PdV. = f. Lavoro(2) volume tra V i e V f

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1 avoro(2) Ø Il lavoro totale eettuato da un gas quando l suo volume vara da un volume nzale ad un volume nale è dato dall ntegrale: d Attenzone: durante la varazone d volume ossono cambare anche T e > ntegrale dende da come vara n unzone d S uò assare dallo stato allo stato n var mod, ad ognuno de qual sarà assocato un lavoro dverso Se la ressone ed l volume sono not n ogn unto della trasormazone, quest ossono essere rortat n un dagramma Esansone d un gas ( rocesso quas-statco) dallo stato nzale allo stato nale. Il lavoro è ar all area sottesa dalla curva nell ntervallo d volume tra e >0 Il lavoro svolto su un gas n una trasormazon quasstatca da uno stato nzale ad uno stato nale è l area sotto la curva del dagramma calcolata tra lo stato nzale e lo stato nale Il lavoro dende dal cammno eettuato!

2 (a) ( ) d ( a) avoro(3) ( b ) ( ) (b) ( c ) ( ) (c) >0 >0 (b) Il cambamento avvene n due as: 1)Esansone a ressone costante (sobara) > S aumenta la temeratura della sorgente e s lasca che l volume aument l 2) Dmnuzone d ressone a volume costante (socora)> S ssa l stone e s dmnusce la temeratura (la ressone dmnusce no ad arrvare a >0 (c) Il cambamento avvene n due as: 1) Dmnuzone della ressone a volume costante (socora) 2)Esansone a ressone costante (sobara) (c) < (a) < (b) ( d ) m ( ) (d) m ( d ) m ( ) (e) m a trasormazone uò avvenre comendo un lavoro tanto ccolo (d) o tanto grande (e), quanto s vuole

3 avoro(4) energa traserta sotto orma d calore, analogamente al lavoro comuto dende dalla trasormazone avvenuta er andare dallo stato nzale a quello nale del sstema Consderamo le due trasormazon n gura, entrambe artono da uno stesso stato nzale dento da T,, ed arrvano ad uno stesso stato nale. (a) In questa trasormazone l gas è n contatto con un serbatoo d energa a temeratura T ed l volume è mantenuto costante da una orza esterna che reme sul stone. Ad un certo unto la orza comnca a dmnure molto lentamente Il gas s esande lentamente no a raggungere l volume nale Δ>0 > >0 ( l gas come l lavoro) Q 0 >Durante questa esansone vene ornto calore dall ambente er mantenere T costante (b)esansone lbera In questa trasormazone l sstema è comletamente solato Il gas è mantenuto al volume nzale da una membrana, ed al d là della membrana c è l vuoto. Quando s rome la membrana l gas s esande velocemente a remre la regone d vuoto no ad occuare tutto l volume nale a ressone nale è a temeratura nale rsulterà essere uguale a quella nzale 0 >n quanto nessuna orza agsce sul gas Q0

4 Cclo termodnamco Cclo termodnamco: Sere d trasormazon termodnamche durante le qual sstema vene ortato da uno stato a degl stat ntermed er o tornare d nuovo allo stato. Δ>0 >0 Δ<0 <0 net >0 Il lavoro n un cclo termodnamco è la somma de lavor eettuat durante le trasormazon ( lavor che ossono essere ostv se la trasormazone revede un esansone o negatv se revede una comressone) net + Il lavoro n un cclo termodnamco è l area racchusa dal cammno della trasormazone

5 Esemo Un gas eretto come due trasormazon, nelle qual stato nzale e stato nale sono gl stess: () a 2.00m 3 () a 10.0m 3 Nella trasormazone (1) la temeratura rmane costante Nella trasormazone (2) rma la ressone, o l volume rmangono costant Qual è l raorto tra l lavoro comuto dal gas nelle due trasormazon? er determnare l lavoro rcordamo che: de che nrt nrt oché la trasormazone (1) avvene a T costante 1/ d ( ) 1 nrt d nrt d nrt ln nrt ln Nella trasormazone (2) s ha rma la comressone a ressone costante er la quale Δ o un aumento d ressone a volume costante ( lavoro nullo), qund: ( 2 ) ( ) R 1 ( ) ( 2) nrt ln ( ) ln ( ) Δ<0 <0 ln 10.0 ln Δ<0 <0 (1) Tcostante (2)

6 rmo rnco della termodnamca Abbamo vsto che quando un sstema termodnamco assa da uno stato nzale ad uno stato nale, sa l lavoro che l calore dendono dal to d trasormazone utlzzata Sermentalmente s trova erò che la quanttà (Q ) è semre la stessa ndendentemente dal to d trasormazone a quanttà Q- è roro la varazone d energa nterna del sstema quando assa dallo stato allo stato ( rcordamoc che e Q sono unzon d trasermento d Energa) rmo rnco della termodnamca: ΔE nt E nt, E nt, Q ΔE Dende solo dagl stat nzal e nal Dove: Q >0 quando l calore è ornto al sstema >0 quando l lavoro è eettuato dal sstema ( es: durante un esansone) NB: n molt test ( anche nel Serway) l rmo rnco s enunca come: Δ nt E Q + n questo caso vene usata la convezone che: Q>0 quando l calore è ornto al sstema >0 quando l lavoro è comuto sul sstema (es: durante una comressone) NB: Il valore nale d ΔE sarà comunque lo stesso oché l lavoro comuto sul sstema è semre uguale al lavoro comuto dal sstema cambato d segno

7 rmo rnco della termodnamca ΔE nt Il rmo rnco della termodnamca è un estensone della legge della conservazone dell energa meccanca (valda solo er un sstema solato) a sstem non solat ed aerma che: la varazone dell energa nterna d un sstema è uguale alla somma dell energa traserta medante scambo d calore e medante l lavoro Q In orma derenzale: de nt Q Dove l smbolo adottato er derenzal d Q e ndcano che ess non sono derenzal esatt, n quanto non è ossble scrvere unzon del to Q(,) o (,), dendent solo dallo stato del sstema, no l tratteremo solo come traserment nntesm d energa Il segno adottato nella ormulazone resentata della I legge della Termodnamca è consstente con l atto che l energa nterna tende ad aumentare se nel sstema vene traserta energa sotto orma d calore e tende a dmnure se al sstema vene sottratta energa sotto orma d lavoro comuto dal sstema.

8 Alcazon del rmo rnco della termodnamca Analzzamo ora alcune trasormazon termodnamche d base e vedamo qual conseguenze s trovano dall alcazone del rmo rnco della termodnamca Trasormazone Caratterstca Adabatca Q 0 Esansone bera Q0 Isocora costante Cclo Chuso ΔE nt 0 Isoterma T costante Isobara costante

9 Trasormazone Adabatca: Q 0 Una trasormazone n cu l sstema rsulta termcamente solato dall ambente vene chamata Trasormazone adabatca. Durante una trasormazone adabatca non c è scambo d energa termca con l esterno e qund Q 0 Q 0 ΔE nt Q Trasormazone adabatca Q 0 ΔEnt ΔE nt 3 2 nrδt Se >0 (gas come lavoro:esansone) > ΔE nt <0 > T dmnusce Se <0 (gas subsce lavoro:comressone) > ΔE nt >0 > T aumenta equazone d stato la vedremo doo Esemo: Un gas contenuto n un clndro solato termcamente con un stone tenuto ermo da una certa quanttà d alln d ombo. Se s tolgono man mano alln d ombo l gas s esanderà lentamente senza scambo d calore con l esterno e trasormazon adabatche sono alla base d molt ccl d motor a combustone nterna ( sono la ase d comressone ne motor desel)

10 Trasormazon socore: costante Nelle trasormazon socore l volume rmane costante e qund l lavoro del gas è nullo: d d! Δ0 0 a varazone d energa nterna sarà qund dovuta al solo scambo d calore con l ambente ΔE nt Q Q ΔEnt Q socore 0 Trasormazon Se Q> 0 (gas assorbe energa) > ΔE nt >0 > ΔT>0 (la temeratura aumenta) Se Q<0 (gas cede energa) > ΔE nt <0 > ΔT<0 (la temeratura dmnusce)

11 Esansone lbera Ø esansone lbera è un caso artcolare d trasormazone adabatca. Ø Il sstema è solato termcamente e qund non c è scambo d calore con l esterno (Q0) Ø Il gas esandendos non come lavoro n quanto s esande n uno sazo vuoto ed l suo moto non è contrastato da nessuna ressone ( 0 ) Ø Questa trasormazone non uò avvenre lentamente Ø Non c è equlbro termco durante l rocesso d esansone (ma solo allo stato nzale ed a quello nale) Ø,T, non sono dent negl stat ntermed e non è ossble traccare un graco della trasormazone Q 0 0 er l rmo rnco della termodnamca s ha che: ΔE nt Q 0 Qund, er una trasormazone lbera s ha: Q 0 0 ΔEnt 0 trasormazone lbera In un esansone lbera l energa nterna nzale e quella nale d un gas sono ugual oché l energa nterna è drettamente roorzonale alla temeratura del gas, la temeratura nelle esanson lbere non vara (Tcostante) (sermentalmente dmostrato er esanson a resson basse, er gas real s rscontra una leggera varazone d temeratura)

12 Trasormazone sobara: costante Se consderamo un clndro contenente gas con un stone lbero d muovers, la ressone all nterno del gas è legata alla ressone atmoserca ed al eso del stone e qund rmarrà costante durante una trasormazone. d d Δ ΔE nt Q Δ Trasormazone sobara

13 Trasormazone Isoterma: T costante Se la temeratura durante una trasormazone rmane costante la varazone d energa nterna è nulla oché E nt T qund anche E nt è costante NB: nrt 1 y x costante è l equazone d un erbole 1 Sul dagramma la curva della trasormazone soterma è un erbole e su d essa gaccono unt er qual l sstema ha la stessa temeratura d nrt d nrt ln ΔE nt Q 0 ΔE 0 Q nrt ln Trasormazone Isoterma Durante un esansone soterma l energa Q assorbta dal sstema vene trasormata n avoro meccanco comuto dal sstema Durante una comressone soterma l sstema subsce un lavoro meccanco ed emette una quanttà d energa Q ar a tale lavoro

14 Esemo Eserczo: Un clndro metallco con un stone moble a tenuta, contene 0.24 mol d gas N 2 (Azoto) ad una ressone nzale d 140 ka. Il stone vene sostato lentamente nel clndro no a ar raddoare l volume occuato dal gas. Il clndro rmane durante la trasormazone, n contatto termco con l ambente a 310 K. Quanto calore vene ceduto al gas n questa trasormazone? T Q 310 K 140 ka? 2 cost. ΔE nt 0 Q - 0 Q Q d nrt ln 2 nrt ln nrt ln 2 ( )( mol 8.31 J mol K ) ( 310 K) ln J

15 Trasormazon cclche Ø e trasormazon cclche sono trasormazon che nzano e nscono nello stesso stato Ø a varazone dell energa nterna deve essere nulla erché l energa nterna è una varable d stato e gl stat nzal e nal concdono Ø energa traserta medante l calore deve essere qund uguale al lavoro svolto dal gas ΔE nt Q 0 ΔE 0 Q nt Trasormazon cclche net >0 Il lavoro comuto dal gas er cclo è ar all area racchusa dal cammno che raresenta la trasormazone nel dagramma e trasormazon cclche sono alla base della termodnamca che regola motor termc ( dsostv termc er qual una razone dell energa assorbta dal sstema come calore vene convertta n lavoro meccanco)

16 Tabella Rassuntva Trasormazone Caratterstca ncolo Conseguenza Del rmo rnco della termodnamca Adabatca Q 0 Q 0 ΔE nt - Esansone bera Q0 Q0 ΔE nt 0 Isocora costante 0 ΔE nt Q Cclo Chuso ΔE nt 0 ΔE nt 0 Q Isoterma T costante ΔE nt 0 Q nrt ln( / ) Isobara costante ΔE nt Q - Δ

17 Calor Secc molar de gas Abbamo vsto che l energa nterna d un gas monoatomco è legato alla temeratura dalla relazone: E nt 3 2 nrt Da questa relazone è ossble rcavare due esresson er l calore secco molare del gas (calore secco molare quanttà d calore necessara a ar aumentare d 1 kelvn la temeratura d una mole del gas) Ø Calore secco a volume costante c v ( la varazone d temeratura avvene durante una trasormazone a volume costante) Ø Calore secco a ressone costante c ( la varazone d temeratura avvene durante una trasormazone a ressone costante) NB:s hanno due esresson dverse er l calore secco d un gas oché esso dende dalla trasormazone termodnamca durante la quale avvene lo scambo d calore

18 Calore secco molare a volume costante Stato nzale : (n,,t,) n mol d gas eretto a ressone racchuso n un clndro d volume sso n contatto termco con una sorgente d calore a temeratura T Suonamo d ornre una ccola quanttà d calore Q al gas aumentando la temeratura della sorgente d calore: T T + ΔT a ressone aumenta d una quanttà Δ : + Δ Stato nale : (n, + Δ, T + ΔT, ) Il calore n questa trasormazone socora sarà dato da: Q nc v ΔT Ma n una trasormazone socora la varazone d energa nterna è ar roro a Q n quanto l lavoro meccanco è nullo: ΔE nt Q nc v ΔT c v 1 n ΔE nt ΔT Calore secco molare a volume costante c v 1 n ΔE nt ΔT 1 n ( 3 2)nRΔT ΔT c v 3 2 R c v 12,5J ( mol K ) R costante unversale de gas 8,314 J/(mole K) I valor sermental d c v er gas monoatomc sono n buon accordo con l valore atteso

19 Energa nterna d un gas oché la varazone d energa nterna è una unzone d stato che qund dende solo dallo stato nzale e dallo stato nale, essa sarà uguale er tutte le trasormazon che assano dallo stato allo stato. Fgura: er tutte le trasormazon che ortano da uno stato nzale a temeratura T ad uno stato nale a temeratura T + ΔT la varazone d energa nterna ΔE nt è la stessa E ossamo qund ar rermento alla trasormazone o socora er determnare la varazone d energa nterna assocata alla varazone d temeratura ΔT. er tale trasormazone saamo natt che: 0 ΔE nt nc v ΔT a varazone d energa nterna d un gas deale non dende dal to d trasormazone che ha rodotto una varazone d temeratura del gas, ma solo dalla varazone ΔT stessa. ΔE nt nc v ΔT arazone d energa nterna d un gas deale, er qualsas trasormazone che orta una varazone ΔT della temeratura NB: Q ed assocat alla artcolare trasormazone sono comunque derent er var ercors, così come e

20 Calore secco molare a ressone costante Consderamo ora che l nostro sstema abba l stone lbero d muovers e sa ancora n contatto termco con la sorgente d calore a temeratura T regolable. In questo caso alla varazone ΔT d temeratura corrsonderà un esansone Δ del volume del gas a ressone costante (la ressone è legata alla ressone atmoserca ed al eso del stone..) Ø Stato nzale (,T, ) Ø Stato nale ʹ (,T+ ΔT,+ Δ) Il calore n questa trasormazone sobara sarà dato da: Q nc ΔT Il lavoro comuto dal gas nell esansone sarà: Δ enerega nterna: Δ nt E Q Δ nc ΔT Δ energa nterna erò saamo essere anche uguale a: Δ Ent nc v Δ T nc ΔT Δ nc ΔT Rcordando che nrt Δ nrδt ossamo sostture Δ ed ottenere: nc ΔT nrδt nc ΔT c c R c R + c Relazone d Mayer

21 Grad d lbertà e calore secco molare Abbamo vsto che er gas monoatomc l calore secco a volume costante è legato alla costante unversale de gas R dalla relazone: c v 3 2R Il calore secco a ressone costante er un gas monoatomco sarà qund c 5 2 R c c v + R er gas batomc e olatomc dove entrano n goco oltre che grad d lbertà traslazonal anche quell rotazonal delle molecole (2 er gas batomc 3 er quell olatomc) vale l teorema d equartzone dell energa ( ogn grado d lbertà d una molecola contrbusce all energa nterna della molecola n meda con un valore ½ k B T d energa ) Se è l numero d grad d lbertà allora: 5 2 R E nt 2 nrt nc v ΔT 2 nrδt c v R c cv + R c 2 R molecola Es. Trasl. Rot. total E nt c v c c v +R Monoat. He /2nRT 3/2R 5/2R Batom. O /2nRT 5/2R 7/2R olatom. CH nRT 3R 4R

22 Esansone Adabatca (contnua) Ø Abbamo vsto che l esansone adabatca è una trasormazone che avvene senza scambo d calore con l ambente, coè Q0 Ø Avevamo lascato n soseso la ormulazone dell equazone d stato Ø T, e varano durante la trasormazone; s ossono comunque trovare delle relazon che legano le varabl due a due (no troveremo la relazone che lega e ). Consderamo l recente solato contente l gas ed l stone tenuto ermo da alln d ombo, che man mano andremo a levare. er ogn allno levato l volume del gas aumenta d una nntesmo d. er una varazone così ccola d volume la ressone uò essere consderata costante, qund l lavoro nntesmo d sarà dato da: d d er la rma legge della termodnamca s ha (rcordando che Q0): de nt. d Ma saamo anche che: de nt c ndt ndt c d Derenzando la legge de gas erett : nrt d( ) d + d d + d nrdt d( nrt ) nrdt ndt d c d + ndt ( ) R c c c d c d c d + d ( c c ) d +d ( c c ) + d c 0 ( ) d ( c c ) c d + c d + c c c 0 c d + c d 0

23 Esansone Adabatca (2) Q0 d d de nt d de c ndt R c c nrt nt c d + c d Dvdendo questa esressone er c s ottene: + 0 c γ c v > 1 d d + γ 0 d + γ d d 0 c c cost d ln + γ ln cost ln a + α lnb ln ab α γ ln cost γ γ cost γ Eq. D stato d una trasormazone adabatca c γ c v > 1 1 γ Una trasormazone adabatca sul dagramma - s oszonerà lungo una lnea sulla quale 1/ γ Qund: Trasormazone soterma > cost > 1/ > erbole Trasormazone adabatca > γ cost dove γ>1 > 1/ γ a curva adabatca è ù rda d quella soterma