modello tobit, calcolate E(y x) e E(y x,y>0) quando PRBIO=1.2, PRNORM=1.0, REDDFAM=80, EDUC=15, NUM5_17=1. d) Di quanto varia la quantità domandata di mele biologiche quando il prezzo delle mele biologiche aumenta di 30 cents? E se il prezzo delle mele normali aumenta di 30 cents?

12 e) Ristimando il modello tobit escludento il prezzo delle mele normali, il coefficiente del prezzo delle mele biologiche si modifica come segue: Variable Coeff Std Error T-Stat Signif ******************************************************************************* 2. ln(prbio) Alla luce di ciò, ritenete che nel campione utilizzato ci sia correlazione tra il prezzo dei due tipi di mele? Se si, che segno ha tale correlazione? Supponete di poter investire un capitale di 1000 Euro in un titolo risk free con rendimento e un titolo rischioso il cui rendimento r t è distribuito secondo una normale di rendimento atteso 0.02 e varianza σ 2 t= (r t ) 2. a) Supponendo di non avere alcuna informazione sui rendimenti realizzati nel passato, e che il vostro obiettivo sia quello di avere un portafoglio con deviazione standard pari a 0.01, quanto investireste nei due titoli? Quale sarà quindi il vostro rendimento atteso? b) Come varia la risposta alla domanda precedente sapendo che l ultimo rendimento è stato pari a 0.01?

13 Prova scritta del 11/5/2007 PRIMA PARTE Si vogliono analizzare le differenze salariali tra uomini e donne utilizzando dati relativi al salario lordo (w i, in migliaia di Euro all anno), genere (f i, 1 per le donne) e tipo di impiego (classificato in 82 differenti tipi) per un campione di lavoratori. c) Proponete un modello che vi pare appropriato per studiare il problema, illustrate la tecnica di stima dei parametri, le ipotesi probabilistiche del modello e le proprietà dello stimatore proposto sotto tali ipotesi. d) Illustrate quali test condurreste su tale modello per valutare la correttezza delle ipotesi probabilistiche e) Supponete che 17 delle 82 tipologie di impiego possano essere classificate come occupazioni di alto livello. Come potreste verificare l ipotesi che le differenze salariali tra uomini e donne siano maggiori nelle occupazioni di alto livello? Partendo dal problema precedente, si supponga che, in sede di raccolta dati, sia stato richiesto ai lavoratori di indicare il proprio reddito in modo preciso solo se questo è inferiore ai Euro, indicando invece oltre euro in caso contrario. a) Che problemi ci sarebbero a stimare il modello che avete proposto nell esercizio precedente considerando pari a 50,000 i redditi al di sopra di tale soglia? b) Proponete un modello e una tecnica di stima più adatta in questo caso c) Supponete che in fase di raccolta dati i lavoratori abbiano indicato il loro salario semplicemente collocandosi in una delle seguenti classi: [ ), [ ), [ ), [ ), [ ), [ ]. Come adattereste modello e tecnica di stima a questa situazione?

14 Prova scritta del 30/6/2007 PRIMA PARTE Utilizzando dati mensili su un periodo di 17 anni stimate il modello Y t = β 0 + β 1 Y t-1 + β 2 X t-1 + u t a) Supponiamo che il residuo non sia autocorrelato, e presenti un istogramma come quello indicata sotto. Vi pare che il modello sia appropriato? Se no, quale modifiche apportereste? Histogram b) Si supponga invece che il residuo sia sempre non autocorrelato, ma presenti un istogramma come quello indicata sotto. Vi pare che il modello sia appropriato? Se no, quale modifiche apportereste? Histogram M

15 Si supponga di disporre di dati relativi alle scelte di un insieme di consumatori rispetto a 3 diverse marche di succo d arancia, ottenuti rielaborando le informazioni del lettore ottico. Più precisamente osserviamo, per 400 consumatori, relativamente all ultimo acquisto di succo d arancia: y j,i dummy che indica se il consumatore i ha scelto la marca j, 0 altrimenti. p j,i prezzo non scontato della marca j nel giorno in cui si osserva la scelta del consumatore i. d j,i sconto sulla marca j nel giorno in cui si osserva la scelta del consumatore i. f j,i dummy che indica se c è qualche ulteriore offerta sulla marca j nel giorno in cui si osserva la scelta del consumatore i. l j,i un indicatore di lealtà alla marca j del consumatore i (percentuale di acquisto della marca j negli ultimi 10 acquisti di succo d arancia). Supponendo che esistano solo le tre marche in esame e che non si verifichi mai l acquisto contemporaneo di due marche diverse: a) Formulare un modello idoneo a rappresentare le scelte dei consumatori e indicare come può essere stimato con I dati disponibili. b) Come si può verificare nel vostro modello se l acquisto di una marca è influenzato dal prezzo della marca stessa? E da quello dei competitori? c) E possible modellare e testare il fatto che gli sconti abbiano un effetto diverso in funzione del grado di lealtà del consumatore?

16 Prova scritta del 30/6/2007 SECONDA PARTE a) Utilizzando dati trimestrali su un periodo di 25 anni supponete di aver stimato il modello y t = β 0 + β 1 y t-1 + β 2 y t-2 + u t. Utilizzando tale modello, è possibile ottenere previsioni per i due trimestri successivi al periodo di stima? Oltre alle previsioni puntuali, sapreste costruire intorno ad ogni valore previsto un intervallo di confidenza al 95% b) Si supponga di osservare anche la serie storica x t, e di ritenere interessante analizzare un modello del tipo y t = β 0 + β 1 y t-1 + β 2 y t-2 + β 3 x t-1 + u t. Come varia la risposta alla domanda precedente? c) Tornando al modello del punto a, supponiamo che il residuo presenti una funzione di autocorrelazione come quella indicata sotto. Vi pare che il modello sia appropriato? Se no, quale modifiche apportereste? Sapreste effettuare le previsioni puntuali e per intervallo nei due periodi successivi con il modello da voi proposto? Considerate il modello y t = β 0 + β 1 y t-1 + β 2 y t-2 + u t u t ~ N(0; σ 2 t) σ 2 t = ω + α 1 u 2 t-1 + α 2 u 2 t-2 ω >0, α 1,α 2 0, α 1 + α 2 <1 a) Descrivere le proprietà del modello e indicate valore atteso e varianza non condizionale per y. b) Come stimereste i parametri del modello? c) Supponendo che tutti i parametri del modello siano noti, calcolare la previsione puntuale e per intervallo di y per due passi.

17 Prova scritta del 20/7/2007 PRIMA PARTE Sia C i la spesa per consumi di una famiglia, Y i il suo reddito e N i il numero di componenti della famiglia. Formulate un modello econometrico che incorpori le seguenti ipotesi: (1) La propensione marginale al consumo (derivata del consumo rispetto al reddito) decresce al crescere del reddito. (2) L effetto marginale della dimensione della famiglia sui consumi decresce al crescere di N (economie di scala nella cucina, nelle spese per affitto...). Descrivete come verifichereste le ipotesi indicate Si supponga di essere interessati allo studio degli accordi stipulati dalle imprese italiane. Si vuole in particolare verificare se il numero di accordi stipulati da un impresa per unità di tempo (es. anno) dipende dalla dimensione dell impresa stessa e dall appartenenza dell impresa ad un settore High-Tech. A tal fine si dispone, per un campione di 200 imprese italiane, relativamente all anno 2005, delle seguenti variabili: ACC: numero di accordi, codificato come segue: 0 = nessun accordo, 1 = un accordo, 2 = due o più accordi ADD: numero di addetti dell impresa DHT: dummy che vale 1 se l impresa opera in un settore High-Tech e 0 altrimenti. a) Proponete uno o più modelli che ritenete appropriati per studiare il problema utilizzando dati di questo tipo, eventualmente illustrandone vantaggi e svantaggi b) Illustrate come è possibile stimare i parametri del modello (o dei modelli) del punto precedente c) Come potreste verificare l ipotesi che il numero di accordi cresca con la dimensione e con l appartenenza a settori High-Tech?

18 Prova scritta del 20/7/2007 SECONDA PARTE Associare a ciascuna delle figure seguenti FIGURA A FIGURA D FIGURA B FIGURA E FIGURA C FIGURA F il corrispondente modello, scelto tra: Modello 1: Modello 2: Modello 3: Modello 4: Modello 5: Modello 6: x t = 0.5x t-1 + u t x t = 0.9x t-1 + u t x t = x t-1 + u t x t = x t-1 + u t x t = x t-1 + u t x t = x t-1 + u t spiegando il motivo di ogni associazione.

19 Si intende studiare l'effetto dell'emissione di nuovo capitale di debito da parte di società quotate sul mercato italiano. Si considerano 143 casi, nel periodo L'analisi mediante tecniche di event study da il seguente risultato: giorno AR medio CAR medio dev.st. CAR medio a. Commentare il risultato illustrando molto sinteticamente la procedura che lo ha generato b. Come modifichereste la procedura per tener conto del fatto che il mercato potrebbe valutare in modo diverso l'impatto di un aumento del debito per le imprese ad alto indebitmento rispetto a quelle poco indebitate?