POLITECNICO DI TORINO DIPLOMI UNIVERSITARI TELEDIDATTICI

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1 POLIECNICO DI ORINO DIPLOMI UNIERSIARI ELEDIDAICI Esame d Fsca I 3/09/98 1. Una rampa moble d un supermercato che trascna persone e carrell al parcheggo sotterraneo s muove a veloctà costante. Stmare questa veloctà sceglendo tra le seguent possbltà: 0.1 m/s 1 m/s 10 m/s. Calcolare la potenza per untà d massa trasportata sapendo che l nclnazone della rampa è 1. alutare noltre l valore del mnmo coecente d attrto necessaro per mpedre lo scvolamento della massa trasportata.. La Luna gra attorno alla erra compendo 1 gro ogn 7.3 gorn. Calcolare l valore dell accelerazone, tenendo conto che la dstanza erra-luna è d km. alutare l raggo terrestre usando l ntuzone d Newton crca la proporzonaltà tra le accelerazon e quadrat delle dstanze. 3. Un sstema d auto-allenamento per l goco del calco consste nel tenere l pallone legato alla persona per mezzo d un elastco. Usando l modello sco del sstema rappresentato n gura, a partre dall energa E ornta al pallone, calcolare la quanttà d moto acqustata dal pallone, l massmo allungamento dell elastco, e la requenza naturale d oscllazone. 4. Il volume d ogn clndro d un motore a scoppo dmnusce, n ase d compressone, d un attore 8 (detto rapporto d compressone). Calcolare l'energa per mole necessara al processo d compressone, n un modello d trasormazone n cu la pressone rmane costante e la temperatura nzale del gas è stmata n 1000 K. 5. Per preparare del tè reddo s versano n 50 g d tè alla temperatura d crca 100 C 40 cubett d ghacco alla temperatura d 0 C. Stmando la massa de cubett e trascurando la derenza ra tè ed acqua, valutare la temperatura nale del tè. S tenga conto che per ar ondere 1 kg d ghacco a 0 C sono necessar J (calore latente d usone).

2 SOLUZIONI PROBLEMA N. 1 La veloctà della rampa può essere scelta uguale a 0.1 m/s oppure uguale a 1m/s. Probablmente l valore eettvo è ntermedo. S supponga d sceglere v=0.1 m/s, acendo una stma per detto. In tal caso dat sono seguent: v = 0.1 m/s α = 1 Per calcolare la potenza erogata per untà d massa trasportata s può procedere nel modo seguente. Indcando la potenza con P, s a uso della relazone (1) P=F v che s può usare perché la orza è costante. F e v sono vettor, ed l loro prodotto scalare può essere scrtto nella orma () P = F p v dove s è ndcato con F p la componente parallela alla veloctà della orza eserctata dal motore della rampa sulla massa trasportata. Se s costrusce l dagramma d corpo lbero con tutte le orze che ntervengono, come n gura: s vede che la componente della orza eserctata dalla rampa sulla massa m parallela alla veloctà è la orza d'attrto statco, ossa (3) F p = s. Poché la massa trasportata s muove d moto rettlneo unorme, dev'essere ΣF =0. Questa relazone mplca che, nella drezone parallela alla rampa, sa (4) s = mg snα e pertanto s ottene che, supponendo che m sa la massa trasportata, la potenza erogata dal motore è (5) P = m g snα v e pertanto la potenza erogata per untà d massa trasportata è data da (6) P' = P/m = g v snα = 9.8 m/s 0.1 m/s tg(1 ) = = W/kg Per calcolare l valore mnmo del coecente d attrto statco che evta lo scvolamento della massa è sucente notare che la (4) può essere scrtta tenendo conto della relazone tra s e orza normale:

3 (7) s = µ s N = µ S mg cosα Sosttuendo questa relazone nella (4), s ottene (8) mg snα = µ S mg cosα da cu s rcava che, ndpendentemente dalla massa trasportata, (9) µ s = tgα 0. PROBLEMA N. I dat sono seguent: = 7.3 gorn (perodo della rotazone della Luna attorno alla erra) d = km (dstanza erra-luna) Per calcolare l'accelerazone della Luna, occorre rcordare che essa s muove a veloctà costante e l'unca accelerazone d cu rsente è quella centrpeta, vsto che percorre un'orbta approssmatvamente crcolare. Pertanto (1) a = v /d = ω d dove s è atto uso della ben nota relazone v = ω d. La veloctà angolare ω può essere rcavata a partre dal perodo, tenendo conto che () = 1/ν essendo ν la requenza, legata alla veloctà angolare da (3) ν = ω/π. Inne, qund, s ha che (4) ω = π/. L'accelerazone dventa percò π (5) a = d Prma d mettere valor numerc occorre convertre l perodo n second: (6) = 7, s Inne s ottene (7) a m/s Per valutare l raggo terrestre, è sucente rcordare la legge d gravtazone unversale, che applcata alla Luna dventa: GM m (8) F = d L'accelerazone della Luna è data allora da L

4 F GM (9) a = = m d e naturalmente sarebbe la stessa per qualsas corpo alla stessa dstanza dalla erra. Come s vede, l'accelerazone d un corpo qualsas è proporzonale all'nverso del quadrato della sua dstanza dalla erra (o meglo, dal centro della erra). Un corpo che s trova sulla superce terrestre è a dstanza dal centro della erra uguale al raggo della erra stessa; ed n tal caso la sua accelerazone è nota perché è g. Percò s possono scrvere le due relazon (10) a = GM d GM g = R Facendo l rapporto tra le due, s ottene che (11) a / g = da cu s rcava R d (1) R a = d ossa g a (13) R = d g Inserendo valor d a, d g e della dstanza erra-luna, s arrva a (14) R 6300 km che è una buona stma del valore del raggo terrestre (l raggo medo, calcolato come se la erra osse una sera peretta, è par a 6371,1 km) PROBLEMA N. 3 L'unco dato è l'energa totale E ornta al pallone. Questa deve essere nterpretata n realtà come energa meccanca totale del sstema elastco + pallone: (1) E = E cnetca + E potenzale Poché l pallone non è un sstema solato, la sua quanttà d moto non è costante; quello che qund s può calcolare è l suo valore massmo, che s ottene quando l'energa potenzale elastca è nulla (ossa, con rermento al modello molla-massa, quando l'allungamento della molla è nullo). Percò, ndcando con p la quanttà d moto massma, s ha () E = da cu 1 mv (3) p = me = p m Il massmo allungamento dell'elastco s ha quando tutta l'energa del sstema è energa potenzale elastca, ossa quando (4) E = 1 k x

5 da cu s rcava l'allungamento massmo x: (5) x = E k La pulsazone del moto armonco del pallone (nel modello scelto per l sstema) è data da: (6) ω = k m per cu la requenza ν del moto rsulta essere (7) ν = 1 1 ω = π π k. m PROBLEMA N. 4 I dat sono seguent: = 8 p = costante 1000 K S deve calcolare l'energa necessara per la compressone, ossa l lavoro rchesto per dmnure l volume del gas mantenendo costante la pressone. ale lavoro ha espressone (1) E = pd = p d = p( ) ove l segno è dovuto al atto che l lavoro è atto dall'esterno sul sstema. Poché la pressone non è nota, occorre ar uso dell'equazone d stato de gas perett: () p = nr da cu s ottene che (3) p = nr = p dove l'ultmo passaggo è gustcato dal atto che la pressone è costante. Sosttuendo nella (1) s ha qund che nr (4) E = ( - ) ossa (5) E = nr 1 Il numero d mol n non è noto, ma l problema chede d calcolare l'energa per mole, che vale

6 (6) E = R 1 = 8.31 J mol 1000 K (0.15-1) = K = J/mol J/mol In realtà l modello usato per l calcolo non è un "buon" modello, nel senso che l processo d compressone n un motore a scoppo non avvene a pressone costante. Puttosto, può essere trattato come una trasormazone adabatca con ottma approssmazone (natt è così rapdo che pratcamente l gas non scamba calore con l'esterno). Pertanto l prmo prncpo della termodnamca (7) U = Q W s rduce a (8) U = W che c dce che l'energa mmessa nel sstema sotto orma d lavoro s trasorma n energa nterna del gas. Pertanto s può scrvere che (9) U = pd è la varazone d energa nterna del gas (supposto peretto) contenuto nel clndro. Per calcolare l'ntegrale è necessaro tenere conto che, n una trasormazone adabatca, (10) p γ = costante dove γ è l rapporto tra l calore specco a volume costante ed l calore specco a pressone costante: (11) γ = c c p Sebbene γ non sa nota, possamo are una stma grossolana usando l valore che essa assume nel caso d un gas batomco (n pratca s consdera solo l'ara, che è una mscela d gas perett batomc, e non la benzna!). Prenderemo pertanto (1) γ = 7/5 Dalla (10) consegue che (13) p γ = p γ da cu γ (14) p = p γ Sosttuendo la (14) nell'ntegrale, s ottene (15) U = -p γ d γ uttava, p non è nota ed è pertanto opportuno ar comparre l'unca varable d stato conoscuta, ossa, che è legata a p e dall'equazone d stato, da cu s ottene che nr (16) p =

7 e, sosttuendo nella (15), s pervene nalmente a γ-1 (17) U = nr d γ dove occorre ora calcolare l'ntegrale, che però s rsolve aclmente rcordando l'ntegrale ondamentale a+ 1 a x (18) x dx = + cos t a + 1 S ottene qund dalla (17) (19) U = 1 + γ-1 γ 1 nr ( ) γ + 1 nr 1 1 γ 1 γ = [ ] 1 γ 1 γ nr = γ 1 1 γ 1 Per ottenere l'aumento d energa nterna per mole è sucente dvdere per n e s ottene: U (0) U* = = n / 5.31 J 1000 K 8 mol K = J/mol J/mol S rcord ora che U* è uguale al lavoro d compressone per mole: come s vede, l lavoro necessaro per la compressone nel caso adabatco è consderevolmente maggore rspetto al caso sobaro: natt l'area sottesa all'sobara n un dagramma p- è mnore d quella sottesa all'adabatca. PROBLEMA N. 5 I dat sono seguent: M = 50 g = 373 K n = 40 0 = 73 K L = J/kg (massa d tè) (temperatura nzale del tè) (numero d cubett d ghacco) (temperatura del ghacco) (calore latente d usone del ghacco) Occorre nnanz tutto dare una stma della massa de cubett d ghacco. Come sempre n quest cas, convene stmare l volume, e po moltplcarlo per la denstà. Una stma ragonevole è quella che s ottene assumendo che cubett sano eettvamente cub d lato cm, per esempo. In questo caso l volume è 8 cm 3 e per ottenere la massa basta moltplcare per la denstà del ghacco. Sebbene quest'ultma non sa uguale a 1g/cm 3 ma mnore (altrment l ghacco non galleggerebbe), possamo usare questo valore perché stamo acendo soltanto una stma. Percò

8 massa d 1 cubetto 8 g massa totale del ghacco = m 30 g Quando l ghacco vene messo nel tè bollente (che trattamo come se osse acqua) ovvamente onde. A pror non samo n grado d dre se tutto l ghacco onda oppure no: c convene però ragonare come se tutto l ghacco ondesse: se la temperatura d equlbro nale che s ottene n questo modo è mnore d 0 C, vuol dre che c'è ancora del ghacco resduo ed occorre are una correzone. Supponamo dunque che tutt cubett d ghacco ondano nteramente: l'energa assorbta dal ghacco sarà uguale al calore d usone (1) E 1 = m L L'acqua n cu s è trasormato l ghacco s trova nzalmente alla temperatura d 73 K e per gungere alla temperatura nale d equlbro della mscela, che ndcheremo con, deve ancora assorbre un'energa data da () E = m c ( - 0 ) dove c è l calore specco dell'acqua, che non è dato perché s suppone noto: (3) c = 1 Cal kg K = 4186 J kg K Il tè che s trova nzalmente alla temperatura cede un'energa par a (4) E 3 = M c ( - ) La conservazone dell'energa mpone che l'energa ceduta da una parte del sstema sa uguale all'energa assorbta dall'altra parte, e qund (5) E 1 + E = E 3 coè (6) m L + m c ( - 0 ) = M c ( - ) e, raccoglendo : (7) (m c + M c) = M c + m c 0 - m L da cu (8) = M 0 c + m c m L (m + M) c ed nserendo valor numerc s ottene (9) 304 K = 31 C.